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Plano Esp. Lydia María Llanos 
 
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PLANO 
Contenidos 
Trataremos la más sencilla de las superficies: el plano. Encontraremos la ecuación del plano en 
sus distintas formas: vectorial, cartesiana y segmentaria. Ésta última nos permitirá realizar la gra-
fica para el caso de planos que no pasen por el origen. Particularizaremos las ecuaciones y gráfi-
cas de planos con respecto a los ejes y planos coordenados: perpendiculares, paralelos a los pla-
nos coordenados; que pasan por el origen; que contienen a uno de los ejes coordenados. Determi-
naremos el ángulo entre dos planos a través de la formula apropiada, también estableceremos las 
condiciones que deben verificarse para que dos planos sean perpendiculares, o sean paralelos. 
Definiremos y consideraremos la ecuación del haz de planos o familia de planos. Por último ha-
llaremos la distancia de un punto a un plano y la distancia entre dos planos paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
- Escribir las distintas ecuaciones de planos o de familia de planos, a partir de datos dados. 
- Graficar planos a partir del reconocimiento de las ecuaciones que contemplen diferentes po-
siciones de los planos con respecto a los ejes o planos coordenados. 
- Hallar ángulos determinados por planos y reconocer analíticamente planos paralelos y per-
pendiculares. 
- Calcular la distancia de un punto a un plano y la distancia entre dos planos paralelos. 
- Resolver situaciones problemáticas a través de la aplicación de diferentes ecuaciones referi-
das a planos. 
 
 
Plano Un 
 
P0  
 . = 0 A x + B y + C z + D = 0 
 
Se expresa por 
las ecuaciones 
Para graficar 
Vectorial General Segmentaria 
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1.- Introducción 
Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio 
Se consideran tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en un punto común O. 
Los planos se llaman planos coordenados, las rec-
tas de intersección de estos planos ejes coordena-
dos y el punto O origen del sistema de coordena-
das rectangulares. 
El plano coordenado que contiene al eje X y a l 
eje Y se llama plano XY; en forma análoga tene-
mos los planos XZ e YZ. Los tres planos coor-
denados dividen al espacio en ocho regiones lla-
madas octantes. El octante determinado por los 
semiejes positivos se llama primer octante. En la 
práctica se trazan solamente los ejes coordenados. 
Un punto P en el espacio tiene una y solo una terna de coordenadas ( x , y , z ), referida a un sis-
tema coordenado rectangular especificado. Recíprocamente, una terna de coordenadas (x, y , z) 
determina uno y solo un punto P en el espacio con respecto a un sistema coordenado fijo. 
 
2.- Ecuaciones del plano 
2.1.- Ecuación vectorial y ecuación cartesiana 
Plano  determinado por un punto P0 y el vector normal a él. 
 Dados: P0   , con P0 ( x0 , y0 , z0 ) 
 y n   , con n = ( n1 , n2 , n3 ) 
Sea P un punto genérico   , con P( x , y , z ), el 

PP0 es perpendicular a 
n . 
 
 Si 

PP0  
n  
 
 Que es la Ecuación vectorial del plano 
 
 
 
P 
P0 
x 
y 
z 
o 
 

PP0 . 
n = 0 
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Si 

PP0 = ( x – x0 , y – y0 , z – z0 ) , el producto escalar está dado por: 
 ( x – x0 , y – y0 , z – z0 ). ( n1 , n2 , n3 ) = 0 
 n1 ( x – x0 ) + n2 ( y – y0 ) + n3 ( z – z0 ) = 0 
 
Efectuando las operaciones indicadas, tenemos: 
 Que es la Ecuación general del plano en forma general o implícita 
 
 A, B , C y D son constantes y (A , B, C ) es un vector perpendicular al plano. 
 
2.2.- Ecuación segmentaria 
 Dada la ecuación: A x + B y + C z + D = 0, con D  0 
 Si pasamos D al segundo miembro, tenemos: A x + B y + C z = –D 
 
 Multiplicando ambos miembros por 
D
1
 : 1z
D
C
y
D
B
x
D
A
 
 
 Luego: 1
C
D
z
B
D
y
A
D
x






, llamando a, b y c a los denominadores respec-
tivamente, se tiene: 
 
 Que es la Ecuación segmentaria del plano 
 
 Esta ecuación nos permite graficar el plano. 
 
 a , b y c son las coordenadas al origen 
 
 
 
Observación: La ecuación segmentaria es una forma restringida ya que no se puede aplicar, por 
ejemplo, a un plano que pasa por el origen. 
 
 
A x + B y + C z + D = 0 
a 
b 
c 
X 
Y 
Z 
1
c
z
b
y
a
x
 
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2.3.- Ejemplo 
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto ( 1 , 2 , 0 ) y es perpendicular al vector 
( 2 ,  3 , 2 ). Realizar el gráfico correspondiente. 
Datos: P0   ; P0 = ( 1 , 2 , 0 ) 
 n   ; n = ( 2 , 3 , 2 ) 
 P genérico   ; P ( x , y , z ) 
Reemplazando los datos en la ecuación : 

PP0 . 
n = 0 , se tiene: 
 ( x – 1 , y – 2 , z – 0 ) . ( 2 , 3 , 2 ) = 0 Ecuación vectorial del plano 
 Efectuando el producto : 2 x – 3 y + 2 z + 4 = 0 Ecuación general del plano 
Para graficar hallaremos la ecuación segmentaria 
 
 
 1
2
z
3
4
y
2
x




 
 
 
2.4.- Otras ecuaciones del plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Plano determinado por un punto y dos direcciones paralelas al mismo 
Dados: P0 ( x0 , y0 , z0 )   
 

u = ( u1 , u2 , u3 )   y 

v = ( v1 , v2 , v3 )   
 
 
Ecuación vectorial paramétrica 
 
 





vuOPOP 0 
Ecuación cartesiana paramétrica 








330
220
110
vuzz
vuyy
vuxx
 
 
Ecuación vectorial 
 
0)vxu.(P0 

P 
x 
z 
y o 
-2 
-2 
4/3 
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3.- Posiciones particulares del plano con respecto a los ejes y planos coordenados 
 
 Si consideramos la ecuación general: A x + B y + C z + D = 0, en la que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Uno de los coeficientes es nulo 
 
 Por ejemplo, 
 si C = 0  A 0 , B  0 , D 0 
  A x + B y + D = 0 
 
 El Plano  es  al eje z 
 o   al plano xy 
 
 Ejemplos: i) 3x + 6 y  2 = 0 
 
 ii) 2x  2z + 3 = 0 Es un plano  al eje y o  al plano xz 
 
 iv) 4y + 2 z  3 = 0 Es un plano  al eje x o  al plano yz 
 
 
b) El término independiente es nulo 
 
 Si D = 0  A 0 , B  0 , C  0 
 A x + B y + C z = 0 
 El plano pasa por el origen de coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 3x + 2y 4z = 0 
 
 Si D = 0  C = 0 ,  A 0 , B  0 
  A x + B y = 0 
El plano pasa por el origen y contiene al eje z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: i) 2x + 3 y = 0 
 ii) 3y  2z = 0 contiene al eje x 
a 
b 
x 
y 
z 
o 
 
x 
y 
z 
O 
 
Tr yz 
Tr xy 
Tr xz x 
y 
z 
o 
 
Tr xy 
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4.- Ángulo de dos planos 
Dados dos planos  1 y  2 no paralelos: 
 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 
 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 
El ángulo, entre los planos  1 y  2 , queda determinado por su coseno que vale: 
 
 Con 0     
 
Por ejemplo: Encontrar el ángulo determinado por 
 1  2 x  y + 3 z = 1 y 2  x + 2 y + 2 z = 9 
 , está dado por Cos  = 


143
6
441.914
2.32.11.2
 0.53 
  = arco cos de 0,53 = 57º 41’ 18,48’ 
 c) Dos coeficientes son nulos 
d) Dos coeficientes y el término independiente, son 
nulos 
 
 Si B = C = 0  A  0 , D  0 
  A x + D = 0, resulta: x = 
A
D
 
 Es un plano // al plano yz o  al eje x 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: i) 2x  4 = 0 
 ii) 6y + 3 = 0 , es un plano // al plano xz 
iii) 4z  3 = 0 , es un plano // al plano xy 
 
 Si B = C = D = 0  A  0 
  A x = 0 Es la ecuación del plano yz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 By = 0 , es la ecuación del plano xz 
 Cz = 0 , es la ecuación del plano xy 
Cos  = 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBA.CBA
CCBBAA


 
x 
y 
z 
o 
 
X 
Y 
Z 
o 
YZ 
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5.- Planos paralelos y planos perpendiculares 
 5.1.-  1 //  2  

1n // 

2n , es decir 
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
 
 5.2.-  1   2  

1n  

2n , es decir A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 
 5.3.-  1 y  2 son coincidentes  
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
 
Por ejemplo: 
dados 1 : 2 x  y + 3 z = 1 ; 2 : x + 2 y + 2 z = 9 ; 3 : x + y  
2
3
 z = 2 
 4 :  5 x + 2 y + 4 z = 0 ; 5 :  8 x  8 y + 12 z = 1 ; 6 :  2 x + y  3 z = 5 
a) 1 // 6 porque 1
3
3
1
1
2
2






 
b) 3 // 5 ; porque 
8
1
12
2
3
8
1
8
1






 
c) 2  5 , porque 1.(8) + 2.( 8) + 2.12 = 0 
d) 4  1 , porque ( 5).2 + 2.( 1) + 4.3 = 0 
 
6.- Haz de planos o familia de planos 
Se llama Haz de planos determinado por los planos 1 y 2 que se intersecan en la recta r, al 
conjunto de todos los planos que pasan por r. La recta se llama eje del haz. 
 
 
 Dados  1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 
 y  2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 
Sumando  1 + k  2 se tiene: 
 la ecuación del haz de planos 
 
 ( A1 + k A2 ) x + ( B1 + k B2 ) y + ( C1 + k C2 ) z + ( D1 + k D2 ) = 0 
 
 
 1 
 2 
 3 
r 
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7.- Distancia 
 
Distancia de un punto P0 a un plano  
 
Distancia del origen O a un plano  
 
Dados  : A x + B y + C z + D = 0 
 
 y P0 (x0 , y0 , z0 )   
 d ( P0 ,  ) = 
222
000
CBA
DzCyBxA


 
 
 d ( O ,  ) = 
222 CBA
D

 
 
 
Distancia entre dos planos paralelos 
 Dados 1 // 2  1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 
  2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 
 d (1 , 2 ) = 
222
21
CBA
DD


 
 
Planos bisectores 
 
Dados:  1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,  2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 
 



2
1
2
1
2
1
1111
CBA
DzCyBxA
2
2
2
2
2
2
2222
CBA
DzCyBxA


 
 
 
8.- Ejercicios resueltos 
8.1.- Hallar la ecuación del plano que contenga a los puntos: 
 ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 2 ) , (1 , 3 , 2 ) 
Una forma de plantear es la siguiente: 
 Se considera un punto P genérico, P = ( x , y , z )  al plano 
Fig. de análisis 
 y los vectores: 
)2,1,1(AC
)2,0,0(AB
)z,2y,x(AP






 
A 
B 
C 
P  
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Recordemos que tres vectores son coplanares si el producto mixto es nulo, se plantea entones la 
ecuación vectorial: 
 Se resuelve el determinante:0
211
200
z2yx



 
  2 x  2 ( y – 2 ) = 0   2 x  2 y + 4 = 0 
  x + y  2 = 0 es la Ec. general del plano. Es un plano paralelo al eje z 
 
 Para graficar consideramos la ecuación segmentaria: 1
2
y
2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
8.2.- Sean los planos  1 : 2 x  y + z  7 = 0 y  2 : x + y + 2 z  11 = 0 
 Hallar: i) El plano del haz que pasa por el punto (1 , 2 , 1 ). 
ii) El ángulo determinado por los dos planos. 
iii) La distancia del punto P( 2 , 3 , 5 ) al plano  1 
Solución: 
i) La ecuación del haz es: ( 2 + k ) x + (  1 + k) y + ( 1 + 2k ) z + (  7  11 k) = 0 (1) 
 Si pasa por (1 , 2 , 1 ): ( 2 + k )(1) + (  1 + k) 2 + ( 1 + 2k )1 + (  7  11 k) = 0 
  k = 
4
5
 
Reemplazando k en la ecuación (1) del haz, se tiene: 
( 2 
4
5
 ) x + (  1 
4
5
 ) y + ( 1 + 2 (
4
5
 ) ) z + (  7  11 (
4
5
 )) = 0 
Resolviendo las operaciones indicadas, se tiene: 
4
3
 x  
4
9
y  
2
3
z + 
4
27
 = 0 
0)ACxAB.(AP 

x 
y 
z 
o 
2 
2 
 
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Eliminando denominadores: 3 x  9 y  6 z + 27 = 0  x  3 y  2 z + 9 = 0 
 
ii) Cos  = 
2
1
6
3
411.114
212



 
  = arco coseno 
2
1
   = 60º 
 
iii) La distancia del punto P( 2 , 3 , 5 ) al plano  1 
 d ( P , 1 ) = 04,2
6
65
6
5
114
75)3(2.2



 
 
8.3.- Encontrar la ecuación del plano paralelo al plano XZ y que pasa por ( 2 ,6 , 3 ) 
Si es paralelo al plano XZ,  tienen el mismo vector normal. 
Y el vector normal es el versor ( 0 , 1 , 0 ) 
Si 

PP0 . 
n = 0 
  ( x – 2 , y – 6 , z – 3 ) . ( 0 , 1 , 0 ) = 0 
 
 y – 6 = 0 
 
 
 
8.4.- Hallar la distancia entre los planos 1 :  2 x + y  3 z = 5 y 2 : 2 x  y + 3 z = 1 
Solución: los planos dados son planos paralelos, para una mejor comprensión escribiremos las 
ecuaciones como sigue: 
 1 :  2 x + y  3 z  5 = 0 y 2 :  2 x + y  3 z + 1 = 0 
 La distancia está dada por la expresión d (1 , 2 ) = 
222
21
CBA
DD


 
 Reemplazando por los datos, se tiene: d (1 , 2 ) = 60,1
14
6
914
15





 
6 
x 
y 
z 
o 
 
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8.5.- Hallar el lugar geométrico de los puntos equidistantes de (–1 , 2 , 0 ) y ( 1 , –2 , 1 ) 
 Consideremos un punto genérico P ( x , y , z ) , llamaremos A y B respectivamente a los puntos 
dados. 
  dist ( P, A ) = dist ( P , B ) 
 222222 )1z()2y()1x(z)2y()1x(  
 x
2
 + 2x + 1 + y
2
 – 4y + 4 + z
2
 = x
2
 – 2x + 1 + y
2
 + 4y + 4 + z
2
 – 2z + 1 
 4x – 8y + 2z – 1 = 0 es la ecuación de un plano 
 
9.- Ejercicios propuestos a modo de autoevaluación 
9.1.- Completar el siguiente cuadro: 
Ecuación En R
2 
representa: En R
3 
representa: 
y = 2 
2x + 3y = 0 
x – 5 = 0 
y = 0 
3x + y – 2 = 0 
y + 3 = 0 
 
9.2.- Completar el siguiente cuadro con las expresiones cartesianas correspondientes a las distan-
cias que en cada caso se especifican 
Distancia de P0 a una recta en R
2
 
 
 
Distancia de P0 a un plano 
 
Distancia del origen de coordenadas a una 
recta en R
2
 
 
 
 
 
Distancia del origen de coordenadas a un 
plano 
 
 
 
 
Distancia entre dos rectas paralelas en R
2
 
 
 
Distancia entre dos planos paralelos 
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9.3.- Dada la siguiente figura, encontrar simbólicamente la ecuación del plano  determinado por 
los tres puntos P1, P2 y P3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.- Bibliografía básica consultada 
1.- DI CARO, Héctor. Álgebra y Geometría Analítica. Tomo I. Gráfica Munro. 
2.- LEMAN . Geometría Analítica 
3.- BURGOS, Juan de. Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana.