Función Compuesta

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GUÍA Nº 23: FUNCIÓN COMPUESTA 
 
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz. 
 
Definición: La función compuesta se define de la siguiente manera: 
 
 )()( )( xgfgf x  
Donde: 
 
 f: Función Externa. 
 g(x): Función Interna. 
 
Y se lee: “g compuesta con f” 
 
Ahora, si la función está definida de la siguiente manera:  )()( )( xfgfg x  
Tenemos que: 
 
 g: Es la Función Externa. 
 f(x): Es la Función Interna. 
 
Acá se lee: “f compuesta con g”. 
 
Propiedades de la función Compuesta: 
 
a. No conmutatividad: )/)( )()( xx fggf   
 
b. Asociativa: )/)( ])[()]([ xx hgfhgf   
 
c. )()( )( xfxf x  
 
d. xff x 

)(
1)(  
 
e. )()( 11)(1   fggf x  
 
 
 
 
Cálculo de una Función Compuesta: 
 
Ejercicios Resueltos: 
 
1. Dadas: 
 
13)(  xxf 
52)(  xxg 
 
1. Determine: 
a. )()( xgf  
b. )1()( fg  
 
Solución: 
 
a. )()( xgf  
 
Acá nos piden “g compuesta con f”. 
 
Lo primero que debemos hacer es identificar quién será la función interna y la 
función externa de la compuesta que vamos a determinar. Entonces, como “f” 
aparece primero, será la función externa y “g” será la función interna. ¿Qué quiere 
decir esto?, que para hacer la composición de funciones vamos a colocar a la 
función interna dentro de la función externa así: 
 
 )()( )( xgfgf x  
 
13)(  xxf : Función Externa 
52)(  xxg : Función Interna. 
 
Entonces incluiremos a 52)(  xxg , dentro de 13)(  xxf ; colocando a “g(x) 
dentro de las “x” de f(x)” y lo haremos de la siguiente manera: 
 
 1)52(3)( )(  xgf x 
Ahora, simplificando nos queda: 
146)(
1156)(
1)52(3)(
)(
)(
)(



xgf
xgf
xgf
x
x
x



 
 
 
b. )1()( fg  
 
Aquí nos piden: “f compuesta con g, evaluada en el punto 1” 
 
Por lo tanto, en este caso debemos determinar en primer lugar, )()( xfg  
siguiendo el procedimiento anterior. Luego procedemos a evaluar el valor dado 
(en este caso 1) en la compuesta obtenida. 
 
Al igual que el ejercicio anterior, lo primero que debemos hacer es identificar 
quién será la función interna y la función externa de la compuesta que vamos a 
determinar. Entonces, como “g” aparece primero, será la función externa y “f” 
será la función interna. 
 
 )()( )( xfgfg x  
 
52)(  xxg : Función Externa. 
13)(  xxf : Función Interna 
 
Entonces incluiremos a 13)(  xxf , dentro de 52)(  xxg ; colocando a “f(x) 
dentro de las “x” de g(x)”, para luego simplificar: 
 
 
3-6)(
5-26)(
5132)(
)(
)(
)(
xfg
xfg
xfg
x
x
x






 
 
Ahora, para obtener )1()( fg  , sustituimos x=1 en la compuesta obtenida así: 
 
3)(
36)(
3)1(6)(
)1(
)1(
)1(



fg
fg
fg



 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dadas: 
x
x
e
e
xf
2
)(

 
)5()(  xLnxg 
 
2. Determine: 
 
)0()( gf  
 
Solución: 
 
Acá nos piden “g compuesta con f evaluada en el punto 0”. 
 
 
Calculando en primer lugar )()( xgf  
Función Externa: 
x
x
e
e
xf
2
)(

 
Función Interna: )5()(  xLnxg 
 
Sustituyendo la función interna en las “x” de la función externa: 
 
5
3
)(
5
2)5(
)(
2
)(
)(
)(
)5(
)5(
)(










x
x
gf
x
x
gf
e
e
gf
x
x
xLn
xLn
x



 
 
Nota: Acá se simplificó la función exponencial con la logarítmica por se funcione 
inversas. 
 
Ahora, para obtener )0()( gf  , sustituimos x=0 en la compuesta obtenida así: 
 
5
3
)(
50
30
)(
)0(
)0(




gf
gf


 
 
 
 
 
 Ejercicios Propuestos: 
 
1. Dadas: 
x
x
xf



1
1
)( 
3 2)( xxg  
 
 Determine: 
a. )()( xgf  
b. )()( xfg  
 
2. Dadas: 
)2log()(  xxf 
310)(  xxg 
 
 Determine: 
a. )2()( gf  
b. )()( xfg  
 
3. Dadas: 
1
1
)(
2
2



x
x
xf 
xxg 2)(  
 
 Determine: 
a. )()( xgf  
 
4. Dadas: 
)6()(  xLnxg 
1
1
)(



x
x
e
e
xf 
 
 Determine: 
a. )()( xfg 