PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-13

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-1 1
-2
2
C 44- Se da una circunferencia fija de diámetro a. Por un punto O de la misma se traza la tangente OT y el
diámetro perpendicular OA. En B, punto de OA, se traza la perpendicular al diámetro OA que corta a la
circunferencia en C. Se prolonga la semicuerda BC hasta M, de forma que BMBC 
OA
OB . Hallar el lugar
geométrico de M, al desplazarse B sobre OA.
Solución:
O
T
B C M
A
O
T
B C M
A
Sea O el origen de coordenadas, y sean los ejes coordenados, la tangente en O y el diámetro OA. Siendo
OB  y, se tiene que: BMBC 
OA
OB 
a
y , BC  OB  AB  ya − y . Luego: BM  x 
a  BC
y 
 a a − yy . Operando: y 
a3
x2  a2
(versiera de Agnesi). El dibujo de esta curva para a  1, es el
siguiente:
-4 -2 0 2 4
0.5
1.0
C 45- Se da una circunferencia de radio R, siendo AB un diámetro fijo. Sobre B se levanta BC, tangente
perpendicular a AB. Se traza la recta AE variable, que corta al círculo en D, y a BC en E. Se lleva sobre
dicha recta AE, el segmento AP  DE. Hallar el lugar geométrico de P al girar la recta AE en torno a A.
Solución:
A
M N
B
P
D E
C
A
M N
B
P
D E
C
Sean los puntos M y N las proyecciones de P y D sobre el diámetro AB. Tomando A como centro de
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coordenadas, y el diámetro AB como eje de abscisas, se tiene por semejanza, que: AMPM 
x
y 
AN
DN ,
AN  AB − NB  AB − AM  2R − x, DN  AN  BN  2R − xx , y 
x x
2R − x
. La ecuación del
lugar pedido, es: y2  x
3
2R − x (cisoide de Diocles). El dibujo de esta curva para R  1, es el siguiente:
1 2
-10
0
10
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Sección D - CÓNICAS
GENERALIDADES
D 1- Descomponer en suma de cuadrados la ecuación de la cónica x2 − 2xy − y2  4x − 6y  0, y clasificarla.
Solución: Derivando, se tiene: 12 fx
′  x − y  2. Luego: fx,y  x − y  22 − 2y2  2y  4  0.
Siendo gy  2y2  2y  4, derivando se tiene: 12 g
′y  2y  1, gy  2y  1
2
2 
7
2 . Por tanto, se
tiene que: fx,y  x − y  22 − 2y  1
2
2 −
7
2  0. La cónica es del tipo M
2 − N2 − 1  0 (hipérbola).
D 2- Descomponer en suma de cuadrados la ecuación de la cónica xy  2y2 − 7y − 3x  3  0, y clasificarla.
Solución: Derivando, se tiene: 12 fy
′  2y  x2 −
7
2 . Luego: fx,y 
1
2 2y 
x
2 −
7
2
2
−
− 18 x
2  10x  25  12 2y 
x
2 −
7
2
2
− 18 x  5
2. Es del tipo M2 − N2  0 (hipérbola degenerada
en dos rectas reales).
D 3- Descomponer en suma de cuadrados la ecuación de la cónica x2  y2 − 4x  2xy − 4y  10  0, y
clasificarla.
Solución: Derivando se tiene: 12 fx
′  x  y − 2. Luego, fx,y  x  y − 22  6. Es del tipo M2  1  0
(parábola degenerada en dos rectas imaginarias).
D 4- Descomponer en suma de cuadrados la ecuación de la cónica 2xy  2x  2y  1  0, y clasificarla.
Solución: Derivando se tiene: 12 fx
′  y  1, 12 fy
′  x  1. Luego: fx,y  2x  1y  1 − 1 
 2y  2  x  12
2
− 2y  2 − x − 12
2
− 1. Es del tipo M2 − N2  1 (hipérbola).
D 5- Descomponer en suma de cuadrados la ecuación de la cónica 2x2 − 2xy  y2  2x − 8y  21  0,
clasificándola.
Solución: fx,y  12 2x − y  1
2  12 y − 7
2 − 4. Es del tipo M2  N2  1 (elipse).
D 6- Descomponer en suma de cuadrados la ecuación de la cónica 3x2  4xy  y2 − 20x − 12y  36  0,
clasificándola.
Solución: fx,y  13 3x  2y − 10
2 − 13 y − 2
2  4  0. Es del tipo M2 − N2  −1 (hipérbola).
D 7- Descomponer en suma de cuadrados la ecuación de la cónica x2 − 2xy  y2  x  7  0, y clasificarla.
Solución: fx,y  x − y  12
2
 y  274  0. Es del tipo M
2  N  0 (parábola).
D 8- Descomponer en suma de cuadrados la ecuación de la cónica x2  y2 − 2xy  x − y − 6  0,
clasificándola.
Solución: fx,y  x − y  12
2
− 254  0. Es del tipo M
2  1 (parábola degenerada en dos rectas
paralelas reales).
D 9- Dibujar la cónica 5x2 − 2xy  y2 − 26x  2y  33  0.
Solución: A33  0, A ≠ 0, elipse real. Operando, y  x − 1  −x − 2x − 4 . Para x  2  42  3,
y1  0, y2  4. Las rectas x  2, x  4, son tangentes respectivamente, en 2,1 y 4,3. La recta
y  x − 1 corta a la elipse en 2,1 y 4,3. La recta y  x − 3, es tangente en 3,0; la recta y  x  1 lo
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