1 Analisis_primera_clase

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Análisis Matemático I 
2016
Ing. Roberto Lamas
Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Nociones de lógica- Lógica simbólica
1.- Que día es hoy?
2.- Roberto estudia y practica futbol.
3.- Ayer fue lunes.
4.- Hagan silencio !!!
5.- x + 6 = 9
6.- Si apruebo los parciales entonces 
regularizaré Análisis.
7.- El número e es irracional.
8.- Miguel estudia Química o Informática.
Definición: Se llama proposición a toda expresión 
de la cual tenga sentido afirmar que sea verdadera 
o falsa.
Se denotan con letras minúsculas:
p : Roberto estudia y practica futbol.
q : Ayer fue lunes.
r : Si apruebo los parciales entonces regularizaré 
Análisis.
s : El número e es irracional.
t : Miguel estudia Química o Informática.
Valor de verdad: se llama así a la verdad o falsedad de 
la proposición.
v(p) = V o F
v(q) = V 
El valor de verdad debe ser único, no puede cambiar.
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas.
Operaciones entre proposiciones.
1) Negación: La negación de la proposición “p” es la 
proposición que se obtiene anteponiendo a la proposición 
“p” la palabra “no” o el símbolo “ ~ “.
Definición: El valor de verdad de la negación es opuesto al 
valor de verdad de la proposición dada.
Tabla de verdad:
p ~p
V F
F V
v(p) = V 
v(~p) = F 
2) Disyunción o suma lógica: La disyunción de las 
proposiciones p y q es la proposición que se 
obtiene escribiendo una a continuación de la otra 
unidas por la letra “o “ o el símbolo “ ∨ “
p ∨ q t : Miguel estudia Química o Informática
Tabla de verdad:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Definición: El valor de verdad de la disyunción es 
falsa únicamente cuando ambas proposiciones son 
falsas.
La disyunción es conmutativa.
3) Conjunción o producto lógico: La conjunción de 
las proposiciones p y q es la proposición que se 
obtiene escribiendo una a continuación de la otra 
unidas por la letra “y “ o el símbolo “ ∧ “
p ∧ q t : Roberto estudia y practica futbol.
Tabla de verdad:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Definición: El valor de verdad de la conjunción es verdadera 
únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas.
La conjunción es conmutativa.
4) Implicación ( Condicional ) : La implicación de las 
proposiciones p y q es la proposición que se obtiene 
escribiendo una a continuación de la otra unidas por 
la palabra “implica“ o el símbolo “ ⇒ “
p ⇒ q t : Si apruebo los parciales entonces te 
presto mis apuntes.
Si p entonces q
p : antecedente q : Consecuente
p : Hipótesis q : tesis.
Tabla de verdad:
p q p⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Definición: Una implicación es falsa únicamente 
cuando el antecedente es verdadero y el 
consecuente falso.
Implicaciones asociadas
Dada p ⇒ q que llamamos directa , se 
pueden definir otras implicaciones 
asociadas.
Contraria : ~ p ⇒ ~ q 
Recíproca : q ⇒ p
Contra recíproca: ~ q ⇒ ~ p 
Ejemplo:
Si 5 ∈ N ⇒ 5 ∈ R Directa
Si 5 ∈ R ⇒ 5 ∈ N Recíproca
Si 5 ∉ N ⇒ 5 ∉ R Contraria
Si 5 ∉ R ⇒ 5 ∉ N Contra reciproca
La directa y la contra recíproca tienen el mismo valor 
de verdad.
Condicional
Se establece una relación entre antecedente y 
consecuente.
p es condición suficiente para q ( basta que se 
cumpla p para que se cumpla q )
q es condición necesaria para p ( si o si debe 
cumplirse q para que se cumpla p )
Otras formas:
Si p entonces q
p es condición suficiente para q
p solo si q
De p se deduce q
q es condición necesaria para p
q se deduce de p
Equivalencia o doble implicación o bicondicional
Equivalencia ( Bicondicional ) : La equivalencia de las 
proposiciones p y q es la proposición que se obtiene 
escribiendo una a continuación de la otra unidas por 
la palabra “ equivale“ o el símbolo “ ⟺ “.
Se denota p ⟺ q
Ejemplo : Si x = – 2 o x = 2 ⟺ x2 – 4 = 0
Ejemplo: Si T es equilátero si y solo si T es 
equiángulo.
Tabla de verdad:
p q p⟺ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Una equivalencia es verdadera únicamente 
cuando ambas proposiciones tienen el mismo 
valor de verdad.
Otras formas :
p es condición necesaria y suficiente para q
p si y solo si q.
De p se deduce q y q se deduce de p
A los símbolos ∨, ∧ , ~ , ⇒, ⟺, se denominan 
conectores lógicos.