RESUMEN RACIONALES PRE

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Construcción de los números Racionales 
 
Relación de equivalencia 
Dado el conjunto A≠∅ y 𝑅𝐴𝑥𝐴 una relación sobre A. Decimos que 𝑅 es una relación de equivalencia si 
cumple las siguientes propiedades: 
 
1) Reflexiva 
Si para todo 𝑥 ∈ 𝐴 se tiene (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅. 
2) Simétrica 
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 se tiene (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅. 
3) Transitiva 
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 y (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 se tiene (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅. 
 
Ejemplos: Para 𝐴 = {1,2,3}, definamos las relaciones: 
i. 𝑅1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} 
ii. 𝑅2 = {(1,1), (2,2), (3,3)} 
iii. 𝑅3 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)} 
 
Los ejemplos ii y iii son relaciones de equivalencia y i no es una relación de equivalencia sobre A. 
 
Clase de equivalencia 
Dada la relación de equivalencia 𝑅 sobre 𝐴, para cada 𝑥 ∈ 𝐴 definamos el conjunto 
[𝑥] = {𝑎 ∈ 𝐴: 𝑥𝑅𝑎} 
como la clase de equivalencia del elemento 𝑥. 
Nota: Este conjunto agrupa todos los elementos de 𝐴 que están relacionados con 𝑥. 
 
Ejemplos: De los ejemplos anteriores se tiene 
 
1. Para 𝑅2: 
[1] = {1}, [2] = {2} y [3] = {3} 
 
2. Para 𝑅3: 
[1] = {1,2} = [2] y [3] = {3} 
 
Conjunto cociente 
Dada la relación de equivalencia 𝑅 sobre 𝐴, definamos el conjunto cociente 
𝐴
𝑅
= {[𝑥]: 𝑥 ∈ 𝐴} 
 
Ejemplos: De los ejemplos anteriores se tiene 
 
1. Para 𝑅2: 
 
𝐴
𝑅2
= {[1], [2], [3]} 
 
 
 
 
 
2. Para 𝑅3: 
𝐴
𝑅3
= {[1], [3]} 
 
Notaciones: 
• En adelante escribiremos 𝑥𝑅𝑦 en vez de (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅. 
• Usaremos las letras 𝑅, , etc para denotar una relación. 
 
Ejemplos: 
 
1. Para 𝐴 = 𝑍, definamos la relación en 𝑍 dada por: 
 𝑥 𝑦 si y sólo si (𝑥 − 𝑦) es divisible por 3. 
2. Para 𝐴 = 𝑍∗ = 𝑍\{0}, definamos la relación en 𝑍 dada por: 
 𝑥 𝑦 si y sólo si 𝑥. 𝑦 > 0. 
3. Para 𝐴 = 𝑍, definamos la relación en 𝑍 dada por: 
 𝑥 𝑦 si y sólo si 𝑥. 𝑦 ≥ 0. 
 
Ejemplos: De los ejemplos anteriores se tiene 
 
3. [0] = [3] = [6] = ⋯ = {3𝑘: 𝑘 ∈ 𝑍} 
 [1] = [4] = [7] = ⋯ = {3𝑘 + 1: 𝑘 ∈ 𝑍} 
 [2] = [5] = [8] = ⋯ = {3𝑘 + 2: 𝑘 ∈ 𝑍} 
4. [1] = [2] = [3] = ⋯ = {𝑘: 𝑘 ∈ 𝑍} 
 [−1] = [−2] = [−3] = ⋯ = {−𝑘: 𝑘 ∈ 𝑍} 
 
Construcción de los Números Racionales 
 
Definamos la relación ~ sobre F = ℤ × ℤ∗ como: 
(𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) si y sólo si 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐 
 
La relación de equivalencia ~ permite contruir las clases de equivalencia: 
[
𝑎
𝑏
] = {
𝑐
𝑑
∈ 𝐹:
𝑎
𝑏
~
𝑐
𝑑
} 
Representante canónico 
Decimos que 
𝑝
𝑞
∈ [
𝑎
𝑏
]es el representante canónico de la clase de equivalencia [
𝑎
𝑏
] si 𝑝 y 𝑞 son PESI y 𝑞> 
0. 
Ejemplo: 
• [
6
−8
] = {
−3𝑘
4𝑘
: 𝑘 ∈ ℤ∗} posee como representante canónico a 
−3
4
. 
 
 
Números Racionales 
Definamos el conjunto de los números racionales como el conjunto cociente: 
Q ≔
𝐹
~
= {[
𝑎
𝑏
] :
𝑎
𝑏
∈ 𝐹} 
 
 
 
 
 
Operaciones sobre ℚ 
Adición 
[
𝑎
𝑏
] + [
𝑐
𝑑
] = [
𝑎. 𝑑 + 𝑏. 𝑐
𝑏. 𝑑
] 
Multiplicación 
[
𝑎
𝑏
] . [
𝑐
𝑑
] = [
𝑎. 𝑐
𝑏. 𝑑
]