Asesoria_17_

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tan 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos(𝜃)
2 cos 𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)
𝑌
𝑋
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
ASESORIA 17
2
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
Representamos gráficamente 
las condiciones dadas.
𝐴𝑃
𝐴𝐵
=
2
3
Relacionamos las coordenadas 
de P.
𝑃 =
2𝐵 + 𝐴
3
𝑥𝑜; 𝑦𝑜 =
3(𝑥; 𝑦) − (4; 0)
2
𝑥𝑜 =
3𝑥 − 4
2
⟹ 𝐵 =
3𝑃 − 𝐴
2
𝑦𝑜 =
3𝑦
2
∗ 𝐵 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 𝜖 𝒞 ⟹ (
𝟑𝒙 − 𝟒
𝟐
− 4)2+(
𝟑𝒚
𝟐
+ 1)2= 4
9
4
𝑥 − 4 2 +
9
4
(𝑦 +
2
3
)2 = 4 ⟹ 𝒙 − 𝟒 𝟐 +(𝒚 +
𝟐
𝟑
)𝟐=
𝟏𝟔
𝟗
𝐴) (𝑥 − 4)2+ (𝑦 +
8
3
)2=
16
9
Desde el punto fijo 𝐴(4; 0) se trazan
segmentos 𝐴𝐵, con B sobre la gráfica
de la ecuación:
𝒞: 𝑥 − 4 2 + 𝑦 + 1 2 = 4
Si 𝑃𝜖𝐴𝐵 tal que 3 𝐴𝑃 = 2(𝐴𝐵) ,
determine la ecuación del lugar
geométrico que describe el punto P.
PROBLEMA 1 
𝐵) (𝑥 − 4)2+ (𝑦 +
2
3
)2=
16
9
𝐶) (𝑥 −
8
3
)2+ (𝑦 + 1)2=
9
4
𝐸) (𝑥 − 4)2+ (𝑦 +
4
3
)2=
9
4
𝐷) (𝑥 −
8
3
)2+ (𝑦 + 1)2=
9
4
El L.G que describe el 
punto P, es una 
circunferencia con centro 
en (4; −2/3 ) y radio 4/3
𝒞: 𝑥 − 4 2 + 𝑦 + 1 2 = 4
3
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
Graficamos la parábola dada: 𝒫: 𝑥2 = 12𝑦
𝑃1 𝑥1; 𝑦1
𝑀(𝑥; 𝑦)
𝑃1 𝑥1; 𝑦1 𝜖𝒫: 𝒙𝟏
𝟐 = 𝟏𝟐𝒚𝟏
𝐴) 𝑥2= 2(𝑦 − 3)
Determine la ecuación del lugar
geométrico de los puntos medios de
todas la cuerdas focales de la
parábola
𝒫: 𝑥2 − 12𝑦 = 0
PROBLEMA 2
𝐵) 𝑥2= 3(𝑦 − 3)
𝐶) 𝑥2= 6(𝑦 − 3)
𝐸) 𝑥2= 6(𝑦 − 2)
𝐷) 𝑥2= 3(𝑦 − 2)
E. Canónica
𝒑 = 𝟑
𝑃2 𝑥2; 𝑦2 𝑀(𝑥; 𝑦) es un 
punto del L.G
𝑃2 𝑥2; 𝑦2 𝜖𝒫: 𝒙𝟐
𝟐 = 𝟏𝟐𝒚𝟐
(−) ⟹ (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙𝟏) = 𝟏𝟐(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)
𝟐𝒙
⟹
𝒙
𝟔
=
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
… . (𝟏)Pendiente de la cuerda focal:
𝒎𝑷𝟏𝑷𝟐 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
=
𝒚 − 𝟑
𝒙
… . (𝟐)
De ambas ecuaciones: 
𝒙
𝟔
=
𝒚 − 𝟑
𝒙
⟹ 𝒙𝟐 = 𝟔(𝒚 − 𝟑)
4
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
𝐴) 𝑈𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
La base de un triángulo es de longitud
fija, siendo sus extremos 𝑂(0; 0) y
𝐴(6; 0), identifique el lugar geométrico
que describe el tercer vértice 𝐵(𝑥; 𝑦), de
tal manera que el producto de las
tangentes de los ángulos internos en O y
A sea igual a 4.
PROBLEMA 3
𝐵)𝑈𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝐶)𝑈𝑛𝑎 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝐸)𝑈𝑛𝑎 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎
𝐷)𝑈𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
𝒕𝒂𝒏 𝜶 =
𝒚
𝒙
Del gráfico:
𝒕𝒂𝒏 𝜶 ∙ 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = 𝟒
𝐵(𝑥; 𝑦) es un 
punto del L.G
𝒚
𝒙 𝟔 − 𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝜷 =
𝒚
𝟔 − 𝒙
Por condición:
Reemplazamos
𝒚
𝒙
𝒚
𝟔 − 𝒙
= 𝟒
𝒚𝟐 = 𝟒𝒙(𝟔 − 𝒙)
𝒚𝟐
𝟒
+ 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎
𝒙 − 𝟑 𝟐 +
𝒚𝟐
𝟒
= 𝟗
El L.G que describe el 
punto B, es una elipse con 
centro en (3; 0 )
𝒙 − 𝟑 𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟑𝟔
= 𝟏
5
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐸
Representamos gráficamente 
las condiciones dadas.
𝐶 =
𝐴 + 𝐵
2
𝐴) 𝑥2+ 6𝑥 + 𝑦2 + 8𝑦 − 144 = 0
Una circunferencia pasa por O(0;0),
A(0;8) y B(6;0). Determine la ecuación
de la circunferencia concéntrica a la
anterior que contiene a P(8;16).
PROBLEMA 4 
𝐵) 𝑥2− 8𝑥 + 𝑦2 − 6𝑦 − 225 = 0
𝐶) 𝑥2+ 6𝑥 + 𝑦2 + 8𝑦 − 169 = 0
𝐸) 𝑥2− 6𝑥 + 𝑦2 − 8𝑦 − 144 = 0
𝐷) 𝑥2− 6𝑥 + 𝑦2 − 8𝑦 − 225 = 0
𝒞: 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 4 2 = 𝑟2
𝐴
𝐶
𝐵𝑂
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒:
𝐶 = (3; 4)
𝑆𝑒𝑔ú𝑛 𝑑𝑎𝑡𝑜: 𝑃 8; 16 𝜖 𝒞
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜: 8 − 3 2 + 16 − 4 2 = 𝑟2
𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑟á:
𝑟 = 13
∴ 𝒞: 𝑥2−6𝑥 + 𝑦2 − 8𝑦 − 144 = 0
𝐴 = (0; 8)
𝐵 = (6; 0)
6
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
Graficamos según la información:
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝐴) 𝑥2 + 𝑦2 = 5625
A,B,C y D determinan un cuadrilátero
inscriptible en una circunferencia con
centro en el origen de coordenadas.
Sabiendo que: AB=52u, BC=25u,
CD=60u y AD=39u. ¿cuál es la
ecuación de dicha circunferencia?
PROBLEMA 5
𝐵) 2𝑥2 + 2𝑦2 − 5625 = 0
𝐶) 4𝑥2 + 4𝑦2 − 4225 = 0
𝐸) 4𝑥2 + 4𝑦2 − 3025 = 0
𝐷) 2𝑥2 + 2𝑦2 − 4225 = 0
𝐴
𝐶𝐵
𝐷
AB=52u
BC=25u
CD=60u 
cos A =
522 + 392 − 252 − 602
2 ∙ 52 ∙ 39 + 2 ∙ 25 ∙ 60
Se obtiene: cos(A)=0  A=90º
También: BD=65u, es la longitud 
del diámetro.
𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑟á: 𝒞: 𝑥2 + 𝑦2 = (
65
2
)2
𝒞: 4𝑥2 + 4𝑦2 − 4225 = 0
7
CEPRE UNI
𝑦
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
𝐴) 𝑥2+ 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0
Determine la ecuación de la
circunferencia que pasa por el punto
A(1;4) y es tangente a la circunferencia
de ecuación 𝒞: 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0 ,
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝐵(−2; 1).
PROBLEMA 6
𝐵) 𝑥2+ 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 3 = 0
𝐶) 𝑥2+ 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 5 = 0
𝐸) 𝑥2+ 𝑦2 + 2𝑥 + 6𝑦 + 1 = 0
𝐷) 𝑥2+ 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0
Trazamos L1 y L2 que se interceptan en C2
Ubicamos A(1;4) y B(-2;1) y los unimos.
Graficamos según la información
A
𝑥
M
B
C2
C1
C1=(-3;-1)
L1
𝒞: 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0
𝒞1
𝑀 = (−
1
2
;
5
2
)
r1= 5
L2
.
𝒞2 Trazamos 𝒞2 con centro en C2
𝑀 =
𝐴 + 𝐵
2
Obtenemos la ecuación de las rectas:
L2: x+y-2=0
L1: 2x-y+5=0
Resolviendo para obtener 
coordenadas del punto de 
intersección: C2= (-1;3)
Calculamos BC2, que es el radio de 𝒞2
r2= 5 ∴ 𝒞2: 𝑥
2+𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0
8
CEPRE UNI
Sean las circunferencias 𝒞1 y 𝒞2 cuyas ecuaciones son 𝒞1: 𝑥
2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0 y
𝒞2: 𝑥
2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 12𝑦 + 3 = 0. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento
cuyos extremos son los centros de 𝒞1 y 𝒞2.
𝐴) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 𝐵) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 𝐶) 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0
𝐷) 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 𝐸) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
CLAVE: B
PROBLEMA 7
RESOLUCIÓN Tenemos: 𝒞1: 𝑥
2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0
Determinamos la pendiente del segmento que une los centros de las circunferencias:
→ 𝐿:𝒙 + 𝒚 − 𝟓 = 𝟎
Luego:
→ 𝑪𝟏 = −
𝟐
𝟐
; −
−𝟒
𝟐
𝒞2: 𝑥
2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 12𝑦 + 3 = 0 → 𝑪𝟐 = −
−𝟔
𝟐
; −
−𝟏𝟐
𝟐
= (−𝟏; 𝟐)
= (𝟑; 𝟔)
𝑪𝟏(−𝟏; 𝟐)
𝑪𝟐(𝟑; 𝟔)
(𝟏; 𝟒)
𝑳
𝑚 =
6 − 2
3 + 1
= 1 → 𝒎𝑳 = −1
Luego: 𝑳: 𝑦 − 4 = −1(𝑥 − 1)
9
CEPRE UNI
Determine la ecuación de la recta tangente, de pendiente positiva, trazada desde el punto
𝑃(−4;−2) a la circunferencia: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0.
𝐴) 2𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 𝐵) 3𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 𝐶) 𝑥 − 2𝑦 = 0
𝐷) 4𝑥 − 3𝑦 + 10 = 0 𝐸) 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0
CLAVE: B
PROBLEMA 8
RESOLUCIÓN
Se observa: → 3 =
𝑚 1 − −2 + 4𝑚 − 2
𝑚2 + 1
Completando cuadrados obtenemos: 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 = 32
Graficando:
→ 𝐿: 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎
𝐶 = (1;−2)
𝑟 = 3
𝐶(1;−2)
3
𝐿
(−4;−2)
Para la recta L: 𝑦 + 2 = 𝑚(𝑥 + 4) → 𝑚𝑥 − 𝑦 + 4𝑚 − 2 = 0
3 = 𝑑(𝐶, 𝐿)
→ 3 𝑚2 + 1 = 5𝑚 → 𝑚 =
3
4
Luego 𝐿: (
3
4
)𝑥 − 𝑦 + 4(
3
4
) − 2 = 0
10
CEPRE UNI
Sea la circunferencia con centro en 𝐶(2; 1) y que pasa por el punto 𝑄(6;−2). Determine la
ecuación de la recta tangente a dicha circunferencia en el punto 𝑃(−2; 4).
𝐴) 4𝑥 − 3𝑦 + 20 = 0 𝐵) 3𝑥 − 4𝑦 + 22 = 0 𝐶) 2𝑥 − 3𝑦 + 16 = 0
𝐷) 3𝑥 − 2𝑦 + 14 = 0 𝐸) 5𝑥 − 3𝑦 + 32 = 0
CLAVE: A
𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎
PROBLEMA 9
RESOLUCIÓN
La ecuación de la recta tangente en el punto 𝑃(−2; 4) está dada por:
𝑟 = 6 − 2 2 + −2 − 1 2
Determinamos la ecuación de la circunferencia:
La ecuación de la circunferencia está dada por:
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 52
−2 𝑥 + 4 𝑦 − 2 −2 + 𝑥 − 4 + 𝑦 − 20 = 0
Finalmente obtenemos:
→ 𝑟 = 5
→ 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0
11
CEPRE UNI
𝐴) 25𝑥2 = 24 5𝑦 + 6Determine la ecuación de la parábola 𝒫 cuya
directriz es el eje de abscisas, su foco pertenece
a la recta 𝐿1: 2𝑥 + 5𝑦 + 12 = 0 y su vértice es
un punto de la recta 𝐿2: 3𝑥 − 5𝑦 − 6 = 0.
PROBLEMA 10 
RESOLUCIÓN
𝐵) − 5𝑥2 = 24 𝑦 + 6
𝐶) 5𝑥2 = −24 5𝑦 + 6
𝐷) 25𝑥2 = −24 5𝑦 − 6
𝐸) 25𝑥2 = −24 5𝑦 + 6
La recta directriz es el eje X 𝐿𝐷: 𝑦 = 0 ,
entonces el eje focal es paralelo al eje Y
Sean 𝑉 y 𝐹, vértice y foco de la parábola.
• 𝑉 ∈ 𝐿𝐹 ∧ 𝑉 ∈ 𝐿2 ⟹ 𝑉 𝑎;
3𝑎 − 6
5
• 𝐹 ∈ 𝐿𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ⟹ 𝐹 𝑎;
−2𝑎 − 12
5
Además V es punto medio de 𝑄𝐹
⟹ 6𝑎 − 12 = −2𝑎 − 12
⟹
3𝑎 − 6
5
=
0 +
−2𝑎 − 12
5
2
𝐿𝐷
𝐿1
𝐿2
𝐿𝐹: 𝑥= 𝑎
V
F
𝑄 𝑎; 0
⟹ 𝑎 = 0 ∧ 𝑉 0;−
6
5
∧ 𝐹 0;−
12
5
Además: 𝑝 = −6/5
⟹ 𝒫: 𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘
⟹𝒫:𝑥2 = −
24
5
𝑦 +
6
5
∴ 𝒫: 25𝑥2 = −24 5𝑦 + 6
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐸
X
Y
𝑽 𝟎;−
𝟔
𝟓
𝑭 𝟎;−
𝟏𝟐
𝟓
12
CEPRE UNI
𝐴) 𝑦2 = 12 𝑥 − 3
Determine la ecuación de la
parábola 𝒫, cuyo eje focal sea el eje
de abscisas, su foco está a la
derecha del vértice y sabiendo que
la recta 𝐿: 4𝑥 − 3𝑦 − 28 = 0
contiene una de las cuerdas focales
de 25u de longitud.
𝐵) 𝑦2 = 12 𝑥 − 4
𝐶) 𝑦2 = 16 𝑥 − 3
𝐷) 𝑦2 = 16 𝑥 − 4
𝐸) 𝑦2 = 16𝑥
PROBLEMA 11 RESOLUCIÓN
𝛼
∗ 𝑚𝐿 =
4
3
= tan 𝛼 ⟹ csc 𝛼 =
5
4
∗ 𝑃𝑄 = 25 𝑢 ∧ 𝑉𝐹 = 𝑝
𝐸𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙: 𝑃𝑄 = 4 𝑝 csc2 𝛼
⟹ 25 = 4 𝑝
5
4
2
⟹ 𝑝 = 4
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑉(3; 0)
⟹ 𝒫: 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ
𝐿
𝑭 𝟕; 𝟎
𝑷
𝑸
X
Y
𝑽
𝓟
⟹ 𝒫: 𝑦 − 0 2 = 4 4 𝑥 − 3
∴ 𝒫: 𝑦2 = 16 𝑥 − 3
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
13
CEPRE UNI
𝐿𝐷
𝐿
𝐴) 𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 16𝑦2 − 299𝑥 − 62𝑦 = 0
Determine la ecuación de la parábola 𝒫
cuyo vértice es el origen, uno de los
extremos del lado recto es 2; 9 y su eje
focal tiene pendiente positiva.
𝐵) 𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 16𝑦2 − 290𝑥 − 64𝑦 = 0
𝐶) 𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 16𝑦2 − 281𝑥 − 66𝑦 = 0
𝐷) 𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 16𝑦2 − 272𝑥 − 68𝑦 = 0
𝐸) 𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 16𝑦2 − 263𝑥 − 70𝑦 = 0
PROBLEMA 12 RESOLUCIÓN
𝓟
X
Y
𝑭 𝟒, 𝟏
𝑸 𝟐;𝟗
𝑽 = 𝟎; 𝟎
𝒑
𝟐 𝒑
𝒂
𝒃
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝑽
𝑭
𝑸
⟹ 𝑭 = 𝒂; 𝒃
⟹ 𝑸 = 𝒂 − 𝟐𝒃; 𝟐𝒂 + 𝒃
𝑽
𝑎 − 2𝑏 = 2
2𝑎 + 𝑏 = 9
𝑎 = 4 ∧ 𝑏 = 1
T
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑉 =
𝑇 + 𝐹
2
⟹ 𝑇 = 2𝑉 − 𝐹 ⟹ 𝑇 = −4;−1
𝑚𝑉𝐹 =
1
4
⟹ 𝑚𝐿𝐷 = −4
𝐿𝐷: 𝑦 + 1 = −4 𝑥 + 4
𝐿𝐷: 4𝑥 + 𝑦 + 17 = 0
𝑆𝑒𝑎 𝑃 𝑥; 𝑦 ∈ 𝒫 y por definición:
𝒫: 𝑑 𝑃; 𝐹 = 𝑑 𝑃; 𝐿𝐷
𝑷 𝒙; 𝒚
𝒫: 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 1 2 =
4𝑥 + 𝑦 + 17
17
𝒫: 17 𝑥2 − 8𝑥 + 𝑦2 − 2𝑦 + 17 = 16𝑥2 + 𝑦2 + 289 + 8𝑥𝑦 + 136𝑥 + 34𝑦
∴ 𝒫: 𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 16𝑦2 − 272𝑥 − 68𝑦 = 0
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
14
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Desde el punto A(-5;5) se han
trazado rectas tangentes a la
parábola 𝑦2 = 8𝑥 . Calcule la
ecuación de la cuerda que une
los puntos de contacto.
PROBLEMA 13
𝐴) 4𝑥 − 5𝑦 − 20 = 0
𝐵) 4𝑥 − 5𝑦 − 10 = 0
𝐶) 4𝑥 − 5𝑦 − 5 = 0
𝐷) 4𝑥 − 5𝑦 − 2 = 0
𝐸) 4𝑥 − 5𝑦 + 10 = 0
Graficando:
𝐴(−5; 5)
𝐵(𝑥1; 𝑦1)
𝐶(𝑥2; 𝑦2)
𝐿
Ecuación de la recta
tangente
𝑦2 = 4𝑝𝑥
⇒ 𝐿𝑡: 𝑦0 𝑦 = 2𝑝(𝑥0 + 𝑥)
𝐿1
𝐿2
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 4𝑝 = 8 ⇒ 𝑝 = 2
⇒ 𝐿1: 𝑦1 𝑦 = 4(𝑥1 + 𝑥)
⇒ 𝐿2: 𝑦2 𝑦 = 4(𝑥2 + 𝑥)
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴 ∈ 𝐿1 𝑦 𝐿2
⇒ 𝐿1: 𝑦1 5 = 4 𝑥1 − 5 …… . (𝐼)
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐼 𝑦 (𝐼𝐼)
⇒ 𝐿2: 𝑦2 5 = 4 𝑥2 − 5 …… . (𝐼𝐼)
5 𝑦1 − 𝑦2 = 4(𝑥1 − 𝑥2)
𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥2
=
4
5
⇒ 𝑚𝐿 =
4
5
La ecuación de la recta que contiene
la cuerda de contacto:
𝐿: 𝑦 − 𝑦1 =
4
5
(𝑥 − 𝑥1)
5𝑦 − 4𝑥 = 5𝑦1 − 4𝑥1
𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐼 5𝑦1 − 4𝑥1 = −20
⇒ 5𝑦 − 4𝑥 = −20
∴ 𝐿: 4𝑥 − 5𝑦 − 20 = 0
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐴
15
CEPRE UNI
PROBLEMA 14 
Del gráfico, calcule la suma de
coordenadas del punto M.
RESOLUCIÓN
𝐴) 4 𝐵) 5 𝐶) 6
𝐷) 7 𝐸) 8
X
Y
V
M
X
Y
V(0; 0)
M
𝑦2 = 4𝑥
En el gráfico:
(𝑎; 0)
𝑃(𝑥1; 𝑦1)
𝑄(𝑥2; 𝑦2)
Por rectas perpendiculares:
𝑦1
𝑥1
𝑦2
𝑥2
= −1
⇒ −𝑦1. 𝑦2 = 𝑥1. 𝑥2 ⇒ −16𝑦1. 𝑦2 = 4𝑥1. 4𝑥2
−16𝑦1. 𝑦2 = 𝑦1
2. 𝑦2
2 ⇒ 𝑦1. 𝑦2 = −16
𝑦2 = 4𝑥
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Resolvemos el sistema:
𝑦2 = 4𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝑦2 = 4
𝑦 − 𝑏
𝑚
𝑚𝑦2 − 4𝑦 + 4𝑏 = 0 ; 𝐶. 𝑆 = 𝑦1; 𝑦2
Por Cardano: 𝑦1. 𝑦2 =
4𝑏
𝑚
= −16 ⇒ 𝑏 = −4𝑚
En la ecuación de la recta:
𝑦 = 𝑚𝑥 − 4𝑚
El punto 𝑀 ∈ Recta
⇒ 0 = 𝑚. 𝑎 − 4𝑚
𝑚. 𝑎 = 4.𝑚
⇒ 𝑎 = 4 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐴
16
CEPRE UNI
PROBLEMA 15 
De la figura, determine la ecuación
de la recta que pasa por los puntos
B y C, si F es el foco y V el vértice
de la parábola 𝑥2 = 4(𝑦 − 1)
Y
V
F
𝐴 − 2;
3
2
B
𝐴) 2𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0
𝐵) 2 + 2𝑦 − 8 = 0
𝐶) 2𝑥 + 5𝑦 − 20 = 0
𝐷) 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
𝐸) 2𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0
RESOLUCIÓN
En el gráfico:
Y
V
F
𝐴 − 2;
3
2
B
𝑋
X
(0; 1)
1
1
2
3/2
(𝑛;𝑚)
𝑚
𝑛
𝑚
3/2
Por propiedad de la
cuerda focal:
1
𝐴𝐹
+
1
𝐹𝐵
=
1
𝑝
1
3/2
+
1
𝑚
=
1
1
⇒ 𝑚 = 3
Además por Thales:
𝑚
𝑛
=
3
2
2
⇒ 𝑛 = 2 2
Calculo de la ecuación de la recta
𝐶 0; 4
𝐵 2 2; 3
𝐿
𝑚𝐿 =
3 − 4
2 2 − 0
= −
1
2 2
𝐿: 𝑦 − 4 = −
1
2 2
(𝑥 − 0)
𝐿: 2𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0
𝐶 0; 4
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐴
17
CEPRE UNI
PROBLEMA 16
Determine la ecuación de la elipse con
centro en el origen, eje focal en el eje Y,
que pase por el punto 𝑃 3;−2 6 y la
razón entre el lado recto y la
semidistancia focal sea igual a 3.
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
𝐴) 5𝑥2 + 12𝑦2 = 108
𝐵) 3𝑥2 + 4𝑦2 = 108
𝐶) 4𝑥2 + 3𝑦2 = 108
𝐷) 8𝑥2 + 4𝑦2 = 54
𝐸) 3𝑥2 + 6𝑦2 = 54
Eje focal en el eje Y: 𝜀:
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
Condición: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑐
= 3 →
2𝑏2
𝑎
𝑐
= 3 → 2𝑏2 = 3𝑎𝑐
Pero: 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2
Reemplazando: 2 𝑎
2 − 𝑐2 = 3𝑎𝑐
→ 2𝑎2 − 3𝑎𝑐 − 2𝑐2 = 0
2𝑎
𝑎
𝑐
−2𝑐
2𝑎 + 𝑐 𝑎 − 2𝑐 = 0
→ 𝑎 = 2𝑐
𝑎 = 2𝑛 𝑏 = 3𝑛𝑐 = 𝑛
𝜀:
𝑥2
3𝑛2
+
𝑦2
4𝑛2
= 1
𝑃 3;−2 6 ∈ 𝜀:
9
3𝑛2
+
24
4𝑛2
= 1
Resolviendo: 𝑛 = 3
𝜀: 4𝑥2 + 3𝑦2 = 108
18
CEPRE UNI
PROBLEMA 17
Determine la ecuación de la elipse 𝜀 tal 
que la distancia entre sus directrices sea 
igual a 16u.
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
𝜀:
𝑥2
14 − 𝑛
+
𝑦2
5 − 𝑛
= 1
𝐴)
𝑥2
12
+
𝑦2
3
= 1
𝐵)
𝑥2
16
+
𝑦2
7
= 1
𝐶)
𝑥2
18
+
𝑦2
9
= 1
𝐷)
𝑥2
24
+
𝑦2
15
= 1
𝐸)
𝑥2
26
+
𝑦2
17
= 1
𝜀:
𝑥2
14 − 𝑛
+
𝑦2
5 − 𝑛
= 1
𝑎2 𝑏2
𝑎2 = 14 − 𝑛
𝑏2 = 5 − 𝑛
𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2
Reemplazando:
𝑐2 = 9 → 𝑐 = 3
Distancia entre las directrices = 16
2
𝑎2
𝑐
= 16
2
14 − 𝑛
3
= 16
→ 𝑛 = −10
𝜀:
𝑥2
24
+
𝑦2
15
= 1
5 − 𝑛 + 𝑐2 = 14 − 𝑛
19
CEPRE UNI
PROBLEMA 18
Sea la ecuación de la elipse
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
𝜀:
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
que pasa por el punto 𝑃 9; 7 y sus
focos son los puntos 𝐹1 −3; 2 𝑦
𝐹2 21; 2 . Determine: 𝑎 + 𝑏 + ℎ + 𝑘
𝐴) 26 𝐵) 27 𝐶) 28
𝐷) 29 𝐸) 30
RESOLUCIÓN
𝑋
𝑌
𝐹1 −3; 2 𝐹2 21; 2𝐶 9; 2
𝑃 9; 7
2𝑐 = 24
𝑏 = 5
Del gráfico:
𝑏 = 5 𝑐 = 12
→ 𝑎 = 13
𝐶 ℎ; 𝑘 = 𝐶 9; 2
Reemplazando en 𝜀:
𝜀:
𝑥 − 9 2
169
+
𝑦 − 2 2
25
= 1
𝑎 + 𝑏 + ℎ + 𝑘 = 13 + 5 + 9 + 2 = 29
20
CEPRE UNI
PROBLEMA 19 RESOLUCIÓN
En la figura mostrada calcule el
valor de
ℎ1∙tan 𝛼 +ℎ2tan(𝛽)
tan(𝛼)∙tan(𝛽)
, donde:
𝑏𝑥 2 + 𝑎𝑥 2 = 𝑎2 ∙ 𝑏2; a > b
𝐹1𝑦 𝐹2: focos de la elipse.
ℎ1ℎ2
𝐹2 𝐹1
𝑃ℎ1ℎ2
𝛼 𝛽𝐹2 𝐹1
𝑃
𝑌
𝑋
Se observa 
Por definición de elipse 
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎 ⇒ ℎ1 ∙ cot 𝛽 + ℎ2 ∙ cot(𝛼) = 2𝑎
∴
ℎ1∙tan 𝛼 +ℎ2∙tan(𝛽)
tan 𝛼 ∙tan 𝛽
= 2𝑎
𝐴) 𝑎 𝐵) 2𝑎 𝐶) 3𝑎
𝐷) 4𝑎 𝐸) 5a
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: B
21
CEPRE UNI
PROBLEMA 20 RESOLUCIÓN
Los focos de una elipse son 𝐹1(4;−2)
y 𝐹2(−2;−2). Determine la ecuación
de la elipse si uno de sus vértices esta
sobre la recta L: x-y-8=0
Se observa 
Calculo del centro 
−2 = 𝑥 − 8
𝐴)
𝑥 − 1 2
25
+
𝑦 + 2 2
16
= 1
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: A
𝑉1
además
𝐿: y=x-8
𝐵)
𝑥 − 2 2
25
+
𝑦 + 1 2
16
= 1
𝐶)
𝑥 + 1 2
25
+
𝑦 + 2 2
16
= 1
𝐷)
𝑥 − 1 2
16
+
𝑦 + 2 2
25
= 1
𝐸)
𝑥 − 1 2
5
+
𝑦 + 2 2
4
= 1
𝐹1(4; −2)𝐹2(−2;−2) C
𝐶 =
−2;−2 + (4;−2)
2
𝐶 = 1;−2 ⇒ 𝑐 = 3
El vértice 𝑉1(𝑥;−2)  L, evaluamos: 
⇒ 𝑥 = 6 ⇒ 𝑎 = 5 52 = 32 + 𝑏2 ⇒ 𝑏 = 4
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
ℰ:
𝑥 − 1 2
52
+
𝑦 + 2 2
42
= 1
La ecuación de la elipse será
∴ ℰ:
𝑥 − 1 2
25
+
𝑦 + 2 2
16
= 1
𝑐
22
CEPRE UNI
PROBLEMA 21 RESOLUCIÓN
Calcule sobre la recta 𝐿: 𝑥 + 5 = 0
un punto que sea equidistante del
foco izquierdo y del punto superior de
la elipse ℰ: 𝑥2 + 5𝑦2 = 20.
Sea la elipse 
𝐴) (−5;−7)
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:D
𝐹2(4; 0)
ℰ:
𝑥2
20
+
𝑦2
4
= 1
𝐵) (−5; 0)
𝐶) (−5; 5)
𝐷) (−5; 7) 𝐸) (5; 7)
𝑎 = 2 5
𝑏 = 2
𝑐 = 4
Graficamos 
𝐹2(−4; 0)
𝐿: 𝑥 + 5 = 0
𝑃(−5; 𝑦)
𝐵(0; 2)
𝑏 = 2
𝑐 = 4
𝑌
𝑋
Luego 
⇒ −5 + 4 2 + 𝑦 − 0 2 = −5 − 0 2 + 𝑦 − 2 2
⇒ 𝑦 = 7  P= (-5:7)
𝑑(𝑃𝐹2) = 𝑑(𝑃, 𝐵)
23
CEPRE UNI
Clave: A
RESOLUCIÓN 
𝐴)
5
12
PROBLEMA 22
𝐵)
8
15
𝐷)
3
4
𝐶)
9
40
𝐸)
1
3
Calcule la pendiente de la recta que pasa por elorigen de coordenadas y es tangente a la circunferencia
cuya ecuación es 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 .
C : 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥
Resolvamos el sistema: 
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
𝑦 = 𝑚𝑥
𝑥2 + (𝑚𝑥)2+6𝑥 − 4.𝑚𝑥 + 4 = 0
(𝑚2 + 1)𝑥2 + (6 − 4𝑚)𝑥 + 4 = 0
∆= 0
Para que L sea tangente a C : 
(6 − 4𝑚)2−4. 𝑚2 + 1 . 4 = 0
(3 − 2𝑚)2−4𝑚2 − 4 = 0
𝑚 =
5
12
24
CEPRE UNI
Clave: B
RESOLUCIÓN 
𝐴) 6
PROBLEMA 23
𝐵) 4 𝐷) 2𝐶) 3 𝐸) 5
La ecuación 𝑥 − 2𝑦 = 5 corresponde a la recta que contiene a la cuerda común de las circunferencias
cuyas ecuaciones son 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 𝐹 = 0 y 𝑥2 + 𝑦2 = 9. Calcule el diámetro de la primera
circunferencia.
𝑥 − 2𝑦 = 5 𝐶1: 𝑥
2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 𝐹 = 0
𝐶2: 𝑥
2 + 𝑦2 = 9
La ecuación de la cuerda común lo 
obtenemos haciendo 𝐼𝐼 − 𝐼 :
𝐼
𝐼𝐼
2𝑥 − 4𝑦 − 𝐹 = 9
𝑥 − 2𝑦 =
𝐹 + 9
2
𝑥 − 2𝑦 = 5
𝐹 = 1
𝐸𝑛 𝐼 :
𝐶1: 𝑥
2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
𝑟2 = (1)2+(−2)2−1
𝑟 = 2
∴ 2𝑟 = 4
25
CEPRE UNI
Clave: E
RESOLUCIÓN 
𝐴) 12
PROBLEMA 24
𝐵) 13 𝐷) 16𝐶) 14 𝐸) 18
La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 corresponde a la circunferencia que pasa por el
punto (−1; 3) y por las intersecciones de las circunferencias 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 3 = 0 y
𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 − 4𝑦 − 10 = 0. Calcule 𝐷 + 𝐹.
𝐶1
𝐶2
𝐶3
𝐶1: 𝑥
2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 3 = 0
𝐶2: 𝑥
2 + 𝑦2 − 18𝑥 − 4𝑦 − 10 = 0
La circunferencia 𝐶3 pertenece a la familia de circunferencias: 
(𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 3) + 𝑘(𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 − 4𝑦 − 10) = 0
𝐶𝑜𝑚𝑜 −1; 3 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠:
(−1)2+(3)2−8(−1) − 6(3) + 3
+𝑘( −1 2 + 3 2 − 18 −1 − 4 3 − 10) = 0
𝐷𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑘 = −
1
2
,
(𝐼)
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝑒𝑛 𝐼 :
𝐶3: 𝑥
2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 8𝑦 + 16 = 0
𝐷 + 𝐹 = 18
(−1; 3)
26
CEPRE UNI
𝑉
𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐹
PROBLEMA 25
Una cuerda focal en una parábola, forma con su eje focal un ángulo que mide 60º. Calcule la 
relación entre las longitudes de los segmentos que determina el foco en la cuerda focal. 
A) 1/9 B) 1/6 C) 1/3 D) 1/2 E) 3
RESOLUCIÓN
En la figura se sabe que:
𝐴
𝐵
𝜃
𝑚
𝑛
𝑡𝑎𝑛2
𝜃
2
=
𝑚
𝑛
Si 𝜃 = 60°:
𝑡𝑎𝑛2 30° =
𝑚
𝑛
→
𝑚
𝑛
=
1
3
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
27
CEPRE UNI
PROBLEMA 26
De acuerdo a lo mostrado en la figura, determine la ecuación de la recta L; si V es el vértice de 
la parábola y F es su foco. 
A) 3𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0 B) 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 C) 2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 D) 4𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0 E) 4𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
𝑉
𝑋
𝐹(1; 0)
𝑌
𝐿
4𝑆
𝑆
𝐵
𝐴
RESOLUCIÓN
De la figura, por relación entre áreas:
𝑆𝑉𝐴𝐹
𝑆𝑉𝐹𝐵
=
𝐴𝐹
𝐹𝐵
=
𝑆
4𝑆
=
1
4
Si el ángulo de inclinación de la recta L es 𝜃:
𝜃
𝑡𝑎𝑛2
𝜃
2
=
𝐴𝐹
𝐹𝐵
=
1
4
⇒ 𝑡𝑎𝑛
𝜃
2
=
1
2
Además: 𝑚𝐿 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
2𝑡𝑎𝑛
𝜃
2
1−𝑡𝑎𝑛2
𝜃
2
⇒ 𝑚𝐿 =
4
3
→ 𝐿: 4𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
28
CEPRE UNI
PROBLEMA 27
De la figura mostrada, calcular aproximadamente el menor valor de θ; si: 𝑐𝑑 = 36𝑎𝑏; V es el 
vértice y F el foco de la parábola.
A) 8º B) 16º C) 37º D) 53º E) 74º
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝐹
𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝜃
𝑉
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
RESOLUCIÓN
De la figura:
𝑎
𝑐
= 𝑡𝑎𝑛2
𝜃
2
𝑏
𝑑
= 𝑡𝑎𝑛2 45º −
𝜃
2
Multiplicando:
𝑎𝑏
𝑐𝑑
= 𝑡𝑎𝑛2
𝜃
2
𝑡𝑎𝑛2 45º −
𝜃
2
𝑎𝑏
36𝑎𝑏
= 𝑡𝑎𝑛2
𝜃
2
𝑡𝑎𝑛2 45º −
𝜃
2
29
CEPRE UNI
Simplificando: 𝑡𝑎𝑛
𝜃
2
𝑡𝑎𝑛 45° −
𝜃
2
=
1
6
⇒
𝑠𝑒𝑛
𝜃
2
𝑠𝑒𝑛 45° −
𝜃
2
𝑐𝑜𝑠
𝜃
2 𝑐𝑜𝑠 45° −
𝜃
2
=
1
6
𝑐𝑜𝑠
𝜃
2 𝑐𝑜𝑠 45° −
𝜃
2 + 𝑠𝑒𝑛
𝜃
2 𝑠𝑒𝑛 45° −
𝜃
2
𝑐𝑜𝑠
𝜃
2 𝑐𝑜𝑠 45° −
𝜃
2 − 𝑠𝑒𝑛
𝜃
2 𝑠𝑒𝑛 45° −
𝜃
2
=
6 + 1
6 − 1
Por proporciones: ⇒
𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 45°
𝑐𝑜𝑠 45°
=
7
5
De donde: 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 45° =
7
5 2
Aproximadamente: 𝜃 − 45° = 8° ⇒ 𝜃 = 53°
𝜃 − 45° = −8° ⇒ 𝜃 = 37°
→ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 37°
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
𝐴) −5; 1 , (1; −3)
𝐵) −5; 3 , (1; 1)
𝐶) −5;−1 , (−1;−3)
𝐷) 5; 1 , (−1;−3)
𝐸) 5;−3 , (1;−3)
PROBLEMA 28
Dada la ecuación de la elipse:
ℰ: 4𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 16𝑥 + 6𝑦 = 29
donde la longitud del lado recto es 6 y 𝑘 < 4.
Halle las coordenadas de los extremos de los 
lados rectos que tienen recta tangente con 
pendiente positiva.
RESOLUCIÓN
Completando cuadrados en la ecuación de la elipse:
4 𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 𝑘 𝑦2 +
6
𝑘
𝑦 +
9
𝑘2
= 45 +
9
𝑘
𝑥 + 2 2
45 + 9/𝑘
4
+
𝑦 + 3/𝑘 2
45 + 9/𝑘
𝑘
= 1
Como 𝑘 < 4 vemos que la elipse es vertical, entonces tenemos que:
𝑎2 =
45+9/𝑘
𝑘
𝑏2 =
45+9/𝑘
4
Pero 6 =
2𝑏2
𝑎
3𝑎 = 𝑏2
⋯ 𝐼
⋯ 𝐼𝐼
De 𝐼 y 𝐼𝐼 : 3𝑎 = 𝑏2 9 ⋅ 𝑎2 = 𝑏2 ⋅ 𝑏2
9
45 + 9/𝑘
𝑘
=
45 + 9/𝑘
4
45 + 9/𝑘
4
144 = 45𝑘 + 9 ∴ 𝑘 = 3
De esto, la ecuación de la elipse es:
𝑥 + 2 2
12
+
𝑦 + 1 2
16
= 1 ൝
𝒂 = 𝟒
𝒃 = 𝟐 𝟑
𝒄 = 𝟐
Graficando la elipse:
𝐶(−2;−1)
𝐹1 = (−2; 1)
𝐹2 = (−2;−3)
Como 𝑐 = 2 entonces las coordenadas de los focos son:
𝐹1 = (−2; 1) 𝐹2 = (−2;−3)
De los cuatro puntos extremos de los lados rectos, solo 𝑀 y 𝑁
tienen una recta tangente con pendiente positiva.
𝑀
𝑁
De la gráfica 𝑀 = 𝑠; 1 y 𝑁 = (𝑟 ;−3)
Como 𝑀,𝑁 ∈ ℰ 𝑠 = −5 ∧ 𝑟 = 1
∴ 𝑴 = −𝟓; 𝟏 y 𝑵 = (𝟏 ;−𝟑)
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: A
𝐹1 𝐹2
𝐴) 𝑦2= 4𝑥
𝐵) 𝑦2= 2𝑥
𝐷) 𝑦2 =
𝑥
2
𝐸) 𝑦2 =
𝑥
4
PROBLEMA 29
Sea ℰ una elipse con eje focal en el eje X,
cuyo centro es el origen de coordenadas,
tal que su lado recto coincide con el lado
recto de una parábola 𝒫 cuyo foco es uno
de los focos de la elipse. Considere que
una recta directriz de la elipse es ℒ: 𝑥 =
3
2
+ 2.
Halle la ecuación de la parábola si los
puntos de esta, tienen abscisa no negativa.
𝐶) 𝑦2= 2 𝑥
RESOLUCIÓN
Graficando, vemos que hay 4 parábolas a considerar:
Sabemos que la longitud del lado recto de la elipse es: 
2𝑏2
𝑎
y de la parábola es de 4 𝑝 entonces 2 𝑝 =
𝑏2
𝑎
Considerando el lado recto que pasa por el foco 𝐹1, 
tenemos dos opciones de parábolas.
Ninguna de ellas es, pues tienen puntos con abscisa 
negativa.
Por otro lado, si consideramos el lado recto que pasa 
por el foco 𝐹2, tenemos dos opciones de parábolas.
Una de ellas no es pues tiene puntos con abscisa 
negativa.
Por ello consideramos la parábola trazada.
De la gráfica: 𝑝 = 𝑐
2 𝑝
𝑝
2𝑐 =
𝑏2
𝑎
2𝑎𝑐 = 𝑏2
Como ℒ: 𝑥 =
3
2
+ 2 es una recta directriz, entonces 3
2
+ 2 =
𝑎2
𝑐
⋯ 𝐼
⋯ 𝐼𝐼
Sabemos que 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 de (𝐼) y (𝐼𝐼):
𝑐 =
1
2
∧ 𝑎 =
2+1
2
𝑝 =
1
2
∴ 𝒫: 𝑦2 = 2𝑥
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
Asumiendo que la ecuación de la recta tangente buscada es 
de la forma ℒ: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
RESOLUCIÓN
Como 𝑃 ∈ ℒ, entonces −1 = 10𝑚 + 𝑏 𝑏 = −1 − 10𝑚
∴ ℒ: 𝑦 = 𝑚 𝑥 − 10 − 1
Supongamos que (𝑥0; 𝑦0) es el punto de tangencia que pertenece a 
la elipse ℰ y a la recta ℒ. Entonces 
𝑦0 = 𝑚 𝑥0 − 10 − 1 𝑥0
2 + 2𝑦0
2 − 8𝑥0 − 8𝑦0 + 6 = 0∧
Reemplazando,
𝑥0
2 + 2 𝑚 𝑥0 − 10 − 1
2 − 8𝑥0 − 8 𝑚 𝑥0 − 10 − 1 + 6 = 0
Agrupando los términos, tenemos la siguiente Ec. cuadrática:
𝟏 + 𝟐𝒎𝟐 𝑥0
2 + −𝟒𝟎𝒎𝟐 − 𝟏𝟐𝒎− 𝟖 𝑥0 + 𝟐𝟎𝟎𝒎
𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝒎+ 𝟏𝟔 = 0
Aplicando la condición de tangencia (discriminante igual a cero)
−𝟒𝟎𝒎𝟐 − 𝟏𝟐𝒎− 𝟖
𝟐
− 𝟒 𝟏 + 𝟐𝒎𝟐 𝟐𝟎𝟎𝒎𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝒎+ 𝟏𝟔 = 𝟎
𝑚 = −2 ∨ 𝑚 = 0
De esto, las rectas tangentes son:
ℒ1: 𝑦 = −1
ℒ2: 𝑦 = −2𝑥 + 19 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
𝐴) ℒ1: 𝑦 = −1
PROBLEMA 30
Dada la ecuación de la elipse:
ℰ: 𝑥2 + 2𝑦2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 6 = 0
Halle las rectas tangentes a la elipse que pasa 
por el punto 𝑃(10;−1).
𝐵)ℒ1: 𝑦 = −1
ℒ2: 𝑦 = 2𝑥 − 11
𝐶)ℒ1: 𝑦 = 1
ℒ2: 𝑦 = −2𝑥 − 11
𝐷)ℒ1: 𝑦 = −1
ℒ2: 𝑦 = 2𝑥 − 21
𝐸)ℒ1: 𝑦 = 1
ℒ2: 𝑦 = 2𝑥 + 19
ℒ2: 𝑦 = −2𝑥 + 19
34
CEPRE UNI