Función valor absoluto

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GUÍA Nº21: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz. 
Definición: La función valor absoluto se puede catalogar como una función por 
intervalos de la siguiente manera: 
 






 
0
0
/:
xsix
xsix
xRRf
 
 
Gráfica: Si observamos, en la función por intervalos tiene dos funciones lineales, 
así: 0)(  xsixxf y 0)(  xsixxf . 
 
Por lo que, su gráfica quedaría de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio Resuelto Nº1: Trace la gráfica y realice el análisis 
de la siguiente función. 
3/:  xyRRf 
 
Solución: 
 
Lo primero que debemos hacer es, utilizando la definición dada, descomponer el 
valor absoluto de la función, así: 
 







03)3(
033
3
xsix
xsix
x
 
Ahora, si hacemos la distributiva del signo en el segundo tramo de la función, 
ésta nos quedará así: 
 







033
033
3
xsix
xsix
x 
 
Si nos damos cuenta, lo que nos está quedando es una función por intervalos con 
dos funciones lineales: 
 
a. 033)(  xsixxf 
b. 033)(  xsixxf 
 
Tenemos entonces dos funciones lineales: 3)(  xxf y 3)(  xxf , de las 
cuales debemos definir en qué intervalo las vamos a dibujar. 
 
Para ello resolvemos las dos inecuaciones que tenemos en la definición: 
 
1. 
 


,3:
3
03
Sol
x
x
 2. 
)3,(:
3
03



Sol
x
x
 
 
 
 
 
 
 
Entonces tenemos: 
 
Para el intervalo:  ,3 , a la función 3)( xxf 
Para el intervalo: )3,( , a la función 3)(  xxf 
 
Haremos entonces el estudio de cada una de estas funciones lineales por 
separado, así: 
 
Para el intervalo:  ,3 , a la función 3)( xxf 
 
Como se trata de una FUNCIÓN LINEAL, según la teoría vista en materiales 
anteriores, debemos elaborar como primer paso una tabla con valores que estén 
en el intervalo obtenido  ,3 : 
 
 
Valor Sustitución en y=x-3 Resultado 
x=3 y= (3)-3 y=0 
x=4 y= (4)-3 Y=1 
 
2do paso: Corte con los ejes. 
 
Con “x”: 
3
03


x
x
 Con “y”: 
3
30


y
y
 
 
Para el intervalo: )3,( , a la función 3)(  xxf 
 
Como se trata de otra FUNCIÓN LINEAL, repetimos el procedimiento, pero con 
valores del nuevo intervalo generado )3,( : 
 
 
Valor Sustitución en y=-x+3 Resultado 
x=3 y= -(3)+3 y=0 
x=2 y= -(2)+3 Y=1 
 
2do paso: Corte con los ejes. 
 
Con “x”: 
3
3
03



x
x
x
 Con “y”: 
3
30


y
y
 
 
 
 
Con los cálculos realizados anteriormente, la gráfica quedaría trazada de la 
siguiente forma: 
 
 
 
“Te corresponde a ti realizar el análisis con la teoría vista” 
 
Ejercicio Resuelto Nº2: Trace la gráfica y realice el análisis 
de la siguiente función. 
 
142/:  xyRRf 
 
Solución: 
 
Al igual que el ejercicio anterior, lo primero que debemos hacer es, utilizando la 
definición dada, descomponer sólo lo que está dentro del valor absoluto de la 
función, así: 
 







042)42(
04242
42
xsix
xsix
x
 
 
 
Ahora, si hacemos la distributiva del signo en el segundo tramo de la función, 
ésta nos quedará así: 
 







04242
04242
42
xsix
xsix
x
 
 
Si nos damos cuenta, lo que nos está quedando es una función por intervalos con 
dos funciones lineales: 
 
a. 04242)(  xsixxf 
b. 04242)(  xsixxf 
 
Tenemos entonces dos funciones lineales: 42)(  xxf y 42)(  xxf , de las 
cuales debemos definir en qué intervalo las vamos a dibujar. 
 
Para ello resolvemos las dos inecuaciones que tenemos en la definición: 
 
1. 
 




,2:
2
2/4
42
042
Sol
x
x
x
x
 2. 
)2,(:
2
2/42
42
042





Sol
x
x
x
x
 
 
 Ahora, si notamos en el ejercicio original hay un uno(1) restando fuera del valor 
absoluto: 142/:  xyRRf
 
 
Ha llegado el momento de incorporarlo a la función para saber realmente que 
funciones vamos a trazar en la gráfica. Esto lo haremos así: 
 
 
Para el intervalo:   ,2 , tenemos a la función 1)42()(  xxf 
 
Simplificando nos queda: 
32)(
1)42()(


xxf
xxf
 
 
 
Por lo que, para el intervalo:   ,2 , se trazará a la función 32)(  xxf 
 
 
 
 
Para el intervalo: )2,(  , tenemos a la función 1)42()(  xxf 
 
Simplificando nos queda: 
52)(
1)42()(


xxf
xxf
 
 
 
Por lo que, para el intervalo: )2,(  , se trazará a la función 52)(  xxf 
 
Haremos entonces el estudio de cada una de estas funciones lineales por 
separado, así: 
 
Para el intervalo:   ,2 , a la función 32)(  xxf 
 
Como se trata de una FUNCIÓN LINEAL, según la teoría vista, debemos elaborar 
como primer paso una tabla con valores que estén en el intervalo obtenido
  ,2 : 
 
 
Valor Sustitución en y=2x+3 Resultado 
x=-2 y= 2(-2)+3 y=-1 
x=1 y= 2(1)+3 y=5 
 
2do paso: Corte con los ejes. 
 
Con “x”: 
5,12/3
32
032



x
x
x
 Con “y”: 
3
3)0(2


y
y
 
 
Para el intervalo: )2,(  , a la función 52)(  xxf 
 
Como se trata de otra FUNCIÓN LINEAL, repetimos el procedimiento, pero con 
valores del nuevo intervalo generado )2,(  : 
 
 
Valor Sustitución en y=-2x-5 Resultado 
x=-3 y= -2(-3)-5 y=1 
x=-2 y= -2(-2)-5 Y=-1 
 
 
 
 
 
2do paso: Corte con los ejes. 
 
Con “x”: 
5,22/5
52
052



x
x
x
 Con “y”: 
5
5)0(2


y
y
 
 
Con los cálculos realizados anteriormente, la gráfica quedaría trazada de la 
siguiente forma: 
 
 
 
“Te corresponde a ti realizar el análisis con la teoría vista” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios Propuestos: Trace la gráfica y realice el análisis 
de las siguientes funciones: 
 
1. 12/:  xyRRf
 
 
2. 5/:  xyRRf 
 
3. xyRRf  7/: 
 
4. 26/:  xyRRf
 
 
5. 123/:  xyRRf 
 
6. xxyRRf 231/: 
 
 
7. 15/:  xxyRRf
 
 
8. xxyRRf 41/: 
 
 
9. 432/:  xxyRRf
 
 
10. xxyRRf  2/: