SEMI_15_7_21

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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Convex Analysis for Optimization
Jan Brinkhuis
Villalba Salazar, Raul Moises
Prof. Alex Armando Cruz Huallpara
Seminario I
15 de julio del 2021
Seminario I Prof. Alex Armando Cruz Huallpara
Convex Analysis for Optimization
Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Contenido
1 Teorema 4.3.20
2 Ejemplo 4.3.21
3 4.4 El cono polar sin coordenadas
4 Proposición 4.4.4
Seminario I Prof. Alex Armando Cruz Huallpara
Convex Analysis for Optimization
Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Teorema 4.3.20
Sugerencia para la equivalencia del teorema de dualidad 4.2.5. Se debe
utilizar la construcción del operador de conjunto polar mediante el
método de homogeneización, que se dará más adelante en este capítulo.
De hecho, se puede dar además la siguiente reformulación de aspecto
débil del teorema de dualidad 4.2.5 en términos de conos convexos. Esta
reformulación de aspecto débil representa en cierto sentido la esencia de
la dualidad de los conjuntos convexos y, por tanto, la esencia del análisis
convexo.
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Teorema 4.3.20
Teorema 4.3.20
El cono polar de un cono convexo C ⊆ Rn (con C 6= Rn) que contiene el
origen, no es trivial: es decir, C◦ 6= 0n.
Sugerencia para la equivalencia al teorema 4.3.19 (y así al teorema de
dualidad 4.2.5). Para derivar del Teorema 4.3.20 de apariencia débil, el
Teorema 4.3.19 de apariencia más fuerte, se debe usar la idea de separar
un punto p fuera de C por un hiperplano de C que es equivalente a
separar el origen por un hiperplano del cono convexo.
cone(C ,−p) = {c − αp | c ∈ C , α ≥ 0}
Esto es lo mismo que producir un elemento distinto de cero de
(cone(C ,−p))◦.
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Ejemplo 4.3.21
Ejemplo 4.3.21 (Lanzar la pelota en cualquier línea curva para
demostrar el teorema 4.3.20)
La demostración del Teorema 4.2.5 mediante el lanzamiento de una
pelota que se ha dado, se puede simplificar si desea probar el Teorema
4.3.20 de apariencia débil: resulta que no es necesario lanzar la pelota en
línea recta . Se puede lanzar a lo largo de cualquier línea curva que
eventualmente golpee el cono convexo. La figura 4.10 ilustra esta prueba
más simple.
La razón por la que tiene que lanzar la pelota en línea recta si quiere
probar el teorema 4.2.5, pero puede lanzar la pelota a lo largo de
cualquier línea curva si quiere probar el teorema 4.3.20, es la siguiente.
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Ejemplo 4.3.21
En el primer caso, debes asegurarte de que el punto p desde donde lanzas
la pelota y el conjunto convexo dado A se encuentran en lados diferentes
del plano que obtienes en el punto donde la pelota golpea el conjunto
convexo; esto solo está garantizado si lanza en línea recta.
De lo contrario, aunque A estará completamente en un lado del plano,
este punto p podría estar en el mismo lado. En el segundo caso, es
suficiente tener cualquier plano para el cual el cono convexo C dado se
encuentra completamente a un lado del mismo. Por lo tanto, es posible
lanzar la línea a lo largo de cualquier línea curva.
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Ejemplo 4.3.21
Figura: Fig. 4.10 Prueba de lanzamiento de pelota para el resultado de
dualidad de apariencia más débil
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
4.4 El cono polar sin coordenadas
El objetivo de esta sección es proporcionar una construcción sin
coordenadas del operador del cono polar. Esto será conveniente para dar
una definición equivalente para el operador de conjunto polar, esta vez de
manera sistemática (en lugar de mediante una fórmula explícita, como lo
hemos hecho antes), por homogeneización.
Definición 4.4.1
Sea X , E dos espacios vectoriales de dimensión finita. Un mapeo
b : X × E → R es bilineal si es lineal en ambos argumentos, es decir,
b(αx + βy , z) = αb(x , z) + βb(y , z) ∀ α,β ∈ R, x , y ∈ X , z ∈ E .
b(x , αy + βz) = αb(x , y) + βb(y , z) ∀ α,β ∈ R, x ∈ X , y , z ∈ E .
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
4.4 El cono polar sin coordenadas
Definición 4.4.2
Sea X , E dos espacios vectoriales de dimensión finita y b : X × E → R
un mapeo bilineal. Entonces b es no degenerada si para cada x diferente
de cero ∈ X la función lineal en E dada por la regla y 7→ b(x , y) no es la
función cero, y si además para cada y diferente de cero ∈ E la función
lineal en X dada por la regla x 7→ b(x , y) no es la función cero.
Definición 4.4.3
Se dice que un par de espacios vectoriales X , E de dimensión finita está
en dualidad si se da un mapeo bilineal no degenerado es dado por
b : X × E → R.
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Proposición 4.4.4
Proposición 4.4.4 (Un par estándar de espacios vectoriales en
dualidad)
Sea X = Rn y E = Rn. El mapeo b : X × E → R dado por la regla
(x , y) 7→ x · y , es decir, el producto interno estándar, llamado producto
escalar, hace de X y E dos espacios vectoriales en dualidad.
Solo trabajamos con espacios vectoriales de dimensión finita y, para ellos,
el par estándar de espacios vectoriales en dualidad dado anteriormente es
esencialmente el único ejemplo.
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Proposición 4.4.4
Observación:
Las razones para introducir un segundo espacio E y no solo tomar un
producto interno en X son las siguientes. Para espacios vectoriales X de
dimensión infinita de interés, a menudo no existe una generalización
natural del concepto de producto interno. Entonces, lo mejor que se
puede hacer es encontrar un espacio diferente y un mapeo bilineal no
degenerado b : X × E → R. Incluso para espacios de dimensión finita, a
menudo es más natural introducir un segundo espacio, aunque tiene el
mismo dimensión como X , por lo que podría tomarse igual a X . Por
ejemplo, si se consideran los vectores de consumo como los vectores
columna x , entonces se modelan los vectores de precios como los
vectores fila p. Sin embargo, para nuestro propósito, la razón realmente
convincente para introducir un mapa bilineal b : X × E → R es que
necesitaremos otro b además del producto interno.
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Ejemplo 4.4.5 (Mapeos bilineales no estándar útiles)
Aquí están los dos pares de espacios no estándar en dualidad que
necesitaremos.
1. Sea X = Rn+1 y E = Rn+1. El mapeo b : X × E → R dado por la
regla ((x , α), (y , β)) 7→ x · y − αβ hace de X y E dos espacios vectoriales
en dualidad. Tenga en cuenta el signo menos.
2. Sea X = Rn+2 y E = Rn+2. El mapeo b : X × E → R dado por la
regla ((x , α, α′), (y , β, β′)) 7→ x · y − αβ′ − α′β hace de X y E dos
espacios vectoriales en dualidad. Tenga en cuenta el signo menos y la
transposición.
Ahora estamos listos para dar la definición del cono polar.
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.214.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Definición 4.4.6
Sean X y E dos espacios vectoriales de dimensión finita en dualidad con
mapeo subyacente b. El cono polar C◦ de un cono convexo C en X con
respecto a b es el siguiente cono convexo cerrado en E .
C◦ = {y ∈ E | b(x , y) ≤ 0 ∀x ∈ C}
Hemos mencionado que para cada mapeo bilineal no degenerado
b : X × E → R podemos elegir bases de X y E tal que después de pasar
a coordenadas de vectores, este mapeo dé el producto escalar en Rn.
Luego obtenemos la definición de coordenadas habitual del cono polar
que se dio en la sección anterior.
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Ejemplo 4.4.7 (Cono polar)
La figura 4.11 ilustra el operador del cono polar con respecto al
producto escalar.
Ejemplo 4.4.8 (Normas duales y conos polares)
La norma dual está relacionada con el operador del cono polar. De hecho,
para cada espacio normado de dimensión finita, los epígrafos de la norma
N y la norma dual N∗,
epi(N) = {(x , ρ) | x ∈ X , ρ ∈ R , ρ ≥ N(x)}
y
epi(N∗) = {(x , ρ) | x ∈ X , ρ ∈ R , ρ ≥ N∗(x)}
son conos convexos, que son el cono polar del otro con respecto al
emparejamiento bilineal definido por la regla 〈(x , α), (y , β)〉 = x · y − αβ.
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Teorema 4.3.20 Ejemplo 4.3.21 4.4 El cono polar sin coordenadas Proposición 4.4.4
Figura: Fig. 4.11 Cono polar con respecto al producto escalar
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Title
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Convex Analysis for Optimization
	Teorema 4.3.20
	Ejemplo 4.3.21
	4.4 El cono polar sin coordenadas
	Proposición 4.4.4