Enunciados de Problemas de Superficie Esférica

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2020 – II 2do Material de Estudio 
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 - 
GEOMETRÍA 
 
SUPERFICIE ESFÉRICA Y ESFERA 
 
94. El diámetro de una esfera mide 4√3 𝑢 
y en él hay un segmento esférico de 
una base. Calcule el área del menor 
casquete, sabiendo que el área de la 
base del segmento esférico es 9𝜋 𝑢? 
 
A) 7 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
95. Un cilindro macizo de plomo tiene 
como medidas de su altura y diámetro 
12 cm, se funde este cilindro para 
obtener dos sólidos: un cono cuya 
altura y diámetro miden 12 cm. ¿Cuál 
es el área de la superficie del otro 
sólido, si éste es una esfera? 
 
A) 120𝜋 B) 144𝜋 C) 196𝜋 
D) 216𝜋 E) 244𝜋 
 
96. El gráfico muestra P una esfera 
donde el diedro formado por los 
círculos de diámetros 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 es 
recto. Si el área del menor de estos 
círculos es 48𝜋 𝑢2 y 𝑚∠𝐶𝐴𝐷 = 120 , 
entonces el área (en u2) del casquete 
sombreado es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 32𝜋 B) 40𝜋 C) 50𝜋 
D) 58𝜋 E) 64𝜋 
 
 
97. El gráfico muestra a un cilindro de 
revolución y a un huso esférico (A y B 
son puntos de tangencia). Si el área 
del huso es la cuarta parte del área 
lateral del cilindro, entonces la 
𝑚∠𝐴𝑂𝐵 es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 45 B) 53 C) 60 
D) 75 E) 90 
 
98. En un cono de revolución se inscribe 
una superficie esférica tangente a la 
generatriz en el punto medio. Calcule 
la relación entre el área lateral del 
cono y el área de la superficie 
esférica. 
 
A) 1,5 B) 2,0 C) 2,5 
D) 3,0 E) 6,0 
 
99. Los radios de dos superficies 
esféricas miden 20 u y 15 u; la 
distancia entre sus centros es 25 u. 
Calcule (en u2) la suma de las áreas 
de los menores casquetes esféricos 
determinados por la intersección de 
las superficies esféricas 
 
A) 70𝜋 B) 170𝜋 C) 240𝜋 
D) 340𝜋 E) 360𝜋 
 
 
A 
C 
D O 
E 
B 
A O 
O1 
B 
O2 
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CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 2 - 
100. La figura muestra a un cilindro de 
revolución, a una esfera inscrita y a 
un cono de revolución inscrito. Si el 
área lateral del cilindro es de 20𝜋 𝑢2, 
entonces el área (en u2) del casquete 
sombreado es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 2𝜋 B) 3𝜋 C) 4𝜋 
D) 5𝜋 E) 6𝜋 
 
101. En una superficie esférica, se tiene un 
huso esférico cuyo ángulo de giro 
mide 𝛼 y el área del huso es k veces 
el área de la superficie esférica. 
Calcule (
𝑘
𝛼
). 
 
A) 
1
30
 B) 
1
120
 C) 
1
180
 
D) 
1
200
 E) 
1
360
 
 
102. En un cono de revolución se 
encuentra inscrito una esfera. Calcule 
la relación entre el área de la 
superficie esférica y el área lateral del 
cono, sabiendo que el ángulo en el 
vértice de la sección axial mide 74. 
 
A) 
2
5
 B) 
3
5
 C) 
2
6
 
D) 
3
7
 E) 
4
5
 
103. Se tienen dos superficies esféricas 
concéntricas donde el área de la 
superficie esférica menor es de 
208𝜋 𝑢2. Al trazar un plano secante a 
ambas superficies esféricas, se 
determina una corona circular de 4 u 
y 8 u de radios. Calcule el área de la 
superficie esférica mayor. 
 
A) 268𝜋 B) 308𝜋 C) 324𝜋 
D) 400𝜋 E) 490𝜋 
 
104. En un cono cuya generatriz es 
congruente al diámetro de la base, 
está inscrita una superficie esférica. 
Si el área del menor casquete 
determinado por los puntos de 
tangencia del cono sobre la superficie 
esférica es 6 u2, entonces el área 
lateral (en u2) del cono es de 
 
A) 18 B) 24 C) 36 
D) 42 E) 60 
 
105. El radio de una esfera mide R 
unidades y en él se encuentra inscrito 
un cilindro de revolución, cuya área 
lateral máxima es A unidades 
cuadradas. Calcule (en u2) el área de 
la superficie esférica. 
 
A) S B) 2S C) 3S 
D) 4S E) 6S 
 
106. En una superficie esférica, una zona 
esférica y un huso esférico son 
equivalentes, tal que el diámetro del 
huso contiene a la altura de la zona 
esférica que mide h. ¿Cuál es el área 
de la intersección de la zona esférica 
y el huso esférico? 
 
A) 
𝜋ℎ2
3
 B) 
𝜋ℎ2
2
 C) 𝜋ℎ2 
D) 
3𝜋ℎ2
2
 E) 2𝜋ℎ2 
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107. Calcule el área de la superficie del 
sólido que se obtiene al girar 360 a la 
región sombreada alrededor del 
diámetro 𝐴𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 8𝜋 𝑅2 B) 10𝜋 𝑅2 
C) 12𝜋 𝑅2 D) 14𝜋 𝑅2 
E) 16𝜋 𝑅2 
 
108. Una cuña esférica está inscrita en un 
prisma triangular regular con su 
diámetro como arista lateral y un huso 
tocando la cara lateral opuesta al 
diámetro. Si el volumen del prisma es 
6. Calcule el volumen de la cuña. 
 
A) 
𝜋√3
3
 B) 
2
3
𝜋√3 C) 
4
3
𝜋√3 
D) 
5
3
𝜋√3 E) 
7
3
𝜋√3 
 
109. En una superficie esférica se inscribe 
un paralelepípedo rectangular cuyas 
dimensiones son 20 u, 15 u y 5√𝜋 𝑢. 
Calcule la altura del casquete esférico 
que determina la cara de menor área 
del paralelepípedo. 
 
A) 4,83 B) 5,00 C) 6,21 
D) 6,72 E) 7,52 
 
110. En el gráfico el volumen del sólido 
generado por el sector ircular AOC es 
los 
8
9
 del volumen del sólido generado 
por la región rectangular OPCT, al 
girar ambos alrededores de 𝑂𝑃 ⃡ . 
Hallar 𝛼 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 15 B) 20 C) 25 
D) 30 E) 45 
 
111. En la figura mostrada, EF = 1 u, 
OA = OB = r = 
√6
√𝜋
u, el sector circular 
AOB gira sobre el diámetro 𝐶𝐷 y 
genera un sólido cuyo volumen (en 
u3) es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 9 
 
112. Una esfera se interseca con un plano 
secante trazada a una distancia del 
centro igual a la mitad de la longitud 
del radio, en el menor segmento 
esférico se inscribe una esfera. 
Calcule en qué relación se 
encuentran los volúmenes de la 
esfera inscrita y el segmento que 
interseca. 
 
A) 
1
3
 B) 
1
5
 C) 
1
8
 
D) 
1
10
 E) 
1
12
 
 
2R 
A O B 
R 
C P 
O B A T 
 
D 
E 
O 
C 
A 
B 
F 
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113. La razón entre los volúmenes de dos 
esferas es 
8
27
. Calcule el volumen de 
la cuña esférica del ángulo diedro de 
15 de la esfera mayor. 
 
A) 𝜋 B) 
3
2
𝜋 C) 2𝜋 
D) 
5
2
𝜋 E) 3𝜋 
 
114. En la siguiente figura, calcule el 
volumen generado al rotar la región 
sombreada alrededor del eje X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
2
3
𝜋𝑅3 B) 
3
2
𝜋𝑅3 C) 
𝜋
3
𝑅3 
D) 
𝜋
2
𝑅3 E) 2𝜋𝑅3 
 
115. El volumen de una esfera es 
numéricamente igual a su área. Si el 
área del huso es 
3
18
 del área de la 
esfera, calcule el volumen de la cuña 
esférica correspondiente. 
 
A) 4𝜋 B) 5𝜋 C) 6𝜋 
D) 8𝜋 E) 9𝜋 
 
116. Se inscribe una esfera en un cono de 
revolución, si dos generatrices 
opuestas determinan un ángulo de 60 
y el diámetro de su base es 18 u. 
Calcule el volumen de la esfera 
(en u3). 
 
A) 52𝜋√3 B) 58√3𝜋 
C) 72𝜋√3 D) 98𝜋√3 
E) 108𝜋√3 
 
117. Una superficie esférica de área 
144𝜋 u2, es intersecada por dos 
planos que forman entre sí un ángulo 
diedro de 60, de modo que la recta de 
intersección de los 2 planos es 
tangente a la esfera, y el plano 
bisectriz contiene un diámetro de la 
esfera. Halle el volumen (en u3) de la 
parte de la esfera comprendido en el 
ángulo diedro. 
 
A) 132𝜋 B) 148𝜋 C) 172𝜋 
D) 198𝜋 E) 212𝜋 
 
118. Halle el volumen de un segmento 
esférico de una base, si el área del 
casquete esférico correspondiente es 
cuatro veces el área de la base, se 
sabe que el radio de la esfera mide 
4√3. 
 
A) 108𝜋√3 B) 108𝜋√2 
C) 216𝜋√3 D) 216𝜋√2 
E) 324 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
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