Integrales - Area electricidad, electronica y telecomunicaciones [muy bueno]

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GUÍA: INTEGRALES
ÁÁrreeaa ddee EEEETT
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Titular del Derecho: INACAP
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© INACAP 2002.
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1. INTEGRALES
1.1 La Integral Indefinida.
1.1.1 Conceptos Básicos 
Sea y = f(x) derivable respecto a x en D. Tenemos entonces que dy
dx
 = 
,
f (x) o
dy =
,
f (x) dx , es decir, hemos encontrado la derivada y la diferencial de la función y =
f(x) respecto a: x. También, a cada función y = f(x) le corresponde una única función
derivada: 
,
f (x) o una única diferencial dy = 
,
f (x) dx . Considerando el proceso inverso:
dada 
,
f (x) o dy =
,
f (x) dx si queremos encontrar y = f(x) obtendremos infinitas funciones
cuya derivada es 
,
f (x) o cuya diferencial es 
,
f (x) dx .
Ejemplo 1: A y = f(x) = 3x + 5 le corresponde una única función derivada 
,
f (x) = 6x
o una única diferencial dy = 6x dx respecto a x en , pero esta
derivada o diferencial lo es de infinitas funciones, como ser: 3x2 + 5,
3x2 + 6, 3x2 – 5, 3x2 + 1
2
,........., 3x2 , funciones que difieren entre sí
solo en la constante aditiva. Notemos que 3x2 es la más simple de ellas
y que si C es una constante 3x2 + C representa a todas las funciones
anteriores para los distintos valores que asignemos a C.
Las consideraciones anteriores conducen a los siguientes hechos. Dada 
,
f (x) o
dy =
,
f (x) dx , el hecho de encontrar y = f(x) se llama Integrar 
,
f (x) o Integrar 
,
f (x) dx , lo
que se anota:
,
dy f (x) dx=∫ ∫
es decir: 
,
y f (x)dx= ∫
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Tenemos entonces que “ la notación 
,
f (x)dx∫ representa a todas las funciones que al ser
derivadas respecto a x dan 
,
f (x) , o a todas las funciones cuya diferencial es 
,
f (x) dx”.
En 
,
f (x)dx∫ , ∫ es el símbolo de la integral, dx: Que es la diferencial de la variable
independiente, indica la variable respecto de la cual se ha derivado la función para
obtener 
,
f (x) o 
,
f (x) dx, y respecto de la cual hay que integrar. La función 
,
f (x) ubicada
entre los dos símbolos anteriores se llama La función Integrando.
La función que se obtiene al integrar 
,
f (x)dx∫ se llama la Integral Indefinida, La
Antiderivada o la función Primitiva de 
,
f (x) en D, y corresponde a un conjunto de infinitas
funciones (cada una de ellas es una integral indefinida o una antiderivada o una función
primitiva) que difieren entre sí únicamente en una constante aditiva llamada La Constante
de Integración .
“Si f(x) es una integral indefinida de 
,
f (x) en D entonces f(x) + C denota a todas las
integrales indefinidas de 
,
f (x) en D: 
,
f (x)dx∫ = f(x) + C
Observación : dy = 
,
f (x) dx entonces dy∫ =
,
f (x)dx∫
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1.1.2 Tablas de Integrales Básicas 
Basados en los teoremas sobre derivación, podemos establecer:
1) dx 1 dx x C= = +∫ ∫
2) k dx kx C k :cons tan te= +∫
3) k f(x) dx k f(x)dx k :cons tan te=∫ ∫
( )4) f(x) g(x) h(x) dx f(x)dx g(x)dx h(x)dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫
r 1
r x5) x dx C , r , r 1
r 1
+
= + ∈ ≠ −
+∫
16) dx ln x C
x
= +∫
x
x a7) a dx C a
lna
+= + ∈∫
x x8) e dx e C= +∫
9) sen x dx cos x C= − +∫
10) cos x dx sen x C= +∫
11) tan x dx lnsec x C= +∫
12) cot x dx lnsen x C= +∫
13) sec x dx ln(sec x tan x ) C= + +∫
14) cosec x dx ln(cosec x cot x ) C= − +∫
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215) sec x dx tan x C= +∫
216) cosec x dx cot x C− = +∫
2cosec x dx cot x C= − +∫
17) sec x tan dx sec x C⋅ = +∫
18) cosec x cot x dx cosec x C− ⋅ = +∫
cosec x cot x dx cosec x C− ⋅ = − +∫
2
119) dx arc sen x C
1 x
= +
−
∫
2
120) dx arc cos x C
1 x
− = +
−
∫
2
1 dx arc cos x C
1 x
=− +
−
∫
2
121) dx arc tan x C
1 x
= +
+∫
2
122) dx arc co t x C
1 x
− = +
+∫
2
123) dx arc sec x C
x x 1
= +
−
∫
2
124) dx arc cosec x C
x x 1
− = +
−
∫
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1.1.3 Integración Inmediata 
Son aquellas integraciones que se hacen aplicando directamente las fórmulas anteriores.
Ejemplo 1: Calcular 7x dx∫
Resolución : La fórmula 5) da : 
7 1 8
7 x xx dx C C
7 1 8
+
= + = +
+∫
Ejemplo 2: Calcular 4 3
dx
x
∫
Resolución : La fórmula 5) da : 
3 13 4 44
4 3
dx xdx x dx C 4 x C
3x 1
4
− +
−
= = + = +
− +
∫ ∫
Ejemplo 3: Calcular x
2
37 5cos x dx
1 x
 
 − +
 − 
∫
Resolución : La fórmula 4) da :
 
x
2
37 dx 5cos x dx dx
1 x
− +
−
∫ ∫ ∫ =
x
2
7 15 cos x dx 3 dx
ln7 1 x
− +
−
∫ ∫ =
 
x7 5sen x 3arc sen x C
ln7
− + +
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Ejemplo 4: Calcular 7 dx
x∫
Resolución : La fórmula 6) da : 1
7 1dx 7 dx 7 ln x C
x x
= = +∫ ∫
o 7 ln x lnC= +
 o 7lnC x=
1.1.4 Uso de una función auxiliar para las integrales inmediatas.
La derivación de funciones compuestas (Regla de la Cadena) da origen a muchas
funciones que para ser integradas con seguridad requieren el uso de una función auxiliar.
Para ello, en las fórmulas anteriores se reemplazan: la expresión que contiene a la
variable x (o parte de ella) por una adecuada función u = u(x), y dx por la correspondiente
du. Se integra y luego se vuelve a la variable original x. Así por ejemplo, la fórmula rx dx∫
se puede considerar también como ru du∫ donde aparece ur una función elevada a un
exponente, multiplicada por la diferencial de la base : ur du.
Del mismo modo 1 dudx queda
x u∫ ∫ : la diferencial du dividida por la función u. 
Las restantes fórmulas se interpretan análogamente. Los ejemplos a continuación aclaran
la técnica.
Ejemplo 1: Calcular sen2x dx∫
Resolución : No podemos usar la fórmula 9) directamente. Usamos una función
auxiliar: u = 2x luego du = 2 dx, luego dx = du
2
. Reemplazando:
du 1 1sen2x dx senu senudu ( cos u ) C
2 2 2
= ⋅ = = ⋅ − +∫ ∫ ∫
 1 1cos u C cos 2x C
2 2
= − + = − +
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Ejemplo 2: Calcular 5 dx
3 x−∫
Resolución : 5 1dx 5 dx
3 x 3 x
=
− −∫ ∫ , la fórmula 6) sugiere u = 3 – x luego du = -
dx ∴ dx = -du. 
Reemplazando:
 
( )
1
5
1 5
1 1 15 dx 5 ( du) 5 du 5 lnu C
3 x u u
C5 ln (3 X ) C ln (3 x ) lnC ln
3 x
= ⋅ − = − = − +
−
=− − + =− − + =
−
∫ ∫ ∫
Ejemplo 3: Calcular ( )43 2x 5 3 x dx− ⋅∫
Resolución : Es una potencia multiplicada por la diferencial de la base, la fórmula 5):
ru du∫ sugiere, la fórmula 6) sugiere u = x3 - 5 ∴ du = 3 x2 dx. 
Reemplazando:
( ) ( )
53543 2 4
x 5ux 5 3 x dx u du C C
5 5
−
− ⋅ = = + = +∫ ∫
Ejemplo 4: Calcular xe dx−∫
Resolución : u = - x, du = - dx ∴ dx = - du. 
Reemplazando:
x u u u xe dx e ( du) e du e C e C− −= − =− = − + = − +∫ ∫ ∫
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Ejemplo 5: Calcular cosec x dx
3 x∫
Resolución : Usamos 1cosec u du, con u x du dx dx 2 x du
2 x
= ∴ = ∴ =∫ . 
Reemplazando:
cosec x cosec u 2dx 2 x du cosec u du
33 x 3 x
= ⋅ =∫ ∫ ∫
( )2 2ln( cosec u cot u ) C ln cosec x cot x C3 3= − + = − +
Ejemplo 6: Calcular 
2
dx
1 3 x−
∫
Resolución : Usamos 
2
1 dudu , con u x 3 ; du 3 dx dx
31 u
= = ∴ =
−
∫ . 
Reemplazando:
2 2 2
1 1 du 1 1dx du
3 31 3 x 1 u 1 u
1 1arc senu C arc sen x 3 C
3 3
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
− − −
+ = = +
∫ ∫ ∫
Ejemplo 7: Calcular 
2
dx
x 14 x 52+ +∫
Resolución : Usando 2 2
2
1 du : x 14x 52 (x 7 ) a
1 u
+ + = + +
+∫
. 
52 49 a a 3= + ∴ =
Página 11 de 27
2 2 2
dx dx dx
x 14 x 52 3 ( x 7 ) x 73 1
3
∴ = =
 + + + +  + +     
∫ ∫ ∫
x 7 1u du dx dx 3 du
3 3
+
∴ = ∴ = ∴ =
Reemplazando:
2 22
3 du dudx 3 3 arc tanu C
3 3x 14 x 52 1 u3 1 u
= = = +
 + + ++ 
∫ ∫ ∫
x 73 arc tan C
3 3
 +
+ 
 
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GUIA DE EJERCICIOS N° 4
( )
( )
( )
4
3
3
3
2
3
3 2
3 2
2
2
2 3 2
3 2 2
2
x1 . x dx C
4
3 x x2 . x dx C
4
dx 13 . C
xx
dz4 . 3 z C
z
2x 5x5 . 2x 5x 3 dx 3x C
3 2
2t t 2t t6 . 1 t t dt C
3 5
7 . 3s 4 ds 3s 12s 16s C
x 5x 4 x 48 . dx 5x C
2 xx
dz9 . lnz C o lnCz
z
dx10 . ln(x 2
x 2
− = +
− = +
− =− +
− = +
− − + = − + +
− − = − +
− + = + + +
+ −
− = + + +
− = +
− = +
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ) C+Página 13 de 27
( ) ( )
2
2
2
3 6 3
x x
3x
3x
2x
2x
1
1x
x
2
4x
3x x
ds 111 . ln(2s 3) C
2s 3 2
t dt12 . lnC t 1
t 1
x dx C13 . ln
1 2x 1 2x
x 214 . dx x ln(x 1) C
x 1
15 . e dx e C
e16 . e dx C
3
a17 . a dx C
2lna
e18 . dx e C
x
e 1
19 . e 1 e dx C
4
20
− −
− = + +
+
− = −
−
 
− =   − − 
+
− = + + +
+
− = − +
− = +
− = +
− = − +
+
− + = +
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( ) ( )
x
x
33
23 2
dx. x ln(1 e ) C
e 1
x 2
21 . x 2 3x dx C
3
= − + +
+
+
− + = +
∫
∫
 
Página 14 de 27
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 3
3 2 32 2
2
3 23 3
3342
4 3
922 . x 2 x dx x 2 C
2
8x dx 423 . C
x 2 3 x 2
4 x 2x24 . dx C
9x 2
x x25 . sen( )dx 2cos( ) C
2 2
126 . cos3x dx sen 3x C
3
227 . 2 tg3x dx lnsec 3x C
3
5x 8 5x 5x28 . 4cosec dx ln cosec cot C
2 5 2 2
29 . sen
− + = + +
− = − +
+ +
+
− = +
+
− = − +
− = +
− = +
 − = − + 
 
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
3
2
2 2
2
sen xx cos x dx C
3
130 . tg2x dx lnsec 2x C
2
131 . xcot x dx lnsen x C
2
32 . 1 tgx dx tgx 2lnsec x C
= +
− = +
− = +
− + = + +
∫
∫
∫
∫
 
Página 15 de 27
( )
2
2
x x x
3cos2x
3cos2x
133 . sec 2ax dx tg2ax C
2a
sen x cos x34 . dx ln sec x x C
cos x
sen y35 . dy sec y C
cos y
36 . e cose dx sene C
e37 . e sen2x dx C
6
dz38 . cot z cosec z C
1 cosz
sec x39 . dx 2ln sec x tg x C
x
40 . tg2x sec 2x
− = +
+
− = + +
− = +
− = +
− = − +
− =− + +
+
− = + +
− +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2
2
2
dx tg2x sec 2x x C
sec x tgx 141 . dx ln a bsec x C
a bsec x b
dx 1 x42 . arc tg C
3 39 x
dx 1 2x43 . arc sec C
3 3x 4x 9
= + − +
− = + +
+
 − = + 
 +
 − = + 
 −
∫
∫
∫
∫
Página 16 de 27
3
4
8
x
x x
2
2
2
2
2
2
x 144 . dx arc sen x C
41 x
dx45 . arc tge C
e e
3x 5 3 5 x46 . dx ln(x 4) arctg C
2 2 2x 4
dx 2 x 347 . arc tg C
2 2x 6x 11
x 5 1 x 148 . dx ln x 2x 4 2 3 arc tg C
2 3x 2x 4
dx x49 . arc sen
20 4x x
−
− = +
−
− = +
+
−  − = + − + 
 +
 −
− = + 
− +  
 − +
− = + + − + 
+ +  
− =
− −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( ) ( )
( )
3
2 22
2
2
2
2
2 C
24
250 . x 1 xdx 1 x 15x 12x 8 C
105
x 1 151 . dx 2x 1 3x 2x 13 C
152x 1
x 2x 152 . dx x C
x 1(x 1)
 +
+ 
 
−
− − = − + + +
−
− = − + − +
−
+
− = + +
++
∫
∫
∫
 
Página 17 de 27
1.2 Métodos de Integración
1.2.1 Integración por partes.
Sean u = u (x), v = v ( x). Entonces ( )d dv duu v u v
dx dx dx
⋅ = + en donde 
d (uv) = u dv + v du integrando obtenemos: 
d(uv ) u dv v du= +∫ ∫ ∫
uv u dv v du= + ∴∫ ∫
 
 
Para aplicar ésta fórmula, la función que se desea integrar debe ser un producto de
funciones. En la integral, éste producto se separa en dos factores uno de los cuales debe
continuar a dx. Uno de ellos se iguala a dx, y el que contiene a dx se iguala a dv. No hay
normas para la separar los factores, pero v du∫ debe ser una integral inmediata o más
simple que u dv∫ .
u dv u v v du= −∫ ∫
 Fórmula de la Integración por Partes
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Ejemplo 1: Calcular x cos x dx∫
Resolución : De acuerdo a la fórmula de la integración por partes: x cos x dx = u dv
¿ Cuáles son u y dv ?
Hay varias posibilidades:
 u dv
 x cos x dx
 cosx x dx 
 x cos x dx
 1 x cos x dx
Ensayando el primer caso: u = x dv = cos x dx
du dx v sen x∴ = ∴ =
Aplicando textualmente la fórmula:
( )
xcos x dx x sen x sen x dx
x sen x cos x C
x sen x cos x C
= −
= − − +
= + +
∫ ∫
....... resultó de inmediato !
Si hubiéramos ensayado el segundo caso: 
u = cos x dv = x dx
2xdu sen x dx v
2
∴ =− ∴ =
la fórmula habría dado:
2 2x x x xxcos x dx cos x ( sen x) dx cos x sen x dx
2 2 2 2
= − − = +∫ ∫ ∫
de donde v du∫ es mas complicada que u dv∫ de ..... la separación falla
Página 19 de 27
Ejemplo 2: Calcular 2 xx e dx∫
Resolución : Sean: u = x dv = 2 xe dx
 2 x1du dx v e
2
∴ = ∴ =
2 x 2x 2x
2x 2x
2x 2x
1 1x e dx x e e dx
2 2
1 1 1x e e C
2 2 2
1 1x e e C
2 4
= ⋅ −
= ⋅ − ⋅ +
= − +
∫ ∫
Observación : Frecuentemente al aplicar la integración por partes la integral v du∫
Resulta ser más simple que u dv∫ , sin ser una integral inmediata. En
estos casos se calcula aparte.
Ejemplo 3: Calcular 2x sen x dx∫
Resolución : Sean: u = x2 dv = sen x dx
 du 2x dx v cos x∴ = ∴ =−
2 2
2
x sen x dx x ( cos x) ( cos x )2x dx
x cos x 2 x cos x dx ( )
= − − −
= − + ∗
∫ ∫
∫
 v du∴ ∫ que es x cos x dx∫ es más simple que u dv∫ que es 
2x sen x dx, sin ser una int egral inmediata∫
Calculándola aparte con el mismo tipo de separación:
Página 20 de 27
Para x cos x dx∫ : u = x dv = cos x dx
 du dx v sen x∴ = ∴ =
x cos x dx x sen x sen x dx x sen x cos x∴ = − = +∫ ∫
que sustituida en ( )∗ :
2 2x sen x dx x cos x 2(x sen x cos x ) C=− + + +∫
Observación : También la integración por partes se utiliza para el cálculo de integrales
más simples, pero no inmediatas. 
Ejemplo 4: Calcular ln x dx∫
Resolución : Sean: u = lnx dv = dx
 1du dx v x
x
∴ = ∴ =
 1ln x dx (ln x) x x dx x ln x x C
x
∴ = ⋅ − ⋅ = − +∫ ∫
Ejemplo 5: Calcular arc cos x dx∫
Resolución : Sean: u = arc cos x dv = dx
 
2
1du dx v x
1 x
∴ = − ∴ =
−
 2
2
1arc cos x dx (arc cos x ) x x dx
1 x
x arc cos x 1 x C
 
 ∴ = ⋅ − ⋅ −
 − 
= − − +
∫ ∫
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EJERCICIOS PROPUESTO
( )
2
2
3
2 22
x x x
2 2 2
3x
2 3x 2
2
1 . ln x dx x(ln x 1) C
ln x 12 . dx ln x 2ln x 2 C
x x
2 4 83 . x ln x dx x ln x ln x C
3 3 9
4 . x e dx 2x e 4e C
1 2x 25 . x e dx e x C
3 3 9
6 . x sen x dx x cos x sen x C
cosnx x s7 . x cosnx dx
n
−
−
− = − +
 − = − + + + 
 
 − = − + +  
− = − +
 − = − + + + 
 
− = − + +
− = +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( ) ( )
2
2 2
3 3
2
3 5
2 2
ennx C
n
18 . arc cos2x dx x arc cos2x 1 4x C
2
9 . x cos x dx x sen x 2x cos x 2sen x C
x x10 . x ln2x dx ln2x C
3 9
2x 3x 5 4 3x 5
11 . x 3x 5 dx C
9 135
+
− = − − +
− = + − +
− = − +
− −
− − = − +
∫
∫
∫
∫
 
Página 22 de 27
( )
[ ]( )
x x
2
2
2
2
2 2 2
x e e12 . dx C
1 x1 x
ln(x 1)13 . dx 2 x 1 ln x 1 2 C
x 1
1 x 1 x 1 x14 . x ln dx x ln C
1 x 2 1 x
arc sen x arc sen x 1 1 x15 . dx ln C
x xx
16 . ln x 1 x dx x ln x 1 x 1 x C
17 . arctg x dx x (1 x)arctg x C
1
− = +
++
+
− = + + − +
+
+ − +
− = − +
− −
+ −
− = − − +
   − + + = + + − + +   
   
− = − + + +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
2
2
x x
arctg x arctg x
3 2
2 2
x8 . sen x ln(tgx)dx ln tg cos x ln tgx C
2
cos2xx x19 . x sen x dx sen2x C
4 4 8
20 . e dx 2( x 1) e C
21 . x sen x dx 2(6 x) x cos x 6(2 x)sen x C
x e (1 x) e22 . dx C
2 1 x
1 x
− = − +
− = − − − +
− = − +
− = − − − +
−
− = − +
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
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1.2.3 Integrales Trigonométricas Corrientes.
Recordemos las principales relaciones entre las funciones trigonométricas
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
sen x cos x 1 1 tg x sec x
1 cot x cosec x sen2x 2sen x cos x
cos 2x 2cos x 1 cos2x 1 2sen x
1 1 1 1cos x cos2x sen x cos2x
2 2 2 2
+ = + =
+ = =
= − = −
= + = −
 
Ejemplo 1: Calcular 2sen x dx∫
Resolución : 2 1 1 1 1sen x dx cos2x dx dx cos2x dx
2 2 2 2
 = − = − 
 ∫ ∫ ∫ ∫ 
 1 1 1 1 1x sen2x C x sen2x C
2 2 2 2 4
= − ⋅ + = − +
Ejemplo 2: Calcular 2cos dx∫
Resolución : 2 1 1 1 1cos dx cos2x dx dx cos2x dx
2 2 2 2
 = + = + 
 ∫ ∫ ∫ ∫ 
 x 1 sen2x C
2 4
= + +
Ejemplo 3: Calcular 2cos 2x dx∫
Resolución : 2 1 1 x 1 1cos 2x dx cos 4x dx sen4x C
2 2 2 2 4
 = + = + ⋅ + 
 ∫ ∫ 
 x 1 sen 4x C
2 8
= + +
Ejemplo 4: Calcular tan x dx∫
Resolución : sen xtgx dx dx
cos x
= =∫ ∫
 
u = cos x du =- sen x dx 
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du lnu C lnu C ln cos C
u
= − =− + = − + = − +∫
1ln C ln sec x C
cos x
= + = +
Ejemplo 5: Calcular 3sec x dx∫
Resolución : Usando integración por partes:
 u = sec x dv = sec2 dx
 du sec x tgx dx v tgx∴ = ∴ =
 
( )
3
2
2
3 3
3
3
sec x dx sec x tgx tg x sec x tgx dx
sec x tgx sec x tg x dx
sec x tgx sec x sec x 1 dx
sec x dx sec x tgx sec x dx sec x dx
2 sec x dx sec x tgx sec x dx
sec x tgx ln( sec x tgx) C
1 1sec x dx sec x tgx ln( sec x tgx)
2 2
∴ = ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ −
= ⋅ − +
= ⋅ +
= ⋅ + + +
∴ = ⋅ + +
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ C+
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1.2.3 Integración usando Sustituciones Trigonométricas.
La integración por sustitución consiste en sustituir la variable de integración con una
nueva variable.
Existen muchos tipos de sustituciones. Las sustituciones trigonométricas que usaremos,
las aplicaremos cuando en él integrando aparezca una sola raíz de la forma:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
aa b u , con u u(x), la sustitucion sera : u tgz
b
aa b u , con u u(x), la sustitucion sera : u senz
b
ab u a , con u u(x), la sustitucion sera : u sec z
b
+ = =
− = =
− = =
Al aplicar la sustitución se suponen: a, b ∈ + . En el resultado final se vuelve a la
variable x .
Ejemplo 1: Calcular 
2 2
dx
x 9 x+
∫
Resolución : Primer caso: a = 3, b = 1, u = x, 23x tgz, dx 3sec z dz
1
∴ = =
2
2 2 2 2
3sec z dzdx 1 cosec z cot z dz
9x 9 x 9 tg 9 9 tg z
= =
+ ⋅ +
∫ ∫ ∫ 
 ( )1 cosec z C
9
=− − +
volviendo a la variable x, dx x = 3 tg z obtenemos tg z = x
3
Página 26 de 27
 
2
2 2
9 xdx 1
9 xx 9 x
+
= − ⋅
+
∫
Ejemplo 2: Calcular 27 x dx−∫
Resolución : Segundo caso: a = 7 , b = 1, u = x, 
7x sen z, x 7 senz dx 7 cos z dz
1
∴ = = ∴ =
( )227 x 7 7 senz 7 cos z dz− = − ⋅ =∫ ∫ 
2 27 7 1 sen z cosz dz 7 cos z dz⋅ ⋅ − = =∫ ∫
1 1 7 77 cos2z dz dz cos2z dz
2 2 2 2
 + = + = 
 ∫ ∫ ∫
7 7 1 7 7z sen2z C z sen2z C
2 2 2 2 4
+ ⋅ + = + + =
7 7z 2senz cos z C
2 4
+ +
volviendo a la variable x, dx x = 7 senz obtenemos sen z = x
7
3
29 x+
x
z∴
29 x
cosec z
x
+
∴ =
De sen z = x
7
 obtenemos z = ar
Sustituyendo estos valores en (∗) ob
7 x−
7
x
z
∴
Página 27 de 27
c sen x
7
 
  
 
 , y del triangulo : cos z = 
27 x
7
−
.
tenemos:
2