SEGUNDO SEMINARIO Pre 2020-2 parte 1

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DIVISIBILIDAD
EN
LOS ENTEROS
La venta de huevos en bloques de 30 unidades
Batallón dividido en bloques de 30 soldados.
El éxito no es para los
que piensan que pueden
hacer algo, sino para los
que lo hacen.
La divisibilidad de los enteros es conocida desde tiempos
antiguos: griegos, egipcios, babilonios.
El matemático griego Euclides demostró los teoremas
básicos de la divisibilidad de los enteros.
El matemático francés Pascal (1623-1662) propuso reglas
para conocer la divisibilidad para cualquier número.
Se dice que el número entero A es divisible por el número entero B, si 
existe un número entero k, tal que A = B . K , es decir la división de A 
entre B es exacta.
Notación:
Interpretación: B divide a A 
A Dividendo
B divisor
K Cociente
A es dividido por B 
B es divisor de A 
A es múltiplo de B 
40 = 5 x 8 
12 = 3 x 4 
A es divisible entre B 
Recordemos que: El número entero positivo 𝒂 > 𝟏 es primo, si sus únicos 
divisores positivos son el 1 y el mismo. 
A = B A B
A = B A = B k 
40 = 5 
12 = 3 
DIVISIBILIDAD
Ejemplos: 
B se denomina 
MÓDULO 
Si la división es inexacta:
A = B . K + r División por defecto
A = B.( K + 1) - re División por exceso
A = B . K + r A = B ( K + 1 ) - re
20 3
62
20 3
71
A = B + r A = B - re
20 = 3 + 2 20 = 3 - 1
r + re = B
PRINCIPIOS DE DIVISIVILIDAD
Si dos números enteros son divisibles por cierto módulo,
entonces la suma o diferencia de ellos también será divisible
por dicho módulo.
Consideremos dos números A y B que son divisibles por C
º
C
Sumando
ambas
Todo número entero es divisible por los factores primos que
lo forman y de la combinación de ellos.
𝟏𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟑 y
Si un número entero es divisible por un cierto módulo,
entonces será también divisible por todo divisor de dicho
módulo
A + B = C 
𝐀 + 𝐁 = 𝐊𝟏 + 𝐊𝟐 𝐂
𝐁 = 𝐊𝟐𝐂
𝐀 = 𝐊𝟏𝐂A = C 
B = C 
12 = 2 12 = 3 12 = 12 12 = 6 12 = 4 
𝟐𝟓 + 𝟑𝟎 = 𝟓𝟓
5
0
5
0
5
0
Si un número entero es divisible por dos o mas módulos
simultáneamente, entonces será también divisible por el menor de los
múltiplos comunes de los módulos considerados”
Dado dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto
módulo, y si uno de tales números es primo con el modulo, entonces el
otro número será divisible por dicho módulo”. ( Principio de Arquímedes).
PESI
7.N = 4 
N = 4 
N = 8 
N = 20 
N = 4 
𝐍 = 𝐌𝐂𝐌(𝟒, 𝟖, 𝟐𝟎) N = 20 
Si :
𝑬𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍:
xN
xN
xN
c
b
a
=
=
=
0
0
0
c
Un número de cuatro cifras al dividirse por separado entre los módulos
4. 6. 8 y 9 dan residuo máximo, determine la suma de cifras del menor
número.
a) 7 b) 8 c) 17 d) 26 e) 31
14
0
−=abcd
16
0
−=abcd
18
0
−=abcd
19
0
−=abcd
172 −= qabcd 14
min
=q 1007=abcd
Suma de cifras : 8
1)9,8,6,4(
0
−= MCMabcd
100001721000 − q
9.1389,13  q
APLICACIÓN N° 1
RESOLUCIÓN
Si m >7 y , luego el residuo de dividir 
m entre 7 es:
0
49)224(35 =+m
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
0
49)224(35 =+m
0
7)212(25 =+mx
Aplicando el T. de Arquímedes
0
7)112( =+m
00
71)57( =++ m
0
715 =+m
1471415
0
+=++m
0
7)3(5 =+m
0
73 =+m
37
0
−=m
47
0
+=m
clave c)
simplificando
APLICACIÓN 
N° 2
RESOLUCIÓN
APLICACIÓN DEL BINOMIO DE NEWTON
(𝒂 + 𝒃)𝒏 = 𝒏
𝟎
𝒂𝒏 +
𝒏
𝟏
𝒂𝒏−𝟏𝐛 +
𝒏
𝟏
𝒂𝒏−𝟐𝒃𝟐 +
𝒏
𝟐
𝒂𝒏−𝟑𝒃𝟑 +⋯ .+
𝒏
𝒏
𝒃𝒏
bn
( + 𝒃)𝒏 =
( − 𝐛)𝐧 =
4
0
)35( − 4
0
)3(5 −+=
815)35(
0
4
0
+=−
155)35(
00
4
0
++=−
𝒂 𝒂 𝒂 𝒂
+𝒃𝒏
+(−𝒃)𝒏
15)35(
0
4
0
+=−
Determine el residuo de 389685 entre 97
º
97
r+=
0
685 97389
r+=+
0
685
0
97)197(
1=r Residuo : 1r+=+
00
97)197(
Aplicando el binomio de Newton
EJEMPLO:
Se denominan restos potenciales de un cierto número entero respecto a
un módulo a los residuos obtenidos de las potencias sucesivas (enteras
mayores o iguales que cero) del número al ser divididos por dicho módulo.
Determine el resto de dividir 𝟏𝟔𝟖𝟐𝟗𝟑entre 25
4 =
12516
0
0
+=
162516
0
1
+=
12516
0
5
+=
112516
0
4
+=
62516
0
2
+=
212516
0
3
+=
RESTOS POTENCIALES
.
.
.
r+=2516
0
8293
5=g
r+=2516
0
8293
21=r
358293
0
+=
Si 𝟐𝒂𝒃 , convertido a base 3 termine en … 01. ¿Cuántos valores puede tomar 𝒂𝒃?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15
3
0
=𝟐𝒂𝒃 + …… 𝟎𝟏𝟑
𝟐𝒂𝒃
0
2
3= + …… 𝟎𝟏𝟑
𝟐𝒂𝒃
0
9= + 𝟏
Aplicando Restos potenciales
de las potencias de 2 en función
al módulo 9
g = 6
𝒂𝒃= 8
𝟏𝟎 ≤ 𝒂𝒃 < 𝟏𝟎𝟎
𝟔𝒌
𝟐 ≤ 𝒌 <16
15 valores
Clave e
APLICACIÓN 
N° 3 RESOLUCIÓN O
22 = 9 + 4
23 = 9 − 1
O
O
26 = 9 + 1
O
26𝑘 = 9 + 1
O
Si 𝟑𝟑𝟑… . 𝟑𝟐𝟓𝟒𝟔 = 𝒙𝒚… .𝒎𝒏𝒑𝟑 , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑒𝑙𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒎 + 𝒏 + 𝒑 𝑒𝑠:
cifras2010 a) 𝟐 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
𝟑𝟑𝟑… . 𝟑𝟐𝟓𝟒𝟔 = 𝒙𝒚… .𝒎𝒏𝒑𝟑
0
3
6 + 𝟐𝟓𝟒𝟔 = +
0
3
3 𝒎𝒏𝒑𝟑
𝒎𝒏𝒑𝟑 = 𝟐𝟓𝟒𝟔 = 𝟏𝟎𝟐𝟐𝟏𝟑= 𝟏𝟎𝟔 𝒎 = 𝟐
𝒑 = 𝟏𝒏 = 𝟐
𝒎+ 𝒏+ 𝒑 = 5
Clave d)
APLICACIÓN 
N° 4
RESOLUCIÓN
¿ 𝑪𝒖𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒍 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓𝒍𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐, 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆
𝟏𝟖, 𝟒𝟐, 𝟓𝟔, deja en cada caso el residuo máximo ?
𝐚) 𝟗𝟔𝟕𝟓 𝐛) 𝟗𝟖𝟕𝟔 c) 9575 d) 9972 e) 9976
5556
4142
1718
0
0
0
+=
+=
+=
abcd
abcd
abcd
RESOLUCIÓN
156
142
118
0
0
0
−=
−=
−=
abcd
abcd
abcd→
→
→
1)56,42,18(
0
−= MCMabcd 1504
0
−=abcd→
1504 −= qabcd 1504 −= qabcd→ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝟓𝟎𝟒𝒒 − 𝟏 < 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟗𝟖 ≤ 𝒒 < 𝟏𝟗, 𝟖𝟒
95751)19(504 =−=abcd
𝑬𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔:
𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑪
APLICACIÓN N° 5
PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD EN EL SISTEMA DECIMAL
𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟐, 𝒔𝒊 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊, 𝒇 = 2
0
𝑬𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 = 𝟏𝟎. 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆 + 𝒇
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 = 𝒂. 𝟏𝟎𝟓 + 𝒃.𝟏𝟎𝟒 + 𝒄. 𝟏𝟎𝟑 + 𝒅. 𝟏𝟎𝟐 + 𝒆. 𝟏𝟎𝟏 + 𝒇𝑺𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐:
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 = + 𝒇2
0
1. 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝟐 ∶ 𝑼𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟐, 𝒔𝒊 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂 𝒆𝒏 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒐 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓
𝟐.𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝟑: 𝑼𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟑, 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒔 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔
𝒆𝒔 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝟑
𝟑.𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝟓: 𝑼𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟓, 𝒔𝒊 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂 𝒆𝒏 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒐 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂 𝟓
𝟒.𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝟐𝒏𝒐 𝟓𝒏: 𝑼𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟐𝒏𝒐 𝟓𝒏, 𝒔𝒊 𝒔𝒖𝒔 𝒏 ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒏
𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒏 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝟐𝒏 𝒚 𝟓𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆.
𝟓. 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝟕:
77
001321
3
213
.1.3.3.1.3.2.1.3 =+++−−−++= hgfedcbad hgfecba
6.𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝟗: 𝑼𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗, 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒔 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔
𝒆𝒔 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝟗
7. 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 𝟏𝟑:
1313
0013413413
.1.3.4.1.3.4.1.3 =+−−−+++−= hgfedcbahgfedcba
𝑹.𝑷: 𝟏, 𝟑, 𝟐. −𝟏,−𝟑,−𝟐, 1, 3,2,……
𝑹.𝑷: 𝟏,−𝟑,−𝟒.−𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟏, ……
ฏ𝟏𝟑
𝟎
ฎ𝟕
𝟎
𝟕.𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒑𝒐𝒓 11: 𝑹.𝑷: 𝟏,−𝟏,+𝟏,−𝟏.+𝟏,−𝟏…
1111
00
=−+−+−= abcdeabcde
0
11
Criterio de divisibilidad del módulo n - 1, en base n
“Un número escrito en la base n es divisible por n -1, si la suma de sus cifras es múltiplo
de n -1”
abcdefnabcdef
n
++++++−=
0
)1(
Demostración:
)11()11()11()11(
5432
)11( +−+−+−+− +++++−+= nnnnabcdef abcdnef
n
nnnnabcdef abcdenfn
5432 +++++=
Entonces: abcdefnabcdef
n
++++++−= 1
abcdefabcdef ++++++=
0
6
5Ejemplo:
Criterio de divisibilidad del módulo (n+1) en la base n
Demostración:
)11()11()11()11(
5432
)11( −+−+−+−+ ++++−++= nnnnabcdef abcdnef
n
nnnnabcdef abcdenfn
5432 +++++=
Entonces: abcdefnabcdef
n
−+−+−+−= 1
abcdefabcdef −+−+−+=
0
6
7Ejemplo:
“Un número escrito en la base n es divisible por n + 1, si la sumade cifras de lugar
impar menos la suma de cifras de lugar par es múltiplo de n + 1”
)11()11()11()11(
5432
)11( −+−+−+−+ ++++−++= nnnnabcdef abcdnef
n
)11()11()11()11()11( −+++−+++ ++++−++= nnnnabcdef abcdnef
n
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓
𝑛
= ሶ𝑛 + 1 + 𝑓 − 𝑒 + 𝑑 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑎
o
Es toda ecuación con varias variables, cuyos coeficientes son
números enteros y la finalidad es obtener soluciones enteras.
ECUACIÓN DIOFÁNTICA
Estudio de las ecuaciones Diofánticas lineales: 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒚 = 𝒄
Dada la ecuación a x + b y = c, con a, b, c  Z y donde 𝒅 = 𝑴𝑪𝑫 (𝒂, 𝒃)
decimos que a x + b y = c tiene soluciones enteras si y sólo si d | c. 
TEOREMA:
𝑺𝒆𝒂 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝒁 𝒚 𝑴𝑪𝑫 𝒂, 𝒃 = 𝒅 , donde 𝒅 | 𝒄
𝒂
𝒅
𝒙 +
𝒃
𝒅
𝒚 =
𝒄
𝒅
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝒓 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒂𝒔
𝑺𝒆𝒂 (𝒙𝒐, 𝒚𝒐) 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 , 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐:
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝒑𝒙𝒐 + 𝒒𝒚𝒐 = 𝒓 𝒑 𝒙 − 𝒙𝒐 = 𝒒(𝒚 − 𝒚𝒐)
𝒙 − 𝒙𝒐 = 𝐪 𝐭
𝒚 − 𝒚𝒐 = 𝒑 𝒕
𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝒒 𝒕
𝒚 = 𝒚𝒐 − 𝒑 𝒕
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐭 ∈ 𝒁
Resolver : 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟓𝟔
MCD( 𝟏𝟐, 𝟐𝟎) = 4 , 4 |56, luego la ecuación tiene soluciones enteras
3𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟒
𝒙 + ( )𝒚 =
0
3 23
0
+ 23
0
+
𝒚 = 13
0
+
𝒚 = 1 - 3t
𝒙 = 𝟑 + 5t
Solución General
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 31 00 == xy
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
APLICACIÓN N° 6
𝑺𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓ó 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝒔 𝒅𝒆 s/. 345 y televisores de s/. 555, con una inversión total de
s/. 19 680, ¿Cuántos artefactos se compró, si el número de televisores es el máximo posible?
𝒂) 𝟏𝟕 b)28 c) 36 d) 40 e) 45
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑥: 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠
y: 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜: 345 𝑥 + 555 𝑦 = 19 680
M𝐶𝐷 345,555 = 15 ; 15 |19680, luego la ecuación 
tiene soluciones enteras
23 𝑥 + 37 𝑦 = 1320 123)1423(23
000
+=++ y
523
0
+=y
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 495 00 == xy
𝒙 = 𝟒𝟗 + 𝟑𝟕𝐭
𝒚 = 𝟓 − 𝟐𝟑𝒕
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍:
𝒑𝒆𝒓𝒐: 𝒙 = 𝟒𝟗 + 37t > 0
𝒚 = 5 - 23t > 0
−𝟏, 𝟒𝟖 < 𝒕 < 0,217
El número de televisores es el máximo posible, si:
𝒕= -1 x = 18 radios 
y= 28 televisores
Total de artefactos: 40
Clave d
APLICACIÓN N° 7
Si el número ,se expresa en el sistema de numeración de 
base 24, termina en la cifra. 
A) A B) B C) C D) D E) E
=
27 cifras
9N 666...661
=
27 cifras
9N 666...661
zzabc +==
0
24 24..........
z+
0
3
z+
0
8
13
0
+=N→
z+
0
8Si
→ zN +=++=
00
81)6.(268
58
0
+
→ 5=z
Evaluando=13=D
𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑫
APLICACIÓN N° 8
Si el número ,se expresa en el sistema de numeración de 
base 24, termina en la cifra. 
A) A B) B C) C D) D E) E
=
27 cifras
9N 666...661
=
27 cifras
9N 666...661
zzabc +==
0
24 24..........
z+
0
3
z+
0
8
13
0
+=N→
z+
0
8Si
→ zN +=++=
00
81)6.(268
58
0
+
→ 5=z
Evaluando=13=D
𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑫
APLICACIÓN N° 9
PROBLEMAS DEL AULA VIRTUAL
¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 34 que terminan en cifra 2?
A)52 B) 53 C) 54 D)55 E) 56
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
Modelando: qabc 34342
0
==
𝑞 = ⋯3
q = … 8
1000 ≤ 34𝑞 <10000
29,4117 ≤ 𝑞 <294,117
𝑞 = {33,48,43,48…293} 𝟓𝟑 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 Clave B
PROBLEMA N° 3
¿Cuál es el resto que se obtiene al dividir M=222222020 + 555552021 + 666!20
entre 7.
A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) 5
2021
0
2020
0
)37()47( +++=M
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
474
.
.
.
474
174
274
474
174
0
2020
0
4
0
3
0
2
0
1
0
0
+=
+=
+=
+=
+=
+=
g=3
573
.
.
173
573
473
673
273
373
173
0
2021
0
6
0
5
0
4
0
3
0
2
0
1
0
0
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
g=6
27547
00
+=++=M
𝑬𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒆𝒔: 𝟐 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑩
++
PROBLEMA N° 13
Determine el mayor número de cuatro cifras abcd múltiplo de 17, tal que el número
formado por sus dos últimas cifras sea dos unidades mayor que el triple del número
formado por las dos primeras cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
A) 20 B) 22 C) 30 D) 35 E) 40
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
0
17=abcd →23 += abcd
Modelando:
0
17100 =+ cdab
0
1723100 =++ abab
0
172.103 =+ab
0
172 =+ab
15=ab → 47=cd
32=ab → 98=cd
→ 𝑵𝟏 = 𝟏𝟓𝟒𝟕
→ 𝑵𝟐 = 𝟑𝟐𝟗𝟖
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔: 𝟐𝟐
𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑩
17 + 1 𝑎𝑏 + 2 = 17
o o
PROBLEMA N° 8
¿Qué condición debe cumplir el número natural n para que la suma de (25𝑛 + 23𝑛 + 22𝑛 + 1)
sea múltiplo de 45?
o
n 45=a) b) c) d) e)
0
2=n 12
0
+=n Nn
0
16=n
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
𝑁 = 25𝑛 + 23𝑛 + 22𝑛 + 1=m45
45222
0
223 )1()1( =+++= nnnN
4522
0
32 )1)(1( =++= nnN
]1)1][(1)1[( 95
00
+−+−= nnN
Si n es impar:
]1)1][(1)1[( 95
00
+−+−=N
4595
000
]][[ ==N
𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝒄
PROBLEMA N° 10
Si
determine el valor de la cifra a, que satisface la igualdad.
A) 0 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8
= +
o
6
145 cifras
aa
2929...292 13 3
= +
o
6
145 cifras
aa
2929...292 13 3
3)2( 1313
0
6
0
+=+ aa
3132
0
6 +=aa
Aplicando restos Potenciales
2132
1132
.
.
3132
8132
4132
2132
0
13
0
12
0
4
0
3
0
2
0
1
+=
+=
+=
+=
+=
+=
g=12
6𝑎𝑎 =12 + 4
𝒂 = 𝟖
a= 8 Clave E
𝑎𝑎 = 12 + 4
oo
PROBLEMA N°
19
¿Cuántos números de 4 cifras diferentes, múltiplos de 4, se pueden formar con las
cifras 2, 3, 4, 5, 6 y 7?
A) 60 B)72 C)84 D) 96 E)98
00
44 == cdabcd
𝑹𝑬𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵
76
72
64
56
52
36
32
24
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab 12
12
12
12
12
12
12
12
𝟗𝟔 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔
𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑫)
PROBLEMA N° 22