Álgebra Función Máximo entero ]

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Sesión 6.1 
 
Definición 
La función máximo entero es una función ƒ, con dominio todo ℝ, cuya 
regla de correspondencia es ƒ 𝑥 = 𝑥 , donde 𝑥 es el mayor entero no 
mayor que x. 
 
Función Máximo entero 
_____________________________________________ 
x 
Y 
Gráfica 
Función Máximo entero 
_____________________________________________ 
 
1. Rang( ƒ)= ℤ . Esto es, por la definición de la función máximo entero. 
 
2. ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ƒ 𝑥 = max 𝑘 ∈ ℤ/ 𝑘 ≤ 𝑥 . 
 
3. ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ƒ 𝑥 ≤ 𝑥. Esto debido a la definición de máximo entero 
 
4. ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 − 1 < ƒ 𝑥 ≤ 𝑥 
 
5. ∀ 𝑘 ∈ ℤ, 𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑘 ≤ 𝑥 < 𝑘 + 1 
 
6. ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ƒ(𝑥) ≤ 𝑥 < ƒ(𝑥) + 1 
 
Propiedades: 
 
7. La inecuación ƒ(𝑥) ≤ 𝑛, tiene como conjunto solución a 𝑆 = −∞;𝑛 + 1 . 
 
8. f x = x 𝑥  𝑍 
 
9. ∀ 𝑛 ∈ ℤ , ƒ 𝑥 + 𝑛 = ƒ 𝑥 + 𝑛 
 
10. ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ , 𝑥 < 𝑦 → ƒ 𝑥 ≤ ƒ(y). 
 
11. ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ , ƒ 𝑥 + ƒ(𝑦) ≤ ƒ(x + y). 
 
Función Máximo entero 
_____________________________________________ 
 
 ¡Justifique el porqué de las propiedades: 9, 10 y 11! 
 
Gráficamente f es simétrica al eje Y. 
Función Par 
_____________________________________________ 
Una función real de variable real ƒ ∶ 𝐴 → 𝐵 es una función par si: 
 
• A es simétrico 
• ∀ 𝑥 ∈ 𝐴, ƒ −𝑥 = ƒ 𝑥 . 
Definición 
Gráficamente f es simétrica respecto al origen de coordenadas 
Función Impar 
_____________________________________________ 
Una función real de variable real ƒ ∶ 𝐴 → 𝐵 es una función impar si: 
 
• A es simétrico 
• ∀ 𝑥 ∈ 𝐴, ƒ −𝑥 = −ƒ 𝑥 . 
Definición 
Funciones Monótonas 
_____________________________________________ 
Una función f es creciente en A  Dom(f), si se cumple: 
)()(,, bfafbaAba 
)()(,, bfafbaAba 
 Una función f es no decreciente en A  Dom(f), si se cumple: 
Funciones Monótonas 
_____________________________________________ 
La función f se dice que es monótona en A, si cumple algunas de las 
cuatro condiciones anteriores. 
)()(,, bfafbaAba 
 Una función f es decreciente en A  Dom(f), si se cumple: 
)()(,, bfafbaAba 
 Una función f es no creciente en A  Dom(f), si se cumple: 
Sea f una función real, se dice que f es inyectiva si 
 
 
Función Inyectiva 
_____________________________________________ 
 
Equivalentemente, 
 
f es inyectiva si 
babfaffDomba  )()();(,
, ( ); ( ) ( )a b Dom f a b f a f b    
Definición 
ƒ: A→B es inyectiva, si para cada 𝑏 ∈ 𝑅𝑎𝑛 (ƒ), la recta y = b corta a lo más 
en un punto a la gráfica de la función ƒ. 
Función Inyectiva 
_____________________________________________ 
Interpretación 
 
1) Si ƒ: 𝐴 → 𝐵 es estrictamente, entonces ƒ es inyectiva. 
 
2) Si 𝑘 ∈ ℝ − {0} 𝑦 ƒ: 𝐴 → 𝐵 es inyectiva, entonces 𝑘ƒ es inyectiva. 
 
3) Si ƒ, 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵 son inyectivas , no necesariamente ƒ + 𝑔 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐲𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚 
 
Función Inyectiva 
_____________________________________________ 
Ejemplo 
Si ƒ: 1; 2 → ℝ 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫 ƒ 𝑥 = 3𝑥2 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝑓 es inyectiva 
(¿Por qué?) 
Proposición 
Una función ƒ:AB se dice que es sobreyectiva si 
Función Sobreyectiva 
_____________________________________________ 
 
Equivalentemente, 
 
f es sobreyectiva si 
(ƒ)Ran B
Definición 
)(/ afbAaBb 
Función Sobreyectiva 
_____________________________________________ 
 
Ejemplo: 
 
1. La función ƒ: 1; 2 → ℝ, ƒ 𝑥 = 3𝑥 no es sobreyectiva, pues 𝑅𝑎𝑛 ƒ = [3; 6] ≠ ℝ. 
 
2. La función 𝑔: 1; 2 → 3; 6 , 𝑔 𝑥 = 3𝑥 𝐬𝐢 es sobreyectiva. 
 
 Podemos apreciar que las gráficas de ƒ y g es la misma, pero ƒ ≠ 𝑔. 
 
1) Si ƒ: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐴 → 𝐶 , 𝐴, 𝐵, ⊂ ℝ ambas sobreyectiva, entonces ƒ + 𝑔 no 
es necesariamente sobreyectiva. 
 
2) Si 𝑘 ∈ ℝ − {0} 𝑦 ƒ: 𝐴 → ℝ es sobreyectiva, entonces 𝑘ƒ es sobreyectiva 
 
Proposición 
Ejercicios 
_____________________________________________ 
Rpta. {1} 
Ejercicio 2. Encuentre el rango de la función 
 
𝐺 𝑥 =
𝑥
𝑥2 + 4
 
 Rpta. {-1,0} 
Ejercicio 1. Determine el rango de la función 
 
𝐹 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 + 1 
 
Ejercicios 
_____________________________________________ 
Ejercicio 4. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 
 
I. 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = |𝑥 + 1| + |𝑥 − 1| es una función par. 
 
II. 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓 𝑥 = 
3𝑥, 𝑥 ∈ 𝑄
2𝑥, 𝑥 ∈ 𝐼
 es una función creciente. 
 
III. 𝑓:ℝ+ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥, es una función inyectiva. 
 
Ejercicio 3. Determine los valores 𝑥, para los cuales existe la función 
 
𝐹 𝑥 = 𝑥 + −𝑥 
 
Ejercicios 
_____________________________________________ 
Rpta. [0;5] 
Ejercicio 161. Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos con un número finito de elementos y 
𝑓: 𝐴 → 𝐵 una función, de las siguientes afirmaciones, indique el valor de verdad 
de las proposiciones: 
 
I. 𝑓 es inyectiva, 𝑛 𝐴 ≤ 𝑛(𝐵). 
 
II. 𝑓 es biyectiva, 𝑛 𝐵 = 𝑛(𝐴). 
 
III. Si 𝑛 𝐴 ≤ 𝑛(𝐵), 𝑓 es suryectiva. 
Ejercicio 163. Sea 𝑓 una función definida por: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑥2
5−𝑥
2
− 4 , 𝐷𝑜𝑚 𝑓 =]1; 3] 
 
Determine el rango de f. 
 
Rpta. FVF 
Ejercicios 
_____________________________________________ 
 
 
 Ejercicio 176. 
 
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 
 
I. El producto de dos funciones pares con el mismo dominio, es una función par. 
 
II. El producto de dos funciones crecientes con el mismo dominio, es una 
función creciente. 
 
III. La resta de funciones crecientes con el mismo dominio, es una función 
decreciente. 
 
 
 
Rpta. VFF