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Espacios Vectoriales Esp. Lydia María Llanos 
 
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ESPACIOS VECTORIALES 
Contenidos 
Trataremos el tema de estructura de espacio vectorial, que es el concepto básico del Álgebra Li-
neal. Definiremos espacio vectorial y sus propiedades, subespacio vectorial y combinación lineal 
de un conjunto no vacío de un espacio vectorial. Estudiaremos también, dependencia e indepen-
dencia lineal y sistemas de generadores para caracterizar los conceptos de base y de dimensión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
- Decidir si un conjunto de vectores constituye o no una estructura de espacio vectorial me-
diante la aplicación de la definición. 
- Reconocer, ejemplificar y definir la dependencia e independencia lineal de vectores, justi-
ficando la decisión tomada. 
- Distinguir los subconjuntos de vectores que sean sistemas de generadores de espacios vec-
toriales mediante la aplicación de la definición o de las propiedades. 
ESPACIO 
VECTORIAL 
Combinación lineal 
Subespacios 
Dependencia e independencia 
lineal 
Sistema de generadores 
Base 
- Dimensión 
- Base canónica 
- Coordenadas 
La estructura 
de 
es el concepto 
básico del Álgebra 
Lineal 
en la que se 
definen 
Vectores 
Sus elementos 
se llaman 
Se define 
y se estudian 
Para definir 
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- Reconocer y construir una base de un espacio vectorial y determinar la dimensión de la 
misma. 
 
1.- Introducción 
En el conjunto de números reales se han definido las operaciones de suma y producto que satisfa-
cen ciertas propiedades. Al estudiar el conjunto de vectores en el espacio hemos definido suma de 
vectores y multiplicación de un vector por un número real y enunciado las propiedades que se 
verifican. Otros conjuntos a los cuales se le puede dotar de una estructura similar a la de los con-
juntos anteriores, son los conjuntos de números complejos y el de los polinomios. 
Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares es conveniente axio-
matizar éstas y dar un nombre al ente resultante. A la estructura de los conjuntos enunciados se 
denomina Espacio Vectorial. 
 
2.- Espacio vectorial 
2.1.- Definición 
Dado un conjunto V, distinto del vacío, se dice que es un espacio vectorial sobre el cuer-
po K, si en él se han definido dos operaciones: una interna llamada suma, (+) , de manera que a 
cada par de elementos u y v  V le hace corresponder el elemento u + v  V, y otra externa 
llamada producto por un escalar, ( . ), de manera que a todo elemento u  V y a todo elemento 
  K le hace corresponder el elemento u  V, que satisfacen las siguientes propiedades: 
S1) + es asociativa en V 
  u , v , w V  u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 
S2) existe neutro para la suma en V 
 0 V /  v  V : 0 + v = v + 0 = v 
0 es el vector nulo 
S3) del inverso aditivo u opuesto en V para cada elemento de V. 
 v V ,  v V / v + (v) = (v) + v = 0 
S4) + es conmutativa en V 
  u , v V  u + v = v + u 
M1) . admite asociatividad mixta 
 K , v V : . ( . v ) = (  . ) . v 
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M2) . es distributivo respecto de la suma en K 
  K , v  V : (  + ) . v = . v + . v 
M3) . es distributivo respecto de la suma en V 
  K ,  v , w  V : . ( v + w ) =  . v +  . w 
M4) la unidad de K es neutro para el . . 
  v V : 1 . v = v 
 
Un espacio vectorial se representa por la cuaterna ( V, + , K , . ) 
Los elementos de V se llaman vectores 
Los elementos de K se llaman escalares 
 
2.2.- Ejemplo 
La cuaterna ( R
2
, + , R, . ) es el espacio vectorial de los pares ordenados de números reales so-
bre el cuerpo de números reales. 
Porqué: 
-  ( a , b ) y  ( c , d )  R
2 
 , 
 se define la adición por: ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )  R
2
 (1) 
-  ( a , b )  R
2 
y    R , se define  . ( a , b ) = ( a , b )  R
2
 (2) 
Y se verifican las propiedades: 
V1) + es asociativa en R
2
. 
  ( a , b ) , ( c , d ) y ( e , f )  R
2
 demostrar que. 
 ( a , b ) + [ ( c , d ) + ( e , f ) ] = [ ( a , b ) + ( c , d ) ] + ( e , f ) 
Demostración: 
( a , b ) + [ ( c , d ) + ( e , f ) ] = ( a , b ) + ( c + e , d + f ) = 
 = ( a + ( c + e ) , b + ( d + f ) ) = ( ( a + c ) + e , ( b + d ) + f ) = 
 = ( a + c , b + d ) + ( e , f ) = [ ( a , b ) + ( c , d ) ] + ( e , f ) 
Se aplicó la definición (1) , la asociatividad de la suma en R, y la definición (1) 
 
V2) del neutro para la suma en R
2
 
 ( 0 , 0 )  R
2
 /  (a , b)  R
2 
: ( 0 , 0 ) + ( a , b ) = ( a , b) + ( 0 , 0 ) = ( a , b ) 
 ( 0 , 0 ) es el vector nulo 
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V3) del inverso aditivo u opuesto en R
2
 para cada elemento de R
2 
. 
 ( a , b ) V ,  ( a ,  b )  R
2
 / ( a , b ) + ( a ,  b ) = ( 0 , 0 ) 
 
V4) + es conmutativa en R
2
 
  ( a , b ) , ( c , d ) R
2
  ( a , b ) + ( c , d ) = ( c , d ) + ( a , b ) 
Demostración: 
 ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) = ( c + a , d + b ) = ( c , d ) + ( a , b ) 
Se aplicó la definición (1), la conmutatividad de la suma en R y la definición (1). 
 
V5) . admite asociatividad mixta 
 R, ( a , b ) R
2
: . ( . ( a , b ) ) = (  . ) . ( a , b ) 
Demostración: 
. ( . ( a , b ) ) = . ( . a , . b ) = (  . ( . a ) , . ( . b ) ) 
 = ( ( . . a , (  . ) . b ) ) = (  . ) . ( a , b ) 
 Se aplicó la definición (2), la asociatividad del producto en R, y la definición(2). 
 
V6) . es distributivo respecto de la suma en R 
  K, ( a , b )  R
2
 : (  + ) . ( a , b ) = . ( a , b ) + . ( a , b ) 
Demostración: 
( + ) . ( a , b ) = ( ( + . a , ( + ) . b ) = ( . a + . a , . b + . b ) 
 = ( . a , . b ) + ( . a , . b ) = . ( a , b) + . ( a , b ) 
Se aplicó la definición (2), la distributividad del producto con respecto a la suma en R, y las defi-
niciones (1) y (2). 
 
V7) . es distributivo respecto de la suma en R
2
 
  R ,  (a , b ) ; ( c , d )  R
2
 : . ( ( a , b ) + ( c, d ) ) =  . (a , b) +  . ( c , d) 
Demostración: 
. ( ( a , b ) + ( c , d ) ) =  . ( a + c , b + d ) = (  . ( a + c ) , . ( b + d ) ) = 
 ( . a + . c , . b + . d ) = ( . a ,  . b ) + (  . c , . d) 
 =  . ( a , b ) +  . ( c , d ) 
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Se aplicó la definición (1), la definición (2), la distributividad del producto con respecto a la 
suma en R, y la definición (1) y (2) 
 
V8) la unidad de R es neutro para el . 
  ( a , b ) R
2
 : 1 . ( a , b ) = ( a , b ) 
Demostración: 1. ( a , b ) = ( 1 . a , 1 . b ) = ( a , b ) 
 
Otros ejemplos: 
- ( R 
3 
, + , R , . ) , ( R 
4 
, + , R , . ) 
En general ( R 
n 
, + , R , . ) es espacio vectorial. 
- ( K[x] , + , R . ) K[x] : es el conjunto de polinomios de coeficientes reales. 
K[x] = { a0 + a1 x + ........... + an x
n
 / ai  R  i } 
  p(x) ,  q(x)  K[x] : p(x) + q(x)  K[x] 
    R ,  p(x)  K[x] : p(x)  K[x] 
 
2.3.- Propiedades en ( V, +, K, . ) 
1) El producto del escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo 
 0 . v = 0 v V 

El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo 
 0 = 0  K 
 
3) Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo, entonces el escalar es 0 ó el vec-
tor es nulo. 
. v = 0  = 0  v = 0 
 
4) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto. 
 (   ) . v =  ( . v ) K v V 
 En particular si  = 1  v. v)v 
 
 
 
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3- Subespacio vectorial 
3.1.- Definición 
 Dados: ( V , + , K , . ) y S y S V: 
 S es subespacio de ( V , + , K , . ) si( S , + , K , . ) es espacio vectorial. 
 
Un subespacio vectorial de un espacio vectorial V es un subconjunto S de V, que a su vez es un 
espacio vectorial con las operaciones definidas en V 
 
3.2.- Criterio de subespacio 
3.2.1.-El “criterio de subespacio” permite averiguar si un conjunto es o no subespacio de un es-
pacio vectorial dado. 
Para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial, es sufi-
ciente demostrar que la suma de dos elementos de S es otro elemento de S y que la multiplicación 
de un elemento de S por un elemento del cuerpo K es otro elemento de S. 
 Dado S   y S  V: 
i) si u  S  v  S  u + v  S 
ii) si K  v  S  v  S 
 
3.2.2.- Ejemplos 
Ejemplo 1: B = { ( x , y )  R
2
 / y = x }, es subespacio de (R
2 
, +, R, . ) 
Demostración: 
1.-  v1 y v2  B v1 + v2  B 
 Si v1 = ( a1 , b1 )  B b 1 = a 1 
 Si v2 = ( a2 , b2 )  B b 2 = a 2 
 S. m. a m. v1 + v2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) (1) b1 + b2 = a1 + a2 (2) 
 Reemplazando (2) en (1), se tiene v1 + v2 = ( a1 + a2 , a1 + a2 )  B I 
 
2.-  v  B y    R v  B 
 Si v = ( a , b )  B b = a 
 m. m. a m.  =  = 
  . v = . ( a , b ) b = . a (2) 
   . v = ( . a , b ) (1) 
+ + 
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 Reemplazando (2) en (1), se tiene:  . v = (  . a , a )  B II 
Por I y II , se concluye que B es subespacio de R
2
. 
 
Representación gráfica: Si y = x 

la gráfica correspondiente es la bisectriz 
 del 1º y 3º cuadrante. 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Demostrar que A = { ( x , y )  R
2
 / x  0 } No es subespacio de (R
2 
, +, R, . ) 
Demostración: 
1.-  v1 y v2  A v1 + v2  A 
 Si v1 = ( a1 , b1 )  A  a 1  0 
 Si v2 = ( a2 , b2 )  A  a 2  0 
 S. m. a m. v1 + v2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 ) (1) a1 + a2  0 * (2) 
 Reemplazando (2) en (1), se tiene: v1 + v2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 )  A I 
  0 
 2.-  v  A y    R v  A 
 Si v = ( a , b )  A  a  0 
 m. m. a m.  =  
  . v = . ( a , b ) 
   . v = ( . a , b ) no siempre pertenece a A 
 Contraejemplo: Si v = ( 3 , 5 )  A 
 .  = - 2  
   . v = (  , )  A  A no es subespacio de R
2
. 
 
Ejemplo 3: S = { ( x1 , x2 , x3 )  R
3
 / x3 = x1 + x2 } es subespacio de R
3
. 
Demostración: 
1.-  v1 y v2  S v1 + v2  S 
+ + 
*Si se suman dos de-
sigualdades del mismo 
sentido se obtiene otra 
desigualdad del mismo 
sentido 
x 
y 
a 
b 
a 
b 
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 Si v1 = ( a1 , b1 , c1 )  S  v1 = ( a1 , b1 , a1 + b1 ) 
 v2 = ( a2 , b2 , c2 )  B  v2 = ( a2 , b2 , a2 + b2 ) 
 S. m. a m. v1 + v2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 , (a1 + b1) + ( a2 + b2 )) 
 v1 + v2 = ( a1 + a2 , b1 + b2 , (a1 + a2) + (b1 + b2 ))  S I 
 
2.-  v  S y    R v  S 
 Si R 
 v = (x1 , x2 , x3 )  S  v = ( x1 , x2 , x1 + x2 ) 
 = 
 v =  . ( x1 , x2 , x1 + x2 ) 
   . v = ( . x1 , .x2 , . x1 + .x2 ) 
   . v = ( . x1 , .x2 , . (x1 + x2 ) )  S II 
 
Por I y II , concluimos que B es subespacio de R
3
. 
Al subespacio S pertenecen las ternas ( x1 , x2 , x3 )  R
3 
que satisfacen la condición: 
 x1 + x2 – x3 = 0, ecuación que define un plano que pasa por el origen. 
 
Ejemplos de ternas que pertenecen a S: ( 1 , 2 , 3 ) ; ( 2 , 3 , 1 ) ; (1 , 3 ,  4 ) ..... 
 
4.- Combinaciones lineales 
 Dado (V, +, K, .) y Sea A = { v1, v2, … , vn}  V 
Definición: 
Combinación lineal de A es todo vector: 1v1 + 2v2 + … + nvn /  i  K vi  A 
Utilizando el símbolo de sumatoria, se tiene: 
 


n
1i
iia /  i  K vi  A 
Definición: 
El vector v  V es combinación lineal de la familia de A  V, si y sólo si existen escalares 
1, 2 , … , n tales que 


n
1i
ii va 
 
+ 
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Ejemplo1: 
Sea { (1 , 2 ) , ( 3 , 1 ) }  R
2
 
 3 (–1 , 2 ) – 2 ( 3 , –1 ) = (–9 , 8 )  R
2
 
 (–9, 8) es combinación lineal de los vectores dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo2: En R 
2 
¿ es ( 7 , 2 ) combinación lineal de los vectores ( 1 , 1 ) y (1 , 4 )? 
Para averiguar si ( 7 , 2 ) es combinación lineal de los vectores ( 1, 1 ) y ( 1 , 4 ), debemos 
investigar si existen escalares  y / ( 7 , 2 ) =  . ( 1 , 1 ) +  . (1 , 4 ) 
 efectuando operaciones: ( 7 , 2 ) = ( ,  ) + (  , 4 .) 
 por igualdad de pares: ( 7 , 2 ) = (  + ,  + 4 .) 
 
 +  Si el sistema tiene soluciónes combinación 
  + 4 . =  2 (2) lineal de los vectores dados. 
 
 
 Restando las dos ecuaciones se tiene: 
  +  Reemplazando en (1) tenemos: 
  + 4 . =  2   3 = 7  
 3  = 9 
  =  3 el sistema tiene única solución, o sea que ( 7, 2) puede expresarse 
como única combinación lineal de (1, 1) y (1, 4). 

 
( 7 , 2 ) = . ( 1 , 1 )  3 . (1 , 4 ) 
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Ejemplo3: Dados p(x) = 3x + 5 y q(x) = 2x
2
 + x – 2  ( R [x], +, R, . ) 
¿ 2 x
2
 – x 
3
16
 es combinación lineal de p(x) y q(x).? 
1 ( 3x + 5 ) + 2 ( 2x
2
 + x – 2 ) = 2 x
2
 – x 
3
16
 
( 3 1 x + 5 1 ) + ( 22 x
2
 + 2 x – 22 ) = 2 x
2
 – x 
3
16
 
22x
2
 + (31 + 2) x + (51– 22) = 2 x
2
 – x 
3
16
 














3
16
2α - 5α
3
2
α
3
α1
α 1α3α
 1α 2α 2 
21
1
2
121
22
 
Los valores de 1 y 2 se reemplazan en la tercera ecuación: 
5.– 2 . 1  
3
16
 2 x
2
 – x 
3
16
es combinación lineal de p(x) y q(x). 
 
5.- Subespacio generado por una familia de vectores de V 
 El conjunto de las combinaciones lineales de todo subconjunto   de V, es un subespacio 
del mismo. 
Dados: ( V , + , K , . ) 
 A = { v1 , v2 , ... , v r }  V 
  ( A , + , K , . ) es un subespacio de V generado por A. 
 Si A = { 1 v1 + 2 v2 + .... + r v r / i  K  vi  A } 
 
Ejemplo: Determinar el subespacio de (R
3 
, + , R , . ) generado por la familia 
 A = { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 ) } 
Por definición: A es el conjunto de las ternas ( x1 , x2 , x3 )  R
3
 / 
 ( x1 , x2 , x3 ) = 1 ( 1 , 0 , 1 ) + 2 ( 0 , 1 , 0 ) 
 ( x1 , x2 , x3 ) = (1 , 0 , 1 ) + ( 0 , 2 , 0 ) 
 ( x1 , x2 , x3 ) = (1 , 2 , 1 ) 
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 x1 = 1 
  x2 = 2 
 x3 = 1  x1 = x3 
 
 A = { ( x1 , x2 , x3 )  R
3
 / x1 = x3 } 
 A es el plano de ecuación x1 - x3 = 0 
 
6.- Dependencia e independencia lineal 
6.1.- Vectores linealmente independientes 
 Dado ( V , + , K , . ) y A = { v1 , v2 , ... , v r }  V , 
A es linealmente independiente  , la combinación lineal 1 v1 + 2 v2 + .... + r v r = 0 
tiene como única solución la trivial, es decir como única solución: i = 0  i = 1 , 2 , ... , r 
 A es LI  i : 


r
1i
iii 00v 
 
 
Ejemplo: { ( 1 , 0 ), ( 1 , 1 ) }  R
2
 es L.I.
7
 Gráficamente 
 Demostración: 1 ( 1 , 0 ) + 2 ( 1 , 1 ) = ( 0 , 0 ) 
 1 + 2 = 0 
 2 = 0 y 1 = 0 
 
 
 
 
6.2.- Vectores linealmente dependientes 
 
 El A = { v1 , v2 , ... , v r }  V es linealmente dependiente  , la combinación lineal 
1 v1 + 2 v2 + .... + r v r = 0 admite al menos una solución distinta de la trivial. 
 A es L.D.  i / 


r
1i
iii 00v 
 
Ejemplo: Estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos: 
 (Para investigar la dependencia o independencia lineal, se propone la C. L. de los vectores dados, 
con escalares a determinar, que sea igual al vector nulo) 
 
7
 “C.L.” , “L.I.” , “L.D.” , serán las abreviaturas de combinación lineal, linealmente independiente y linealmente 
dependiente, respectivamente. 
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111 
 
a ) { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) }  R 
3
 
Planteo: 
1 ( 1 , 1 , 1 ) +  2 ( 2 , 2 , 0 ) +  3 ( 3 , 0 , 0 ) = ( 0, 0, 0 ) efectuando operaciones, se tiene: 
 (1 , 1 , 1 ) + ( 2  2, 2 2 , 0 ) + ( 3  3, 0 , 0 ) = ( 0, 0, 0 ) 
 (1 + 2  2 + 3  3 , 1 +2 2 , 1 ) = ( 0 , 0 , 0 ) 
Por igualdad de ternas, consideramos el siguiente sistema: 
 
1 + 2  2 + 3  3 = 0  3 = 0 
1 +2 2 = 0  2 = 0 
1 = 0 
 
El sistema solo admite la solución trivial, entonces los vectores dados son linealmente indepen-
dientes. 
 
b ) { ( 2 ,  1 , 3 ) , ( 4 , 1 , 2 ) , ( 8 , 1 , 8 ) }  R 
3
 
 Planteo: 
  .( 2 ,  1 , 3 ) + . ( 4 , 1 , 2 ) +  . ( 8 , 1 , 8 ) = ( 0, 0, 0 ) 
 ( 2 ,   , 3 ) + ( 4 ,  , 2 ) + ( 8 ,  , 8 ) = ( 0, 0, 0 ) 
 ( 2  4 + 8    + , 3 + 2 + 8 ) = ( 0, 0, 0 ) 
 
 2  4 + 8 Resolvemos el sistema por Gauss. 
   + 
 3 + 2 + 8 = 0 
 
(-3)  2 + 4  2 + 4  
 + (4) 3 + 33 + 3 
 (3) - 4- 4 = 0 0 = 0 
 Despejando en   =   (3) 
 
 Reemplazando (3) en (1)  2 + 4   
El sistema tiene infinitas soluciones, es decir que además de la trivial admite otras soluciones. 
 
 
  2 + 4 
  + 
3 + 2 + 8 = 0 
 
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Las infinitas soluciones están dadas por: 








Rkconkγ
γβ
2γα
 
Los vectores son linealmente dependientes, ya que los escalares no necesariamente son nulos. 
 
6.3.- Propiedades 
i. Todo vector no nulo de un espacio vectorial constituye un conjunto linealmente in-
dependiente 
 Sea v 0 en ( V , + , K , . ),  { v } es L.I. 
ii. El vector nulo de cualquier espacio vectorial constituye un conjunto linealmente de-
pendiente 
 0 es L.D. 
iii. Todo conjunto al que pertenezca el vector nulo es linealmente dependiente 
 Sea A = { v1 , v2 , ... , v r } con vj = 0  A es L.D. 
 iv. Condición necesaria y suficiente 
 Un conjunto finito y no vacío de vectores de un espacio vectorial, es linealmente 
dependiente  algún vector es combinación lineal de los demás. 
 Sea ( V , + , R , . ) , A = { v1 , v2 , ... , v r }  V  A   
 A L.D.   vj de A que es C.L. de los demás. 
 
6.4.- Geométricamente 
En R
2
 
 
 
 
 
 
 
 u y v son independientes u y v son dependientes (uno es múltiplo del otro) 
 
 
u 
v 
u 
v 
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En R
3
 
En R
3
, dos vectores u y v son dependientes si y solo si están situados sobre una misma recta que 
pasa por el origen y tres vectores u, v y w son dependientes si y solo sí están sobre un mismo 
plano que pasa por el origen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.- ¿Qué es un sistema de generadores? 
 7.1.- Definición 
Dado ( V , + , K , . ) y un conjunto de vectores A = { v1, v2, ......, vr )  V , A es un sistema de 
generadores de V si y sólo todo vector de V puede expresarse como combinación lineal de los 
vectores de A o bien, 
 A es S.G.
8
 de V  el espacio generado por A es V. 
 
7.2.- Ejemplos 
Ejemplo1: 
 El conjunto A = { ( 1 , 2 ) , ( 0 , 1 ) } es S.G. de R
2
 
 
Demostración: 
 Si el conjunto A es sistema de generadores de R
2
 , todo vector ( x , y ) de R
2
 debe ser C.L. de 
los vectores dados: 
 ( 1 ,  2 ) + ( 0 ,1 ) = ( x , y ) 
(  ,  2  ) + ( 0 , ) = ( x , y ) 
  = x (1) reemplazando en (2) 
  2  +  = y (2)  2 x +  = y   = y + 2 x  
  ( x , y ),   y   A es S.G. de R
2
 
 
8
 “S.G.” se utilizará para abreviar sistema de generadores 
u 
v 
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114 
 
Si el sistema de ecuaciones planteado tiene solución, el conjunto de vectores dado, es sistema 
de generadores del espacio vectorial en el que está incluido. 
 
Ejemplo2: 
 ¿Será A = { ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 3 , 0 ) } , S.G. de R
2
? 
 Para investigar realizamos el siguiente planteo: 
( 1 , 0 ) +  ( 2 , 0 ) +  ( 3 , 0 ) = ( x , y ) 
(  , 0 ) + ( 2 , 0 ) + ( 3 , 0 ) = ( x , y ) 
  + 2  + 3  = x 
 0 = y 
 
A, no es sistema de generadores de R
2
 , genera el espacio: { ( x , y ) / y = 0 } 
 
8.- Base de un espacio vectorial 
8.1.- Definición 
Sea A = { v1, v2, ......, vr ) una familia de vectores de ( V , + , K , . ) 
El conjunto A  V es una base de ( V , + , K , . ) si y sólo si es un conjunto linealmente inde-
pendiente y sistema de generadores de V. 
 A  V es una base de V  A es L.I. y es S.G. de V. 
 
8.2.- Ejemplos 
Ejemplo 1: El conjunto B = { (1 , 1 , 2 ) , ( –1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } es base de R 
3
 
Si B es base de R
3
,  es linealmente independiente y sistema de generadores de R
3
. 
Demostración: 
i) Demostrar que los vectores son linealmente independientes. 
 (1 , 1 , 2 ) +  ( –1 , 0 , 2 ) + ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 0 , 0 ) 
 ( ,  , 2 ) + ( –  , 0 , 2 ) + ( 0 , 0 ,  ) = ( 0 , 0 , 0 ) 
 
–  = 0 = 0 
 = 0 
 2 + 2  +  = 0  = 0. La única solución que admite es la trivial  son linealmente 
independientes. 
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ii) Demostrar que B es sistema de generadores de R
3
. 
(1 , 1 , 2 ) +  ( –1 , 0 , 2 ) + ( 0 , 0 , 1 ) = ( x , y , z ) 
( ,  , 2 ) + ( –  , 0 , 2 ) + ( 0 , 0 ,  ) = ( x , y , z) 
 
–  = x = y – x 
 = y 
 2 + 2  +  = z 2 y + 2 ( y – x ) +  = z  = z – 4y + 2x 
 , , y  cualquiera sea x , y , z  B es sistema de generadores de R
3
. 
 
Ejemplo 2: Encontrar una base para el subespacio siguiente: 
 A = { ( x , y , z ) R
3
 / x = y } 
Si x = y  ( x , x , z )  A. 
Una forma de plantear sería la siguiente: 
( x , x , z ) = ( x , x , 0 ) + ( 0 , 0 , z ) 
 = x ( 1 , 1 , 0 ) + z ( 0 , 0 , 1 ) 
{ ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 0 , 0 , 1 ) } es Base de A 
 
8.3.- Base canónica 
Una base de ( R
n
 , + , R , . ) está dada por el conjunto de vectores: 
 e1 = ( 1 , 0 , 0 , ... , 0 ) 
 e2 = ( 0 , 1 , 0 , ... , 0 ) 
 e3 = ( 0 , 0 , 1 , ... , 0 ) 
 ................................... 
 en = ( 0 , 0 , 0 , ... , 1 ) 
 
 El conjunto { e1 , e2 , e3, ....., en } es L.I. y S.G. de R
n
. Se llama base canónica de R
n
. 
{ ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } es base canónica de R
2
 
{ ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } es base canónica de R
3 
 
…………………………………………………………………… 
{ ( 1 , 0 , … , 0 ) , ( 0 , 1 , … , 0 ) , ( 0 , … , 0 , 1 ) } es base canónica de R
n 
 
 
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9.- Coordenadas o componentes de un vector 
 Si el conjunto [v] = { v1 , v2 , ....., vr } es base de ( V , + , K , . )  cada vector de V puede 
expresarse de modo único como combinación lineal de la base [v] , ya que los vectores de ésta 
son L.I. y S.G. de V. 
 O sea que si v  V  existen y son únicos los escalares 1 , 2 , … , r / 
 v = 1 v1 + 2 v2 + … + r vr = 


r
1i
ii v   i  K . 
 
Por lo que, respecto a la base dada, el vector v  V , queda caracterizado por los coeficientes de 
la combinación lineal o sea por la r-upla de escalares de K: 1 , 2 , … , r . Los escalares i 
se llaman coordenadas o componentes del vector v  V , respecto de la base dada. 
 Si se elige otra base [v] en el espacio V  el mismo vector v admite otras coordenadas o 
componentes: ’1 , ’2 , … , ’r . 
 
Ejemplo 1: 
Hallar las coordenadas de ( 5 , 3 , 2 ) : 
i) respecto a la base {(1 , 1 , 2 ) , ( –1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 )} 
 Las coordenadas son los valores de y / 
( 5 , 3 , 2 ) = (1 , 1 , 2 ) +  ( –1 , 0 , 2 ) + ( 0 , 0 , 1 ) 
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que:  – 2 , = 0 
 
Verificación: (1 , 1 , 2 )  ( –1 , 0 , 2 ) + ( 0 , 0 , 1 ) = ( 5 , 3 , 2 ) 
 
ii) respecto a la base canónica 
 Las coordenadas son los valores de y / 
( 5 , 3 , 2 ) = (1 , 0 , 0 ) +  ( 0 , 1 , 0 ) + ( 0 , 0 , 1 ) 
 
  
 
 
 
 3 , = 2 
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10.- Dimensión de un espacio vectorial 
Dos bases cualesquiera de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Tal 
número es la dimensión del espacio. 
 
10.1.- Definición: 
Dimensión de un espacio vectorial V es el número cardinal de cualquiera de sus bases. 
 
El espacio vectorial constituido por el vector nulo, diremos que tiene dimensión 0. 
 
10.2.- Propiedad 
“Un conjunto de n vectores de un espacio vectorial n-dimensional es una base si y solo si es li-
nealmente independiente o sistema de generadores. [...] 
En consecuencia afirmamos que: 
1. n vectores linealmente independientes de un espacio vectorial n-dimensional constituyen 
una base del mismo. 
2. Todo sistema de generadores de n vectores de un espacio vectorial n-dimensional es una 
base del mismo. 
3. Todo conjunto de más de n vectores de un espacio vectorial n-dimensional es linealmente 
dependiente.”
9
 
 
11.- Ejercicios propuestos a modo de autoevaluación 
11.1.- Decir si son V o F las siguientes expresiones. Justifique la respuesta en cada caso. 
a) Todo vector nulo es Ld. 
b) Si  v = 0   = 0 
c) ( Z , + , R , . ) es E. V. 
d) Todo conjunto de vectores que contiene al vector nulo es linealmente independiente. 
e) Si A es L.I.,  ningún vector deA es combinación lineal de los demás. 
f) Si un conjunto A de n vectores, incluido en un E.V. n-dimensional es L.I. ,  A es una 
base del E.V. considerado. 
g) Todo conjunto de más de n vectores de E.V. n-dimensional es L.I. 
 
9
 Rojo, A. Álgebra II 
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11.2.- Asociar la notación simbólica de las propiedades con el enunciado correspondiente 
 
0 V /  v V : 0 + v = v + 0 = v Existencia del inverso aditivo u opuesto en V 
 K ,  v , w  V : 
 . ( v + w ) =  . v +  . w 
. admite asociatividad mixta 
K , v V : 
 . ( . v ) = (  . ) . v 
. es distributivo respecto de la suma en K 
 K , v  V : 
 (  + ) . v = . v + . v 
Existencia del neutro para la suma en V 
v V ,  v V / 
 v + (v) = (v) + v = 0 
. es distributivo respecto de la suma en V 
 
11.3.- Decidir si {( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 1 , 0 )} es LD. o L.I. Justificar la respuesta. 
 
11.4.- Sin hacer cálculos ¿puede decir cuantas formas existen para expresar al vector ( 0 , 0 ) co-
mo combinación lineal de v1 = ( 1 , 2 ) y v2 = ( 2 , 4 )? 
 
11.5.- Establezca la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 
a. Todo conjunto que contiene un subconjunto L.D. es L.D. 
b. Todo subconjunto de un conjunto de vectores L.I. es L.I. 
c. Un único vector es L.I. 
d. { ( 1, 3 , 0 ) , ( 1 , 3 ,4 ) , ( 0 , 0 , 0 ) } es L.I. 
 
11.6.- Escribir la base canónica de R
4
. 
 
11.7.- Completar: 
 a) A es S.G. de V  ……………………………………………………………. 
 b) A  V es una base de V  A …………………………………………….. 
 c) Si v  V , queda caracterizado por la r-upla de escalares de K: 1 , 2 , … , r , los 
escalares i se llaman ……………………………………………… respecto de la base dada. 
 d) El espacio vectorial constituido por el vector nulo, tiene dimensión…………….. 
 
 
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 e) Si { u1 , u2 }  R
2
 , es L.I.  genera ............................................... 
 f) Un conjunto de { u1 , u2 , u3 }  R
2
, es S. De G. de R
2 
, pero no es ……….. 
 …………………………………............................................................. 
 
11.8.- Si p1 (x) = x + 1, p2 (x) = x
2 
+ 1, p3 (x) = 7 son polinomios per-
tenecientes a Pn (x) , escribir p(x) = 2x
2 
+ 3x + 33 como combinación lineal de 
los vectores p1 (x), p2 (x) y p3 (x) 
 
11.9.- Determinar el subespacio de ( R
3
, + , R , . ) generado por los vectores: 
 v1 = ( 1 , 1 , 2 ); v2 = ( 0 , 1 , 1 ) y v3 = ( 1 , 1 , 0 ). 
 
11.10.- ¿Qué valores del número real K hacen que el conjunto de vectores 
 { ( 1 , 0 , k ), ( k , 1 , 0 ), ( k+1 , 1 , k ) } sea una base de R
3
? 
 
12.- Bibliografía básica consultada 
1.- Di Caro H. Álgebra y Geometría Analítica. Tomo I. Gráfica Munro. 
2.- Rojo A. Álgebra II. Tomo II. El Ateneo. 
3.- Sagastume – Berra. Álgebra y Cálculo Numérico. Kapelusz 
4.- Seymour L. Álgebra Lineal. Serie Schaum. McGraw-Hill