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Teorema de Gauss El teorema de Gauss o de la divergencia es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen delimitado por dicha superficie. De forma más precisa, el teorema de la divergencia enuncia que la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región dentro de la superficie. Intuitivamente enuncia que la suma de todas las fuentes de un campo en una región da el flujo de salida neto de una región.∫ ∫ S F · ndσ = ∫ ∫ ∫ D ∇ · FdV Usando el teorema de la divergencia calcular el flujo hacia afuera de los siguientes problemas. 7. Cilindro y paraboloide F = yî+xyĵ−zk̂. D: La región dentro del cilindro solido x2+y2 ≤ 4, el plano z = 0 y el paraboloide z = x2 + y2 solución: La divergencia de F es ∇ · F = ∂ ∂x (y) + ∂ ∂y (xy) + ∂ ∂z (−z) = x− 1 Sea S la superficie que encierra la región D, entonces, por el teorema de la divergencia, el flujo a través de este limite esta dado∫ ∫ S F · ndσ = ∫ ∫ ∫ D ∇ · FdV = ∫ ∫ ∫ D (x− 1)dV los limites de integración, usando coordenadas cilíndricas, son 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ z ≤ r2 Entonces, el flujo hacia afuera a través de la frontera de D es∫ ∫ S F · ndσ = ∫ 2π 0 ∫ 2 0 ∫ r2 0 (r cos θ − 1)rdzdrdθ ∫ 2π 0 ∫ 2 0 ∫ r2 0 (r cos θ − 1)rdzdrdθ = ∫ 2π 0 ∫ 2 0 (r2 cos θ − r)[z]r 2 0 drdθ = ∫ 2π 0 ∫ 2 0 (r2 cos θ − r)r2drdθ = ∫ 2π 0 ∫ 2 0 (r4 cos θ − r3)drdθ = ∫ 2π 0 [ r5 5 cos θ − r 4 4 ]2 0 dθ = ∫ 2π 0 ( 32 5 cos θ − 4 ) dθ = 32 5 [sin θ]2π0 − 4[θ]2π0 = 0− 4(2π) = −8π 9. Esfera F = x2î+ xzĵ + 3zk̂. D: La esfera solida x2 + y2 + z2 ≤ 4. solución: La divergencia de F es ∇ · F = ∂ ∂x (x2) + ∂ ∂y (−2xy) + ∂ ∂z (3xz) = 2x− 2x+ 3x = 3x Sea S la superficie que encierra la región D, entonces, por el teorema de la divergencia, el flujo a través de este limite esta dado ∫ ∫ S F · ndσ = ∫ ∫ ∫ D ∇ · FdV Usando coordenadas esféricas x = r cos θ sinϕy = r sin θ sinϕ z = r cos θ Por lo cual, tenemos que ∇ · F = 3x = 3r cos θ sinϕ Además, dV = r2 sinϕdrdθ y dado que se trata de una esfera con centro en el origen y de radio r = 2, tenemos que los limites de integración son 0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 2 Entonces, el flujo hacia afuera a través de la frontera de D es∫ ∫ S F · ndσ = ∫ π 2 0 ∫ π 2 0 ∫ 2 0 (3r cos θ sinϕ)r2 sinϕdrdϕdθ resolviendo,∫ π 2 0 ∫ π 2 0 ∫ 2 0 (3r cos θ sinϕ)r2 sinϕdrdθ = 3 ∫ π 2 0 ∫ π 2 0 ∫ 2 0 r3 cos θ sin2 ϕdrdϕdθ = 3 ∫ π 2 0 ∫ π 2 0 cos θ sin2 ϕ [ r4 4 ]2 0 dϕdθ = 12 ∫ π 2 0 ∫ π 2 0 cos θ sin2 ϕ [ r4 4 ]2 0 dϕdθ = 12 ∫ π 2 0 cos θdθ ∫ π 2 0 1 2 (1− cos 2ϕ)dϕ = 12 [sin θ] π 2 0 [ ϕ 2 − sin 2ϕ 4 ]π 2 0 = 12(1) (π 4 ) = 3π 11. cuña F = 2xzî− xyĵ − z2k̂. D: La cuña que corta el primer octante por el plano y + z = 4 y el cilindro elíptico 4x2 + y2 = 16 solución: La divergencia de F es ∇ · F = ∂ ∂x (2xz) + ∂ ∂y (−xy) + ∂ ∂z (−z2) = 2z − x− 2z = −x Sea S la superficie que encierra la región D, entonces, por el teorema de la divergencia, el flujo a través de este limite esta dado por∫ ∫ S F · ndσ = ∫ ∫ ∫ D ∇ · FdV los limites de integración son 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √ 16− 4x2, 0 ≤ z ≤ 4− y entonces, el flujo hacia afuera de la superficie es∫ ∫ S F · ndσ = ∫ 2 0 ∫ √16−4x2 0 ∫ 4−y 0 (−x)dzdydx resolviendo,∫ 2 0 ∫ √16−4x2 0 ∫ 4−y 0 (−x)dzdydx = ∫ 2 0 ∫ √16−4x2 0 (−x) [z]4−y0 dydx = ∫ 2 0 ∫ √16−4x2 0 (−x)(4− y)dydx = ∫ 2 0 (−x) [ 4y − y 2 2 ]√16−4x2 0 dx = ∫ 2 0 −x [ 4 √ 16− 4x2 − 16− 4x 2 2 ] dx = ∫ 2 0 −4x √ 16− 4x2 + x 2 (16− 4x2)dx = −4 ∫ 2 0 x √ 16− 4x2 + ∫ 2 0 (8x− 2x3)dx = −4 ∫ 1 60 − √ u 8 du+ [ 4x2 − x 4 2 ]2 0 = −4 [ 1 8 2u 3 2 3 ]1 0 6 + 8 = −1 2 [ 2(16) 3 2 3 ] + 8 = −1 2 128 3 + 8 = −64 3 + 8 = −40 3 13. Esfera gruesa F = √ x2 + y2 + z2(xî+ yĵ + zk̂). D: La región 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 2. La divergencia de F es ∇ · F = ∂ ∂x (x √ x2 + y2 + z2) + ∂ ∂y (y √ x2 + y2 + z2) + ∂ ∂z (z √ x2 + y2 + z2) = (√ x2 + y2 + z2 + x2√ x2 + y2 + z2 ) + (√ x2 + y2 + z2 + y2√ x2 + y2 + z2 ) + (√ x2 + y2 + z2 + z2√ x2 + y2 + z2 ) = 3 √ x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z2√ x2 + y2 + z2 = 4 √ x2 + y2 + z2 Sea S la superficie que encierra la región D, entonces, por el teorema de la divergencia, el flujo a través de este limite esta dado por∫ ∫ S F · ndσ = ∫ ∫ ∫ D ∇ · FdV entonces, el flujo hacia afuera de la superficie es∫ ∫ S F · ndσ = ∫ ∫ ∫ ∇ · FdV Usamos coordenadas esféricas x = r cos θ sinϕy = r sin θ sinϕ z = r cos θ Por lo cual, tenemos que ∇ · F = 4 √ x2 + y2 + z2 = 4 √ r2 = 4r Además, dV = r2 sinϕdrdθ y dado que se trata de una esfera con centro en el origen, donde solo nos interesa la región entre r = 1 y r = √ 2, tenemos que los limites de integración son 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 1 ≤ r ≤ √ 2 Entonces, el flujo hacia afuera a través de la frontera de D es∫ ∫ S F · ndσ = ∫ 2π 0 ∫ π 0 ∫ √2 1 (4r)r2 sinϕdrdϕdθ resolviendo, ∫ 2π 0 ∫ π 0 ∫ √2 1 (4r)r2 sinϕdrdϕdθ = 4 ∫ 2π 0 ∫ π 0 ∫ √2 1 r3 sinϕdrdϕdθ = 4 [ r4 4 ]√2 1 ∫ 2π 0 ∫ π 0 sinϕdϕdθ = 4 ( 3 4 ) [− cosϕ]π0 ∫ 2π 0 dθ = 3(2) [θ] 2π 0 = 6[2π] = 12π 15. Esfera gruesa F = (5x3 + 12xy2)̂i+ (y3 + ey sin z)ĵ + (5z3 + ey cos z)k̂. D: La región solida entre las esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 2. La divergencia de F es ∇ · F = ∂ ∂x (5x3 + 12xy2) + ∂ ∂y (y3 + ey sin z) + ∂ ∂z (5z3 + ey cos z) = (15x2 + 12y2) + (3y2 + ey sin z)− ey sin z = 15(x2 + y2 + z2) Sea S la superficie que encierra la región D, entonces, por el teorema de la divergencia, el flujo a través de este limite esta dado por∫ ∫ S F · ndσ = ∫ ∫ ∫ D ∇ · FdV entonces, el flujo hacia afuera de la superficie es∫ ∫ S F · ndσ = ∫ ∫ ∫ ∇ · FdV Usamos coordenadas esféricas x = r cos θ sinϕy = r sin θ sinϕ z = r cos θ Por lo cual, tenemos que ∇ · F = 15(x2 + y2 + z2) = 15r2 Además, dV = r2 sinϕdrdθ Esta vez nos interesa la región entre dos esferas con centro en el origen de radios r = 1 y r = √ 2, entonces los limites de integración son 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 1 ≤ r ≤ √ 2 El flujo hacia afuera a través de la frontera de D es∫ ∫ S F · ndσ = ∫ 2π 0 ∫ π 0 ∫ √2 1 (15r2)r2 sinϕdrdϕdθ resolviendo,∫ 2π 0 ∫ π 0 ∫ √2 1 (15r2)r2 sinϕdrdϕdθ = 15 ∫ 2π 0 ∫ π 0 ∫ √2 1 r4 sinϕdrdϕdθ = 15 [ r5 5 ]√2 1 ∫ 2π 0 ∫ π 0 sinϕdϕdθ = 15 ( 4 √ 2− 1 5 ) [− cosϕ]π0 ∫ 2π 0 dθ = 3(4 √ 2− 1)(2) [θ]2π0 = 6(4 √ 2− 1)[2π] = 12(4 √ 2− 1)π
