Sesion5_ PRE

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csc 𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
sec 𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠(𝜃)
2
1. DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
𝒂
𝒃
Se denomina razón trigonométrica (R.T.), al
cociente que se establece entre las longitudes
de dos de los lados de un triángulo rectángulo
con respecto a uno de sus ángulos agudos.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎
𝑏
𝑐
En cualquier triángulo rectángulo, se pueden establecer solo seis razones entre sus tres
lados, tomados de dos en dos, así si las longitudes de sus lados son: a, b y c, se tendrán:
;
𝒄
𝒂
;
𝒃
𝒂
;
𝒄
𝒃
;
𝒃
𝒄
;
𝒂
𝒄
3
1. las medidas de sus ángulos 
agudos son complementarios.
2. Las longitudes de los lados cumplen 
con el teorema de Pitágoras.
𝛽
𝛼
𝑚
𝑛𝑡
𝛼 + 𝛽 = 90° 𝑚2 + 𝑛2 = 𝑡2
Es útil recordar las relaciones que se presentan entre los elementos 
básicos de un triángulo rectángulo, así:
4
3. Los lados perpendiculares ( catetos) reciben nombres especiales, según el 
ángulo agudo que se elija como referencia.
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Longitud del cateto opuesto a “α “ : 
Longitud del cateto opuesto a “β” : 
Longitud del cateto adyacente a “α“: 
Longitud del cateto adyacente a “β“: 
𝑚
𝑚
𝑛
𝑛
𝑀
𝑁
𝑃
𝑚
𝑛
𝑝
𝛼
𝛽
5
A continuación se definen las seis razones 
trigonométricas para el ángulo agudo de 
medida “𝜃"
𝜃
𝛽
𝑛
𝑚
𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
6
INDEPENDENCIA DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RESPECTO 
A LAS DIMENSIONES DE UN TRIÁNGULO.
Las razones trigonométricas son independientes del tamaño del triángulo rectángulo
que contienen al ángulo referido, pero sí de la proporción entre ellos, según se
muestra en la figura.
𝑂
𝛼
𝐴
𝐵
𝐴′
𝐵′
𝐴′′
𝐵′′
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐴𝐵
𝑂𝐴
=
𝐴′𝐵′
𝑂𝐵′
=
𝐴′′𝐵′′
𝑂𝐴′′
= ⋯
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑂𝐵
𝑂𝐴
=
𝑂𝐴′
𝑂𝐵′
=
𝑂𝐵′′
𝑂𝐴′′
= ⋯
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝐴𝐵
𝑂𝐵
=
𝐴′𝐵′
𝑂𝐴′
=
𝐴′′𝐵′′
𝑂𝐵′′
= ⋯
7
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Se denominan números recíprocos, a aquellos cuyo producto es igual a la unidad.
La justificación la encontramos
en las comparaciones de las
R.T.( α ):
𝛼
𝛽
𝑛
𝑚
𝑡
Razones trigonométricas recíprocas son aquellos pares de razones
trigonométricas de un mismo ángulo, cuyo producto es igual a uno.
𝑐𝑜𝑠 𝛼 . sec 𝛼 = 1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 . csc 𝛼 = 1
𝑡𝑎𝑛 𝛼 . cot 𝛼 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
n
t
y 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
t
n
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
m
t
y 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
t
m
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
n
m
y 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
m
n
8
3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
De la figura mostrada, c𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑅. 𝑇. 𝑑𝑒 "α" 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑅. 𝑇. 𝑑𝑒 "𝛽" se obtienen: 
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑎
𝑐
= cos 𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑏
𝑐
= 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑎
𝑏
= 𝑐𝑜𝑡 𝛽
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑏
𝑎
= 𝑡𝑎𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
𝑐
𝑏
= 𝑐𝑠𝑐 𝛽
𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
𝑐
𝑎
= 𝑠𝑒𝑐 𝛽
9
𝑠𝑒𝑛(𝛼) = cos(𝛽) ↔ 𝛼 + 𝛽 = 90°
𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 𝑐𝑜𝑡(𝛽) ↔ 𝛼 + 𝛽 = 90°
𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝑐𝑠𝑐(𝛽) ↔ 𝛼 + 𝛽 = 90°
En general, si "𝛼" y "𝛽" son las medidas de dos ángulos agudos, 
se verifican:
10
4. RT DE ÁNGULOS NOTABLES ( de naturaleza exacta)
15° 30° 45° 60° 75°
𝑠𝑒𝑛 6 − 2
4
1
2
2
2
3
2
6 + 2
4
𝑐𝑜𝑠 6 + 2
4
3
2
2
2
1
2
6 − 2
4
𝑡𝑎𝑛 2 − 3 3
3
1 3 2 + 3
𝑘
45°
45°
𝑘
𝑘 3
2𝑘
𝑘
30°
60°
4𝑘
(2 − √3)𝑘
𝑘
15° 75°
𝑘 3
2𝑘
2𝑘
TABLA DE RT 
DE 
ÁNGULOS 
NOTABLES
15°
( 6 − 2)𝑘
( 6 + 2)𝑘
4𝑘
11
5. RT DE ÁNGULOS NOTABLES ( de naturaleza aproximada)
37°
53°
3𝑘
4𝑘
5𝑘
2𝑘
𝑘
26°30′
𝑘 5
18°30′
3𝑘
𝑘
𝑘 10
16°
74°
24𝑘
25𝑘
7𝑘
4𝑘
𝑘
𝑘 17
14°
76°
8°
82° 𝑘
7𝑘
5𝑘 2
12
6. TABLA DE RT DE ÁNGULOS NOTABLES( de naturaleza aproximada)
13
7.RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo, significa calcular las medidas no conocidas de 
sus lados. 
Para realizar el cálculo de los lados que faltan se ha recurrido a formar la razón 
trigonométrica (𝑅. 𝑇. (𝜃)) del ángulo de medida conocida, de la siguiente forma:
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
= 𝑅. 𝑇. (θ)
𝜃
𝐿
𝜃
𝐿
𝜃
𝐿
Se presentan, los siguientes casos:
14
Al final se despeja para obtener la longitud del lado desconocido, de esa 
manera se generan los tres casos siguientes:
𝜃
𝐿
𝐿𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝐿𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Caso I
Cuando se conoce la medida de un ángulo 
agudo (𝜃) y la longitud de su hipotenusa 
(𝐿).
15
𝜃
𝐿
𝐿𝑡𝑎𝑛(𝜃)
Caso II
Cuando se conoce la medida de un ángulo agudo 
(𝜃) y la longitud de su cateto adyacente (𝐿).
𝜃
𝐿
𝐿𝑐𝑜𝑡(𝜃)
Caso III
Cuando se conoce la medida de un ángulo agudo 
(𝜃) y la longitud de su cateto opuesto (𝐿).
16
8. APLICACIÓN : cálculo del área de una región triangular
Si se conoce la longitud de dos de los lados de un triángulo y la medida del 
ángulo formado por dichos lados, el área de la región se obtiene mediante:
𝐴
𝐵
𝜃
𝐶
𝑐
𝑏
𝑆 =
𝑏𝑐
2
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Demostración:
𝐴
𝐵
𝐶
𝜃
𝑐
𝑏
𝑆
𝑆 =
𝑏ℎ
2
ℎ
Pero: ℎ = 𝑐. 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
⟹ 𝑆 =
𝑏(𝑐. 𝑠𝑒𝑛(𝜃))
2
17
9. APLICACIÓN: RT de un semi ángulo agudo interno de un triángulo
Para obtener las R.T. de la mitad de un ángulo agudo se puede construir
una semicircunferencia de radio a como se muestra, en la gráfica.
𝑎
𝑏𝑐
𝜃
𝑐 𝑂
𝐴
𝐻
𝜃/2
𝜃/2
𝐵 𝐶𝑐 − 𝑎
𝜃/2
En el ⊿ 𝐵𝐻𝐴: cot
𝜃
2
=
𝑐 + 𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑏
+
𝑎
𝑏
cot
𝜃
2
= csc(𝜃) + cot(𝜃)
En el ⊿ 𝐴𝐻𝐶: 𝑡𝑎𝑛
𝜃
2
=
𝑐 − 𝑎
𝑏
𝑡𝑎𝑛
𝜃
2
= csc 𝜃 − cot(𝜃)
18
10. ÁNGULOS VERTICALES
Definición de ángulos verticales: Son los ángulos contenidos en un plano vertical.
Línea visual:
Línea imaginaria que une el ojo del observador con el punto observado.
Línea vertical
Es aquella línea recta que coincide con la trayectoria de un cuerpo al caer atraído por 
la gravedad
Línea horizontal
Es aquella línea recta perpendicular a la plomada. 
𝜃
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
19
TIPOS DE ÁNGULOS
Ángulo de elevación: Es el ángulo formado 
por la línea horizontal trazada por el ojo 
del observador y la visual, cuando el punto 
visto está por encima del observador.
Ángulo de depresión: Es el ángulo formado 
por la línea horizontal trazada por el ojo 
del observador y la visual, cuando el punto 
visto está por debajo del observador.
𝛽
𝛼
α: es la medida del ángulo de elevación.
β: es la medida del ángulo de depresión.
20
θ : Es la medida del ángulo de observación para ver a todo el poste.
Ángulo de observación: Es el ángulo comprendido entre dos líneas visuales, 
que se utiliza para contemplar a una persona u objeto en forma parcial o total.
θ
α : Es la medida del ángulo de observación para ver a toda la lámpara.
21
22
RESOLUCIÓN_01PROBLEMA_01
En un triángulo ABC (C=90°), cuyos 
lados miden: AB=c; BC=a; AC=b., 
que verifican: 
b.sen(B)=a.(2-sen(A)); calcule:
Cot(A/2)-tan(B)
𝐴) 0,75 𝐵) 1 𝐶) 1,5
𝐷) 1,75 𝐸) 2
Graficamos: 
Reemplazamos en la condición:
A B
C
c
b a
Efectuando:
.( ) (2 )
b a
b a
c c
 
2 2
( )
b c a
a
c c

 2 2 2 .b a a c 
Teorema de 
Pitágoras: c
2
0 2.c c a  
Se elige: c= 2.a, por lo cual
A=30° ; B= 60°
(2 3) ( 3) Se pide: 2
23
RESOLUCIÓN_02PROBLEMA_02
Si:
sen(4.x).tan(14°)=0,25.cos(16°);
siendo “4.x” la medida de un 
ángulo agudo, calcule el valor 
aproximado de:
24.cot(x) - 50.cos(2x)
𝐴) 12 𝐵) 18 𝐶) 25
𝐷) 29 𝐸) 32
De: sen(4.x)=cos(16°) (4.x)+16°=90°
2.x=37°
x=37°/2 
1
(4 ). 0, 25.cos(16 )
4
sen x  En la ecuación inicial:
Se pide: 24.cot(x) - 50.cos(2x)
Es decir: 
37
24.cot( ) 50.cos(37 )
2

 
3 4/5
= 32
24
RESOLUCIÓN_03PROBLEMA_03
𝐴) 4,84′′ 𝐵) 5,09′′ 𝐶) 5,53’’
𝐷) 6,08′′ 𝐸) 6,31′′
En la figura se muestra la sección
transversal de una tubería por el que
fluye agua a una altura H, si el
diámetro interno de dicha tubería es
8”, determine la altura H,
aproximadamente, cuando θ=225°,
(en ‘’)
Hθ
8’’
4’’
O
4’’
22°30’ 22°30’
22°30’22°30’
4’’.sen(22°30’)
4’’
La altura del nivel de agua 
será: 
H= 4’’ + 4’’.sen(22°30’) ….(i)
H
45°45°/2
45°
1
1√2
√2
45 1
( )
2 4 2 2
sen



0,383
En (i): 4’’+4’’.(0,383)
𝐻 = 5,53′′
25
RESOLUCIÓN_04PROBLEMA_04
𝐴) 2 𝐵) 1,75 𝐶) 1,5
𝐷) 1 𝐸) 0,75
A
B CE
D
30°
𝑥
1
2
3
𝑥
2EB 
2.cot( )x
( 3 tan( )).( 3) (2.cot( )).(2) 1
(3. tan( ) 4.cot( ))
2 2 2
total
x x
S x x   
𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟á:
BE
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜: 3. tan 𝑥 = 4. cot(𝑥)
𝑆𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒: 3 tan( )EB x
3 tan( )x
𝐴
C
D
Si: BC=1u, 𝑚∡𝐵𝐴𝐶 =30°, calcule la longitud 
de 𝐸𝐵 𝑒𝑛 𝑢 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠
𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑚∡𝐴𝐷𝐶 = 𝑚∡𝐸𝐴𝐵 𝑦 𝐸, 𝐵 𝑦 𝐶 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.
26
Del gráfico mostrado, calcule 
17sen(θ)– tan(θ)
si ABCD es un cuadrado.
A) 3/2
B) 2/5
C) 2/3
D) 1/3
E) 3/4
A
B C
D
37°
PROBLEMA_05 RESOLUCIÓN_05
A
B C
D
37°
4k
4k
3k
4k
k
E
F
Notar que ABEF es un cuadrilátero inscriptible.
k 17
   
   
  
1 1 3
17sen(θ)– tan(θ)= 17
4 417
Se pide:
27
28
RESOLUCIÓN_06PROBLEMA_06
Graficando el triángulo rectángulo ABC (A=90°)
𝐴) 𝑠𝑒𝑛(𝐵) 𝐵) tan(B) 𝐶) cot(𝐵)
𝐷) sec(𝐵) 𝐸) csc(𝐵)
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒:
cot
𝐵
2
. cot(
𝐶
2
)
1 + csc(𝐶)
− 1
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐵 𝑦 𝐶 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜.
Prolongamos los catetos, para encontrar los semi-ángulos.
A
B C
a
c b
a
a
B/2
B/2
𝑪𝒐𝒕(
𝑩
𝟐
) =
𝒂 + 𝒄
𝒃
C/2
C/2
𝑪𝒐𝒕(
𝑪
𝟐
) =
𝒂 + 𝒃
𝒄
29
=csc(B)
Reemplazando en lo pedido:
(𝑎 + 𝑐)
𝑏
.
(𝑎 + 𝑏)
𝑐
(𝑎 + 𝑐)
𝑐
− 1
(𝑎 + 𝑐)
𝑏
.
(𝑎 + 𝑏)
𝑐
1 +
𝑎
𝑐
− 1 = =
𝑎+𝑏
𝑏
-1
30
RESOLUCIÓN_07PROBLEMA_07
Del gráfico mostrado AOD es un 
cuadrante , “α” la medida de un 
ángulo agudo y: 5.BC=4.DC; 
Además: sen(θ)=tan2(α).
Calcule:
𝐴) 1/4 𝐵) 1/2 𝐶) 1
𝐷) 2 𝐸) 3
( 13 3).cot( )
2

 A
B
C
O
D
θ
Dato:5.BC=4.DC
4k
5k
5n4n
9n
9n
θ
De la gráfica:
sen(θ)= 
4
9
tan2(α)= 
4
9
tan(α)= 
2
3
α
2
3
13
se sabe: cot(
α
2
)= csc α + cot(α)
Del triángulo: cot(
α
2
)=
13
2
+
3
2
Reemplazando en lo pedido:
13 3
( 13 3).cot( ) ( 13 3).( )
2 2
 
    2
31
RESOLUCIÓN_08PROBLEMA_08
Si PAM y NCG son sectores
circulares de áreas S1u
2 y S2u
2
𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒,𝑚∡ACB=θ𝑟𝑎𝑑,
calcule:
csc 𝜃 +cot(𝜃)
sec 𝜃 +tan(𝜃)
.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑁
𝐺
𝑃
𝑀
1
2
2
)
S
A
S
1 22 .)
( )
2
S S
B

 
1
2
.
)
( 2 )
S
E
S

 
1
2
)
2. .
S
C
S
2
1
2. .
)
( 2. ).
S
D
S

 
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑁
𝐺
𝑃
𝑀S1
S2
θ
θ
𝜋
2
− θ
   
csc cot
2 2
csc cot 
 
 

   
     
   
2
cot
4 2
cot

 
 
 
 

 
 
 
𝜋
2
− θ
Se pide:
𝜋
4
−
θ
2
𝜋
4
−
θ
2
R
r
x
r
R
𝑂1
…(i)
De la gráfica, reemplazamos en (i) :
2
cot
4 2
Rcot
x
r
x

 
 
 
 

 
 
 
R
r

𝑆1 =
1
2
𝜃 ∙ 𝑟2
𝑆2 =
1
2
𝜋
2
− 𝜃 ∙ 𝑅2
Por áreas de sectores:
Dividiendo
m.a.m.
2
1
2. .
( 2. ).
SR
r S

 


Efectuando:
32
RESOLUCIÓN_09PROBLEMA_09
En un triángulo ABC, recto en C, se
cumple:
3 4.cot( ) 3.csc( )...( )
2
B
A B i  
Calcule :
tan( )
4 2
1 tan( )
B
B



𝐴) 2 𝐵) 3 𝐶) 4
𝐷) 5 𝐸) 6
C
A
B
A
A
B
B
Se grafica:
C
C
a
Efectuando: c-b=4(a-b)…(ii)
c
a
b
c
a
bc
Se pide:
Reemplazando en (i):
c
bc
B/2
B/2
2
B
A
cot( )
2
B b c a
A
c a b

  

tan( ) ;csc( )
b c
B B
a b
 
2
B


4 2
B

tan( )
4 2
B a c b
c b a
 
  

3 4. 3. ...( )
c a c
i
b b
 
  
 
tan( )
4 2
1 tan( )
1
c bB
a
bB
a
 




tan( )
4 2
1 tan( )
B
c b
B a b




 
= 4
33
RESOLUCIÓN_10PROBLEMA_10
Si: 2α y θ son las medidas de dos
ángulos agudos, que verifican:
𝐴) 𝐵) 𝐶)
𝐷) 𝐸)
tan( ) tan(2. ) tan( ) tan( )..( )
(2. )sec( ) 1..........................( )
i
sen ii
    
 
 

Calcule :
2 2 12 2
2( 2 1)
2 1
tan( ) tan(2. ) tan( )     
2 2 1
De (ii): 2. 90    ( ) 90
tan( ) cot( )
  
  
   
 
tan( ). tan( ) 1   
En (i): tan( ) tan(2. ) tan( ) tan( )     
2 
En las ecuaciones resaltadas, se resuelve: 
45
45 ;
2
 

  
45 45
tan( ) tan(45 ) cot( )
2 2
 
  Se pide:
Efectuando:    2 1 (1) 2 1    2 2 1 
34
35
RESOLUCIÓN_11PROBLEMA_11
En un triángulo ABC (B=90°) se
sabe que AC= 2cm ; 𝑚∡𝐶𝐴𝐵=θ.
Calcule la longitud de la mediana
relativa al lado 𝐴𝐵 (en cm)
2 2) 2 ( ) cos ( )A sen  
2 2) ( ) 2.cos ( )B sen  
2 2) ( ) 4.cos ( )D sen  
2 2) 4 ( ) cos ( )C sen  
2 2) 2. ( ) 4.cos ( )E sen  
B
CA
θ
2
2.sen(θ)
2.cos(θ)
cos(θ)
cos(θ)
M
Por teorema de Pitágoras:  
2 2 2(2 ( )) (cos( ))CM sen   
2 24 ( ) cos ( )CM sen   
36
RESOLUCIÓN_12PROBLEMA_12
Del gráfico , calcule:
tan(α) + tan(β), si AD=2u, CE=3u;
además 𝑚∡𝐴𝐷𝐵= α,𝑚∡𝐶𝐷𝐵= β.
2
)
3
A
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷𝐸
3
)
2
B
4
)
3
E
3
)
4
D
5
)
6
C
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
2u
3u
α
β
2u.tan(α)
𝐵𝐶𝐷𝐸 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
β
β
2u.tan(α).tan(β)
α
2u.tan(α).tan(β)
2u.tan(α).tan(β).cot(α)
2u.tan(β).
𝑛𝑜𝑡𝑎𝑟:
2u.tan(α)+2u.tan(β)=3u
tan(α)+tan(β)=3/2
37
PROBLEMA_13
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 csc 5𝜃 =
25
24
,
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜃𝜖 < 0°; 16° >
A) cos(
𝜃
2
)
B) cos(𝜃)
C) cos(2𝜃)
D) cos(3𝜃)
E) cos(4𝜃)
Calcule: 
24cos(2𝜃)−25sen 3𝜃
7𝑡𝑎𝑛 2𝜃
RESOLUCIÓN_13
csc 5𝜃 =
25
24
5𝜃
25
24
7
3𝜃
2𝜃
7. tan(2𝜃)
2𝜃
2𝜃
7. tan(2𝜃).co𝑠(2𝜃)
Notar:24 cos 2𝜃 − 25sen 3𝜃 = 7𝑡𝑎𝑛 2𝜃 .co𝑠(2𝜃).
38
RESOLUCIÓN_14PROBLEMA_14
Siendo 4θ, la medida de un
ángulo agudo que verifica:
11Sec(4θ)-61=0. calcule:
60cot(θ)-122.cos(2 θ)
𝐴) 62 𝐵) 72 𝐶) 82
𝐷) 92 𝐸) 112
θ 4θ
3θ
3θ
61
11
60
60cot(θ)
61
2θ2θ
61
61
61.cos(2 θ)61.cos(2 θ)
60cot(θ)-122.cos(2 θ)
Se pide:
= 72
Dato: Sec(4θ)=
61
11
Hipot.
cat. Ady.
39
RESOLUCIÓN_15PROBLEMA_15
Desde los vértices A, B y C de un
triángulo acutángulo se trazan
perpendiculares hacia sus lados
opuestos prolongándose hasta cortar a
la circunferencia circunscrita. Dichas
prolongaciones miden m, n, y p
respectivamente, exprese :
𝑎
𝑚
+
𝑏
𝑛
+
𝑐
𝑝
, en términos de las razones
trigonométricas de los ángulos internos
del triángulo ABC
( AC=b; BC=a; AB=c)
𝐴) sec 𝐴 + sec 𝐵 + sec(𝐶)
𝐵)2(cot 𝐴 + cot 𝐵 + cot 𝐶 )
𝐶) 1,5(tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶 )
𝐷) 2(tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶 )
𝐸) 4. 𝑠𝑒𝑛 𝐴 . 𝑠𝑒𝑛 𝐵 . 𝑠𝑒𝑛(𝐶)
B
C
A
a
b
c
m
n
p
2B
2C
2A
C
B
m.tan(C)
m.tan(B)
De lo cual:
m.tan(C )+m.tan(B)=a
n.tan(C )+n.tan(A)=b
p.tan(A)+p.tan(B)=c
Análogamente, de:
𝑎
𝑚
= tan 𝐶 + tan(𝐵)
𝑏
𝑛
= tan 𝐶 + tan(𝐴)
𝑐
𝑝
= tan 𝐴 + tan(𝐵)
𝑎
𝑚
+
𝑏
𝑛
+
𝑐
𝑝
= 2(tan 𝐴 + tan 𝐵 + tan 𝐶 )
40
41
RESOLUCIÓN_16PROBLEMA_16
Una colina tiene una inclinación de 16°
con respecto a la horizontal. Una estatua
de 25 m se encuentra en la parte alta de
la colina. ¿A qué distancia de la base de
la estatua, debe ubicarse un topógrafo
para ver la parte superior de la estatua
con un ángulo de elevación de 53°, en
m?.
𝐴)20
𝐵)25
𝐶) 30
𝐷) 35
𝐸) 40
53°
16°
25
Distancia pedida= 25
37°
37°
25
42
RESOLUCIÓN_17PROBLEMA_17
A una distancia de 13 m de la base de un
pedestal, sobre el cual hay una estatua, se
observan la parte superior e inferior de la
estatua con ángulos de elevación de 44° y
40° respectivamente. Calcule la altura del
pedestal y la de la estatua, en m.
( considere : cot(46°)=0,97; tan(40°)=0,84 )
𝐴)10,92 𝑦 1,69
𝐵)10,5 𝑦 1,7
𝐶) 10,82 𝑦 1,59)
𝐷) 10 𝑦 1,8
𝐸) 10 𝑦 2
44°
40°
1 3 
1
3
.ta
n
(4
0°) 
1
3
.ta
n
(4
4°) 
De la gráfica :
Altura del pedestal=13.tan(40°)
Altura de la estatua =13.tan(49°)-13.tan(40°))
Efectuando:
Altura del pedestal= 10,92
Altura de la estatua =1,69
43
RESOLUCIÓN_18PROBLEMA_18
Para calcular la altura de un nevado, un
topógrafo observa la cima del nevado con
un ángulo de elevación de medida θ ,
luego de acercarse una distancia d ,
observa el mismo punto con un ángulo de
elevación de medida α, si la altura del
teodolito utilizado es h, calcule la altura
del nevado.
Graficando:
)
tan( ) tan( )
d
A h
 


)
cos( ) cos( )
d
B h
 


)
cot( ) cot( )
d
D h
 


)
tan( ) tan( )
d
C h
 


)
cot( ) cot( )
d
E h
 


θ α
d
h
H
H-h
(H-h).cot(θ)
(H-h).cot(α)
Despejando.
cot( ) cot( )
d
H h
 
 

44
45
RESOLUCIÓN_01PROBLEMA_01
En la gráfica mostrada, exprese 
𝑐𝑜𝑡 θ +cot(α)−csc(θ)
sec(
θ
2
))
en términos de θ, los radios miden au
y bu (b>a). ( 𝐴𝐵// 𝐷𝐶)
Además: 𝑚∡DBO1= α; 𝑚∡𝐴𝑄𝐷 = θ
𝐴)
𝑏 − 𝑎
𝑏 + 𝑎
𝐵)
𝑎 + 𝑏
𝑏 − 𝑎
B
C
A
D
O
O1
𝑄
𝐶)
𝑏
𝑎
𝐷)
𝑎
𝑏
𝐸)
2𝑏
𝑎
46
RESOLUCIÓN_02PROBLEMA_02
Determine el valor aproximado de
2.cot(x), sabiendo que ABCD es un
cuadrado y 𝑚∡𝐵𝐴𝑁 = 26°30′.
𝐴) 2 𝐵) 1,75 𝐶) 1,5
𝐷) 1 𝐸) 0,75
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝑁
x
47
RESOLUCIÓN_03PROBLEMA_03
En un triángulo ABC (B=90°),
se verifica : tan(A)=5, calcule
el valor de :
𝐴) 3 𝐵) 4 𝐶) 5
𝐷) 6 𝐸) 7
5. ( ) 3. ( )
cos( ) 2.cos( )
sen A sen C
C A


48
RESOLUCIÓN_04PROBLEMA_04
Del gráfico mostrado, si: tan(α)=4,
calcule tan(A/2) ; 𝑚∡PTF= α, P y T
son puntos de tangencia.
𝐴) 1/2 𝐵) 1/3 𝐶) 2
𝐷) 3 𝐸) 1/4
A
B
C
O
T
P
F
49
RESOLUCIÓN_05PROBLEMA_05
En un triángulo rectángulo ABC
(B=90°) de baricentro G y
circuncentro en O, (𝑚∡AGO=90°) ,
calcule:
𝐴) 2 𝐵) 3 𝐶) 4
𝐷) 5 𝐸) 6
2 3.csc( ) tan(2. )
2
A C
50
RESOLUCIÓN_06PROBLEMA_06
Si α y β son las medidas de los
ángulos agudos de un triángulo
rectángulo, que verifican:
𝐴) 𝐵) 𝐶)
𝐷) 10 𝐸)
2 2(sec ( )) (csc ( ))
18
g rad  
Calcule tan(α)
4 113 11
5 7
2 7
51
RESOLUCIÓN_071PROBLEMA_07
Del gráfico mostrado, exprese r1/r2
𝑒𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 α 𝑦 β (𝑚∡PAB=2α,
𝑚∡PAC=2β) ; r1 y r2 son las
longitudes de los radios de centros
O1 y O2 , respectivamente.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑂1
𝑂2
𝑃
1 cot( )
)
1 cot( )
A




1 cot( )
)
1 cot( )
B




1 cot( )
)
1 cot( )
E




1 cot( )
)
1 cot( )
C




1 cot( )
)
1 cot( )
D




52
RESOLUCIÓN_08PROBLEMA_08
Si ABCD es un cuadrado,
AM=5.MD. Calcule csc(θ),
además: BAD y ADC son
cuadrantes.
𝐴) 2,19 𝐵) 3,75 𝐶) 5,78
𝐷) 5,95 𝐸) 6,43
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝐸
𝑀
θ
53
RESOLUCIÓN_09PROBLEMA_09
La estatura de una persona y las
alturas de un árbol y una torre están
en la misma relación que los
números 2, 4 y x; respectivamente. Si
la persona ubicada entre el árbol y
la torre, divisa sus partes más altas
con ángulos de elevación β y α
respectivamente, además desde lo
alto de la torre se ve lo alto del árbol
con un ángulo de depresión de
medida de medida θ . Calcule x, si se
cumple:
𝐴) 5 𝐵) 6 𝐶) 7
𝐷) 9 𝐸) 10
cot( ) cot( ) cot( ) cot( )
3 2
    

54
RESOLUCIÓN_10PROBLEMA_10
Desde un punto en el suelo se divisa 
lo alto de una torre con un ángulo de 
elevación de medida . Si nos 
acercamos una distancia d, el ángulo 
de elevación sería de medida igual a 
45° y si nos acercamos otra distancia 
d, el ángulo de elevación seria de 
medida ; si además todas las 
observaciones son realizadas a un 
mismo lado de la torre. Calcule: 
cot() + cot()
𝐴) 1/2 𝐵) 1 𝐶) 3/2
𝐷) 2 𝐸) 4
55
RESOLUCIÓN_11PROBLEMA_11
Una estatua de altura h se encuentra sobre 
un pedestal. Desde un punto en tierra se 
observa la base de la estatua con un ángulo 
de elevación . Si el observador se acerca en 
dirección al pedestal en línea recta una 
distancia igual a la altura de la estatua, esta 
vez se observa la parte más alta de la estatua 
con un ángulo de elevación . Exprese la 
separación entre la base del pedestal con el 
observador (en la segunda posición) en 
términos de h,  y .
(tan( ) 1)
)
tan( ) tan( )
h
A

 


(cot( ) 1)
)
cot( ) tan( )
h
D

 


(cot( ) 1)
)
cot( ) tan( )
h
B

 


(cot( ) 1)
)
cot( ) cot( )
h
E

 


(cot( ) 1)
)
cot( ) cot( )
h
C

 


56
RESOLUCIÓN_13PROBLEMA_13
Desde lo alto de un edificio de 9
písos típicos, se divisan en tierra dos
objetos A y B, en direcciones
opuestas, con ángulos de depresión
de medidas α y β respectivamente,
desde la parte baja del piso 5 se ve
al objeto B con un ángulo de
depresión de medida: 90°- α, si la
distancia entre los objetos es
mínima, calcule 9.cot(α) + 4.tan(β)
𝐴) 6 𝐵) 8 𝐶) 10
𝐷) 12 𝐸) 17