Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas

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Fuerzas de fijación y momentos 
de empotramiento en vigas
 
43 y más
 
Ortiz David 
Palomino Alex Henrry 
Miranda Albert Richard 
Martínez Hugo 
 
Edición revisada 
𝐴 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑊 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑊 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 
𝐴 𝐵 
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𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
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𝑊 = 𝑤𝑜𝑒
𝑎𝑥 
 
ACERCA DE LOS AUTORES 
 
 
 
 David Ortiz Soto (México) 
 
 
Ingeniero Civil egresado de la Universidad Nacional Autónoma de 
México (UNAM), FES Aragón, con Maestría en Ingeniería Civil, área 
de estructuras, efectuada en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), 
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), UZ, donde fue 
representante de la comunidad estudiantil de posgrado. 
Actualmente se encuentra desarrollando el protocolo del doctorado 
en la Facultad de Ingeniería, UNAM. 
 
Es docente activo y secretario de la carrera de Ingeniería Civil en el Tecnológico Nacional de México, 
Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. Durante el 2015 y el 2016 fue profesor en la ESIA UZ IPN. 
Entre las asignaturas que imparte o ha impartido están Estática, Estructuras Isostáticas, Mecánica 
de Materiales, Fundamentos de la Mecánica de Medio Continuo, Análisis Estructural, Análisis 
Estructural Avanzado y Dinámica Estructural. De igual manera es catedrático de la Universidad 
DeLaSalle Bajío (León, Guanajuato) a nivel posgrado, donde dicta el curso de Ingeniería de 
Cimentaciones en la Maestría en Estructuras. 
 
El Maestro en Ingeniería David Ortiz ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y 
talleres en diversos congresos, simposios y ciclos de conferencias nacionales e internacionales, 
contando ya con cuatro giras a Sudamérica. Ha disertado de manera destacada en universidades 
tales como UJED (Durango), ITS Lagos de Moreno (Jalisco), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México), 
TESJI (Estado de México), ITT (Tlaxiaco, Oaxaca), UJCM (Moquegua, Perú), UPT (Tacna, Perú), 
UTO (Oruro, Bolivia), UPEA (La Paz, Bolivia), UPS (Quito, Ecuador) y UNACH (Chimborazo, 
Ecuador). En agosto del 2016 impartió una conferencia y un workshop en el Encuentro Nacional de 
Estudiantes de Arquitectura, organizado por UNEA, con sede en Oruro, Bolivia. 
 
Ha escrito y compartido para su descarga gratuita los libros:” Estructuras Isostáticas en 2D: 
Problemas Resueltos”, “Resolución de Armaduras en 2D con el Método Matricial de la Rigidez”, 
“Análisis de Estructuras: Problemas Resueltos”. Sus obras literarias se han caracterizado por 
contener mensajes de toque social, de reflexión y hasta cierto punto contestatarios. 
 
Ha presentado sus libros en el programa “Profesionistas por el progreso” de la televisora ASTL.TV 
del Consejo Nacional de Egresados Politécnicos, así como en el programa “Ingenio civil” de Nuestra 
Voz Radio: La voz del pueblo organizado. 
 
Forma parte del equipo de editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina, 
civilgeeks.com. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alex Henrry Palomino Encinas (Perú) 
 
Bachiller en Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de 
Cajamarca (UNC). Cuenta con especialización en cálculo y diseño 
de concreto armado y albañilería, estructuras de contención y 
cimentaciones, reservorios, puentes, así como en evaluación y 
diseño por desempeño de edificios. 
Ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y talleres en diversos congresos y 
ciclos de conferencias nacionales e internacionales. Realizó su primera gira internacional en Bolivia, 
teniendo intervenciones destacadas en la UTO (Oruro) y la UPEA (La Paz) en el 2015. En ese mismo 
año disertó nuevamente en Bolivia. En enero del 2016 impartió su primera conferencia en América 
del Norte dentro del evento “Primera Jornada Internacional de Ingeniería Civil” en el Tecnológico 
Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. 
Es autor de los siguientes manuales, de los cuales ha compartido algunas de sus partes para su 
descarga gratuita: “Manual para los estudiantes del ETABS”, “Diseño de cimentaciones superficiales 
con el uso de SAFE- teoría y práctica”, “Diseño de reservorios apoyados de concreto armado con 
SAP 2000”, “Cálculo y diseño de edificios de concreto armado con ETABS”, “Manual de análisis 
estático y dinámico- NTE E.030”, “Manual de AutoCAD Estructural Detailing”, entre otros. 
Ha publicado diversos videos tutoriales de Ingeniería Estructural y actualmente se dedica a dictar 
cursos especializados de forma independiente sobre distintos temas de Ingeniería Estructural. Forma 
parte del equipo de editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina, 
civilgeeks.com. 
 
 
 
Albert Richard Miranda Sivila (Bolivia) 
 
Licenciatura en Ingeniería Civil en la Universidad Católica Boliviana “San 
Pablo” (Graduado por Excelencia). Maestría en Ingeniería Civil, área de 
Estructuras, en la ESIA UZ IPN, México (Graduado con Mención 
Honorífica). 
 
Dentro de su experiencia laboral está: a) Sub Gerente Técnico, 
Departamento de Ingeniería. VSL Corporation México SA de CV. Análisis 
y diseño de estructuras postensadas (Julio de 2014 - a la fecha); 
b) Ingeniero de Proyecto, Departamento de Ingeniería. VSL Corporation México SA de CV. Análisis y 
diseño de estructuras postensadas (Febrero de 2014 - Junio de 2014); c) Consultor en Diseño de 
ingeniería y Supervisión de Proyectos de Obras Civiles (Puentes, Edificios, Colegios). Empresa 
Consultora Unión S.R.L-Bolivia. (Octubre de 2009- Diciembre 2011); d) Profesor de Asignatura, 
Universidad Católica Boliviana “San Pablo”, asignaturas: Estática I, Estática II, Fundaciones I. (Agosto 
de 2009- Diciembre 2011). 
 
Participó como ponente de una conferencia en la “Primera Jornada Internacional de Ingeniería Civil” 
en el Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. 
 
Hugo Martínez Hernández (México) 
 
 
Ingeniero Civil egresado del Instituto Politécnico Nacional (IPN), 
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), UZ. Ahí mismo 
estudió la Maestría en Ingeniería Civil, área de estructuras, en la 
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, graduándose con 
mención honorífica. Actualmente efectúa el doctorado en la Escuela 
Superior de Ingeniería Mecánica (ESIME) del IPN. 
Desde el 2015 hasta la fecha es docente de la ESIA UZ IPN, en la que imparte asignaturas como 
Estructuras Isostáticas, Mecánica de Materiales y Análisis Estructural. 
Ha sido invitado por diversas Instituciones para impartir cursos y conferencias. Destacan sus 
participaciones en la FES Aragón (UNAM), ESIA Tecamachalco (IPN) e Instituto Tecnológico de 
Iztapalapa III. 
Es coautor en el libro” Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos”. 
Ha disertado sobre temas de Ingeniería en “Profesionistas por el progreso” de la televisora ASTL.TV 
del Consejo Nacional de Egresados Politécnicos, así como en el programa “Ingenio civil” de Nuestra 
Voz Radio: La voz del pueblo organizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuerzas de fijación y momentos de 
empotramiento en vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 y más
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
México 2016 
 
 
 
Fuerzas de fijación y momentos de 
empotramiento en vigas 43 y más 
 
 
Ortiz Soto David 
Universidad Nacional Autónoma de México 
 Facultad de Estudios Superiores Aragón 
Instituto Politécnico Nacional 
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura 
Tecnológico Nacional de México 
Instituto Tecnológico de Iztapalapa III 
Universidad DeLa Salle Bajío 
 
 Alex Henrry Palomino Encinas 
Universidad Nacional de Cajamarca 
Facultad de Ingeniería 
 
Albert Richard Miranda Sivila 
Universidad Católica Boliviana “San Pablo” 
Instituto Politécnico Nacional 
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura 
 
Martínez Hernández Hugo 
Instituto Politécnico Nacional 
Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura 
EscuelaSuperior de Ingeniería Mecánica 
 
 
Revisión Técnica Internacional (Bolivia): 
Ms. Luis Cabrera Fernández 
Universidad Técnica de Oruro 
Facultad Nacional de Ingeniería 
Universidad Autónoma Juan Misael Saracho 
 
Datos de catalogación bibliográfica 
Ortiz, D., Palomino, A. H., Miranda, A. R., et al. 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
Primera edición 
INDEPENDIENTE, México, 2016 
Distribuidora virtual oficial: CivilGeeks 
 Número de Registro de Obra 03-2018-072610390400-01 
 Área: Ingeniería 
Formato: Carta 21.6 cm x 27.9 cm 
 
 
Reservados todos los derechos. Se aclara que los autores del presente libro han colocado el 
contenido de este para su descarga gratuita y permiten su libre difusión sin fines lucrativos. 
Únicamente ellos están facultados para la venta de esta obra en físico. 
Por consiguiente, no está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su 
tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o cualquier medio, ya sea 
electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos con fines lucrativos u 
otros propósitos que no tengan el consentimiento previo por escrito de los autores, según 
sea el caso. 
 
 
DERECHOS RESERVADOS 2018, por David Ortiz Soto, Alex Henrry Palomino Encinas, Albert 
Richard Miranda Sivila y Hugo Martínez Hernández. Obra inscrita en el Registro Público del 
Derecho de Autor, SEP, INDAUTOR. 
 
 
Impreso en México 
V 
 
DEDICATORIAS 
 
Ortiz David 
Dedico de manera especial este libro a Dios, a mis padres Clara y Antonio, así como a mis hermanos 
José Carlos y Antonio. 
A mis abuelas Paulina Ramírez y Juana Marín. 
A mis sobrinos Diego y Antonio. 
A Fidel, Anahí y Guadalupe. 
He sido bendecido por el apoyo y afecto que me ha brindado cada uno de los miembros de mi familia 
a lo largo de mi vida, lo cual les agradezco infinitamente, incluyendo a aquellos que se han 
adelantado (abuelos Rafael y Antonio, y tía Lucía). 
A mis alumnos del Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (UZ), 
y del Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Iztapalapa III. 
Con toda sinceridad, les doy las gracias a todos mis amigos, compañeros, profesores y colegas que 
siempre me han respaldado. 
A todas las personas de México y del extranjero que directa o indirectamente me han apoyado y/o 
han depositado su confianza en mí. 
A los lectores por su incondicional apoyo, pues gracias a ellos mi filosofía está más viva que nunca... 
“La información no es sólo para el que la paga, es para todos” y “No hay fronteras ni banderas para 
el conocimiento”. 
 
 
Palomino Alex Henrry 
Dedico este libro a todas las personas que con su apoyo sincero han contribuido a encaminar mi 
sendero hacia la superación constante, permitiéndome encontrar en la escritura una forma libre de 
expresarme, con ideas objetivas; con humildad, contribuyendo con la educación superior teniendo 
siempre en mente que tenemos cierta obligación de transmitir lo que sabemos a las nuevas 
generaciones de profesionales que nos siguen. Porque el conocimiento académico debe ser libre y 
sin políticas de restricción, dedico este libro a todos los estudiantes de ingeniería en el mundo. 
En lo personal, dedico este libro a mis padres, Edmundo Palomino Bazán y Rudí Encinas Vega y a 
mis hermanos Miguel, Franco, Dorisa, Carlos y hermana menor Iris. 
A todos los ingenieros del Perú y el extranjero que desde el inicio me han dado su apoyo y respaldo, 
en especial al Ing. Napoleón Franklin Cueva Guerra y compañero de promoción, el Ing. Christian 
Gonzalo Salcedo Malaver. 
A todos mis amigos de mi entorno, tanto del Perú como del extranjero, muchas gracias por esa 
confianza depositada. 
 
 
DEDICATORIAS 
VI 
 
Miranda Albert Richard 
Dedico esta obra a quienes necesitan un empujoncito adicional para comprender el comportamiento 
estructural y no se rinden, a quienes buscan superarse día a día a pesar de las dificultades, a quienes 
la carencia de recursos no significa un pretexto para la ignorancia, a quienes no se conforman con 
lo aprendido en las aulas y buscan más, a quienes la venganza no los consume sino que les renueva 
las fuerzas para luchar, a quienes el espíritu de superación puede más que la injusta desigualdad 
que gobierna nuestro mundo. No hay pretextos válidos, no hay venganzas justificadas, hay historia 
aprendida y un mundo esperando por mejores personas en mente y corazón. 
 
 
Martínez Hugo 
A mis padres y hermanos, por su apoyo incondicional. 
A mis amigos, que siempre han estado a mi lado en todo momento. 
 
 
Todos los autores 
En primera instancia, agradecemos enormemente al Máster de Bolivia Luis Cabrera Fernández por 
el apoyo que nos brindó con la revisión técnica de esta obra, así como por su gran amistad, por ende, 
le rendimos un homenaje por su brillante trayectoria como ingeniero civil. 
A la memoria de Hugo…Dedicamos de manera especial este libro a un gran amigo boliviano, el Ing. 
Hugo Moreno Parada, egresado de la Facultad Nacional de Ingeniería, Universidad Técnica de 
Oruro. Luego de su partida a la presencia de Dios, siempre lo recordaremos como una gran persona 
y un excelente colega. 
A Sheila Sotomayor y John Rojas, creadores de la web Civilgeeks.com, la cual es la distribuidora 
virtual oficial de esta y todas nuestras obras literarias. A todas las demás webs que también nos 
apoyan con la difusión de este texto. 
A todas las Universidades de los diferentes países de América del Norte y del Sur que nos han 
brindado un espacio para disertar en distintos eventos. A la UJED (Durango), ITS Lagos de Moreno 
(Jalisco), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México), TESJI (Estado de México), ITT (Tlaxiaco, Oaxaca), 
UJCM (Moquegua, Perú), UPT (Tacna, Perú), UTO (Oruro, Bolivia), UPEA (La Paz, Bolivia), UPS 
(Quito, Ecuador) y UNACH (Chimborazo, Ecuador). A todos los estudiantes, docentes y directivos 
que han contribuido para que ello sea posible y que además han hecho que nuestras estancias sean 
de las mejores experiencias en nuestras vidas. 
A la Unión Nacional de Estudiantes de Arquitectura de Bolivia. 
A las Instituciones en las que nos hemos formado académicamente a nivel de Licenciatura y 
Posgrado. 
A los lectores, esperando que el contenido de este libro sea de su agrado y utilidad. Sin el apoyo de 
ellos nada de esto sería posible. 
 
VII 
 
MENSAJE DE DAVID ORTIZ SOTO 
 
Ante los recientes ataques que hemos sufrido algunos escritores altruistas en la escena de la 
Ingeniería Estructural, tales como los intentos de sabotaje a los cursos de Alex Henrry o el hecho de 
que webs oportunistas cobren dinero por descargar los aportes que Alex, Ph. D. Genner Villarreal y 
yo hacemos cuando nosotros mismos, teniendo los derechos de autor, los colocamos para su 
descarga gratuita, no me resta más que decir que seguiremos viendo a la literatura como una forma 
de expresión para evidenciar un sistema injusto y perseguir nuestros ideales, aunque a algunos no 
les parezca y por más que nos intenten derribar. Andaremos por la misma brecha de contribuir a 
"Una educación universal, de calidad y al alcance de todos" como dice Genner, siempre pensaremos 
que "La información no es sólo para el que la paga, es para todos", que "No hay fronteras ni banderas 
para el conocimiento" y que "La clave está en ver a tus alumnos como el futuro para el gran cambio 
que requerimos y no como tu competencia" como lo he venido promoviendo o como cita Alex 
"Seguiremos escribiendo en favor de la comunidad de ingeniería en todo el mundo fomentando el 
buen uso y las buenas prácticas"..."Larga vida a la escena autogestiva y altruista de la Ingeniería 
Civil". 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.facebook.com/AlexHenrryPalomino
https://www.facebook.com/genner.villarrealcastro
VIII 
 
MENSAJEDE ALEX HENRRY PALOMINO ENCINAS 
 
 
Empiezo este mensaje expresando mi infinito agradecimiento a todos ustedes que a través de mis 
publicaciones hemos podido entablar amistad y compartido experiencias sobre temas de Cálculo, 
Análisis y Diseño en la rama de Ingeniería Estructural. Todas nuestras publicaciones se realizan con 
el objetivo de hacer saber a la comunidad que existen procedimientos y documentos que nos 
permiten realizar ciertas acciones y ayudar en la toma de decisiones durante el proceso de diseño 
de un proyecto cualquiera, esto es, que todo lo que han podido consultar hasta ahora tiene un 
sustento técnico y criterios basados en los documentos que se hacen mención. 
La filosofía de difusión de conocimiento de forma libre la tenemos bien clara y eso es lo que nuestro 
grupo ha venido fomentando durante este corto tiempo que estamos activamente publicando a 
menudo y como resultado de ello hemos recibido la aprobación del público objetivo porque damos a 
conocer nuestra metodología y soluciones a inquietudes que muy pocas veces se logra encontrar o 
se encuentra restringida ya sea por cuestiones de idioma o por cuestiones económicas. 
Siempre nos realizan consultas, pero no a todos se les puede responder ese mismo día, ya que en 
mi caso particular no solamente estoy escribiendo sobre temas de ingeniería, sino que también me 
encuentro trabajando en el desarrollo de proyectos y eso suele hacerles pensar que somos 
mezquinos en cuanto a compartir conocimiento se refiere. En esta aclaración quiero que sepan que 
deben ser insistentes en cuanto a sus consultas ya que no son los únicos que preguntan. 
Recientemente me di cuenta de los cientos de solicitudes de mensajes que tenía y me apena no 
poderles haber respondido a tiempo y quiero pedirles disculpas por este inconveniente. 
Por otro lado, debido a la manera original de exponer los temas de ingeniería estructural sustentados 
de la mejor manera posible, nuestros seguidores nos han venido pidiendo desde el inicio que 
desarrollemos cursos con temas específicos aplicativos a proyectos reales de ingeniería, petición 
que gustosamente hemos sabido atender respondiendo con desarrollos detallados de uso y manejo 
adecuado de software acompañado siempre de la teoría que lo sustenta, permitiéndonos demostrar 
hipótesis y afirmaciones durante las exposiciones; acciones que nos han otorgado un prestigio y 
trayectoria como ponentes y escritores, ya que nuestro trabajo es reconocido en todas partes del 
mundo teniendo hasta peticiones de traducción al idioma inglés. 
Hemos recibido invitaciones a participar en diversos eventos académicos nacionales e 
internacionales, creo yo, en recompensa por nuestro trabajo realizado y reconocimiento que, por 
supuesto, en respuesta a ello no realizamos ningún cobro por impartir talleres o clases enfocadas. 
Este prestigio y trayectoria ganados de manera limpia, compitiendo siempre con conocimientos, ha 
llevado a algunas personas a tener actitudes indeseables con supuestas campañas de desprestigio 
y hasta decir que el material que entregamos es de otra persona, afirmación que para quienes nos 
conocen es del todo ridícula, demostrando la poca educación personal que tienen, ya que mediante 
cuentas de Facebook o correo electrónico sin identificación han intentado sabotear, sin éxito, 
nuestras actividades. 
Desde diversas partes del mundo les agradecemos el habernos tomado en cuenta. Seguiremos 
escribiendo en favor de la comunidad de ingeniería en todo el mundo fomentando el buen uso y las 
buenas prácticas. 
Saludos cordiales. 
 
 
 
 
IX 
 
MENSAJE DE LOS AUTORES 
 
 
 
 
A lo largo de nuestra corta trayectoria como escritores siempre hemos demostrado a través de las 
obras escritas una gran solidaridad con los diferentes movimientos de lucha social y estudiantil. 
En este libro brindamos un homenaje a los 43 estudiantes mexicanos desaparecidos de forma injusta 
por el gobierno, en Ayotzinapa, Guerrero, México, de ahí que la portada tenga un 43; enseguida del 
número citado aparecen las palabras “y más”, porque pretendemos evidenciar que los caídos, 
oprimidos y marginados por el sistema somos muchos más. Nuestra portada básicamente de negro 
es en alusión al luto que el pueblo mexicano vive hoy en día por tantos asesinatos injustos e impunes. 
En ella, nuestros nombres se encuentran teñidos de rojo, en efecto, por la sangre derramada de un 
pueblo que exige justicia y dignidad. 
Va por aquellos que están luchando por un mundo mejor. 
Dejamos en claro que toda clase de autoritarismo es reprobatoria y le decimos ¡no! al terrorismo de 
Estado en México, ni en ningún país, de modo que repudiamos todo aquello que atente contra los 
derechos humanos. 
En todos los rincones del planeta, de distintas formas, pero todos unidos, conscientes y organizados 
seguiremos resistiendo. Pensamos que América Latina es sólo una, y aún el mundo entero lo es. 
A la memoria de los 43 normalistas… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 y más
Ofrenda elaborada por estudiantes de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (UZ) IPN 
dentro de sus instalaciones en la que se rinde un homenaje a los 43 estudiantes normalistas 
 
X 
 
POEMAS Y FRASES POR DAVID ORTIZ SOTO 
 
David Ortiz Soto, de nacionalidad mexicana, es un novel escritor de 
Ingeniería. Su pasión por la poesía lo ha llevado a componer poemas 
empleando un lenguaje propio de la Ingeniería Civil. El amor a su 
profesión también ha propiciado que ingenie frases acordes a la 
misma. 
A continuación, se presentan algunos de sus poemas y frases con 
más acogida por el público de la carrera citada. 
 
 
 
 
 
 
 
Enamórate de un Ingeniero Civil o de una Ingeniera Civil 
"Enamórate de un Ingeniero Civil para que te construya una gran historia de amor, te diseñe espacios 
hermosos en tu vida, te modele un mundo lleno de felicidad y haga que vivas momentos máximos 
junto a él…Él será siempre un soporte para ti y opondrá máxima resistencia ante solicitaciones 
negativas, no permitiendo grandes deformaciones en una relación que siempre llevará al esfuerzo 
admisible, incluso hasta el esfuerzo último, pero nunca a la falla, debido a que el límite del amor 
cuando de él tienda hacia ti, será simple y sencillamente infinito". 
"Enamórate de una Ingeniera Civil para que te construya una gran historia de amor, te diseñe 
espacios hermosos en tu vida, te modele un mundo lleno de felicidad y haga que vivas momentos 
máximos junto a ella…Ella será siempre un soporte para ti y opondrá máxima resistencia ante 
solicitaciones negativas, no permitiendo grandes deformaciones en una relación que siempre llevará 
al esfuerzo admisible, incluso hasta el esfuerzo último, pero nunca a la falla, debido a que el límite 
del amor cuando de ella tienda hacia ti, será simple y sencillamente infinito”. 
By David Ortiz Soto 
 
 
 
 
 
XI 
 
Un Ingeniero Civil sin limitantes 
"No trates de ponerme un muro de longitud infinita para detener mis sueños, porque hallaré la 
escalera de longitud ideal y la inclinaré a un ángulo necesario con respecto a la horizontal para 
esquivarlo y seguir adelante." 
 By David Ortiz Soto 
 
 
 
 
 
"Para un Ingeniero civil o una Ingeniera civil la distancia no sería un problema en una relación de 
amor dado que puede despejarla de cualquier ecuación que la contenga, como la de la velocidad." 
By David Ortiz Soto 
 
 
 
 
 
 
 "Ingeniería Civil, más que una profesión, una pasión e inspiración y un estilo de vida en sí." 
By David Ortiz Soto 
 
 
 
 
 
 
 
"Ingeniería Civil, tu habilidad de razonamiento e ingenio serán exigidos al máximo...Ahí donde 
rendirse está prohibido." 
By David Ortiz Soto 
 
 
XII 
 
Eres tú la persona que ama un Ingeniero Civil 
Eres tú ese factor de seguridad que cubrirá mis fallas, incluso las de valores críticos. 
Eres tú mi única variable de respuesta y mi constante en este mundo de infinitasvariables. 
Eres tú la mezcla perfecta de belleza e inteligencia diseñada para darle alta resistencia a nuestra 
relación de amor estructuralmente estable. 
Eres tú quien representa ese cimiento de longitud infinita y profundidad necesaria capaz de sostener 
el peso propio de mis sueños. 
Y soy yo quien será capaz de construir un muro con los ladrillos que te lancen quienes desean verte 
caer. 
Eres tú el principio para la superposición de mi cariño, respeto y amor por ti. 
Aunque solicitaciones negativas quieran propiciar condiciones que lleven nuestra relación a la 
frontera, nosotros preferimos darle siempre continuidad. 
Eres tú la cuantía balanceada que fija los parámetros necesarios para mi irrefutable buen 
comportamiento estructural. 
Eres tú indudablemente mi línea de conducción a la felicidad 
Siempre iremos de la mano siguiendo esa ruta crítica que nos lleve a la mejor toma de decisiones. 
Juntos opondremos máxima resistencia ante los esfuerzos cortantes que intenten separarnos, pues 
una conexión ha fijado nuestros corazones entre sí eternamente. 
Eres tú ese momento máximo que me inspiró a escribir estas líneas. 
By David Ortiz Soto 
 
XIII 
 
PREFACIO 
 
El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en la formación académica de los estudiantes de 
Ingeniería Civil, Arquitectura, Ingeniería Mecánica u otras carreras con afinidad, no obstante, también 
se pretende que esta obra sirva de apoyo a los profesores que dictan los cursos de Análisis 
Estructural y Mecánica de Materiales. 
El énfasis de este libro es deducir las fórmulas de las “Fuerzas de Fijación y los Momentos de 
Empotramiento” en vigas sometidas a distintos tipos de cargas con base en el método de 
flexibilidades (de igual forma conocido como el método de las fuerzas). El uso de estas fórmulas es 
necesario cuando se realiza el análisis estructural de una viga o un pórtico con el método de la rigidez 
matricial o el método de Cross. 
El método de flexibilidades es útil para determinar las fuerzas reactivas en los soportes de estructuras 
hiperestáticas y se basa en el principio de superposición. Básicamente, plantea que una estructura 
estáticamente indeterminada es equivalente a la suma de causas y efectos de una serie de 
estructuras isostáticas, considerando la compatibilidad del desplazamiento de las mismas. Cabe 
mencionar que solo es aplicable a un sistema estructural que responde en su rango elástico y lineal. 
A continuación, se proporciona el enfoque seguido en esta obra. Exactamente 32 vigas 
hiperestáticas son analizadas minuciosamente hasta el cálculo de sus reacciones en los apoyos. Las 
solicitaciones aplicadas a las estructuras obedecen a fuerzas puntuales y distribuidas, y momentos 
distribuidos y puntuales. Las cargas distribuidas actúan total o parcialmente sobre la longitud de la 
estructura y pueden adquirir las siguientes formas: uniforme, variación lineal, parabólica, senoidal, 
circular, elíptica, logarítmica, entre otras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XV 
 
 
CONTENIDO 
 1 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA AL CENTRO DEL CLARO ..................................... 1 
2 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DISTRIBUIDA UNIFORME ......................................................................... 10 
3 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR .............................................................................................. 15 
4 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR SIMÉTRICA ........................................................................ 20 
5 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRAPEZOIDAL .......................................................................................... 26 
6 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PARABÓLICA ............................................................................................ 31 
 7 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DE ENJUTA PARABÓLICA ....................................................................... 37 
 8 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA LOGARÍTMICA ........................................................................................... 42 
 9 VIGA BIEMPOTRADA CON MOMENTO CONCENTRADO APLICADO AL CENTRO DEL CLARO ................... 48 
10 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUAL APLICADA EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO ...... 51 
11 VIGA BIEMPOTRADA CON MOMENTO APLICADO EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO .................. 55 
12 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA INCLINADA EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO ....................... 58 
13 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA SENOIDAL ................................................................................................ 63 
14 VIGA BIEMPOTRADA CON MOMENTO DISTRIBUIDO UNIFORME ................................................................. 72 
15 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA CIRCULAR DE UN CUARTO ................................................................... 75 
16 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA ELÍPTICA DE UN CUARTO ..................................................................... 80 
17 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA PUNTUAL APLICADA AL CENTRO DEL CLARO 
 ..................................................................................................................................................................................... 84 
18 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA DISTRIBUIDA UNIFORME ............................... 86 
19 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA TRIANGULAR SIMÉTRICA .............................. 88 
20 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA PARABÓLICA ................................................... 90 
21 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA TRIANGULAR ................................................... 92 
22 VIGA CON SOPORTES ARTICULADO Y FIJO CON CARGA DE ENJUTA PARABÓLICA ............................. 94 
23 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DISTRIBUIDA PARCIALMENTE UNIFORME ......................................... 96 
24 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR PARCIALMENTE DISTRIBUIDA ................................... 100 
25 VIGA CON CARGA DISTRIBUIDA PARCIALMENTE UNIFORME CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO 
ARTICULADO .......................................................................................................................................................... 103 
26 VIGA CON CARGA TRIANGULAR DISTRIBUIDA PARCIALMENTE CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO 
ARTICULADO .......................................................................................................................................................... 105 
27 VIGA CON TRES CARGAS EQUIDISTANTES CON UN APOYO EMPOTRADO Y OTRO ARTICULADO ..... 108 
28 VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA CON CARGA UNIFORME CONCENTRADA EN UNA ZONA CENTRAL 
 ................................................................................................................................................................................... 111 
29 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON CARGA UNIFORME CONCENTRADA EN UNA ZONA CENTRAL 
 ................................................................................................................................................................................... 117 
30 VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA CON CARGA TRIANGULAR EN UNA PORCIÓN IZQUIERDA ............ 119 
31 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON CARGA TRIANGULAR EN UNA PORCIÓN IZQUIERDA .............. 124 
32 VIGA EMPOTRADA-ARTICULADA CON MOMENTO APLICADO EN UN PUNTO ARBITRARIO DEL CLARO 
 ................................................................................................................................................................................... 126 
 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................................................... 129 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA PUNTUALAPLICADA AL CENTRO DEL CLARO 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
Verificación del grado de indeterminación 
En primer lugar debe determinarse el grado de indeterminación de la estructura real (𝐸𝑅), figura 
1-a, para saber cuántas restricciones hiperestáticas eliminar; ese mismo número nos indicará la 
cantidad de ecuaciones simultáneas a plantear más adelante para la resolución del problema. Con 
base en el diagrama de cargas, figura 1-b, hay 𝑟 = 6 incógnitas de reacción, las cuales son 𝑅𝐴𝑋 , 𝑅𝐴𝑌,
𝑀𝐴, 𝑅𝐵𝑋 , 𝑅𝐵𝑌 y 𝑀𝐵 (cabe mencionar que cuando se identifican las reacciones en los soportes, el 
sentido de cada una de ellas debe ser supuesto arbitrariamente al desconocerse la magnitud 
correspondiente), así mismo, no se tiene alguna condición impuesta por la construcción (articulación 
o rótula, conector cortante, etc.), es decir, 𝑐 = 0 . Por otra parte, existen 𝑛 = 3 ecuaciones de 
equilibrio en el plano, que son ∑ 𝑀 = 0, ∑ 𝐹𝑋 = 0, ∑ 𝐹𝑌 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de la ecuación +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0, dado que la viga no está sometida a cargas horizontales, se 
obtiene directamente que 𝑅𝐴𝑋 y 𝑅𝐵𝑋 son nulas. Por consiguiente, ahora únicamente se tienen 𝑟 = 4 
fuerzas reactivas y 𝑛 = 2 ecuaciones de la Estática. En consecuencia, la viga es estáticamente 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑃 
Figura 1 
 
(a) 
 
Estructura real (𝐸𝑅) 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑃 
𝑅𝐴𝑌 𝑅𝐵𝑌 
𝑅𝐴𝑋 𝑅𝐵𝑋 
𝑀𝐴 𝑀𝐵 
(b) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
2 
 
indeterminada o hiperestática de segundo grado ya que 𝑟 > (𝑛 + 𝑐), puesto que 4 > (2 + 0) con una 
diferencia de 4 − 2 = 2. 
 
Elección de las reacciones redundantes o fuerzas correctivas 
Como la viga es estáticamente indeterminada en grado dos, hay dos redundantes, lo cual significa 
que existe tal cantidad de fuerzas en exceso de las fuerzas primarias o son sobrantes o 
superabundantes de las necesarias para mantener el equilibrio estático. Las redundantes deben 
seleccionarse de tal modo que al suprimirlas de la viga, esta sea isostática y estable. Por lo tanto, 
para el tipo de vigas doblemente empotradas se cuenta con dos alternativas: 1) eliminar los 
momentos reactivos o 2) retirar un momento y una reacción vertical con un punto de aplicación 
coincidente. 
Basándose en la opción 2, se opta porque 𝑅𝐴𝑌 y 𝑀𝐴 sean las redundantes, pero tome en cuenta que 
de la misma opción, las fuerzas correctivas pueden ser 𝑅𝐵𝑌 y 𝑀𝐵, o bien, de la opción 1, se pudo 
haber considerado como fuerzas sobrantes a 𝑀𝐴 y 𝑀𝐵. Cuando ya se tiene un buen dominio del 
método de secciones, es más fácil visualizar la alternativa mayormente conveniente para hacer 
menos tedioso el análisis. 
 
Planteamiento de la estructura primaria 
Con lo anterior, es posible idealizar una nueva estructura denominada estructura primaria o isostática 
fundamental (𝐸𝑃); como se dejó entrever previamente, se trata de convertir la viga hiperestática en 
una isostática y estable desapareciendo precisamente las redundantes seleccionadas. Siendo así, 
la capacidad de la viga para resistir 𝑅𝐴𝑌 y 𝑀𝐴 se elimina si se quita el empotramiento en 𝐴. Esta 
estructura liberada forzosamente debe soportar las carga reales, figura 1-c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Principio de superposición 
Aquí se esquematiza claramente que la estructura estáticamente indeterminada puede ser igual a la 
suma de una serie de estructuras estáticamente determinadas compuesta por la estructura primaria 
y otro número de estructuras igual a la cantidad de redundantes (𝐸𝑅𝑑𝑖). Por lo tanto, la estructura 
real es igual a la adición de la estructura liberada sometida a: A) las cargas reales, figura 1-c, y B) la 
acción individual de cada una de las reacciones redundantes (con un sentido propuesto de forma 
indistinta), figuras 1-d y 1-e. Para este ejercicio se tiene 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑃 
𝑅𝐵𝑌 = 𝑃 
𝑅𝐵𝑋 = 0 
𝑀𝐵 =
𝑃𝐿
2
 
 
𝑥 
(c) 
 
Estructura primaria (𝐸𝑃) ⟹ 𝑀 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
3 
 
𝐸𝑅 = 𝐸𝑃 + 𝐸𝑅𝑑1 + 𝐸𝑅𝑑2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contrariamente a la viga de la figura 1-a, las vigas representadas en las figuras 1-c, 1-d y 1-e 
experimentan de forma respectiva un desplazamiento vertical o deflexión en 𝐴 (𝛿𝑉𝐴) y una pendiente 
o rotación en 𝐴 (𝜃𝐴) dado que no hay soporte alguno en ese nodo que los impida. 
Suponga que tales deflexiones y pendientes son iguales a una cierta cantidad. Entonces, para la 
viga 𝐸𝑃 se tiene que 𝛿𝑉𝐴𝐸𝑃 = 𝑑1 y 𝜃𝐴𝐸𝑃 = 𝑑2. A su vez, para la viga 𝐸𝑅𝑑1 tenemos que 
𝛿𝑉𝐴𝐸𝑅𝑑1
= 𝑅𝐴𝑌(𝑓11) y 𝜃𝐴𝐸𝑅𝑑1
= 𝑅𝐴𝑌(𝑓21). De forma análoga, en la viga 𝐸𝑅𝑑2, 𝛿𝑉𝐴𝐸𝑅𝑑2
= 𝑀𝐴(𝑓12) y 
𝜃𝐴𝐸𝑅𝑑2
= 𝑀𝐴(𝑓22). Posteriormente se ofrecerá una explicación de la razón por la cual se empleó la 
nomenclatura citada. 
 
Planteamiento de las ecuaciones de compatibilidad geométrica 
Para obtener ecuaciones adicionales que coadyuven a la solución del problema hacemos uso del 
principio de superposición formulado en el apartado precedente y tomamos en cuenta la 
compatibilidad del desplazamiento vertical y la pendiente en el empotramiento 𝐴; por lo tanto, las 
ecuaciones de compatibilidad para la deflexión en 𝐴 y la rotación en 𝐴 son, respectivamente 
𝛿𝑉𝐴𝐸𝑅 = 𝛿𝑉𝐴𝐸𝑃 + 𝛿𝑉𝐴𝐸𝑅𝑑1
+ 𝛿𝑉𝐴𝐸𝑅𝑑2
− − − (1 − 1) 
𝜃𝐴𝐸𝑅 = 𝜃𝐴𝐸𝑃 + 𝜃𝐴𝐸𝑅𝑑1
+ 𝜃𝐴𝐸𝑅𝑑2
− − − (1 − 2) 
Si en la viga 𝐸𝑅 tanto el desplazamiento vertical como la rotación en 𝐴 no existen debido a que la 
reacción vertical y el momento reactivo del soporte en 𝐴 los impiden, entonces 𝛿𝑉𝐴𝐸𝑅 = 𝜃𝐴𝐸𝑅 = 0. 
Efectuando las sustituciones correspondientes en las ecuaciones (1 − 1) y (1 − 2), el sistema de 
ecuaciones de compatibilidad geométrica pasa a ser el siguiente: 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑅𝐴𝑌 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑀𝐴 
(d) 
 
Estructura liberada con fuerza redundante 𝑅𝐴𝑌 aplicada (𝐸𝑅𝑑1) 
(e) 
 
Estructura liberada con momento redundante 𝑀𝐴 aplicado (𝐸𝑅𝑑2) 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
4 
 
0 = 𝑑1 + 𝑓11𝑅𝐴𝑌 + 𝑓12𝑀𝐴 − − − (1 − 3) 
0 = 𝑑2 + 𝑓21𝑅𝐴𝑌 + 𝑓22𝑀𝐴 − − − (1 − 4) 
 
Cada desplazamiento del punto de aplicación de la acción redundante 𝑅𝑖 o 𝑀𝑖 en la dirección de 
esta, producido al actuar la carga original sobre la estructura liberada es expresado por 𝑑𝑖. Estos en 
conjunto se denominan incompatibilidades geométricas porque en la estructura real no ocurren. 
Los coeficientes de flexibilidad 𝑓𝑖𝑗 anteriores conforman la matriz de flexibilidad de la estructura y 
pueden calcularse sencillamente si en la estructura liberada aplicamos una carga unitaria 
correspondiente a cada fuerza redundante (𝐸𝐶𝑢𝑖), figuras 1-f y 1-g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces, directamente de la viga 𝐸𝐶𝑢1 tenemos que la deflexión y la rotación en 𝐴 son equivalentes 
de forma respectiva a un determinado valor de 𝛿𝑉𝐴𝐸𝐶𝑢1 = 𝑓11 y 𝜃𝐴𝐸𝐶𝑢1 = 𝑓21. Así mismo, para la viga 
𝐸𝐶𝑢2, 𝛿𝑉𝐴𝐸𝐶𝑢2 = 𝑓12 y 𝜃𝐴𝐸𝐶𝑢2 = 𝑓22. 
 
Cálculo de las incompatibilidades geométricas y de los coeficientes de flexibilidad 
En resumen, para poder resolver el sistema simultáneo de ecuaciones (1 − 3) y (1 − 4), el cual nos 
permite calcular las redundantes, en las vigas visualizadas en las figuras 1-c, 1-f y 1-g es necesario 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
1 
𝑅𝐵𝑌 = 1 
𝑅𝐵𝑋 = 0 
𝑀𝐵 = 𝐿 
 
𝑥 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
1 
𝑅𝐵𝑌 = 0 
𝑅𝐵𝑋 = 0 
𝑀𝐵 = 1 
 
𝑥 
(f) 
 
Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en 𝐴 (𝐸𝐶𝑢1) ⟹ 𝑚1 
(g) 
 
Estructura liberada con momento unitario aplicado en 𝐴 (𝐸𝐶𝑢2) ⟹ 𝑚2 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
5 
 
conocer cuánto valen el desplazamiento vertical en 𝐴 dado que 𝑅𝐴𝑌 (fuerza reactiva vertical en el 
empotramiento delpunto 𝐴) fue suprimida y la pendiente en 𝐴 debido a que 𝑀𝐴 (momento reactivo 
en el empotramiento del punto 𝐴) fue eliminado. 
Los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera de los métodos apropiados del 
análisis estructural; en la presente obra se empleará el método del principio del trabajo virtual (es 
lo más recomendable) y se considerarán únicamente las deformaciones debidas a la flexión. En 
términos generales, este principio indica que debe incorporarse una carga ficticia unitaria sobre la 
viga descargada en el punto y en la dirección donde se requiere conocer el desplazamiento. Si debe 
determinarse la pendiente, se coloca un momento de par virtual unitario en el punto. 
Para asociar a los momentos internos (se obtendrán a partir del método de secciones) con las 
estructuras, le hemos denominado 𝑀 a la viga primaria, 𝑚1 a la viga liberada con fuerza vertical 
unitaria aplicada en 𝐴 y 𝑚2 a la viga liberada con momento unitario aplicado en 𝐴. Es importante 
recordar que las coordenadas 𝑥 a emplear y las direcciones positivas de los momentos internos entre 
las tres estructuras recién mencionadas deben ser iguales. En las figuras 1-c, 1-f y 1-g se puede 
observar que usaremos únicamente la coordenada 𝑥 para determinar la energía de deformación, 
cuyo origen se asocia en 𝐴, es positiva hacia la derecha y es válida para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, pero el lector 
puede usar otra u otras coordenadas distintas que sean apropiadas para cubrir la longitud de la viga. 
Con base en el principio del trabajo virtual, se tiene 
 
 
𝑑1 = 𝛿𝑉𝐴𝐸𝑃 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝐼) 𝑑2 = 𝜃𝐴𝐸𝑃 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝐼𝐼) 
𝑓11 = 𝛿𝑉𝐴𝐸𝐶𝑢1 = ∫
𝑚1𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝐼𝐼𝐼) 𝑓21 = 𝜃𝐴𝐸𝐶𝑢1 = ∫
𝑚1𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝐼𝑉) 
𝑓12 = 𝛿𝑉𝐴𝐸𝐶𝑢2 = ∫
𝑚2𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝑉) 𝑓22 = 𝜃𝐴𝐸𝐶𝑢2 = ∫
𝑚2𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
− − − (𝑉𝐼) 
 
 
Note que para determinar 𝑑1 se requiere de la combinación apropiada de los momentos internos 𝑀 
y 𝑚1; algo análogo ocurre con las expresiones restantes. En todas las vigas de este libro, 𝐸𝐼 es 
constante. 
A continuación se calculan las reacciones y los momentos internos en las vigas isostáticas de las 
figuras 1-c, 1-f y 1-g. 
Considere que la función del momento flector será discontinua en los puntos donde el tipo o la 
magnitud de la carga distribuida cambia, o bien donde se apliquen fuerzas concentradas. La carga 
distribuida, así como la fuerza concentrada, o una de sus componentes, actúan perpendicularmente 
al eje longitudinal de la viga. Además de lo anterior, habrá discontinuidad en cada punto donde se 
aplique algún momento de par. 
Viga 𝐸𝑃, figura 1-c. 
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en una secuencia y emplear los resultados calculados 
previamente, se obtiene 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
6 
 
+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑋 = 0 
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝑃 + 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 = 𝑃 
+ ∑ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ −𝑃 (
𝐿
2
) + 𝑀𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀𝐵 =
𝑃𝐿
2
 
 
Se formulan los momentos internos 𝑀. Las funciones de momento serán discontinuas en el punto 
de aplicación de la carga 𝑃, así que se requiere de efectuar dos cortes perpendiculares al eje 
longitudinal de la viga para definir 𝑀 a lo largo de la estructura, figuras 1-h y 1-i. 
 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 2⁄ 
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
𝑀1 = 0 
 
 
 
𝐿
2⁄ ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
−𝑀2 − 𝑃 (𝑥 −
𝐿
2
) = 0 ⇒ 𝑀2 = −𝑃𝑥 +
𝑃𝐿
2
 
 
 
 
Viga 𝐸𝐶𝑢1, figura 1-f. 
Las fuerzas reactivas en el apoyo empotrado 𝐵 son resultado de 
+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑋 = 0 
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 1 − 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 = 1 
+ ∑ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ 1(𝐿) − 𝑀𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀𝐵 = 𝐿 
Se deduce el momento interno 𝑚1. Como no hay discontinuidad de carga, la viga se secciona 
ortogonalmente a su eje en una sola ocasión, figura 1-j. 
𝐴 𝑀1 
 𝑥 
𝐴 
𝐿/2 
𝑥 
𝑃 
𝑀2 
 
𝑥 − 𝐿/2 
(h) 
 
(i) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
7 
 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
−𝑀1 + (1)(𝑥) = 0 ⇒ 𝑀1 = 𝑥 
 
 
Viga 𝐸𝐶𝑢2, figura 1-g. 
Las reacciones en el empotramiento 𝐵 equivalen a 
 
+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑋 = 0 
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 = 0 
+ ∑ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ −1 + 𝑀𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀𝐵 = 1 
 
Se infiere el momento interno 𝑚2 a partir de la figura 1-k. 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
−𝑀1 − 1 = 0 ⇒ 𝑀1 = −1 
 
Obsérvese que la coordenada 𝑥 seleccionada conlleva a que no haya necesidad de determinar las 
reacciones con el fin de encontrar los momentos internos. 
Enseguida se presenta el cálculo de las incompatibilidades geométricas, empleando las ecuaciones 
(𝐼) y (𝐼𝐼). 
𝑑1 =
1
𝐸𝐼
[∫ (0)(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑃𝑥 +
𝑃𝐿
2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
] =
1
𝐸𝐼
∫ (−𝑃𝑥2 +
𝑃𝐿
2
𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
 
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑃
3
𝑥3 +
𝑃𝐿
4
𝑥2]
𝐿
2⁄
𝐿
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑃
3
(𝐿3 − (
𝐿
2
)
3
) +
𝑃𝐿
4
(𝐿2 − (
𝐿
2
)
2
)] =
1
𝐸𝐼
(−
7𝑃𝐿3
24
+
3𝑃𝐿3
16
) = −
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
 
𝑑2 =
1
𝐸𝐼
[∫ (0)(−1)𝑑𝑥 + ∫ (−𝑃𝑥 +
𝑃𝐿
2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
] 
𝐴 
𝑀1 
 𝑥 
1 
(j) 
 
𝐴 
𝑀1 
 𝑥 
1 
(k) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
8 
 
=
1
𝐸𝐼
∫ (𝑃𝑥 −
𝑃𝐿
2
) 𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
=
1
𝐸𝐼
[
𝑃
2
𝑥2 −
𝑃𝐿
2
𝑥]
𝐿
2⁄
𝐿
=
1
𝐸𝐼
[
𝑃
2
(𝐿2 − (
𝐿
2
)
2
) −
𝑃𝐿
2
(𝐿 −
𝐿
2
)] 
=
1
𝐸𝐼
(
3𝑃𝐿2
8
−
𝑃𝐿2
4
) =
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
 
 
Ahora se muestra el cálculo de los coeficientes de flexibilidad, aplicando las ecuaciones (𝐼𝐼𝐼) hasta 
(𝑉𝐼). 
𝑓11 =
1
𝐸𝐼
∫ (𝑥)(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ 𝑥2𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
1
3
𝑥3]
0
𝐿
=
1
3𝐸𝐼
(𝐿3 − 03) =
𝐿3
3𝐸𝐼
 
𝑓21 =
1
𝐸𝐼
∫ (𝑥)(−1)𝑑𝑥 = −
1
𝐸𝐼
∫ 𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
= −
1
𝐸𝐼
[
1
2
𝑥2]
0
𝐿
= −
1
2𝐸𝐼
(𝐿2 − 02) = −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
0
 
𝑓12 =
1
𝐸𝐼
∫ (−1)(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
= −
1
𝐸𝐼
∫ 𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
= −
1
𝐸𝐼
[
1
2
𝑥2]
0
𝐿
= −
1
2𝐸𝐼
(𝐿2 − 02) = −
𝐿2
2𝐸𝐼
 
Obsérvese que como una consecuencia del teorema de Maxwell de los desplazamientos recíprocos, 
se cumple que 𝑓12 = 𝑓21. De forma más generalizada, se tiene que 𝑓𝑖𝑗 = 𝑓𝑗𝑖, lo cual hace que mientras 
más grande sea el grado de hiperestaticidad, más se evita el cálculo de varios coeficientes de 
flexibilidad. 
𝑓22 =
1
𝐸𝐼
∫ (−1)(−1)𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
∫ 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[𝑥]0
𝐿 =
1
𝐸𝐼
(𝐿 − 0) =
𝐿
𝐸𝐼
𝐿
0
 
 
Cálculo de las redundantes 
Al sustituir los coeficientes en el sistema simultáneo de ecuaciones (1 − 3) y (1 − 4), se tiene 
−
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (1 − 5) 
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (1 − 6) 
Despejando 𝑀𝐴 de las expresiones (1 − 5) y (1 − 6) respectivamente, resulta 
𝑀𝐴 =
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
−
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌
−
𝐿2
2𝐸𝐼
− − − (1 − 7) 𝑀𝐴 =
−
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
+
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌
𝐿
𝐸𝐼
− − − (1 − 8) 
Igualando la ecuación (1 − 7) con la ecuación (1 − 8) y simplificando da 
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
−
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌
−
𝐿2
2𝐸𝐼
=
−
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
+
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌
𝐿
𝐸𝐼
⇒ (
𝐿
𝐸𝐼
) (
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
−
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌) = (−
𝐿2
2𝐸𝐼
) (−
𝑃𝐿2
8𝐸𝐼
+
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌) 
−
𝐿4
3(𝐸𝐼)2
𝑅𝐴𝑌 +
𝐿4
4(𝐸𝐼)2
𝑅𝐴𝑌 =
𝑃𝐿4
16(𝐸𝐼)2
−
5𝑃𝐿4
48(𝐸𝐼)2
⇒ −
1
12
𝑅𝐴𝑌 = −
1
24
𝑃 ⇒ 𝑅𝐴𝑌 =
1
24
𝑃
1
12
⇒∴ 𝑅𝐴𝑌 =
𝑃
2
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
9 
 
Si se reemplaza el resultado previamente obtenido en la expresión (1 − 7), entonces 
 𝑀𝐴 =
5𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
−
𝐿3
3𝐸𝐼
(
𝑃
2
)
−
𝐿2
2𝐸𝐼
=
−
𝑃𝐿3
16𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
⇒∴ 𝑀𝐴 =
𝑃𝐿
8
 
La magnitud positiva obtenida tanto para 𝑅𝐴𝑌 como 𝑀𝐴 indicó que tales redundantes tienen el mismo 
sentido que el propuesto para su correspondiente carga unitaria. En caso de haber resultado 
negativas,simplemente el sentido es opuesto al observado en la figuras 1-d y 1-e. 
 
Ecuaciones de equilibrio 
Como las reacciones redundantes ya han sido calculadas, los valores de las reacciones 
desconocidas faltantes pueden deducirse aplicando las ecuaciones de equilibrio al diagrama de 
cargas de la figura 1-l. 
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
𝑃
2
− 𝑃 + 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 =
𝑃
2
 
 
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −
𝑃𝐿
8
+ 𝑃 (
𝐿
2
) −
𝑃
2
(𝐿) + 𝑀𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀𝐵 =
𝑃𝐿
8
 
 
 
Finalmente, en la figura 1-m se muestran las reacciones en los empotramientos 𝐴 y 𝐵 de la viga real. 
 
 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑃 
𝑅𝐴𝑌 =
𝑃
2
 
 
𝑅𝐵𝑌 =
𝑃
2
 
𝑀𝐵 =
𝑃𝐿
8
 𝑀𝐴 =
𝑃𝐿
8
 
(m) 
 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑃 
𝑅𝐴𝑌 =
𝑃
2
 
 
𝑅𝐵𝑌 
𝑀𝐵 
 
𝑀𝐴 =
𝑃𝐿
8
 
(l) 
 
10 
 
2 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA DISTRIBUIDA 
UNIFORME 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
Verificación del grado de indeterminación 
Como en toda viga doblemente empotrada que no soporta carga axial, pero soporta carga que es 
perpendicular a su eje longitudinal, para la viga de la figura 2-a en automático se infiere que las 
reacciones horizontales de los empotramientos 𝐴 y 𝐵 son nulas, en consecuencia, la estructura es 
estáticamente indeterminada en grado dos. 
 
Elección de las reacciones redundantes 
Si se seleccionan como fuerzas redundantes las mismas que en la viga resuelta anteriormente, es 
decir, 𝑅𝐴𝑌 y 𝑀𝐴, el problema se reducirá notablemente ya que muchos cálculos se repetirían, tales 
como los momentos internos 𝑚1 y 𝑚2, y los coeficientes de flexibilidad 𝑓11, 𝑓21, 𝑓12 y 𝑓22. 
 
Planteamiento de la estructura primaria 
Se suprime el empotramiento 𝐴 de la viga real con la finalidad de eliminar las redundantes 𝑅𝐴𝑌 y 𝑀𝐴. 
La viga liberada que soporta las cargas reales se muestra en la figura 2-b. 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊 
Figura 2 
 
(a) 
 
Estructura real (𝐸𝑅) 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊 
(b) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
11 
 
Principio de superposición y sistema de ecuaciones de compatibilidad geométrica 
Como se vio en la viga 1, conviene que cuando la viga liberada se somete a la acción individual de 
cada una de las reacciones redundantes, estas últimas sean unitarias. El principio de superposición 
aplicado a la viga real se observa esquemáticamente en la figura 2-c. 
 
 
 
El sistema resultante es como el sistema de ecuaciones (1 − 3) y (1 − 4) de la viga mostrada en la 
figura 1-a. 
0 = 𝑑1 + 𝑓11𝑅𝐴𝑌 + 𝑓12𝑀𝐴 − − − (2 − 1) 
0 = 𝑑2 + 𝑓21𝑅𝐴𝑌 + 𝑓22𝑀𝐴 − − − (2 − 2) 
 
Cálculo de las incompatibilidades geométricas y de los coeficientes de flexibilidad 
Estos coeficientes se obtienen directamente aplicando las ecuaciones 𝐼 hasta 𝑉𝐼 del ejercicio 
precedente. Para ello, se determinan en primera instancia los momentos internos de las vigas de la 
figura 2-c. Como el origen de la coordenada 𝑥 se eligió en 𝐴, el cálculo de las reacciones en el 
empotramiento 𝐵 se vuelve innecesario para este fin. 
Se deduce el momento interno 𝑀 con base en la viga primaria. La distribución de la carga actuante 
no presenta discontinuidad, así que sólo será necesario efectuar un corte perpendicular al eje de la 
viga para definir 𝑀 a lo largo de la estructura. Por consiguiente, se secciona la viga en un punto 
arbitrario (intermedio en el segmento 𝐴 − 𝐵) a una distancia 𝑥 del punto 𝐴. 
En la figura 2-d se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud 𝑥. 
Para la carga distribuida se ha determinado: a) la carga concentrada equivalente, es decir, la 
magnitud de la fuerza resultante de la carga, que es igual al área bajo la curva de carga (en este 
caso, por ser carga uniforme es el área del rectángulo) y b) el centroide de dicha área a través del 
+ 
+ 
(𝑑𝑒 𝑅𝐴𝑌) 
(𝑑𝑒 𝑀𝐴) 
1 
1 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝐿 
𝐴 𝐵 
𝑊 
𝑀 
𝑚1 
𝑚2 
𝐸𝑅 = 
𝑥 𝑥 
𝑥 
(c) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
12 
 
cual pasa la línea de acción de la resultante, o sea, se halla el punto de aplicación de la resultante 
(para una carga uniforme distribuida se tiene que se ubica a la mitad de la longitud sobre la cual 
actúa). 
 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
−𝑀1 − 𝑊(𝑥) (
𝑥
2
) = 0 ⇒ 𝑀1 = −
𝑊𝑥2
2
 
 
 
 
Luego, se retoman los momentos internos 𝑚1 y 𝑚2 de las figuras 1-j y 1-k. 
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
Se calculan las incompatibilidades geométricas. 
𝑑1 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥2
2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥3
2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
2𝐸𝐼
[−
𝑊𝑥4
4
]
𝐿
2⁄
𝐿
= −
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
 
𝑑2 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥2
2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑥2
2
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
2𝐸𝐼
[−
𝑊𝑥3
3
]
𝐿
2⁄
𝐿
=
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
 
Evidentemente, los coeficientes de flexibilidad son los mismos que se tienen en la viga 1. 
𝑓11 = ∫
𝑚1𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
𝐿3
3𝐸𝐼
 𝑓21 = ∫
𝑚1𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
= −
𝐿2
2𝐸𝐼
 
𝑓12 = 𝑓21 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
 𝑓22 = ∫
𝑚2𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
𝐿
𝐸𝐼
 
Cálculo de las redundantes 
Al reemplazar los resultados obtenidos en las ecuaciones (2 − 1) y (2 − 2), se obtiene 
−
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (2 − 3) 
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (2 − 4) 
𝐴 
𝑀1 
 
𝑥 
𝑊 
𝑊(𝑥) 
𝑥/2 
(d) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
13 
 
Se resuelve el sistema simultáneo de ecuaciones (2 − 3) y (2 − 4), empleando el método de Cramer. 
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
− − − (2 − 5) 
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = −
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
− − − (2 − 6) 
Con base en las ecuaciones (2 − 5) y (2 − 6), se tienen los siguientes determinantes 
∆= ||
𝐿3
3𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
|| = [(
𝐿3
3𝐸𝐼
) (
𝐿
𝐸𝐼
)] − [(−
𝐿2
2𝐸𝐼
) (−
𝐿2
2𝐸𝐼
)] =
𝐿4
3(𝐸𝐼)2
−
𝐿4
4(𝐸𝐼)2
=
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
 
∆𝑅𝐴𝑌= ||
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
|| = [(
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
) (
𝐿
𝐸𝐼
)] − [(−
𝐿2
2𝐸𝐼
) (−
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
)] =
𝑊𝐿5
8(𝐸𝐼)2
−
𝑊𝐿5
12(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿5
24(𝐸𝐼)2
 
∆𝑀𝐴= ||
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
|| = [(
𝐿3
3𝐸𝐼
) (−
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
)] − [(
𝑊𝐿4
8𝐸𝐼
) (−
𝐿2
2𝐸𝐼
)] = −
𝑊𝐿6
18(𝐸𝐼)2
+
𝑊𝐿6
16(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿6
144(𝐸𝐼)2
 
𝑅𝐴𝑌 =
∆𝑅𝐴𝑌
∆
=
𝑊𝐿5
24(𝐸𝐼)2
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿
2
⇒∴ 𝑅𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
2
 
𝑀𝐴 =
∆𝑀𝐴
∆
=
𝑊𝐿6
144(𝐸𝐼)2
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿2
12
⇒∴ 𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
12
 
Ecuaciones de equilibrio 
Por lo tanto, a partir del diagrama de cargas de la figura 2-e, resulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊 
𝑊𝐿 
𝐿/2 
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
12
 𝑀𝐵 
 
𝑅𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
2
 𝑅𝐵𝑌 
 
(e) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
 
14 
 
+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒
𝑊𝐿
2
− 𝑊𝐿 + 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
2
 
+ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −
𝑊𝐿2
12
+ 𝑊𝐿 (
𝐿
2
) −
𝑊𝐿
2
(𝐿) + 𝑀𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀𝐵 =
𝑊𝐿2
12
 
 
 
Finalmente, la viga queda como la que se muestra en la figura 2-f. 
 
 
 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊 
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
12
 𝑀𝐵 =
𝑊𝐿2
12
 
 
𝑅𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
2
 𝑅𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
2
 
 (f) 
 
15 
 
3 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA 
TRIANGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
Principio de superposición 
Puesto que la carga axial es insignificante, la viga de la figura 3-a es hiperestática de grado dos. La 
reacción vertical y el momento reactivo, ambos del extremo 𝐴, se considerarán como redundantes. 
Entonces, la capacidad de la viga para soportar 𝑅𝐴𝑌 y 𝑀𝐴 se anula si se elimina el empotramiento 𝐴. 
La figura 3-b muestra cómo la viga real es igual a la suma de una serie de vigas más simples. 
 
 
+ 
+ 
(𝑑𝑒 𝑅𝐴𝑌) 
(𝑑𝑒 𝑀𝐴) 
1 
1 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝐴 𝐵𝐿 
𝐿 
𝐴 𝐵 
𝑊 
𝑀 
𝑚1 
𝑚2 
𝐸𝑅 = 
𝑥 
𝑥 
𝑥 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊 
Estructura real (𝐸𝑅) 
Figura 3 
 
(a) 
 
(b) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
16 
 
Ecuaciones de compatibilidad 
Con referencia al nodo 𝐴 de la figura 3-b, se requiere 
0 = 𝑑1 + 𝑓11𝑅𝐴𝑌 + 𝑓12𝑀𝐴 −−− (3 − 1) 
0 = 𝑑2 + 𝑓21𝑅𝐴𝑌 + 𝑓22𝑀𝐴 −−− (3 − 2) 
Se secciona la viga primaria para obtener el momento interno 𝑀. En la figura 3-c se muestra un 
diagrama de cargas de la sección cortada. En la figura 3-d, se proporciona un esquema para 
determinar por triángulos semejantes el valor en función de 𝑥 de la intensidad 𝑊´. 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
 
𝑊
𝐿
=
𝑊´
𝐿 − 𝑥
⇒ 𝑊´ =
𝑊(𝐿 − 𝑥)
𝐿
= 𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥 
Se observa que del corte se origina una carga trapezoidal. Esta se divide en una distribución uniforme 
y una triangular para mayor facilidad. En la figura 3-c se indican las fuerzas resultantes 𝐴𝐼 y 𝐴𝐼𝐼 (áreas 
𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 
𝑥 
𝐿 
𝐿 − 𝑥 
𝑊 
𝑊´ 
𝐴 
𝑊´ 
𝑥 
𝑊 
𝑀1 
 
𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥 
𝑊 − ൬𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥൰ 
𝐼 
𝐼𝐼 
 
 
 
 
𝐴𝐼 
 
𝐴𝐼𝐼 
 
2𝑥/3 
𝑥/2 
(c) 
 
(d) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
17 
 
bajo el rectángulo y el triángulo), las cuales vienen aplicadas en el centroide de sus respectivas 
áreas. Recuerde que para un área triangular, el centroide se ubica a las dos terceras partes de la 
base, y tal distancia se mide desde el punto del “pico”. 
El equilibrio estático del cuerpo libre implica que 
+∑𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
−𝑀1 −
(
 
 
(𝑥) (𝑊 − (𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥))
2
)
 
 
൬
2
3
𝑥൰ − (𝑥) ൬𝑊 −
𝑊
𝐿
𝑥൰ ൬
1
2
𝑥൰ = 0 
 
 
 
−𝑀1 + ൬−
𝑊
2
𝑥 +
𝑊
2
𝑥 −
𝑊
2𝐿
𝑥2൰ ൬
2
3
𝑥൰ + ൬−𝑊𝑥 +
𝑊
𝐿
𝑥2൰ ൬
1
2
𝑥൰ = 0 
−𝑀1 −
𝑊
3𝐿
𝑥3 −
𝑊
2
𝑥2 +
𝑊
2𝐿
𝑥3 ⇒ 𝑀1 =
𝑊𝑥3
6𝐿
−
𝑊𝑥2
2
 
 
Por otra parte, de los ejercicios previos, se sabe que 
𝑚1⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
𝑚2⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
Se calculan los desplazamientos y giros requeridos. Para las incompatibilidades geométricas 
tenemos 
𝑑1 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑥3
6𝐿
−
𝑊𝑥2
2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑥4
6𝐿
−
𝑊𝑥3
2
)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
𝑊𝑥5
30𝐿
−
𝑊𝑥4
8
]
0
𝐿
 
=
1
𝐸𝐼
[
𝑊
30𝐿
(𝐿5) −
𝑊
8
(𝐿4)] = −
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
 
𝑑2 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊𝑥3
6𝐿
−
𝑊𝑥2
2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊𝑥3
6𝐿
+
𝑊𝑥2
2
)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑊𝑥4
24𝐿
+
𝑊𝑥3
6
]
0
𝐿
 
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑊𝐿4
24𝐿
+
𝑊𝐿3
6
] =
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
 
 
𝐴𝐼𝐼 
 
𝐴𝐼 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
18 
 
 
Los coeficientes de flexibilidad son 
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
 𝑓21 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
 𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
 𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
 
 
Reemplazando los valores previos en las ecuaciones (3 − 1) y (3 − 2) da 
−
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (3 − 3) 
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − −− (3 − 4) 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3 − 3) y (3 − 4), resulta 
∆= ||
𝐿3
3𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
|| =
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
 
∆𝑅𝐴𝑌= ||
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
𝐿
𝐸𝐼
|| = [(
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
) ൬
𝐿
𝐸𝐼
൰] − [(−
𝐿2
2𝐸𝐼
) (−
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
)] =
11𝑊𝐿5
120(𝐸𝐼)2
−
𝑊𝐿5
16(𝐸𝐼)2
=
7𝑊𝐿5
240(𝐸𝐼)2
 
∆𝑀𝐴= ||
𝐿3
3𝐸𝐼
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
−
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
|| = [(
𝐿3
3𝐸𝐼
)(−
𝑊𝐿3
8𝐸𝐼
)] − [(
11𝑊𝐿4
120𝐸𝐼
)(−
𝐿2
2𝐸𝐼
)] = −
𝑊𝐿6
24(𝐸𝐼)2
+
11𝑊𝐿6
240(𝐸𝐼)2
 
=
𝑊𝐿6
240(𝐸𝐼)2
 
 
𝑅𝐴𝑌 =
∆𝑅𝐴𝑌
∆
=
7𝑊𝐿5
240(𝐸𝐼)2
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
=
7𝑊𝐿
20
⇒∴ 𝑅𝐴𝑌 =
7𝑊𝐿
20
 
𝑀𝐴 =
∆𝑀𝐴
∆
=
𝑊𝐿6
240(𝐸𝐼)2
𝐿4
12(𝐸𝐼)2
=
𝑊𝐿2
20
⇒∴ 𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
20
 
 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
19 
 
 
Ecuaciones de equilibrio 
Si se aplican las ecuaciones de la estática en el diagrama de cargas de la figura 3-e, se obtiene la 
viga final, figura 3-f. 
 
+↑∑𝐹𝑌 = 0 ⇒
7𝑊𝐿
20
−
𝑊𝐿
2
+ 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 =
3𝑊𝐿
20
 
+∑𝑀𝐴 = 0 ⇒ −
𝑊𝐿2
20
+
𝑊𝐿
2
൬
𝐿
3
൰ −
3𝑊𝐿
20
(𝐿) + 𝑀𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀𝐵 =
𝑊𝐿2
30
 
 
 
 
 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊 
𝐿/3 
𝑊𝐿/2 
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
20
 𝑀𝐵 
 
𝑅𝐴𝑌 =
7𝑊𝐿
20
 𝑅𝐵𝑌 
 
(e) 
 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊 
𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
20
 𝑀𝐵 =
𝑊𝐿2
30
 
𝑅𝐴𝑌 =
7𝑊𝐿
20
 𝑅𝐵𝑌 =
3𝑊𝐿
20
 
(f) 
 
20 
 
4 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA 
TRIANGULAR SIMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
Principio de superposición 
A simple vista, la viga de la figura 4-a es estáticamente indeterminada de segundo grado. Se siguen 
tomando como redundantes a 𝑅𝐴𝑌 y 𝑀𝐴. Note como para remover tales fuerzas sobrantes, se requiere 
de retirar el empotramiento 𝐴. En la figura 4-b se muestra el principio de superposición para esta 
viga. 
 
+ 
+ 
(𝑑𝑒 𝑅𝐴𝑌) 
(𝑑𝑒 𝑀𝐴) 
1 
1 
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 
𝐿 
𝐿 
𝐴 𝐵 
𝑀 
𝑚1 
𝑚2 
𝐸𝑅 = 
𝑊 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑥 𝑥 
𝑥 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑊 
Estructura real (𝐸𝑅) 
Figura 4 
 
(a) 
 
(b) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
21 
 
Ecuaciones de compatibilidad 
Con referencia al punto 𝐴 de la figura 4-b, se requiere 
0 = 𝑑1 + 𝑓11𝑅𝐴𝑌 + 𝑓12𝑀𝐴 −−− (4 − 1) 
0 = 𝑑2 + 𝑓21𝑅𝐴𝑌 + 𝑓22𝑀𝐴 −−− (4 − 2) 
Como siempre, los momentos internos 𝑀 se obtienen a partir de la viga liberada con cargas reales. 
Dado que la distribución de la carga que actúa a lo largo de esta viga presenta una discontinuidad 
(en la mitad del claro 𝐴 − 𝐵), deben efectuarse dos cortes perpendiculares al eje de la viga. 
Corte en el primer tramo. Se secciona la viga a una distancia 𝑥 de 𝐴 en un punto arbitrario antes de 
𝐿/2, es decir, antes de que la intensidad de la carga con variación lineal alcance el valor de 𝑊. El 
diagrama de cuerpo libre de la sección cortada se visualiza en la figura 4-c. 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 2⁄ 
Note que la intensidad de la carga de triangulo rectángulo se encuentra en proporción, es decir, 
𝑊
𝐿
2
=
𝑊´
𝑥
⇒ 𝑊´ =
2𝑊
𝐿
𝑥 
 
 
+∑𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
−𝑀1 − [
(
2𝑊
𝐿
𝑥) (𝑥)
2
] (
𝑥
3
) = 0 ⇒ 𝑀1 = −
𝑊𝑥3
3𝐿
 
 
 
 
Corte en el tramo segundo tramo. Se secciona la viga a una distancia 𝑥 de 𝐴 en un punto arbitrario 
justo después de 𝐿/2. En la figura 4-d se observa el diagrama de cargas para este segmento de viga 
con longitud 𝑥. 
𝐿
2⁄ ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
Con base en la figura 4-e, empleando conceptos básicos de trigonometría, se deduce el punto de 
intensidad 𝑊´´ de carga. 
𝑊
𝐿
2
=
𝑊´´
𝐿 − 𝑥
⇒ 𝑊´´ =
𝑊(𝐿 − 𝑥)
𝐿
2
= 2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥 
𝐴 
𝑊´ = 2
𝑊
𝐿
𝑥 
𝑥 
𝑀1 
 
𝐴𝐼 
𝑥/3 
𝐴𝐼 
 (c) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
+∑𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −(
(
𝐿
2
) (𝑊)
2
)((
1
3
) (
𝐿
2
) + 𝑥 −
𝐿
2
) − (𝑥 −
𝐿
2
) (2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥) (
1
2
) (𝑥 −
𝐿
2
) 
−
(
 
 
(𝑥 −
𝐿
2
)(𝑊 − (2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥))
2
)
 
 
(
2
3
) (𝑥 −
𝐿
2
) −𝑀2 = 0 
 
 
−(
𝑊𝐿
4
) (
𝐿
6
+ 𝑥 −
𝐿
2
) − (𝑥 −
𝐿
2
) (2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥) (
𝑥
2
−
𝐿
4
) − (𝑥 −
𝐿
2
) (−𝑊 +
2𝑊
𝐿
𝑥) (
𝑥
3
−
𝐿
6
) −𝑀2 = 0 
−(
𝑊𝐿
4
) (𝑥 −
𝐿
3
) − (𝑥 −
𝐿
2
) (𝑊𝑥 −
𝑊
𝐿
𝑥2 −
𝑊𝐿
2
+
𝑊
2
𝑥) − (𝑥 −
𝐿
2
) (−
𝑊
3
𝑥 +
𝑊𝐿
6
+
2𝑊
3𝐿
𝑥2 −
𝑊
3
𝑥) −𝑀2
= 0 
−
𝑊𝐿
4
𝑥 +
𝑊𝐿2
12
−𝑊𝑥2 +
𝑊
𝐿
𝑥3 +
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊
2
𝑥2 +
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊
2
𝑥2 −
𝑊𝐿2
4
+
𝑊𝐿
4
𝑥 
𝑊
3
𝑥2 −
𝑊𝐿
6
𝑥 −
2𝑊
3𝐿
𝑥3 +
𝑊
3
𝑥2 −
𝑊𝐿
6
𝑥 +
𝑊𝐿2
12
+
𝑊
3
𝑥2 −
𝑊𝐿
6
𝑥 −𝑀2 = 0 
𝑀2 =
𝑊
3𝐿
𝑥3 −𝑊𝑥2 +
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊𝐿2
12
 
𝐴 
𝐿/2 
𝐴1 
1
3
(
𝐿
2
) 
𝑀2 
 
𝑥 
𝑊 
𝑥 − 𝐿/2 
𝑊´´ = 2𝑊 −
2𝑊
𝐿
𝑥 
𝐴𝐼𝐼 
𝐴𝐼𝐼𝐼 
1
2
(𝑥 −
𝐿
2
) 
2
3
(𝑥 −
𝐿
2
) 
 
 
 
 
 
𝐼𝐼 
𝐼𝐼𝐼 
1 
𝐴 
𝑊´´ 
𝐿/2 
𝑊 
𝐵 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 
𝐿/2 
𝑥 𝐿 −𝑥 
𝑊 −𝑊´´ 
 
(d) 
 
(e) 
 
𝐴𝐼𝐼𝐼 
 
𝐴1 
 
𝐴𝐼𝐼 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
23 
 
Luego, los momentos internos de las vigas liberadas que soportan una unidad de las reacciones 
redundantes son, respectivamente 
𝑚1⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
𝑚2⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
Entonces, 
 
𝑑1 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
[∫ (−
𝑊𝑥3
3𝐿
) (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (
𝑊
3𝐿
𝑥3 −𝑊𝑥2 +
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊𝐿2
12
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
] 
=
1
𝐸𝐼
[∫ (−
𝑊
3𝐿
𝑥4) 𝑑𝑥 +∫ (
𝑊
3𝐿
𝑥4 −𝑊𝑥3 +
𝑊𝐿
2
𝑥2 −
𝑊𝐿2
12
𝑥)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
] 
=
1
𝐸𝐼
{[−
𝑊
15𝐿
𝑥5]
0
𝐿
2⁄
+ [
𝑊
15𝐿
𝑥5 −
𝑊
4
𝑥4 +
𝑊𝐿
6
𝑥3 −
𝑊𝐿2
24
𝑥2]
𝐿
2⁄
𝐿
} 
=
1
𝐸𝐼
{[−
𝑊
15𝐿
((
𝐿
2
)
5
)] + [
𝑊
15𝐿
(𝐿5 − (
𝐿
2
)
5
) −
𝑊
4
(𝐿4 − (
𝐿
2
)
4
) +
𝑊𝐿
6
(𝐿3 − (
𝐿
2
)
3
) −
𝑊𝐿2
24
(𝐿2 − (
𝐿
2
)
2
)]} 
=
𝑊𝐿4
𝐸𝐼
(−
1
480
+
31
480
−
15
64
+
7
48
−
1
32
) = −
11𝑊𝐿4
192𝐸𝐼
 
 
 
𝑑2 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
[∫ (−
𝑊𝑥3
3𝐿
) (−1)𝑑𝑥 + ∫ (
𝑊
3𝐿
𝑥3 −𝑊𝑥2 +
𝑊𝐿
2
𝑥 −
𝑊𝐿2
12
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
] 
=
1
𝐸𝐼
[∫ (
𝑊𝑥3
3𝐿
)𝑑𝑥 + ∫ (−
𝑊
3𝐿
𝑥3 +𝑊𝑥2 −
𝑊𝐿
2
𝑥 +
𝑊𝐿2
12
)𝑑𝑥
𝐿
𝐿
2⁄
𝐿
2⁄
0
] 
=
1
𝐸𝐼
{[
𝑊
12𝐿
𝑥4]
0
𝐿
2⁄
+ [−
𝑊
12𝐿
𝑥4 +
𝑊
3
𝑥3 −
𝑊𝐿
4
𝑥2 +
𝑊𝐿2
12
𝑥]
𝐿
2⁄
𝐿
} 
=
1
𝐸𝐼
{[
𝑊
12𝐿
((
𝐿
2
)
4
)] + [−
𝑊
12𝐿
(𝐿4 − (
𝐿
2
)
4
) +
𝑊
3
(𝐿3 − (
𝐿
2
)
3
) −
𝑊𝐿
4
(𝐿2 − (
𝐿
2
)
2
) +
𝑊𝐿2
12
(𝐿 −
𝐿
2
)]} 
=
𝑊𝐿3
𝐸𝐼
(
1
192
−
5
64
+
7
24
−
3
16
+
1
24
) =
7𝑊𝐿3
96𝐸𝐼
 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
24 
 
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
 𝑓21 = 𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
 𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
 
 
En consecuencia, el sistema de ecuaciones de flexibilidades es 
−
11𝑊𝐿4
192𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (4 − 3) 
7𝑊𝐿3
96𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − −− (4 − 4) 
 
Que equivale a 
𝐿3
3
𝑅𝐴𝑌 −
𝐿2
2
𝑀𝐴 =
11𝑊𝐿4
192
− − − (4 − 5) 
−
𝐿2
2
𝑅𝐴𝑌 + 𝐿𝑀𝐴 = −
7𝑊𝐿3
96
− − − (4 − 6) 
 
 
Por lo tanto, 
∆= ||
𝐿3
3
−
𝐿2
2
−
𝐿2
2
𝐿
|| =
𝐿4
12
 
∆𝑅𝐴𝑌= ||
11𝑊𝐿4
192
−
𝐿2
2
−
7𝑊𝐿3
96
𝐿
|| = [(
11𝑊𝐿4
192
) (𝐿)] − [(−
𝐿2
2
)(−
7𝑊𝐿3
96
)] =
11𝑊𝐿5
192
−
7𝑊𝐿5
192
=
𝑊𝐿5
48
 
∆𝑀𝐴= ||
𝐿3
3
11𝑊𝐿4
192
−
𝐿2
2
−
7𝑊𝐿3
96
|| = [(
𝐿3
3
)(−
7𝑊𝐿3
96
)] − [(
11𝑊𝐿4
192
)(−
𝐿2
2
)] = −
7𝑊𝐿6
288
+
11𝑊𝐿6
384
=
5𝑊𝐿6
1152
 
𝑅𝐴𝑌 =
∆𝑅𝐴𝑌
∆
=
𝑊𝐿5
48
𝐿4
12
=
𝑊𝐿
4
⇒∴ 𝑅𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
4
 
𝑀𝐴 =
∆𝑀𝐴
∆
=
5𝑊𝐿6
1152
𝐿4
12
=
5𝑊𝐿2
96
⇒∴ 𝑀𝐴 =
5𝑊𝐿2
96
 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
25 
 
 
Ecuaciones de equilibrio 
Finalmente, a partir de la figura 4-f, se tienen las siguientes reacciones en el empotramiento 𝐵, figura 
4-g. 
+↑∑𝐹𝑌 = 0 ⇒
𝑊𝐿
4
− (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) − (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) + 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
4
 
+∑𝑀𝐴 = 0 
−
5𝑊𝐿2
96
+ (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) (
2
3
) (
𝐿
2
) + (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
)(
𝐿
2
+
1
3
(
𝐿
2
)) −
𝑊𝐿
4
(𝐿) +𝑀𝐵 = 0 ⇒∴ 𝑀𝐵 =
5𝑊𝐿2
96
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑊 (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) (
𝐿
2
) (𝑊) (
1
2
) 
𝑀𝐵 
 
𝑅𝐵𝑌 
 
2
3
(
𝐿
2
) 
1
3
(
𝐿
2
) 
𝑅𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
4
 
𝑀𝐴 =
5𝑊𝐿2
96
 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑊 
 
𝑅𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
4
 
𝑀𝐴 =
5𝑊𝐿2
96
 𝑀𝐵 =
5𝑊𝐿2
96
 
𝑅𝐵𝑌 =
𝑊𝐿
4
 
(f) 
 
(g) 
 
26 
 
5 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA 
TRAPEZOIDAL 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
Principio de superposición 
Por inspección, la viga de la figura 5-a es hiperestática de grado dos. Se considera que 𝑅𝐴𝑌 y 𝑀𝐴 son 
las fuerzas reactivas redundantes, de tal modo que se podrán determinar directamente con el método 
de flexibilidades. La remoción de las fuerzas superabundantes implica eliminar el empotramiento 𝐴. 
En la figura 5-b se observa la aplicación del principio de superposición. 
 
 
+ 
+ 
(𝑑𝑒 𝑅𝐴𝑌) 
(𝑑𝑒 𝑀𝐴) 
1 
1 
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 
𝐿 
𝐿 
𝐴 𝐵 
𝑀 
𝑚1 
𝑚2 
𝐸𝑅 = 
𝐿 
𝑥 𝑥 
𝑥 
𝑊1 
𝑊2 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊1 
𝑊2 
Estructura real (𝐸𝑅) 
Figura 5 
 
(a) 
 
(b) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
27 
 
Ecuaciones de compatibilidad 
Con referencia al punto 𝐴 de la figura 5-b, se requiere 
0 = 𝑑1 + 𝑓11𝑅𝐴𝑌 + 𝑓12𝑀𝐴 − − − (5 − 1) 
0 = 𝑑2 + 𝑓21𝑅𝐴𝑌 + 𝑓22𝑀𝐴 − − − (5 − 2) 
Se puede notar que la viga isostática fundamental soporta una carga cuya intensidad varía 
linealmente desde 𝑊1 en el punto 𝐴 hasta 𝑊2 en el punto 𝐵. Entonces, una sola región se distingue 
en esta estructura. El momento interno 𝑀 se infiere de tomar momentos alrededor del punto del corte 
en el cuerpo libre de la figura 5-c. No obstante, previo a la aplicación de la ecuación de equilibrio 
citada, debe calcularse el punto de intensidad 𝑊´ de carga en función de 𝑥, figura 5-d. 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 
𝑥 
𝑊1 
𝑊´ = 𝑊1 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥 
𝑀1 
 
𝐼 
𝐼𝐼 
𝑥/2 
2𝑥/3 
𝐴𝐼 
𝐴𝐼𝐼 
𝑊1 − 𝑊´ 
(c) 
 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊1 
𝑊2 
𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 
𝑥 𝐿 − 𝑥 
𝑌 
𝑊´ 
𝑊1 − 𝑊2 
(d) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
28 
 
𝑊1 − 𝑊2
𝐿
=
𝑌
𝐿 − 𝑥
 
𝑌 =
(𝑊1 − 𝑊2)(𝐿 − 𝑥)
𝐿
=
𝑊1𝐿 − 𝑊1𝑥 − 𝑊2𝐿 + 𝑊2𝑥
𝐿
= 𝑊1 − 𝑊2 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥 
𝑊´ = 𝑊2 + 𝑌 = 𝑊2 + 𝑊1 − 𝑊2 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥 = 𝑊1 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥 
+∑𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
−𝑀1 − (𝑥) (𝑊1 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥) (
1
2
𝑥) −
[
 
 
 
 (𝑥) (𝑊1 − (𝑊1 +
𝑊2
𝐿
𝑥 −
𝑊1
𝐿
𝑥))
2
]
 
 
 
 
(
2
3
𝑥) = 0 
 
 
−𝑀1 − (𝑥) (
𝑊1
2
𝑥 +
𝑊2
2𝐿
𝑥2 −
𝑊1
2𝐿
𝑥2) − (
1
3
𝑥2) (−
𝑊2
𝐿
𝑥 +
𝑊1
𝐿
𝑥) = 0 
𝑀1 =
𝑊1𝑥
3
2𝐿
−
𝑊2𝑥
3
2𝐿
−
𝑊1𝑥
2
2
+
𝑊2𝑥
3
3𝐿
−
𝑊1𝑥
3
3𝐿
=
𝑊1𝑥
3
6𝐿
−
𝑊2𝑥
3
6𝐿
−
𝑊1𝑥
2
2
 
 
Los momentos internos de las otras dos vigas isostáticas son 
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
Se necesita de los siguientes desplazamientos y pendientes 
𝑑1 = ∫
𝑀𝑚1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊1𝑥
3
6𝐿
−
𝑊2𝑥
3
6𝐿
−
𝑊1𝑥
2
2
) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
 
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊1𝑥
4
6𝐿
−
𝑊2𝑥
4
6𝐿
−
𝑊1𝑥
3
2
)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
𝑊1𝑥
5
30𝐿
−
𝑊2𝑥
5
30𝐿
−
𝑊1𝑥
4
8
]
0
𝐿
= −
11𝑊1𝐿
4
120𝐸𝐼
−
𝑊2𝐿
4
30𝐸𝐼
 
𝑑2 = ∫
𝑀𝑚2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊1𝑥
3
6𝐿
−
𝑊2𝑥
3
6𝐿
−
𝑊1𝑥
2
2
) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
 
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊1𝑥
3
6𝐿
+
𝑊2𝑥
3
6𝐿
+
𝑊1𝑥
2
2
)𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑊1𝑥
4
24𝐿
+
𝑊2𝑥
4
24𝐿
+
𝑊1𝑥
3
6
]
0
𝐿
=
𝑊1𝐿
3
8𝐸𝐼
+
𝑊2𝐿
3
24𝐸𝐼
 
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
 𝑓21 = 𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
 𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
 
 
𝐴𝐼 
 
𝐴𝐼𝐼 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
29 
 
Al reemplazar los resultados en las ecuaciones (5 − 1) y (5 − 2), se tiene 
−(
11𝑊1𝐿
4
120𝐸𝐼
+
𝑊2𝐿
4
30𝐸𝐼
) +
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (5 − 3) 
(
𝑊1𝐿
3
8𝐸𝐼
+
𝑊2𝐿
3
24𝐸𝐼
) −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (5 − 4) 
Al resolver el sistema el sistema simultáneo de ecuaciones previo, se obtiene 
∆= ||
𝐿3
3
−
𝐿2
2
−
𝐿2
2
𝐿
|| =
𝐿4
12
 
∆𝑅𝐴𝑌= |
|
11𝑊1𝐿
4
120
+
𝑊2𝐿
4
30
−
𝐿2
2
−(
𝑊1𝐿
3
8
+
𝑊2𝐿
3
24
) 𝐿
|| = [(
11𝑊1𝐿
4
120
+
𝑊2𝐿
4
30
) (𝐿)] − [(−
𝐿2
2
)(−(
𝑊1𝐿
3
8
+
𝑊2𝐿
3
24
))] 
=
11𝑊1𝐿
5
120
+
𝑊2𝐿
5
30
−
𝑊1𝐿
5
16
−
𝑊2𝐿
5
48
=
7𝑊1𝐿
5
240
+
𝑊2𝐿
5
80
 
∆𝑀𝐴= |
|
𝐿3
3
11𝑊1𝐿
4
120
+
𝑊2𝐿
4
30
−
𝐿2
2
−(
𝑊1𝐿
3
8
+
𝑊2𝐿
3
24
)
|| = [(
𝐿3
3
)(−(
𝑊1𝐿
3
8
+
𝑊2𝐿
3
24
))] − [(
11𝑊1𝐿
4
120
+
𝑊2𝐿
4
30
)(−
𝐿2
2
)] 
= −
𝑊1𝐿
6
24
−
𝑊2𝐿6
72
+
11𝑊1𝐿
6
240
+
𝑊2𝐿
6
60
=
𝑊1𝐿
6
240
+
𝑊2𝐿
6
360
 
 
𝑅𝐴𝑌 =
∆𝑅𝐴𝑌
∆
=
7𝑊1𝐿
5
240
+
𝑊2𝐿
5
80
𝐿4
12
=
7𝑊1𝐿
20
+
3𝑊2𝐿
20
⇒∴ 𝑅𝐴𝑌 = (
7𝑊1𝐿
20
+
3𝑊2𝐿
20
) 
𝑀𝐴 =
∆𝑀𝐴
∆
=
𝑊1𝐿
6
240
+
𝑊2𝐿
6
360
𝐿4
12
=
𝑊1𝐿
2
20
+
𝑊2𝐿
2
30
⇒∴ 𝑀𝐴 = (
𝑊1𝐿
2
20
+
𝑊2𝐿
2
30
) 
Ecuaciones de equilibrio 
Se dibuja un diagrama de cargas colocando las redundantes calculadas, figura 5-e. Si en él se 
aplican las ecuaciones de la estática, se obtienen las reacciones faltantes, figura 5-f. 
+↑ ∑𝐹𝑌 = 0 ⇒ (
7𝑊1𝐿
20
+
3𝑊2𝐿
20
) − (𝐿)(𝑊2) − [
(𝐿)(𝑊1 − 𝑊2)
2
] + 𝑅𝐵𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 = (
3𝑊1𝐿
20
+
7𝑊2𝐿
20
) 
 
 
𝐴1 
 
𝐴2 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
30 
 
 
+∑𝑀𝐴 = 0 ⇒ −(
𝑊1𝐿
2
20
+
𝑊2𝐿
2
30
) + 𝑊2(𝐿) (
𝐿
2
) + (
(𝐿)(𝑊1−𝑊2)
2
) (
𝐿
3
) − (
3𝑊1𝐿
20
+
7𝑊2𝐿
20
) (𝐿) + 𝑀𝐵 = 0 
∴ 𝑀𝐵 = (
𝑊1𝐿
2
30
+
𝑊2𝐿
2
20
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊1 
𝑊2 
𝐴1 
𝐴2 
𝐿/2 
2𝐿/3 
1 
2 
𝑀𝐴 = (
𝑊1𝐿
2
20
+
𝑊2𝐿
2
30
) 
𝑅𝐴𝑌 = (
7𝑊1𝐿
20
+
3𝑊2𝐿
20
) 𝑅𝐵𝑌 
 
𝑀𝐵 
 
(e) 
 
(f) 
 
𝐴 𝐵 
𝐿 
𝑊1 
𝑊2 
𝑀𝐴 = (
𝑊1𝐿
2
20
+
𝑊2𝐿
2
30
) 
𝑅𝐴𝑌 = (
7𝑊1𝐿
20
+
3𝑊2𝐿
20
) 𝑅𝐵𝑌 = (
3𝑊1𝐿
20
+
7𝑊2𝐿
20
) 
𝑀𝐵 = (
𝑊1𝐿
2
30
+
𝑊2𝐿
2
20
) 
31 
 
6 VIGA BIEMPOTRADA CON CARGA 
PARABÓLICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
Principio de superposición 
Para la viga de la figura 6-a, los tres grados de libertad en 𝐴 están restringidos, no obstante, la 
eliminación del soporte izquierdo conllevaría a que el desplazamiento vertical y la pendiente, ambos 
del punto 𝐴, no se encuentren impedidos. La figura 6-b muestra como la viga real es igual a la 
adición de una serie de vigas más sencillas. 
 
 
+ 
+ 
(𝑑𝑒 𝑅𝐴𝑌) 
(𝑑𝑒 𝑀𝐴) 
1 
1 
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 
𝐿 
𝐿 
𝐴 𝐵 
𝑀 
𝑚1 
𝑚2 
𝐸𝑅 = 
𝑊 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑥 𝑥 
𝑥 
𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 
𝐴 𝐵 
𝐿/2 𝐿/2 
𝑊 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 
Estructura real (𝐸𝑅) 
Figura 6 
 
(a) 
 
(b) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
32 
 
Ecuaciones de compatibilidad 
Si tomamos en cuenta la compatibilidad del desplazamiento vertical y la pendiente en el 
empotramiento 𝐴, figura 6-b, se tiene 
0 = 𝑑1 + 𝑓11𝑅𝐴𝑌 + 𝑓12𝑀𝐴 − − − (6 − 1) 
0 = 𝑑2 + 𝑓21𝑅𝐴𝑌 + 𝑓22𝑀𝐴 − − − (6 − 2) 
Se analiza la viga primaria. 
Inicialmente se efectúa un análisis de la carga cuya intensidad es descrita por una curva en forma 
de parábola. La ecuación que define la intensidad parabólica puede expresarse de la siguiente forma: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − − − (𝐼) 
Si se toma como origen el punto 𝐴, los tres puntos conocidos de la curva son 
1) 𝑒𝑛 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 2) 𝑒𝑛 𝑥 =
𝐿
2
, 𝑦 = 𝑊 3) 𝑒𝑛 𝑥 = 𝐿, 𝑦 = 0 
Es posible construir un sistema de ecuaciones reemplazando cada uno de los puntos anteriores de 
manera individual en la ecuación (𝐼) con la finalidad de calcular las constantes 𝑎, 𝑏 y 𝑐. 
0 = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 ⇒ 0𝑎 + 0𝑏 + 𝑐 = 0 − − − ① 
𝑊 = 𝑎 (
𝐿
2
)
2
+ 𝑏 (
𝐿
2
) + 𝑐 ⇒
𝐿2
4
𝑎 +
𝐿
2
𝑏 + 𝑐 = 𝑊 − − − ② 
0 = 𝑎(𝐿)2 + 𝑏(𝐿) + 𝑐 ⇒ 𝐿2𝑎 + 𝐿𝑏 + 𝑐 = 0 − − − ③ 
Se resuelve el sistema simultáneo de ecuaciones ① hasta ③ con el método de Cramer. Cada 
determinante de orden 3x3 se calcula empleando la regla de Sarrus. 
Δ = ||
0 0 1 | 0 0
𝐿2
4
𝐿
2
1 | 
𝐿2
4
𝐿
2
𝐿2 𝐿 1 | 𝐿2 𝐿
|| = (0 + 0 +
𝐿3
4
) − (0 + 0 +
𝐿3
2
) = −
𝐿3
4
 
Δa = |
0 0 1 |0 0
𝑊
𝐿
2
1 |𝑊
𝐿
2
0 𝐿 1 |0 𝐿
| = (0 + 0 + 𝑊𝐿) − (0 + 0 + 0) = 𝑊𝐿 
Δb = ||
0 0 1 | 0 0
𝐿2
4
𝑊 1 | 
𝐿2
4
𝑊
𝐿2 0 1 | 𝐿2 0
|| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 𝐿2𝑊) = −𝐿2𝑊 
Δc = ||
0 0 0 | 0 0
𝐿2
4
𝐿
2
𝑊 | 
𝐿2
4
𝐿
2
𝐿2 𝐿 0 | 𝐿2 𝐿
|| = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
33 
 
𝑎 =
Δa
Δ
=
𝑊𝐿
−𝐿3
4
= −4
𝑊
𝐿2
 𝑏 =
Δb
Δ
=
−𝐿2𝑊
−𝐿3
4
= 4
𝑊
𝐿
 𝑐 =
Δc
Δ
=
0
−𝐿3
4
= 0 
En consecuencia, al sustituir estos valores en la expresión (𝐼), se tiene que 
𝑦 = −4
𝑊
𝐿2
𝑥2 + 4
𝑊
𝐿
𝑥 
Como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura primaria, sólo se efectuará un corte 
perpendicular al eje longitudinal de la viga, entonces, no importa si tal seccionamiento se hace antes 
o después de que la carga distribuida alcanza una intensidad de 𝑊. 
En la figura 6-c se proporciona un diagrama de cargas del segmento de viga con longitud 𝑥. Previo 
a efectuar el equilibrio estático en el cuerpo libre para deducir la función del momento 𝑀, se 
determina la carga concentrada equivalente 𝐴𝐼 de la fuerza distribuida y su punto de aplicación �̅�𝐼. 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
 
 
 
 
 
 
 
La fuerza resultante de la carga distribuida seccionada es 
𝐴𝐼 = ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
= ∫ (−4
𝑊
𝐿2
𝑥2 + 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥 = −4
𝑊
𝐿2
∫ 𝑥2
𝑥
0
𝑑𝑥 + 4
𝑊
𝐿
∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑥
0
𝑥
0
 
−4
𝑊
𝐿2
[
𝑥3
3
]
0
𝑥
+ 4
𝑊
𝐿
[
𝑥2
2
]
0
𝑥
= −
4𝑊
3𝐿2
[𝑥3 − 03] +
4𝑊
2𝐿
[𝑥2 − 02] = −
4𝑊
3𝐿2
𝑥3 +
2𝑊
𝐿
𝑥2 
y su ubicación es 
�̅�𝐼 =
∫ �̃� 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
=
∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐿2
𝐿1
=
∫ 𝑥 (−4
𝑊
𝐿2
𝑥2 + 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥
𝑥
0
∫ (−4
𝑊
𝐿2
𝑥2 + 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥
𝑥
0
 
Como el denominador ya fue resuelto, se atiende al numerador. 
∫ 𝑥
𝐿
0
(−4
𝑊
𝐿2
𝑥2 + 4
𝑊
𝐿
𝑥) 𝑑𝑥 = −4
𝑊
𝐿2
∫ 𝑥3
𝐿
0
𝑑𝑥 + 4
𝑊
𝐿
∫ 𝑥2𝑑𝑥
𝐿
0
 
𝐴 
𝑥 
𝑦 = −4
𝑊
𝐿2
𝑥2 + 4
𝑊
𝐿
𝑥 
 
�̅�𝐼 𝑥 − �̅�𝐼 
𝐴𝐼 
𝑀1 
 
(c) 
 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
34 
 
= −4
𝑊
𝐿2
[
𝑥4
4
]
0
𝑥
+ 4
𝑊
𝐿
[
𝑥3
3
]
0
𝑥
=
−4𝑊
4𝐿2
[𝑥4 − 04] +
4𝑊
3𝐿
[𝑥3 − 03] = −
𝑊
𝐿2
𝑥4 +
4𝑊
3𝐿
𝑥3 
∴ �̅�𝐼 =
−
𝑊
𝐿2
𝑥4 +
4𝑊
3𝐿
𝑥3
−
4𝑊
3𝐿2
𝑥3 +
2𝑊
𝐿
𝑥2
 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐴 
Tomando momentos alrededor del punto del corte, se obtiene 
+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 
−𝑀1 − (−
4𝑊
3𝐿2
𝑥3 +
2𝑊
𝐿
𝑥2) (𝑥 −
−
𝑊
𝐿2
𝑥4 +
4𝑊
3𝐿
𝑥3
−
4𝑊
3𝐿2
𝑥3 +
2𝑊
𝐿
𝑥2
) = 0 
−𝑀1 − (−
4𝑤
3𝐿2
𝑥4 +
2𝑤
𝐿
𝑥3 +
𝑤
𝐿2
𝑥4 −
4𝑤
3𝐿
𝑥3) ⇒ 𝑀1 =
𝑊
3𝐿2
𝑥4 −
2𝑊
3𝐿
𝑥3 
Además, 
𝑚1 ⟹ 𝑀1 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
𝑚2 ⟹ 𝑀1 = −1 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
Por consiguiente, 
𝑑1 =
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊
3𝐿2
𝑥4 −
2𝑊
3𝐿
𝑥3) (𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
 
=
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊
3𝐿2
𝑥5 −
2𝑊
3𝐿
𝑥4) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[
𝑊
18𝐿2
𝑥6 −
2𝑊
15𝐿
𝑥5]
0
𝐿
=
𝑊𝐿4
18𝐸𝐼
−
2𝑊𝐿4
15𝐸𝐼
= −
7𝑊𝐿4
90𝐸𝐼
 
𝑑2 =
1
𝐸𝐼
∫ (
𝑊
3𝐿2
𝑥4 −
2𝑊
3𝐿
𝑥3) (−1)𝑑𝑥
𝐿
0
 
=
1
𝐸𝐼
∫ (−
𝑊
3𝐿2
𝑥4 +
2𝑊
3𝐿
𝑥3) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
1
𝐸𝐼
[−
𝑊
15𝐿2
𝑥5 +
𝑊
6𝐿
𝑥4]
0
𝐿
= −
𝑊𝐿3
15𝐸𝐼
+
𝑊𝐿3
6𝐸𝐼
=
𝑊𝐿3
10𝐸𝐼
 
𝑓11 =
𝐿3
3𝐸𝐼
 𝑓21 = 𝑓12 = −
𝐿2
2𝐸𝐼
 𝑓22 =
𝐿
𝐸𝐼
 
 
De tal modo que el sistema simultáneo de ecuaciones (6 − 1) y (6 − 2) se convierte en 
−
7𝑊𝐿4
90𝐸𝐼
+
𝐿3
3𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 −
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (6 − 3) 
𝑊𝐿3
10𝐸𝐼
−
𝐿2
2𝐸𝐼
𝑅𝐴𝑌 +
𝐿
𝐸𝐼
𝑀𝐴 = 0 − − − (6 − 4) 
Fuerzas de fijación y momentos de empotramiento en vigas 
 
35 
 
Entonces, las fuerzas correctivas son resultado de 
∆= ||
𝐿3
3
−
𝐿2
2
−
𝐿2
2
𝐿
|| =
𝐿4
12
 
∆𝑅𝐴𝑌= ||
7𝑊𝐿4
90
−
𝐿2
2
−
𝑊𝐿3
10
𝐿
|| = [(
7𝑊𝐿4
90
) (𝐿)] − [(−
𝐿2
2
) (−
𝑊𝐿3
10
)] =
7𝑊𝐿5
90
−
𝑊𝐿5
20
=
𝑊𝐿5
36
 
∆𝑀𝐴= ||
𝐿3
3
7𝑊𝐿4
90
−
𝐿2
2
−
𝑊𝐿3
10
|| = [(
𝐿3
3
) (−
𝑊𝐿3
10
)] − [(
7𝑊𝐿4
90
) (−
𝐿2
2
)] = −
𝑊𝐿6
30
+
7𝑊𝐿6
180
=
𝑊𝐿6
180
 
𝑅𝐴𝑌 =
∆𝑅𝐴𝑌
∆
=
𝑊𝐿5
36
𝐿4
12
=
𝑊𝐿
3
⇒∴ 𝑅𝐴𝑌 =
𝑊𝐿
3
 
𝑀𝐴 =
∆𝑀𝐴
∆
=
𝑊𝐿6
180
𝐿4
12
=
𝑊𝐿2
15
⇒∴ 𝑀𝐴 =
𝑊𝐿2
15
 
Ecuaciones de equilibrio 
Estas se aplican al diagrama de cargas de la figura 6-d. La carga