SEMIDT1_12_7

Vista previa del material en texto

EJERCICIOS PROPUESTOS
Villalba Salazar, Raul Moises
Villalta Cueto, Cesar Ronald
DSc. ERIK ALEX PAPA QUIROZ
SEMINARIO DE TESIS I
12 de julio del 2021
6.4 Ejercicios Propuestos
SEMINARIO DE TESIS I EJERCICIOS PROPUESTOS
Solución:
Como la dimensión es n = 1, entonces:
∂f (x) = {s ∈ R : f (y) ≥ f (x) + s(y − x), ∀y ∈ R}
SEMINARIO DE TESIS I EJERCICIOS PROPUESTOS
Solución:
i) Si x ∈ [1, 4], entonces f (x) = 4− x . Tenemos los siguientes
casos:
i · 1) Si y ∈ [1, 4], entonces f (y) = 4− y . Reemplazando tenemos:
4− y ≥ 4− x + s(y − x)
−(y − x) ≥ s(y − x)
� Si (y − x) > 0 ⇒ −1 ≥ s ⇒ s ∈< −∞,−1]
� Si (y − x) < 0 ⇒ −1 ≤ s ⇒ s ∈ [−1, +∞ >
� Si y = x ⇒ 0 ≥ s · 0 ⇒ s ∈ R
Interceptando los conjuntos tenemos que la única posibilidad la
cual cumpla la desigualdad es cuando s = −1.
SEMINARIO DE TESIS I EJERCICIOS PROPUESTOS
Solución:
i · 2) Si y /∈ [1, 4], entonces f (y) = 4− (y − 2)2. Reemplazando en:
f (y) ≥ f (x) + s(y − x)
4− (y − 2)2 ≥ 4− x + s(y − x)
−(y − 2)2 ≥ −x + s(y − x)
tomando s = −1, se tiene:
−(y − 2)2 ≥ −x − y + x
−(y − 2)2 ≥ −y
(y − 2)2 ≤ y
y2 − 4y + 4 ≤ y
y2 − 5y + 4 ≤ 0
(y − 4)(y − 1) ≤ 0 ⇒ y ∈ [1, 4] lo cual es falso.
⇒ Se cumple s 6= −1.
SEMINARIO DE TESIS I EJERCICIOS PROPUESTOS
Solución:
Luego de i · 1) , i · 2) ⇒ ∂f (x) = ∅
ii) Si x /∈ [1, 4] entonces f (x) = 4− (x − 2)2. Tenemos los
siguientes casos:
ii · 1) Si y /∈ [1, 4] ⇒ f (y) = 4− (y − 2)2
Como: (y − x)2 ≥ 0
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇒ x2 − y2 + 2y2 ≥ 2xy
⇒ x2 − y2 + 4y − 4x + 2y2 ≥ 4y − 4x + 2xy
⇒ −y2 + 4y ≥ −x2 + 4x + 4y − 4x + 2xy − 2y2
⇒ 4− (y − 2)2 ≥ 4− (x − 2)2 + 4(y − x)− 2y(y − x)
⇒ f (y) ≥ f (x) + (4− 2y)(y − x)
⇒ s = 4− 2y
SEMINARIO DE TESIS I EJERCICIOS PROPUESTOS
Solución:
ii · 2) Si y ∈ [1, 4] → f (y) = 4− y Verifiquemos que:
f (y) ≥ f (x) + s(y − x)
4− y ≥ 4− (x − 2)2 + s(y − x)
4− y ≥ 4− (x − 2) + (4− 2y)(y − x)
4− y ≥ 4− x2 + 4x − 4 + 4y − 4x − 2y2 + 2xy
4− y ≥ −x2 + 4y − 2y2 + 2xy
x2 + 2y2 + 4 ≥ 5y + 2xy
x2 − 2xy + y2 + y2 − 5y + 4 ≥ 0
(x − y)2 + (y − 4)(y − 1) ≥ 0
(y − 4)(y − 1) > 0 y ∈< −∞, 1 > ∪ < 4, +∞ >
⇒ y /∈ [1, 4]
No cumple, entonces ∂f (x) = ∅
∴ ∂f (x) = ∅
SEMINARIO DE TESIS I EJERCICIOS PROPUESTOS