Arcos Compuestos_ TRES ARCOS

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CICLO PREUNIVERSITARIO
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS COMPUESTOS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRES ARCOS
Para tres arcos tenemos las siguientes identidades
PROBLEMA 15 
RESOLUCIÓN 
Sean medidas de ángulos agudos y 
Halle
Como , entonces 
Se sabe que
‹Nº›
I) Si , entonces se cumple:
II) Si , entonces se cumple:
PROPIEDADES PARA TRES ARCOS
‹Nº›
Demostraciones:
De la condición:
LQQD.
De la condición sumando se tiene:
 
Reduciendo al primer cuadrante:
LQQD.
Desarrollando:
Efectuando:
Aplicando I.1:
‹Nº›
Identidades adicionales:
1) Si entonces
+ + 
2) Si entonces
3) Si entonces
+ + 
PROBLEMA 16
Si y además se cumple
Calcule el valor de:
18
Como , entonces: 
Elevando al cuadrado la condición del problema:
RESOLUCIÓN 
PROBLEMA 17 
Calcule el valor de:
A) 		B) 		C) 		D) 		E) 
RESOLUCIÓN:
Dando forma a cada término:
Usando identidades auxiliares:
‹Nº›
PROBLEMA 18
En un triángulo ABC, halle el equivalente de la expresión:
A) 	B) 	C) 	D) 	E) 
RESOLUCIÓN:
Utilizando identidades auxiliares:
Luego:
‹Nº›
PROBLEMA 19 
Si: y además son agudos. Halle el menor valor que toma .
RESOLUCIÓN 
Reescribiendo R, tenemos
Agrupando,
 ]
1
Solo queda minimizar 
Usaremos que 
‹Nº›
PROBLEMA 20 
RESOLUCIÓN 
Si , 
Además:
6
Simplifique:
De la condición del problema, 
Como entonces
‹Nº›
RESOLUCIÓN 
PROBLEMA 21 
Del gráfico mostrado, hallar
Considere que 
Del gráfico, trazamos y .
Se observa que
Reemplazando
PROBLEMA 22 
RESOLUCIÓN 
Del gráfico mostrado, calcule el máximo valor de .
Sea , del gráfico tenemos que 
también
De esto, vemos que 
Maximizar equivale a minimizar entonces,
Usando que (el valor mínimo de MA es MG)
‹Nº›
PROBLEMA 23 
RESOLUCIÓN 
Del gráfico, calcule , si 
si y .
4
Considerando y completamos el triángulo
Al aplicar el T. de Pitágoras en el triángulo BAE, tenemos: 
Por lo anterior, despejamos .