Resolución de problemas de Superficie Esférica y Esfera

Vista previa del material en texto

2020-2
SUPERFICIE ESFERICA
Y ESFERA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROBLEMA 94 
El diámetro de una esfera mide 4 3 y en el hay un segmento esférico de 
una base. Calcule el área del menor casquete, sabiendo que el área de la 
base del segmento esférico es 9πu?
A) 7 π B) 9 π C) 10 π D) 11 π E) 12 π
Calcular: 2𝜋Rh
Dato:
2R = 4 3
Dato:
𝜋r2= 9𝜋
2𝜋Rh = 2𝜋(2 3)( 3) 
R= 2 3
⟶R = 2 3
⟶r = 3
2𝜋Rh = 12𝜋
h
El diámetro de una esfera mide 4 3 y en el hay un segmento 
esférico de una base. Calcule el área del menor casquete, sabiendo 
que el área de la base del segmento esférico es 9πu?Resolución 94
Clave: E 
R
h = 3rr = 3
3
PROBLEMA 95
Un cilindro macizo de plomo tiene como medidas de su altura y diámetro 12 
cm, se funde este cilindro para obtener dos sólidos: un cono cuya altura y 
diámetro miden 12 cm. ¿Cuál es el área de la superficie del otro sólido, si 
éste es una esfera?
A) 120π B)144π C)196π D)216π E)244π
Calcular: 4𝜋R2
12
12
6 6
R= +
Vcilindro = Vcono + Vesfera
𝜋(6) 2(12) = 
1
3
𝜋(6) 2(12) +
4
3
𝜋(R) 3
𝜋(6) 2(8) = 
4
3
𝜋(R) 3
⟶R = 6
∴ 4𝜋R2 = 144 𝜋
Un cilindro macizo de plomo tiene como medidas de su altura y 
diámetro 12 cm, se funde este cilindro para obtener dos sólidos: un 
cono cuya altura y diámetro miden 12 cm. ¿Cuál es el área de la 
superficie del otro sólido, si éste es una esfera?
Resolución 95
Clave: B 
PROBLEMA 96
El gráfico muestra P una esfera donde el diedro formado por los círculos de
diámetros 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 es recto. Si el área del menor de estos círculos es
48π𝑢2 y m∠CAD=120, entonces el área (en 𝑢2 ) del casquete sombreado es
A) 32π B) 40π C) 50π D) 58π E) 64 π
D
O
A
C
E
B
r = 4 3
4 3
4 3
r = 4 3
4
4
8
4
4
R = 84 3
E
M B
B
C
D
A
Calcular: 2𝜋Rh
Dato: 𝜋r2= 48𝜋
⟶r = 4 3
h = 4
2𝜋Rh = 2𝜋(8)(4) 
2𝜋Rh = 64𝜋 𝑢2
Resolución 96
El gráfico muestra P una esfera donde el diedro formado por los círculos de 
diámetros 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 es recto. Si el área del menor de estos círculos es 
48π𝑢2 y m∠CAD=120, entonces el área (en 𝑢2 ) del casquete sombreado es
D
OA
C
E
B
Clave: E 
h
R
Dato: m∠CAD=120
⟶ m∠COD=120
O
r
8
8
4 8
4 3
PROBLEMA 97
El gráfico muestra a un cilindro de revolución y a un huso esférico (A y B 
son puntos de tangencia). Si el área del huso es la cuarta parte del área 
lateral del cilindro, entonces la m∠AOB es
A) 45 B) 53 C) 60 D) 75 E) 90
O1
B
O
O2
A
Calcular: α
Dato:
𝜋(R)2α
90
= 
2𝜋R(2R)
4
∴ α = 90
El gráfico muestra a un cilindro de revolución y a un huso esférico (A y B son 
puntos de tangencia). Si el área del huso es la cuarta parte del área lateral 
del cilindro, entonces la m∠AOB esResolución 97
Clave: E 
O1
B
O
O2
A
PROBLEMA 98
En un cono de revolución se inscribe una superficie esférica tangente a la 
generatriz en el punto medio. Calcule la relación entre el área lateral del 
cono y el área de la superficie esférica.
A) 1,5 B) 2,0 C) 2,5 D) 3,0 E) 6,0
30
r
r 3
r 3
2r
r 3
Calcular : 
ALC
ASE
ALC
ASE
= 
2𝜋r 3(2r 3)
4𝜋r2
ALC
ASE
= 3
En un cono de revolución se inscribe una superficie esférica tangente a la 
generatriz en el punto medio. Calcule la relación entre el área lateral del 
cono y el área de la superficie esférica.Resolución 98
Clave: D 
r
2r
PROBLEMA 99
Los radios de dos superficies esféricas miden 20 u y 15 u; la distancia entre
sus centros es 25 u. Calcule (en 𝑢2) la suma de las áreas de los menores
casquetes esféricos determinados por la intersección de las superficies
esféricas.
A)70π B)170π C)240π D) 340π E) 360π
RESOLUCIÓN 99
Calcular A = 2𝜋R1h1 + 2𝜋R2h2
16+h1 = 20 ; 9+h2 = 15
h1 = 4 ; h2= 6
∴ A= 2𝜋 20 4 + 2𝜋 15 6 = 340𝜋
Clave: D 
O1 O2
15
20
25
R1
R2
h1 h2
Los radios de dos superficies esféricas miden 20 u y 15 u; la
distancia entre sus centros es 25 u. Calcule (en 𝑢2) la suma de
las áreas de los menores casquetes esféricos determinados
por intersección de las superficies esféricas.
PROBLEMA 100
La figura muestra a un cilindro de revolución, a una esfera inscrita y a un 
cono de revolución inscrito. Si el área lateral del cilindro es de 20π𝑢2, 
entonces el área (en 𝑢2 ) del casquete sombreado es
A) 2π B) 3π C) 4π D) 5π E)6π
RESOLUCIÓN 100
Calcular A = 2𝜋Rh
Dato 2𝜋R 2R = 20𝜋
R2 = 5 ⋯ 𝐼
Además h =
2
5
R
2𝜋R
2
5
R =
4
5
𝜋R2 ⋯ 𝐼𝐼
De 𝐼 en 𝐼𝐼
4
5
𝜋R2 = 4𝜋
∴ A = 4𝜋
Clave: C 
La figura muestra a un cilindro de revolución, a una esfera inscrita y a un 
cono de revolución inscrito. Si el área lateral del cilindro es de 20π𝑢2, 
entonces el área (en 𝑢2 ) del casquete sombreado es
PROBLEMA 101
En una superficie esférica, se tiene un huso esférico cuyo ángulo de giro mide α
y el área del huso es k veces el área de la superficie esférica. Calcule 
K
𝛼
.
A) 
1
30
B) 
1
120
C) 
1
180
D) 
1
200
E) 
1
360
Calcular
K
𝛼
AHE =
𝜋R2𝛼
90
= K 4𝜋R2
∴
K
𝛼
=
1
360
𝛼
Clave: E 
En una superficie esférica, se tiene un huso esférico cuyo ángulo de giro 
mide α y el área del huso es k veces el área de la superficie esférica. Calcule 
K
𝛼
.
RESOLUCIÓN 101
PROBLEMA 102
En un cono de revolución se encuentra inscrito una esfera. Calcule la relación 
entre el área de la superficie esférica y el área lateral del cono, sabiendo que el 
ángulo en el vértice de la sección axial mide 74.
A) 
2
5
B) 
3
5
C) 
2
6
D) 
3
7
E) 
4
5
Resolución 102
En un cono de revolución se encuentra inscrito una esfera. Calcule la 
relación entre el área de la superficie esférica y el área lateral del cono, 
sabiendo que el ángulo en el vértice de la sección axial mide 74.
Calcule 
AE
ALC
=
4𝜋r2
𝜋Rg
SAVB = pr =
bh
2
|
32k
2
r =
12k 8k
2
r = 3k , R = 6k
AE
ALC
=
4𝜋 3k 2
𝜋 6k 10k
=
3
5
Clave: B 
6k
g=10k
8k
12k
A B
V
37 37
PROBLEMA 103
Se tienen dos superficies esféricas concéntricas donde el área de la superficie 
esférica menor es de 208π𝑢2 . Al trazar un plano secante a ambas superficies 
esféricas, se determina una corona circular de 4u y 8u de radios. Calcule el área 
de la superficie esférica mayor.
A) 268𝜋 B) 308𝜋 C) 324𝜋
D) 400𝜋 E) 490𝜋
Resolución 103
Se tienen dos superficies esféricas concéntricas donde el área de la
superficie esférica menor es de 208π𝑢2 . Al trazar un plano secante a
ambas superficies esféricas, se determina una corona circular de 4u y 8u
de radios. Calcule el área de la superficie esférica mayor.
Calcular 4𝜋R2
Dato: 4𝜋r2 = 208𝜋
r2 = 52
◺BHO : T.Pitágoras
OH2 = 42 − r2
⟶ R = 10
∴ 4𝜋R2 = 400𝜋
Clave: D 
4
4
4
4
6
R
O
A
H
r
◺AHO : T.Pitágoras
R2 = 82 + OH2
⟶ OH = 6
B
PROBLEMA 104
En un cono cuya generatriz es congruente al diámetro de la base, esta 
inscrita una superficie esférica. Si el área del menor casquete determinado 
por los puntos de tangencia del cono sobre la superficie esférica es 6𝑢2 ,
entonces el área lateral (en 𝑢2) del cono es de
A) 18 B) 24 C) 36 
D) 42 E) 60
Resolución 104
En un cono cuya generatriz es congruente al diámetro de la base, esta 
inscrita una superficie esférica. Si el área del menor casquete determinado 
por los puntos de tangencia del cono sobre la superficie esférica es 6𝑢2 ,
entonces el área lateral (en 𝑢2) del cono es de
Calcular ALC = 𝜋R′g
Dato: ACE = 2𝜋R
R
2
=6
R2 =
6
𝜋
⋯ 𝐼𝐼
g = 2R 3
𝜋R′g = 𝜋 R 3 2R 3 = 6𝜋R2
∴ ALC = 6𝜋
6
𝜋
= 36
Clave: C 
R’
g=2R’
R R
R
2
h = 
R
2R 3
2R 3
PROBLEMA 105
El radio de una esfera mide R unidades y en el se encuentra inscrito un 
cilindro de revolución, cuya área lateral máxima es S unidades cuadradas. 
Calcule (en 𝑢2 ) el área de la superficie esférica.
A) S B) 2S C) 3S
D) 4S E) 6S
Resolución 105
El radio de una esfera mide R unidades y en el se encuentra inscrito un 
cilindro de revolución, cuya área lateral máxima es S unidades cuadradas. 
Calcule (en 𝑢2 ) el área de la superficie esférica.
Calcular 4𝜋R2 Dato: ALC máx= S
A x = 2𝜋xhh = 2 R2 − x2
A(x) = 4𝜋 x2 R2 − x2
x2
1/2
=
R2 − x2
1/2
→ x =
R 2
2
A 
R 2
2
= 2𝜋R2 = S
∴ 4𝜋R2 = 2S
Clave: B 
R
PROBLEMA 106
En una superficie esférica, una zona esférica y un huso esférico son 
equivalentes, tal que el diámetro del huso contiene a la altura de la zona 
esférica que mide h. ¿Cuál es el área de la intersección de la zona esférica 
y el huso esférico?
A) 
π
3
B) 
π
2
C) π D) 
3π
2
E) 2πℎ
2 ℎ2
ℎ2 ℎ
2ℎ2
Resolución 106
En una superficie esférica, una zona esférica y un huso esférico son 
equivalentes, tal que el diámetro del huso contiene a la altura de la zona 
esférica que mide h. ¿Cuál es el área de la intersección de la zona esférica y 
el huso esférico?
Calcular 2𝜋Rh
𝛼
360
Dato : 2𝜋Rh =
𝜋R2 𝛼
90
h =
R𝛼
180
𝜋Rh𝛼
180
= 𝜋h h
∴ 2𝜋Rh
𝛼
360
= 𝜋h2
𝛼
Clave: C 
PROBLEMA 107
Calcule el área de la superficie del sólido que se obtiene al girar 360 a la 
región sombreada alrededor del diámetro 𝐴𝐵.
A)8π𝑅2 B)10π𝑅2 C)12π𝑅2 D)14π𝑅2 E)16π𝑅2
2R
A O B
R
Resolución 107
Calcule el área de la superficie del sólido que se obtiene al girar 360 a la 
región sombreada alrededor del diámetro 𝐴𝐵.
Calcular S1 + S2 + S3
S1 = 2𝜋 2R R
S2 = 2𝜋 2R 3R
S3 = 4𝜋R
2
∴ S1 + S2 + S3 = 20𝜋R
2
A O B
PROBLEMA 108
Una cuña esférica está inscrita en un prisma triangular regular con su 
diámetro como arista lateral y un huso tocando la cara lateral opuesta al 
diámetro. Si el volumen del prisma es 6. Calcule el volumen de la cuña.
A) 
π
3
3 B) 
2π
3
3 C) 
4π
3
3 D) 
5π
3
3 E) 
7π
3
3
Resolución 108
Una cuña esférica está inscrita en un prisma triangular regular con su 
diámetro como arista lateral y un huso tocando la cara lateral opuesta al 
diámetro. Si el volumen del prisma es 6. Calcule el volumen de la cuña.
∝
Calcular: VCE = 
𝜋(R)2α
270
Dato: VPRISMA = 6
2R 3
3
2
3
4
(2R)= 6
⟶R = 3
VCE = 
𝜋( 3)360
270
∴ VCE = 
2𝜋 3
3 Clave: B 
2R
2R 3
3
R
R 3
3
PROBLEMA 109
En una superficie esférica se inscribe un paralelepípedo rectangular cuyas 
dimensiones son 20 u, 15 u y 5 π u. Calcule la altura del casquete esférico 
que determina la cara de menor área del paralelepípedo.
A) 4,83 B) 5,00 C) 6,21 D) 6,72 E) 3,26
Resolución 109
En una superficie esférica se inscribe un paralelepípedo rectangular cuyas 
dimensiones son 20 u, 15 u y 5 π u. Calcule la altura del casquete esférico 
que determina la cara de menor área del paralelepípedo.
Calcular : hCE = h
h = R – 10 ….(I)
En el paralelepípedo
R2= 202+ 152 + 5 𝜋 2
En (I): h = 13,26 – 10
⟶R = 13,26O
20
15
5 π
h
10
Menor área
R
R
R
∴h = 3,26 
Clave: E 
PROBLEMA 110
En el gráfico el volumen del sólido generado por el sector circular AOC es 
los 
8
9
del volumen del sólido generado por la región rectangular OPCT, al 
girar ambos alrededor de 𝑂𝑃. Hallar α
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 45 
R
∝
O
PC
h
Resolución 110
En el gráfico el volumen del sólido generado por el sector circular AOC es los 
8
9
del volumen del sólido generado por la región rectangular OPCT, al girar 
ambos alrededor de 𝑂𝑃. Hallar α
R
h
Rcos∝
∝
O
PC
Rsen∝
Calcular : ∝
Dato: VSE = 
8
9
VOPCT
2
3
𝜋(R) 2(h) = 
8
9
(Rcos ∝ )2Rsen∝
3
2
= cos∝
∴∝ = 30
Clave: D 
PROBLEMA 111
En la figura mostrada, EF = 1 u, OA = OB = r =
6
π
u, el sector circular AOB 
gira sobre el diámetro 𝐶𝐷 y genera un sólido cuyo volumen ( en 𝑢3 ) es
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 
r
r
A
B
C
D
O
E
F
Resolución 111
En la figura mostrada, EF = 1 u, OA = OB = r =
6
π
u, el sector circular AOB gira 
sobre el diámetro 𝐶𝐷 y genera un sólido cuyo volumen ( en 𝑢3 )
Calcular : Vx =
2
3
𝜋(r) 2(h)
h=1
r
r
Vx =
2
3
𝜋(
6
𝜋
) 2(1)
Vx = 4 𝑢
3
A
B
C
D
O
E
F
Dato: r= 
6
𝜋
Clave: C 
PROBLEMA 112
Una esfera se interseca con un plano secante trazada a una distancia del 
centro igual a la mitad de la longitud del radio, en el menor segmento 
esférico se inscribe una esfera. Calcule en qué relación se encuentran los 
volúmenes de la esfera inscrita y el segmento que interseca.
A) 
1
3
B) 
1
5
C) 
1
8
D) 
1
10
E) 
1
12
Resolución 112
Una esfera se interseca con un plano secante trazada a una distancia del 
centro igual a la mitad de la longitud del radio, en el menor segmento 
esférico se inscribe una esfera. Calcule en qué relación se encuentran los 
volúmenes de la esfera inscrita y el segmento que interseca.
Clave: D 
Calcular : 
VEsfera pequeña
VSegmento
VEsfera pequeña = 
4
3
𝜋(
R
2
) 3 = 
𝜋(R) 3
6
VSegmento = 
𝜋R3
6
+ 
𝜋R(R 3 )2
2
= 
10𝜋(R) 3
6
∴
VEsfera pequeña
VSegmento
= 
𝜋(R) 3
6
10𝜋(R) 3
6
h = R
2RR
R 3R 3
R
2
R
2
PROBLEMA 113
La razón entre los volúmenes de dos esferas es 
8
27
. Calcule el volumen de 
la cuña esférica del ángulo diedro de 15 de la esfera mayor, si el radio de la 
esfera menor es 2.
A)Π B)
3
2
π C)2π D)
5
2
π E)3π
Resolución 113
La razón entre los volúmenes de dos esferas es 
8
27 . Calcule el volumen de la 
cuña esférica del ángulo diedro de 15 de la esfera mayor, si el radio de la 
esfera menor es 2.
Calcular : VCE = 
𝜋(R)3𝛼
270
⟶ 
r
R
= 
2
3
…(I) 
⟶ 
4
3
𝜋(r) 3
4
3
𝜋(R) 3
= 
8
27
Dato1: 
V1
V2
= 
8
27
VCE = 
𝜋(3)3(15)
270
∴ VCE = 
3𝜋
2
Dato2: r = 2
En (I): R = 3
Clave: B 
PROBLEMA 114
En la siguiente figura, calcule el volumen generado al rotar la región 
sombreada alrededor del eje X.
A) 
2
3
π 𝑅3 B) 
3
2
π𝑅3 C) 
π
3
𝑅3 D) 
π
2
𝑅3 E)2π𝑅3
Resolución 114
En la siguiente figura, calcule el volumen generado al rotar la región sombreada 
alrededor del eje X.
Calcular Vx = 
1
2
VEsfera- VCono
Vx = 
2
3
𝜋(R) 3 -
1
3
𝜋(R) 2(R)
Vx = 
2
3
𝜋(R) 3 -
1
3
𝜋(R) 3
∴ Vx = 
1
3
𝜋(R) 3
Clave: C 
PROBLEMA 115
El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Si el área del 
uso es 
3
18
del área de la esfera, calcule el volumen de la cuña esférica
correspondiente.
A)4π B) 5π C)6π D)8π E)9π
Resolución 115
El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Si el área del 
uso es 
3
18
del área de la esfera, calcule el volumen de la cuña esférica
correspondiente.
Calcular : 
𝜋(R)3𝛼
270
Dato1: 
4
3
𝜋(R) 3= 4𝜋R ⟶R = 3
Dato2: 
𝜋(R)2α
90
= 
3
18
4𝜋(3) 3 ⟶α = 60
∴ Vx = 
𝜋(R)360
270
= 6𝜋
Clave: C 
PROBLEMA 116
Se inscribe una esfera en un cono de revolución, si dos generatrices 
opuestas determinan un ángulo de 60 y el diámetro de su base es 18 u. 
Calcule el volumen de la esfera (en 𝑢3 ).
A)52π 3 B)58π 3 C)72π 3 D)98π 3 E)108π 3
Resolución 116
Se inscribe una esfera en un cono de revolución, si dos generatrices opuestas 
determinan un ángulo de 60 y el diámetro de su base es 18 u. Calcule el volumen 
de la esfera (en 𝑢3 ).
9
9
9
9
9
18
60
Calcular : Vx= 
4𝜋r 3
3
r h=3r
3r = 9 3 ⟶r = 3 3
Vx= 
4𝜋 3 3
3
3
⟶Vx= 108 3𝜋
9
Clave: E 
PROBLEMA 117
Una superficie esférica de área 144π𝑢2, es intersecada por dos planos que 
forman entre sí un ángulo diedro de 60, de modo que la recta de 
intersección de los 2 planos es tangente a la esfera, y el plano bisectriz 
contiene un diámetro de la esfera. Halle el volumen (en𝑢3 ) de la parte de la 
esfera comprendido en el ángulo diedro.
A)132π B)148π C)172π D)198π E)126π
Resolución 117
Una superficie esférica de área 144π𝑢2, es intersecada por dos planos que 
forman entre sí un ángulo diedro de 60, de modo que la recta de intersección de 
los 2 planos es tangente a la esfera, y el plano bisectriz contiene un diámetro de 
la esfera. Halle el volumen (en𝑢3 ) de la parte de la esfera comprendido en el 
ángulo diedro.
3 3
3
3 3
30
30
3
6
Dato: 4𝜋R 2= 144𝜋 ⟶R = 6
Vx= 
4𝜋63
3
- 2 VSE
⟶Vx= 198𝜋
Clave: D 
Calcular :
Vx = Vesfera - 2 VSE
VSE =
𝜋33
6
+ 
𝜋(3) 3 3
2
2
3
3 6
PROBLEMA 118
Halle el volumen de un segmento esférico de una base, si el área del 
casquete esférico correspondiente es cuatro veces el área de la base, se 
sabe que elradio de la esfera mide 4 3.
A)108π 3 B)108π 2 C) 216π 3 D) 216π 2 E)324
Resolución 118
Halle el volumen de un segmento esférico de una base, si el área del casquete 
esférico correspondiente es cuatro veces el área de la base, se sabe que el radio 
de la esfera mide 4 3.
r
R=4 3
h
4 3 - h
Calcular el volumen del segmento esférico
Vx= 
𝜋h 3
6
+ 
𝜋hr2
2
Dato: 2𝜋Rh = 4𝜋r2
⟶ 2𝜋(4 3)h = 4𝜋r2
⟶ 2 3h = r2
Vx= 
𝜋(h)3
6
+ 𝜋 3h2
A
O
B
◺AOB: Pitágoras
(4 3)2= r2 + (4 3 − h )2
⟶ h = 6 3
Vx= 
𝜋(6 3)3
6
+ 𝜋 3(6 3)2 = 216 3𝜋
Clave: C