TEORIA DIVISIBILIDAD

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ARITMÉTICA CICLO PREUNIVERSITARIO ____ 07/10/20 
 
DIVISIBILIDAD 
Un número entero d  0 se llama divisor (o factor) de un entero D, lo cual se denota por d | D, si existe un 
entero q tal que D = d q , en tal caso se dice que D es divisible por d o que D es un múltiplo de d (
o
D = d ) 
donde a d también se le llama módulo. 
Ejemplo: 40 = 8 x 5 ; de donde se afirma que “40 es divisible por 8”, 
 o 40 = 
º
8 ; o también “40 es múltiplo de 8” 
En general si D, d y q  Z , d  0 
a) Para el caso de la división exacta: 
 D d  D = dq “D es divisible por d” 
 q ó D = 
º
d “D es múltiplo de d” 
b) Para el caso de división inexacta: 
Por defecto: D d  D = dq + r “D – r es divisible por d” 
 r q ó D = 
º
d + r  “D - r es múltiplo de d” 
Por exceso: D d  D = dq - r  “D + r es divisible por d” 
 r q ó D = 
º
d - r  “D + r es múltiplo de d” 
Conclusión: D = 
º
d + r = 
º
d - r, donde r + r = IdI 
PRINCIPIOS 
1. Si dos números enteros son divisibles por cierto módulo, entonces la suma o diferencia de ellos también 
será divisible por dicho módulo. 
Consideremos dos números A y B que son divisibles por C, entonces: 
A = m1 C ó A = 
º
C ; B = m2 C ó B = 
º
C A + B = m1 C + m2 C  A + B = m3 C = 
º
C 
 A - B = m1 C - m2 C  A - B = m3 C = 
º
C 
2. “Todo número entero es divisible por los factores primos que lo forman y de la combinación de ellos” 
3. Si un número entero es divisible por un cierto módulo, entonces será también divisible por todo divisor de 
dicho módulo” 
4. “Si un número entero es divisible por dos o más módulos simultáneamente, entonces será también 
divisible por el menor de los múltiplos comunes de los módulos considerados” 
Ejemplo. Si N = 
º
8 , N = 
º
13 y N = 
º
20 
0
N =MCM (8,13,20) 
 
 
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5. “Dado dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, y si uno de tales números 
es primo con el modulo, entonces el otro número será divisible por dicho módulo”. (Teorema de 
Arquímedes). 
Ejemplo: 3x =
º
7  x =
º
7 
El binomio de newton aplicado a la divisibilidad 
Si (a + b)n = an + n an – 1 b + 
2
)1n(n 
an – 2 b2 + … + 
2
)1n(n 
a2bn – 2 + nabn – 1 + b, entonces 
n
º
n
º
baba 






 
 
  
 
nEn general +(±: 1)
n
º º
na b a b 
Ejemplo. Hallar el residuo de 389685  97 
Solución 
Tenemos: 389 97  389 = 
º
97 +1 
 1 4 
Por lo tanto 389685 = 197197197
º
685
º
685
º






 
Rpta.: Residuo 1 
Restos potenciales. Se denominan restos potenciales de un cierto número entero respecto a un módulo, 
a los residuos obtenidos de las potencias sucesivas (enteras mayores ó iguales que cero) del número al ser 
divididos por dicho módulo. 
Ejemplos 
1. Hallar el resto de dividir 168293 entre 25 
Solución 
160 = 
º
25 + 1 
161 = 
º
25 + 16 
162 = 
º
25 + 6 
163 = 
º
25 + 21 
164 = 
º
25 + 11 
165 = 
º
25 + 1 
 

o o
516 = 25 + 1, luego: 
o o 0 0 0
8293 5+3 5 316 = 16 =16 ×16 = (25+1) (25+21) = 25+21
. 
Rpta. : 21 
 
 
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Principales criterios de divisibilidad en el sistema decimal 
Sea abcdef = f + e10 + d102 + c103 + b104 + a105; luego: 
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si termina en cero o cifra par. 
Veamos; abcdef = 10.abcde + f  abcdef = 
0
2 + f =
0
2 f = 
0
2 
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 
3. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si termina en cero o cifra 5. 
4. Divisibilidad por 2n ó 5n: Un número es divisible por 2n o 5n si sus últimas n cifras son ceros o forman 
un número que sea divisible por 2n ó 5n respectivamente 
5. Divisibilidad por 7: abcdefgh = 
º
7 + (h + 3g + 2f) – (e + 3d + 2c) + (b + 3a) =
º
7 
 
º
7 
   
º
2 13 1 2 3 1 3
abc de f gh 7
  
+ (+1h + 3g + 2f) – (+1e + 3d + 2c) + (+1b + 3a)……..= 
º
7 
6. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por nueve, si la suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 
7. Divisibilidad por 11: abcdef = 
º
11+ (f + d + b) – (e + c + a) = 
º
11 
 
º
11 
   
º
+- + - + -
abcdef 11 + (f + d + b) – (e + c + a) = 
º
11 
8. Divisibilidad por 13: abcdefgh = 
º
13 + h – (3g + 4f + e) + (3d + 4c + b) – 3a = 
º
13 
 
º
13 
  
º
-4 1-3 1 -4 -3 1 -3
abc de f gh 13
  
 +(+1h -3g – 4f) – (+1e – 3d – 4c) + (+1b -3a) = 
º
13 
 
 
 
 
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Criterio general de divisibilidad en base n 
Problema general. Determina la condición necesaria y suficiente para que un número dado sea divisible 
entre otro número entero menor, pero mayor que la unidad. 
Solución 
Sea el número (n)abcdef y el divisor k y descomponemos polinomicamente : 
(n)abcdef = f + en + dn2 + cn3 + bn4 + an5 
 = f + e
         
         
         
º º º º º
1 2 3 4 5k±r +d k±r +c k±r +b k±r +a k±r = 
º
k 
 = 
º
1 2 3 4 5k+ f ±er ±dr ±cr ±br ±ar = 
º
k  1 2 3 4 5+f ± er ± dr ±cr ±br ±ar = 
º
k 
 
º
k 
Ejemplo: Deduzca el criterio de divisibilidad por la cifra máxima de un sistema de numeración ( Criterio del 
n -1 en base n). 
Solución: 
Sea el número (n)abcdef y el divisor k=n-1, entonces: 
(n)abcdef = f + e n + d n2 + c n 3 + b n4 + a n5 
(n)abcdef = f + e(k+1) + d(k+1)2 + c(k+1)3 + b(k+1)4 + a(k+1)5 
 = f + e(
º
k +1) + d(
º
k +1) + c(
º
k +1) + b(
º
k +1) + a(
º
k +1) 
 = f +
º
k + e + d + c + b + a = 
º
k = 
O
(n-1) 
  (n)abcdef = 
º
k  f + e + d + c + b + a = 
O
(n-1) 
Conclusión: “Un número escrito en la base n es divisible por n -1, si la suma de sus cifras es múltiplo de 
(n -1) 
Ejercicio. Hallar el criterio de de divisibilidad de n+1 en la base n 
Ecuaciones diofanticas. Estudio de las ecuaciones lineales ax + by = c; donde a, b y c  Z 
Teorema: Dada la ecuación ax + by = c, con a, b, c  Z y donde d = mcd (a.b) 
Decimos que ax + by = c tiene soluciones enteras si y sólo si d|c. 
Ejemplo 
La ecuación 6x + 15y = 33 tiene solución en los enteros, ya que mcd (6,18) = 3 y 3|33. 
El problema a resolver ahora es: 
 
 
 
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¿Cuáles son las soluciones enteras? 
La respuesta se encuentra en la siguiente propiedad 
Propiedad: Sea a, b, c  Z y sea (xo, yo)  Z x Z una solución particular de la ecuación diofántica 
ax + by = c, donde MCD (a,b) = d 
Entonces todas las soluciones enteras de esta ecuación son de la forma 
 , donde n  Z 
 
 
 
 
 
0
b
x = x + n
d
 
 
 
0
a
y = y - n
d