TP 17 TEORIA 2021

Vista previa del material en texto

24/8/2021
1
Análisis Matemático I 
• Ing. Roberto Lamas
• Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 17
Métodos de integración: Integrales de funciones 
racionales trigonométricas. Calculo de área en 
coordenadas polares.
Integración de funciones racionales de senos y/o cosenos.
𝑃(𝑠𝑒𝑛 𝑥, cos 𝑥)
𝑄(𝑠𝑒𝑛 𝑥 , cos 𝑥)
 𝑑𝑥
El método consiste en llevarlo a la forma ∫
( )
( )
 𝑑𝑡
24/8/2021
2
𝑡 = 𝑡𝑔
𝑥
2
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
= 
𝑡
1 + 𝑡
𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
= 
1
1 + 𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
cos
𝑥
2
= 
2𝑡
1 + 𝑡
1
1 + 𝑡
= 
2𝑡
1 + 𝑡
cos 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
− 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
= 
1
1 + 𝑡
−
𝑡
1 + 𝑡
= 
1 − 𝑡
1 + 𝑡
𝑡𝑔 
𝑥
2
= 𝑡 ⇒ 𝑥 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 
2
1 + 𝑡
 𝑑𝑡
24/8/2021
3
𝑑𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= 
2𝑑𝑡
1 + 𝑡
1 +
2𝑡
1 + 𝑡
=
Ejemplo:
=
2 
1 + 𝑡 + 2𝑡
 𝑑𝑡 = 
2
𝑡 + 1
 𝑑𝑡 =
= −
2
𝑡 + 1
+ 𝐶 = − 
2
𝑡𝑔
𝑥
2
+ 1
+ 𝐶
Área de una región plana en 
coordenadas polares.
Vamos a definir y calcular el 
área de la región comprendida 
entre la curva de ecuación 
polar y las 
semirrectas . 
( con 
24/8/2021
4
Se parte de la base de que se conoce el área de un 
sector circular 
Se efectúa una partición del intervalo [ ] es una 
subdivisión del mismo. Para la división se toman 
puntos arbitrarios.
Pn { a = θ0 , θ1 , θ2, θ3 , ….., θn-1, θn = b } con la 
condición θ0 < θ1 < θ2 < …… < θn
Se trazan las semirrectas 𝜃 = 𝜃 la región queda dividida en n 
subregiones Ri ( 𝜌 = 𝑓(𝜃) 𝜃 ∈ (θi−1, θi) )
A(R ) = ∑ 𝐴 𝑅
24/8/2021
5
Sea T un aumento de P ; T = { t1, t2, t3, … , tn}
Se aproxima el área de cada región Ri por 
medio del área de un sector circular de radio ti
y ángulo central θi – θi-1= ∆θi
𝐴 𝑅 ≅ 𝐴 𝑆𝐶 = 
1
2
 𝑓 ∆𝜃
𝐴 𝑅 = 𝐴 𝑅 ≅ 𝐴 𝑆𝐶 =
 Suma de Riemann
Como mejoramos la aproximación? Haciendo que 
∆𝜃 ⇔ 𝜇 𝑃 → 0
Se define 𝐴 𝑅 = lim
( )→
∑ 𝑓 ∆𝜃 si existe sin 
depender de P ni de T
𝐴 𝑅 = 
1
2
𝑓 𝑑𝜃 = 
1
2
 𝜌 𝑑𝜃
Y si f es continua se puede aplicar la regla de Barrow.
24/8/2021
6
Ejemplo1: Determinar el área de la 
región interior a la cardiode r = 1 +cos 𝜃
1 + cos 𝜃 𝑑𝜃
= 1 + 2 cos 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 =
1 + 2 cos 𝜃 +
1
2
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 = 
3
2
𝜃 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
4
𝑠𝑒𝑛2𝜃 =
3
2
𝜋
Ejemplo 2 : Determinar el área de la 
región interior a la circunferencia de 
ecuación r = 2 cos 𝜃.
2 
1
2
 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 
/
= 
4
2
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 =
/
=2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝜋
24/8/2021
7
Ejemplo: Determinar el área de la región interior a la 
cardiode r = 1 +cos 𝜃 y exterior a la circunferencia de 
ecuación r = 2 cos 𝜃.
1 + cos 𝜃 𝑑𝜃 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = 
/
= 
3
2
𝜋 − 𝜋 = 
𝜋
2