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Aplicaciones 
 
Acceso. Matemáticas Básicas. Uned de Bergara. Página 1 
3. APLICACIONES. .......................................................................................2 
3.1. Aplicaciones, conceptos .................................................................................................................... 2 
3.2. Imagen Inversa ó Imagen Recíproca ................................................................................................ 3 
3.3. Tipos de aplicaciones ........................................................................................................................ 3 
3.3.1. Inyectiva ........................................................................................................................................ 3 
3.3.2. Sobreyectiva o suprayectiva ......................................................................................................... 3 
3.3.3. Biyectiva ........................................................................................................................................ 3 
3.4. Composición de Aplicaciones .......................................................................................................... 5 
4. Cardinal de un Conjunto ..........................................................................5 
4.1. Cálculo de cardinales de dos conjuntos .......................................................................................... 5 
5. Ejercicios ..................................................................................................6 
 
 
 
Introducción 
En Matemáticas, hay un concepto que significa transformación o cambio. Es el concepto de 
aplicación. 
 
Las aplicaciones pretenden ser un modelo, un patrón, que sintetice lo que tienen en común 
muchas transformaciones de otras ciencias. El estudio consiste esencialmente en exponer la 
noción de aplicación, junto con los principales conceptos básicos: imagen, imagen inversa, 
tipos de aplicaciones y composición de aplicaciones. 
 
Las aplicaciones son el patrón que utilizan las Matemáticas para sintetizar aquello que tienen en 
común muchas transformaciones que se pueden observar en diferentes disciplinas científicas. 
 
Una transformación es un proceso que convierte objetos de una clase en objetos de otra 
clase. 
 
 
 
 
 
 
Aplicaciones 
 
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3. APLICACIONES. 
3.1. Aplicaciones, conceptos 
Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una trasformación que convierte cada elemento del 
conjunto A en un único elemento del conjunto B. 
 
• El conjunto A = conjunto inicial o dominio de la aplicación. 
• El conjunto B = conjunto final o rango de la aplicación. 
• Las aplicaciones se suelen designar por las letras f , g, h, o sus mayúsculas y se representan: 
f : A ⟼ B o A 
𝑓𝑓
→ 𝐵𝐵 
• Si el elemento x ∈ A se transforma en el elemento y ∈ B se escribe y = f(x) y se dice que y es la 
imagen de x mediante la aplicación f o también que a x le corresponde y. 
x es una preimagen de y. 
 
Transformación/Correspondencia es una relación entre los elementos de dos conjuntos. 
 
1. A = {Cibeles, Giralda, Sagrada Familia}, B = {B., Se., M., Bu} 
A cada monumento le hacemos corresponder la ciudad en que se encuentra. 
 
2. A = {París, Londres, Lisboa, Atenas}, B = {Grecia, Francia, Portugal, Italia} 
Asociamos cada capital con su país. 
 
3. A = {2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6} 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. f: N N | f(x) = 2x + 1 ⇒ (1, 3) (2, 5) (3, 7)….. 
 
5. Todo nº real lo transformamos en su parte entera. 
 
 
 
 
 
 
¿Los ejemplos anteriores son aplicaciones? 
1.  f: AB SI. Pero g: BA NO. 2.  f: AB NO. Y tampoco g: BA 
3. f: AB SÍ. 4. SÍ. 5.  SÍ. 
 
NO SON APLICACIONES 
• f porque c tienes dos imágenes (2 y 3) 
• g porque 3 no tiene ninguna imagen. 
 
2 
 3 
 4 
5 
3 
 4 
 5 
6 
Correspondencia definida por: 
a) f: AB | f(x) = x+1 ∀x∈A 
b) Mediante la lista: f(2) = 3; f(3) = 4; f(4) = 5; f(5) = 6; 
c) Mediante los pares: (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6) 
d) Mediante el Diagrama de Flechas 
4 
4'3 
5'2 
4'6 
6'1 
4 
5 
6 
Diremos que 4 es Imagen de 4, de 4'3 y de 4'6 
 
O también que 4, 4'3 y 4'6 son Preimágenes del 4 
 ∀ ELEMENTO DE 
CONJUNTO INICIAL 
Porque a Burgos no se le 
puede asociar un 
monumento. 
Porque ni Londres ni Italia 
tiene imagen en cada uno 
de los casos. 
f es una función «de A a B» o «entre A y B» 
 
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3.2. Imagen Inversa ó Imagen Recíproca 
Imagen Inversa ó Imagen Recíproca de un subconjunto D del conjunto Final B es el conjunto formado por 
todos los elementos A que son preimagen de los elementos de D. Se denota por f –1(D) 
 
Sea f:AB sea D ⊂ B. Entonces: f –1(D) = {x ∈ A | f(x) ∈ D} 
Siempre se cumple que: f –1(D) ⊂ {A} y que f –1(B) = A 
Ejemplo 1: Todo nº real lo transformamos en su parte entera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Establecemos la correspondencia “Tiene por doble a”: f(x) = 2x ∀x ∈ A siendo: 
A = {3, 7, 11, 25} y B = {6, 14, 23, 50, 75} 
f: AB es Aplicación? ¿Por qué? Si D={23, 75} f –1(D) = 
¿Qué elementos hay que añadir a B para que sea aplicación? Una preimagen de 50 es 
 
3.3. Tipos de aplicaciones 
3.3.1. Inyectiva 
Una Aplicación f: A B es Inyectiva si ningún elemento del conjunto Final tiene más de 1 preimagen. 
 
Es decir: ∀x, y ∈ A / x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) 
 
• No hay dos elementos distintos del Inicial que tengan la misma 
imagen. 
• Cada par de elementos distintos del conjunto Inicial tiene 
imágenes distintas. 
 
3.3.2. Sobreyectiva o suprayectiva 
 Una Aplicación f: A B es Sobreyectiva ó Suprayectiva si todo elemento 
del conjunto Final tiene preimagen. 
Es decir: Si ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A | f(x) = y 
 
 
3.3.3. Biyectiva 
 Toda Aplicación que sea Inyectiva y Sobreyectiva se dice Biyectiva. 
 
• Todas las preimágenes de A tienen una única imagen en B 
• Todas las imágenes tiene una única preimagen. 
 
 
4 
 
5 
 
6 
7 
4'3 
 4'5 
 
4'1 
 5'3 
5'2 
 6'3 
1. Si D = {4, 5}⇒ f –1(D) = {4'3, 4'5, 4'1, 5'2, 5'3} 
2. Si D = {6} ⇒ f –1(D) = {6'3} 
3. Si D = {6, 7} ⇒ f –1(D) = {6'3} 
4. Si D = {7} ⇒ f –1(D) =φ 
5. La imagen de 4'3 es 4. 
6. Una preimagen de 4 es 4'5 
7. El 7 no tiene preimagen. 
A 
B 
D 
Nicolás Morillo
Resaltado
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f  es sobreyectiva pero no inyectiva 
g  es inyectiva pero no sobreyectiva 
h  es inyectiva y sobreyectiva, y por tanto biyectiva 
i  no es ni inyectiva ni sobreyectiva. 
 
Estudiamos todos los ejemplos anteriores: 
 
1. A cada monumento le 
hacemos corresponder la 
ciudad en que se 
encuentra. 
2. Asociamos cada capital con 
su país. 
3. f: AB | f(x) = x+1 ∀x∈A 
La Cibeles Madrid París Grecia 2 3 
La Giralda Barcelona Lisboa Francia 3 4 
Sag. Familia Sevilla Atenas Portugal 4 5 
 Burgos Londres Italia 5 6 
 
4. f: NN 
 x 2x + 1 
5. f: NN 
 x x3 
6. Todo nº real lo transformamos 
en su parte entera. 
 4 
4,3 4 
 4,6 5 5,2 6 
 6,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.- Aplic.NO Iny. NO Sobre. 
2.- NO Aplic. 
3.- Aplic. Biyect. 
4.- Aplic. Inyect. NO Sobre. 
5.- Quitar al 1 la flecha de "a"No Apl. 
2 
 
3 
 5 
4 
a 
 
o 
 i 
e 
e 
 
f 
 g 
h 
4 
 6 
 5 
 8 
7 
x 
 y 
a 
 z 
 1 
4 
 2 
3 
1 2 
3 
4 
1 
 
 2 
 
3 
a 
 
 b 
c 
 d 
 
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3.4. Composición de Aplicaciones 
Composición de Aplicaciones: h = g ο f  (leemos h igual a f compuesta con g) 
h(x) = (g ο f)(x) = g(f(x)) 
El conjunto final de "f" debe coincidir con el conjunto inicial de "g" y g ο f ≠ f ο g 
 
 
 
Ejemplos: 
1. A = {2, 0, 1, -1} B = {-1/2, 0, 1/2, 2} C = {m, n, e} 
 
Definimos f: AB | f(x) = (x-1)2/2 
 
g: BC definida por el conjunto de pares {(-1/2, n), (0, e), (1/2, m), (2,e)} 
 
Dibujar los diagramas de f y g. ¿Son aplicaciones? ¿De qué tipo? Estudiar lo mismo para g ο f y f ο g 
4. Cardinal de un Conjunto 
Cardinal de un Conjunto: Es su número de elementos. Se denota por: #(A) 
El cardinal de A, #A, representa una característica propia de todos los conjuntos A que indica el número de 
sus elementos. 
4.1. Cálculo de cardinales de dos conjuntos 
Si A y B son dos conjuntos, siempre se cumple que el cardinal de su unión A ∪ B es igual al cardinal de A 
más el cardinal de B menos el cardinal de la intersección A ∩ B. 
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B) 
Si dos conjuntos A y B son disjuntos, el cardinal de la unión es igual a la suma de los cardinales 
Si A ∩ B = 𝝓𝝓 , #(A ∪ B) = #(A) + #(B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) (2) (3) 
 
A ∪ B = (A - B) ∪ (B - A) ∪ (A ∩ B) = (1) ∪ (3) ∪ (2) por ser conjuntos 
disjuntos. 
 
Luego #(A ∪ B) = #(A-B) + #(B-A) + #(A ∩ B) 
A 
B 
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5. Ejercicios 
Feb 2017 A 
 
Feb 2017 A 
 
Feb 2017 B 
 
Feb 2017 B 
 
Feb 2017 D 
 
Feb 2017 D 
 
Feb 2017 Reserva 
 
Feb 2017 Reserva 
 
 
Nicolás Morillo
Sello
Aplicaciones 
 
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Junio 2017 
 
Febrero 2016 Reserva 
 
 
 
 
	Introducción
	3. APLICACIONES.
	1.
	2.
	3.
	3.1. Aplicaciones, conceptos
	3.2. Imagen Inversa ó Imagen Recíproca
	3.3. Tipos de aplicaciones
	3.3.1. Inyectiva
	3.3.2. Sobreyectiva o suprayectiva
	3.3.3. Biyectiva
	3.4. Composición de Aplicaciones
	4. Cardinal de un Conjunto
	4.
	4.1. Cálculo de cardinales de dos conjuntos
	5. Ejercicios