R T Ángulos agudos teoría

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csc 𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
sec 𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠(𝜃)
2
1.DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 
ÁNGULOS AGUDOS
Se denomina razón trigonométrica (R.T.), al cociente que se establece entre las longitudes de 
dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. 
En cualquier triángulo rectángulo, se pueden establecer solo seis razones entre sus tres 
lados, tomados de dos en dos, así si las longitudes de sus lados son: a, b y c, se tendrán :
𝒂
𝒃
;
𝒃
𝒂
;
𝒄
𝒃
;
𝒃
𝒄
;
𝒂
𝒄
;
𝒄
𝒂
B A
C
b
a
c
3
1. Las medidas de sus ángulos agudos 
son complementarios.
2. Las longitudes de los lados cumplen con el 
teorema de Pitágoras.
2 2 2 m n t
Es útil recordar las relaciones que se presentan entre los elementos básicos de un 
triángulo rectángulo, así:
α
β n
m
t
90   
4
3. Los lados perpendiculares ( catetos) reciben nombres 
especiales, según el ángulo agudo que se elija como 
referencia.
hipotenusa
Longitud del cateto opuesto a “β” : 
Longitud del cateto adyacente a “β“: nLongitud del cateto opuesto a “α “ : 
Longitud del cateto adyacente a “α“: 
n
m m
α
β n
m
t
M
N T
5
A continuación se definen las seis razones trigonométricas para el ángulo 
agudo de medida “α"
longitud del cateto opuesto a α
( )
longitud de la hipotenusa
longitud del cateto adyacente a α
cos( )
longitud de la hipotenusa
longitud del cateto opuesto a α
tan( )
longitud del cateto adyacente a α
c






sen
longitud del cateto adyacente a α
ot( )
longitud del cateto opuesto a α
longitud de la hipotenusa
sec( )
longitud del cateto adyacente a α
longitud de la hipotenusa
csc( )
longitud del cateto opuesto a α






α
β n
m
t=
𝑛
𝑡
=
𝑚
𝑡
=
𝑛
𝑚
=
𝑚
𝑛
=
𝑡
𝑚
=
𝑡
𝑛
𝒔𝒆𝒏 𝜷 =
𝒎
𝒕
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝒏
𝒕
𝒕𝒂𝒏 𝜷 =
𝒎
𝒏
cot 𝜷 =
𝒏
𝒎
sec 𝜷 =
𝒕
𝒏
csc 𝜷 =
𝒕
𝒎
También:
6
INDEPENDENCIA DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RESPECTO 
A LAS DIMENSIONES DE UN TRIÁNGULO.
Las razones trigonométricas son independientes del tamaño del triángulo rectángulo 
que contienen al ángulo referido, pero sí de la proporción entre ellos, según se 
muestra en la figura. 
O
A B C
A’
B’
C’
α
7
PROBLEMA_01
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎: AC’=C’C’’=C’’B
C
BA
C' C"
𝛼 ß 𝜃
C𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟:
tan 𝛼 + 2tan 𝛽 + 3𝑡𝑎𝑛(𝜃)
3 tan 𝛼 + 2tan 𝛽 + 𝑡𝑎𝑛(𝜃)
𝐴)
3
4
𝐵)
9
5
C)
11
6
𝐷)
12
7
E)
13
9
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
=
13
9
∴
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑙𝑜𝑛𝑔. 𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝.
𝑙𝑜𝑛𝑔. 𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑.
𝐶𝐵
𝐴𝐵
+
2𝐶𝐵
𝐵𝐶´
+
3𝐶𝐵
𝐵𝐶"
3
𝐶𝐵
𝐴𝐵
+ 2
𝐶𝐵
𝐵𝐶´
+
𝐶𝐵
𝐵𝐶"
=
𝐶𝐵
3𝐾
+
2𝐶𝐵
2𝐾
+
3𝐶𝐵
𝐾
3
𝐶𝐵
3𝐾
+ 2
𝐶𝐵
2𝐾
+
𝐶𝐵
𝐾
=
1
3
+ 1 + 3
1 + 1 + 1
8
En la figura AB = 8r ; AD = DC.
Calcule csc(θ)
PROBLEMA 02
RESOLUCIÓN 02
Como AD = DC 
Entonces por base media: DE = 4r.
 OD =3r
 csc(θ) = 3
A C
D
B
r
θ
a a
CA D
B
r
8r
3r
r
E
O
θ θ
A) 3 E) 10D) 8C) 6B) 5
9
2.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Se denominan números recíprocos, a aquellos cuyo producto es igual a la unidad.
Razones trigonométricas recíprocas son aquellos pares de razones de un mismo 
ángulo, cuyo producto es igual a uno.
La justificación la encontramos en las 
comparaciones de las R.T.( α ):
α
β n
m
t
10
Si θ ϵ < 0,
𝜋
2
> ; calcule el valor mínimo de: 
5cot(θ) + tan(θ) 
PROBLEMA 03
RESOLUCIÓN 03
A) 5
E)
5
2
D)
5
5
C) 2 5B) 5 2
Sea:
E = 5cot(θ) + tan(θ)
=> E =5
1
tan(𝜃)
+ tan(𝜃)
=> E = 5
5
tan(𝜃)
+
tan(𝜃)
5
=> 𝐸𝑚í𝑛 = 2 5
Mínimo: 2
11
3.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
De la figura mostrada, comparando las R. T. de "α" con las R. T. de "β" se obtienen: 
a
b
c 𝛽
𝒔𝒆𝒏 𝜶 =
𝒂
𝒄
= 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒄𝒔𝒄 𝜶 =
𝒄
𝒂
= 𝒔𝒆𝒄 𝜷
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒃
𝒄
= 𝒔𝒆𝒏 𝜷 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
𝑐
𝑏
= 𝑐𝑠𝑐 𝛽
𝒕𝒂𝒏 𝜶 =
𝒂
𝒃
= 𝒄𝒐𝒕 𝜷 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑏
𝑎
= 𝑡𝑎𝑛 𝛽α
12
En general, si "𝛼" y "𝛽" son las medidas de dos ángulos agudos, se verifican:
sen(α) = cos(β) ↔ α + β = 90°
tan(α) = cot(β) ↔ α + β = 90°
sec(α) = csc(β) ↔ α + β = 90°
13
PROBLEMA_04
Si se cumple que:
𝑠𝑒𝑛 30° + 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 40° + 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 50° − 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
𝑡𝑎𝑛 2𝑥 − 𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑡 3𝑦 = 1
0° < 𝑦 < 𝑥 < 22°
Entonces calcule el valor de: 𝑠𝑒𝑐2 2𝑥 +
𝑦
2
+ 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 + 𝑦
𝐴) 5 𝐵) 6 𝐶) 7 𝐷) 8 𝐸) 9
………. (1)
………………………………………..……. (2)
………………………………………………………... (3)
14
RESOLUCIÓN_04
Analicemos las condiciones dadas, para calcular los valores de e :
de (1): 40° + 𝑥 + 50° − 𝑥 = 90°
 Ambos ángulos son complementarios entonces, por propiedad en (1) al
producto de tangentes:
𝑠𝑒𝑛 30° + 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 40° + 𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛 50° − 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
= 1
𝑠𝑒𝑛 30° + 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 30° + 𝑥 + 2𝑥 = 90°Por ello:
3𝑥 = 60°Resolviendo:
R.T. de ángulos
complementarios
𝑥 = 20°
Que satisface (3)
………. (4)
𝑥 𝑦
15
De condición (2): 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 − 𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑡 3𝑦 = 1
Se deduce que son R.T. recíprocas, entonces: 2𝑥 − 𝑦 = (3𝑦)
Resolviendo: 2𝑥 = 4𝑦 𝑥 = 2𝑦 𝑦 =
𝑥
2
………. (5)
(4) en (5): 𝑦 =
20°
2
𝑦 = 10°
Que satisface (3)
………. (6)
𝐸 = 𝑠𝑒𝑐2 2𝑥 +
𝑦
2
+ 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 + 𝑦Reemplazando (4) en (6) en pedido:
𝐸 = 𝑠𝑒𝑐2 2(20°) +
10°
2
+ 𝑐𝑠𝑐2 20° + 10°
𝐸 = 2
2
+ 2 2 𝐸 = 6 𝑪𝑳𝑨𝑽𝑬:𝑩

= 𝑠𝑒𝑐2 45° + 𝑐𝑠𝑐2(30°)
16
4.RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo significa calcular las medidas no conocidas de sus lados. 
Para realizar el cálculo de los lados que faltan se ha recurrido a formar la razón 
trigonométrica (R.T.(θ)) del ángulo de medida conocida, de la siguiente forma:
θθ θ
L
L
L
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
= 𝑅. 𝑇. (θ)
17
Al final se despeja para obtener la longitud del lado desconocido, de esa 
manera se generan los tres casos siguientes:
1) Se conoce la medida de un ángulo agudo “θ” y 
la longitud de su hipotenusa (H).

H
Hsen( )
Hcos( )
18
2) Se conoce la medida de un ángulo agudo “θ” y la longitud de su cateto 
adyacente (L).
3) Se conoce la medida de un ángulo agudo “θ” y la longitud de su cateto 
opuesto (L).
L

Lcsc( )
Lcot( )

Lsec( )
L tan( )
L
19
5 APLICACIÓN : cálculo de área de regiones triangulares
Si los elementos conocidos de un triángulo tienen medidas : “m”, “n” y “ α “ , 
el área de la región se obtiene mediante:
S =
𝑚.𝑛.𝑠𝑒𝑛(𝛼)
2
m
n
𝛼
h
S =
𝑛.ℎ
2
=
𝑛(𝑚𝑠𝑒𝑛𝛼)
2
20
PROBLEMA 05
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 csc 5𝜃 =
25
24
, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜃𝜖 < 0°; 16° >
Se traza una ceviana tal que se generen 2θ y 3θ
24 = 7tan 2θ + 25sen 3θ sec(2θ)
24 − 7tan 2θ = 25sen 3θ
1
cos(2θ)
24cos(2θ) − 7tan 2θ cos(2θ) = 25sen 3θ
∴
24cos(2𝜃) − 25sen 3𝜃
7𝑡𝑎𝑛 2𝜃
= cos(2𝜃)
A) cos(
𝜃
2
) B) cos(𝜃) C) cos(2𝜃)
D) cos(3𝜃) E) cos(4𝜃)
Por dato se dibuja el TR de 5θ de
hipotenusa 25 y cateto 24 y 7
Hallar: 
24cos(2𝜃)−25sen 3𝜃
7𝑡𝑎𝑛 2𝜃
Se prolonga dicha ceviana,
Se traza perpendicular,
resolviendo los TsRs, se obtiene
Resolución
7
25
7tan(2θ)
25sen(3θ)sec(2θ)
5θ
24
21
6 APLICACIÓN : razones trigonométricas de un semi ángulo agudo interno de un 
triángulo
Para obtener las R.T. de la mitad de un ángulo agudo se puede construir una 
semicircunferencia como se muestra, en la gráfica :
En el triángulo rectángulo MCB:
En el triángulo rectángulo NCB:
B
M CA N
α/2 α
α/2
c
b
a
c c
c-b
22
Para un ángulo agudo de medida x se 
tiene que:
cot
𝑥
2
+ 𝑛 𝑡𝑎𝑛
𝑥
4
= 2csc(𝑥)
Calcule:
sec
𝑥
2
PROBLEMA 06 RESOLUCIÓN 06
A) 𝑛
E)2𝑛D) 𝑛 − 3
C) 𝑛 − 2B) 𝑛 − 1
cot
𝑥
2
= csc 𝑥 + cot 𝑥 ……(𝐼)
tan
𝑥
2
= csc 𝑥 − cot 𝑥 ……(𝐼𝐼)
I + II : tan
𝑥
2
+ cot
𝑥
2
= 2 csc 𝑥
En la expresión:
cot
𝑥
2
+ 𝑛 𝑡𝑎𝑛
𝑥
4
= tan
𝑥
2
+ cot
𝑥
2
 𝑛 = 𝑡𝑎𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑡
𝑥
4
 𝑛 = tan
𝑥
2
csc
𝑥
2
+ 𝑐𝑜𝑡
𝑥
2
= 𝑠𝑒𝑐
𝑥
2
+1
 sec
𝑥
2
= 𝑛 − 1