Implicación Lógica parte 1

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Universidad de Carabobo
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Cátedra Introducción a la Matemática
Implicación Lógica
Parte 1
Teorema del Condicional Tautológico
Lcdo. Luis Orozco
Magíster en Matemática y Computación
Profesor Agregado FaCES UC
Coordinador (E) Cátedra Introducción a la Matemática
Implicación Lógica
Sean dos formas proposicionales P(p,q,r,…) y Q(p,q,r,…), la forma proposicional p implica
lógicamente a la forma proposicional Q, si y sólo si el condicional con antecedente la forma
proposicional P y consecuente la forma proposicional Q, P(p,q,r,…)  Q(p,q,r,…), es una tautología.
Se simboliza P⟹Q , se lee la forma proposicional P implica lógicamente a la forma proposicional Q.
Este teorema se denomina el Teorema del Condicional Tautológico.
Veamos dos ejemplos.
Determinar si la forma proposicional P implica lógicamente a la forma proposicional Q.
1.- P(p,q)= (p ∧  p)
Q(q) = 𝑞
Determinar si la forma proposicional R implica lógicamente a la forma proposicional Q.
2.- R(p,q)=[(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝]
Q(q)= 𝑞
Implicación Lógica
Determinar si la forma proposicional P implica lógicamente a la forma proposicional Q.
1.- P(p,q)= (p ∧  p)
Q(q) = 𝑞
Solución:
Utilizaremos el método de la tabla de verdad para comprobar que se cumple, sin embargo ya
estamos en capacidad de realizar los ejercicios utilizando las leyes del álgebra proposicional.
Adicionalmente vamos a emplear el método de tablas de verdad con 0 y 1, para practicar lo
estudiado en clases anteriores.
Por lo tanto debemos comprobar si se cumple que P⟹Q
(𝒑 ∧∼ 𝒑) → 𝒒
Implicación Lógica
𝒑 ∧∼ 𝒑 → 𝒒
Como el condicional con antecedente la forma proposicional P y consecuente la forma proposicional
Q, P(p,q)  Q(q), es una tautología, entonces la forma proposicional P implica lógicamente a la
forma proposicional Q.
Recuerde que la tabla de verdad obtenida es la siguiente →
En este caso nos interesa recordar lo estudiado anteriormente.
[( p  p ) → q ]
1 0 0 1 1
1 0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 0 1 1 0
[( p  p ) → q ]
v f f v v
v f f v f
f f v v v
f f v v f
Implicación Lógica
Determinar si la forma proposicional R implica lógicamente a la forma proposicional Q.
2.- R(p,q)=[(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝]
Q(q)= 𝑞
Solución:
Nuevamente utilizaremos el método de la tabla de verdad para comprobar que se cumple, sin
embargo ya estamos en capacidad de realizar los ejercicios utilizando las leyes del álgebra
proposicional.
Por lo tanto debemos comprobar si se cumple que R⟹Q
[(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝] → 𝑞
Implicación Lógica
[(𝒑 → 𝒒) ∧ 𝒑] → 𝒒
Como el condicional con antecedente la forma proposicional R y consecuente la forma proposicional
Q, R(p,q)  Q(q), es una tautología, entonces la forma proposicional P implica lógicamente a la
forma proposicional Q.
[(p → q) ∧ p] → q
v v v v v v v
v f f f v v f
f v v f f v v
f V f f f v f
“No debes centrarte en porqué no puedes hacer algo, eso lo hace todo el mundo. 
Céntrate en conseguirlo y convertirte en la excepción”
STEVE CASE