4 - Métodos Abiertos - AyZConsultPPT

Vista previa del material en texto

Cap 4.- Métodos Abiertos
4.- Métodos abiertos
Los métodos abiertos, a diferencia delos estudiados en el capítulo anterior, se
basan en fórmulas que solo requieren de un valor de inicio; o, a veces, se necesitan
dos valores, pero no necesariamente que contengan la raíz.
En general, los métodos abiertos llegan a converger mucho más rápido que los
métodos cerrados. Los métodos que estudiaremos son:
• Iteración de Punto Fijo
• Método de Newton Raphson
• Método de la Secante
4.1.- Iteración simple o de Punto Fijo
La fórmula para aproximar la raíz de una ecuación parte de la forma 𝑓(𝑥) = 0. El 
método consiste en una sustitución sucesiva de raíces, después de haber arreglado 
la forma anterior descrita a:
𝑔 𝑥 = 𝑥
Esta transformación se logra mediante transformaciones algebraicas, o, en su 
defecto, sumando un término 𝑥 a ambos lados de la ecuación.
𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0
𝑥 =
𝑥2 + 3
2
sin 𝑥 = 0
sin 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
La utilidad de la ecuación antes formulada es proporcionar una forma de predecir
un nuevo valor de 𝑥 en función del valor encontrado en la iteración anterior. De
esta forma, dando un valor inicial para la variable 𝑥𝑖, podremos encontrar una
aproximación 𝑥𝑖+1, usando:
𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖)
𝜖𝑎 =
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
× 100%
Usar el método de Punto Fijo para encontrar la raíz de 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙 − 𝒙. 
Use como punto inicial 𝑥 = 0, con un error del 0.5%.
𝑥 = 𝑒−𝑥
𝒊 𝒙𝒊 𝒈 𝒙𝒊 = 𝒙𝒊+𝟏 𝜖𝑎 =
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
× 100%
1 0 1 100%
2 1 0.3679 171.82%
3 0.3679 0.6922 46.85%
4 0.6922 0.5005 38.31%
5 0.5005 0.6062 17.45%
6 0.6062 0.5454 11.16%
7 0.5454 0.5796 5.90%
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
12 0.5684 0.5664 0.35%
𝑥𝑖+1 = 𝑒
−𝑥𝑖
Convergencia en Punto Fijo
Al ser un método abierto, a lo largo de las
iteraciones puede o no converger, esto dependerá
de la naturaleza de la función evaluada.
𝑒−𝑥 = 𝑥
𝑓1 𝑥 = 𝑓2(𝑥)
Analizando las gráficas se puede notar que la
iteración de punto fijo converge si, en la
región de interés, 𝑔′(𝑥) < 1.
En palabras generales, la convergencia
ocurrirá cuando la pendiente de la función
𝑔(𝑥) sea menor que la de la recta 𝑓 𝑥 = 𝑥.
4.2.- Método de Newton - Raphson
Es uno de los métodos más usados
para localizar raíces reales. Se basa en
el uso de la tangente de la función.
Si asignamos un valor inicial 𝑥𝑖 , se
puede trazar la recta tangente desde
el punto 𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖) .
Se puede notar que el punto en donde
la recta tangente cruza con el eje x es
una mejor aproximación de la raíz.
De la figura anterior mostrada se obtiene: 
𝑓′ 𝑥𝑖 =
𝑓 𝑥𝑖 − 0
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1
Y ordenando se obtiene:
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
Usar el método de Newton Raphson para encontrar la raíz de 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙 − 𝒙. 
Use como punto inicial 𝑥 = 0.
𝒊 𝒙𝒊 𝒇 𝒙𝒊 𝒇′ 𝒙𝒊 𝒙𝒊+𝟏 𝜖𝑎 =
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1
𝑥𝑖
× 100%
1 0 1 -2 0.5 -
2 0.5 0.1065 -1.6065 0.5663 11.7093%
3 0.5663 0.0013 -1.5676 0.5671 0.1467%
4 0.5671 1.96 × 10−7 -1.5671 0.5671 2.2106 × 10−5%
5 0.5671
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥
𝑓′ 𝑥 = −𝑒−𝑥 − 1
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 −
𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑓′(𝑥𝑖−1)
En general, el método de Newton Raphson es muy eficiente, pero existen ciertas situaciones
en las que el método demora mucho para poder llegar a una respuesta aceptable, o
simplemente no llega a converger.
Usar el método de Newton Raphson para encontrar la raíz de 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟏𝟎 − 𝟏. Use como
punto inicial 𝒙 = 𝟎. 𝟓.
Convergencia en Newton - Raphson
𝒊 𝒙𝒊 𝒇 𝒙𝒊 𝒇′ 𝒙𝒊 𝒙𝒊+𝟏 𝜖𝑎 =
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
× 100%
1 0.5 −0.999 0.0195 51.65
2 51.65 1.35 × 1017 2.62 × 1016 46.48 11.11%
3 46.48 4.71 × 1016 1.01 × 1016 41.83 11.11%
4 41.83 1.64 × 1016 3.93 × 1015 37.65 11.11%
5 37.65 5.73 × 1015 1.52 × 1015 33.888 11.11%
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
42 1 2.39 × 10−4 10.0022 1 0.0024%
𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1
𝑓′ 𝑥 = 10𝑥9
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
En la figura a se observa el caso en el que cerca
de la raíz se encuentra un punto de inflexión
(𝒇′′ 𝒙 = 𝟎). En este caso las iteraciones, que
empiezan con 𝑥0, divergen progresivamente de
la raíz.
En la figura b se muestra cómo se comporta el
método de Newton-Raphson cuando oscila cerca
de un mínimo o máximo local. Tales oscilaciones
pueden persistir o alcanzar una pendiente cero.
En la figura c se muestra cómo un valor inicial
cercano a una raíz salta a una posición varias
raíces más lejos. Esta tendencia a alejarse del
área de interés se debe a que se encuentran
pendientes cercanas a cero. Una pendiente cero
(𝒇′ 𝒙 = 𝟎) causa una división entre cero en la
fórmula de Newton-Raphson.
En la figura d se muestra gráficamente este
problema, que se traduce en una tendencia al ∞,
y nunca llega a tocar el eje x.
4.3.- Método de la Secante
Los métodos estudiados anteriormente presentan el gran problema de la evaluación de la derivada.
Esto no llega a ser un inconveniente cuando se trata de evaluar polinomios, o cuando se trata de
funciones sencillas, pero, en la gran mayoría de problemas, el cálculo de la derivada se complica
mucho.
En esos casos se suele usar una aproximación mediante diferencia finita dividida, como se muestra
en la siguiente ecuación:
𝑓′ 𝑥𝑖 ≅
𝑓 𝑥𝑖−1 − 𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)(𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖)
𝑓(𝑥𝑖−1) − (𝑓(𝑥𝑖))
𝑥𝑖−1 = 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − ∆