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Conjuntos 
 
Acceso. Matemáticas Básicas. Uned de Bergara. Página 1 
2. CONJUNTOS. ............................................................................................2 
1.1. Inclusión de conjuntos ....................................................................................................................... 2 
1.1.1. Propiedades de la inclusión .......................................................................................................... 2 
1.2. Igualdad de dos conjuntos ................................................................................................................ 2 
1.3. Conjunto universal y conjunto vacío ................................................................................................ 2 
1.4. El conjunto de las partes de un conjunto ........................................................................................ 3 
1.5. Diagramas de Venn ............................................................................................................................ 3 
1.6. Operaciones con Conjuntos. ............................................................................................................. 3 
1.6.1. Intersección de conjuntos ............................................................................................................. 3 
1.6.2. Unión de conjuntos ....................................................................................................................... 4 
1.6.3. Complementario de un conjunto ................................................................................................... 4 
1.6.4. Diferencia entre dos conjuntos: .................................................................................................... 4 
1.7. Propiedades de las operaciones con conjuntos ............................................................................. 4 
1.7.1. Intersección: .................................................................................................................................. 4 
1.7.2. Unión: ............................................................................................................................................ 5 
1.7.3. Complementario: .......................................................................................................................... 5 
1.7.4. Otras ............................................................................................................................................. 5 
1.7.5. Distributivas: ................................................................................................................................. 5 
1.8. Ejercicios ............................................................................................................................................. 6 
 
 
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2. CONJUNTOS. 
Conjunto: es toda colección bien definida de Objetos. A éstos les llamaremos Elementos y diremos que 
pertenecen al conjunto. 
 
A = {1, 2, 3, 4} 3 ∈ A pero 6 ∉ A 
 
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y entre llaves los elementos (en minúsculas). 
 
Decimos bien definido pues dado un elemento cualquiera, siempre podremos decir si pertenece|no al 
conjunto. NO es Conjunto: {alumnos que aprobarán Matemáticas} 
definidos por Descripción ( Comprensión) definidos por Enumeración ( Extensión) 
A = {Asignaturas de Acceso} A1 = {Mate, Lengua, Arte,...} 
B = {Nos Naturales Impares y < 10} B1 = {1, 3, 5, 7, 9} 
C = {x ∈N | 1≤ x < 5} C1 = {1, 2, 3, 4} 
 
Historia ∈ A; pero Algebra ∉ A; 8 ∉ B; pero 9 ∈ B 
1.1. Inclusión de conjuntos 
Dados dos conjuntos A y B, se dice que A está contenido|está incluido en B, y se escribe (A ⊂ B), cuando 
todos los elementos de A pertenecen a B. 
"A contenido|incluido en B" (A ⊂ B) Si todos los elementos de A pertenecen a B. A se dice Subconjunto 
de B|que es una parte de B. 
Si V = {vocales del alfabeto español} y A = {letras del alfabeto español}, se tiene V ⊂ A. 
1.1.1. Propiedades de la inclusión 
1.  A ⊂ A Siempre.(Reflexiva) 2.  BA
AB
BA
=⇒
⊂
⊂



 3.  CA
CB
BA
⊂⇒
⊂
⊂



(Transitiva) 
1.2. Igualdad de dos conjuntos 
Dos conjuntos son Iguales (A=B) si tienen los mismos elementos. [A ⊂ B y B ⊂ A] 
Si S es el conjunto de los días de la semana y 
A = { s ∈ S | s empieza por la letra “m ”} y B = {martes, miércoles} 
entonces claramente A ⊂ B y B ⊂ A, por lo que A y B son iguales. 
1.3. Conjunto universal y conjunto vacío 
U: Conjunto Universal: Un gran conjunto que contiene a todos los elementos que se analizan en un 
determinado contexto. 
Por ejemplo, si los conjuntos son colecciones de letras, estarán contenidos en las 
letras de algún alfabeto, si son colecciones de palabras, en algún diccionario. 
φ: Conjunto Vacío: Aquel que no tiene elementos. Cualquier suceso imposible define al φ 
 {Múltiplos de 5 que terminen en 3} {Matriculados en Acceso con 17 años} 
Propiedad  ∀A ⇒ φ ⊂ A 
 
 
Pertenece a 
No pertenece a 
C es el conjunto de los elementos x que pertenecen 
al conjunto N tales que son mayores o iguales a 1 y 
menores de 5 
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1.4. El conjunto de las partes de un conjunto 
Partes de un conjunto A: P (A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos|partes de A. Es un 
conjunto de conjuntos. 
Si A tiene n elementos ⇒ P(A) tiene 2n elementos. 
 A = {0, 1} ⇒ P (A) = {φ, {0}, {1}, {0,1}} 
 B= {a, e, i} ⇒ P (B) = {φ, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}} 
P (A) nunca podrá tener, por ejemplo, 7 elementos. 
¡Ojo!  0∈ A Pero {0} ∈ P (A) 
Ejemplo 1: Si A es un conjunto Unitario. ¿Cuántos elementos tendrá P (A)? 
 
1.5. Diagramas de Venn 
Representación de conjuntos por medios gráficos 
 
Si el conjunto universal U tiene como elementos a, 
b, c, d y e, esto es U = {a,b,c,d,e} y A es el 
conjunto A = {a,b,c}, un diagrama de Venn para 
representarlo puede ser el que aparece en la figura. 
 
1.6. Operaciones con Conjuntos. 
1.6.1. Intersección de conjuntos 
"A intersecado con B" (A ∩ B) es el conjunto de todos los elementos que 
pertenecen tanto a A como a B, 
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B} Tiene pues, como elementos los comunes a 
ambos. 
 
Ejemplo 2: A = {Naturales pares ≤ 10} y B = {Naturales < 10} A ∩ B = {2, 4, 
6, 8} He definido los conjuntos por Descripción. ¿Cómo sería por 
Enumeración? 
Ejemplo 3: A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6} C = {3, 4, 8}⇒ A ∩ B = {2, 4}, A ∩ 
C = {3, 4} 
A ∩ B ∩ C = {4} B ∩ C = {4} 
Se cumple que A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
 
Dos conjuntos se dicen Disjuntos si su Intersección es el conjunto φ, es decir, si 
no tienen elementos comunes. A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 4, 6} 
 
 
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1.6.2. Unión de conjuntos 
"A unión B" (A ∪ B) es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A 
“o” a B 
 
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B} Tiene como elementos todos los que 
pertenecen a alguno de ellos. 
Ejemplo 4: A = {1, 2} B = {3, 4, 1} ⇒ A ∪ B = {1, 2, 3, 4}; A ∩ B = {1} 
Ejemplo 5: Sea A = {1, 3, 5}; A ∩ B = {3, 5}; A ∪ B = {1, 2, 3, 5} ¿Qué es 
B? B = {3, 5,2} 
 
1.6.3. Complementario de un conjunto 
1. A (AC) Es el conjunto formado por todos los elementos de U que no 
pertenecen a A AC = {x ∈ U | x ∉ A} 
Ejemplo 6: U = {matriculados en Acceso}; A={matric. Acceso en M. 
Básicas} ⇒ AC ={M. Especiales} 
Ejemplo 7: A ={Naturales pares<10} y U ={Naturales≤10} ⇒ AC ={1, 3, 5, 7, 
9, 10} ¿Pero si U = N? 
 
1.6.4. Diferencia entre dos conjuntos: 
2. A - B = {x ∈ A | x ∉ B} 
Propiedades: 




∩=−
−≠−
CBABA
ABBA
 
Ejemplo 8: A = {a, b, c, d, e}; B = {a, c, d} ⇒ A-B = {b, e} 
 B-A = φ 
Ejemplo 9: Siendo A ∩ B = {3, 5} y B-A = {1, 2} Entonces A? y B? 
 Los elementos comunes son {3, 5} ⇒ B = {1, 2, 3,5} A = {3, 5} 
 
1.7. Propiedades de las operaciones con conjuntos 
1.7.1.Intersección: 












⊂
⊂
∩−∩∩=∩∩−
⊂⇔=∩−∩=∩−
=∩−=∩−∀=∩−
B
A
BAAsociativaCBACBA
ABBBAaConmutativABBA
AUAAAAAA
.7))(()(.6
.5)(.4
.3.2.1 φφ
 
 8.- B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B 
 
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1.7.2. Unión: 
 









∪⊂



−∪∪=∪∪−
=∪⇒⊂−∪=∪−
=∪−=φ∪−=∪−
BA
B
A
.7)Asociativa)(CB(AC)BA(.6
ABAABsi.5)aConmutativ(ABBA.4
UUA.3AA.2AAA.1
 
 
1.7.3. Complementario: 
( ){1. 2. 3. CC C CU U A Aφ φ− = − = − = 
1.7.4. Otras 
{1. 2.C CA A A A Uφ− ∩ = − ∪ = 
1.7.5. Distributivas: 



∪∩∪=∩∪−
∩∪∩=∪∩−
)CA()BA()CB(A.2
)CA()BA()CB(A.1
 
 
 
 
Leyes de Morgan: 
 



∪∪=∩∩∪=∩−
∩∩=∪∪∩=∪−
CCCCCCC
CCCCCCC
CBA)CBA(BA)BA(.2
CBA)CBA(igual conjuntos más si;AB)BA(.1
 
 
Ejemplo 10: Comprobar (todas las que queráis) Siendo: 
U = {1, 2, 3, 4, 5}; A = {1,3,4}; B = {2, 3, 5}; C = {1, 2}; D = {3, 4} 
a) - A∩D=D pues D⊂A b) - A∪D=A pues D⊂A c) - (AC)C = A 
d) - A ∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪(A ∩C) = {1, 3} e) - A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C) = {1, 3, 4, 2} 
f) - (A ∪ D ∪ C)C = AC ∩ DC ∩ CC = {5} g) - (A ∩ B ∩ D)C = AC ∪ BC ∪ DC = {1, 2, 4, 5} 
h) - (C ∩ B ∩ D)C = CC ∪ BC ∪ DC = U 
Ejemplo 11: (A - B) ∪ (A ∩ B) = A (Como A - B = A ∩ BC)  (A ∩ BC)∪(A ∩B) = A∩(BC∪B) = A ∩ U = A 
(A - B)= {1, 4}; (A ∩ B) = {3}; (A - B) ∪ (A ∩ B) = {1, 3, 4} = A 
 
 
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1.8. Ejercicios 
 
 
Feb 2017 B 
 
Feb 2017 D 
 
 
 
Feb 2017 Reserva 
 
Junio 2017 
 
Febrero 2016 A 
 
Febrero 2016 B 
 
Febrero 2016 Reserva 
 
 
 
Conjuntos 
 
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Junio 2016 A 
 
Junio 2016 B 
 
Septiembre 2016 Reserva 
 
 
Junio 2016 Reserva 
 
Junio 2016 X 
 
Febrero 2015 A 
 
Septiembre 2014 A Junio 2014 A 
 
 
Febrero 2015 A 
 
Feb 2017 A 
 
 
Nicolás Morillo
Sello
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Febrero 2015 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	2. CONJUNTOS.
	1.1. Inclusión de conjuntos
	1.1.1. Propiedades de la inclusión
	1.2. Igualdad de dos conjuntos
	1.3. Conjunto universal y conjunto vacío
	1.4. El conjunto de las partes de un conjunto
	1.5. Diagramas de Venn
	1.6. Operaciones con Conjuntos.
	1.6.1. Intersección de conjuntos
	1.6.2. Unión de conjuntos
	1.6.3. Complementario de un conjunto
	1.6.4. Diferencia entre dos conjuntos:
	1.7. Propiedades de las operaciones con conjuntos
	1.7.1. Intersección:
	1.7.2. Unión:
	1.7.3. Complementario:
	1.7.4. Otras
	1.7.5. Distributivas:
	1.8. Ejercicios
	Sin título