FRACCIONES -PRE

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ARITMÉTICA
FRACCIONES
Aporte de los egipcios
En este problema, se hace una
referencia del número pi: “Un campo
circular tiene un diámetro de 9 khet
( 1 khet≈50 m). ¿Cuál es su área?”
Es un papiro egipcio escrito por el
sacerdote Ahmes, quien vivió
probablemente entre los años 2000 y
1700 a.c., mide unos 6 m de longitud por
32 cm de ancho; aquí se menciona la
costumbre egipcia de expresar toda
fracción como una suma de fracciones de
numerador uno. De esta forma, aparece la
fracción ¾ escrita como: ½ + ¼ .
PAPIRO RHIND
=
𝝅
𝟒
𝒅𝟐
En el papiro se 
calcula usando 
la fórmula: 
=
𝟔𝟒
𝟖𝟏
𝒅𝟐 =
𝟔𝟒
𝟖𝟏
(𝟗)𝟐= 𝟔𝟒
, 𝒅: diámetro
Área 𝝅 =
𝟐𝟓𝟔
𝟖𝟏
≈ 𝟑, 𝟏𝟔𝟎𝟒𝟗…
Área
=
𝟔𝟒
𝟖𝟏
𝒅𝟐
Orígenes de la coma decimal
El punto, como signo de
separación entre las unidades
enteras y decimales, aparece
por primera vez en la
“Aritmética” del italiano
Francesco Pellos (1492),
pero solamente para separar
cifras del dividendo, cuando el
divisor terminaba en cero.
En 1585, Simón Stevin
publicó un librito sobre la
escritura de los números
decimales, realizando
operaciones aritméticas
entre ellos, tratando de
evitar hacer cálculos con
fracciones.
En 1616, John Napier, un
gran aristócrata escocés,
introdujo en los países
latinos, la coma decimal
como elemento de
separación.
El número irracional 𝒆
Leonard Euler, en 1717, fue el primero
que utilizó este número, que tiene
diversas aplicaciones: aparece en
estudios demográficos, en procesos
biológicos y físicos, en crecimiento de
bacterias, en análisis de fósiles
prehistóricos, hasta en la investigación
de la escena de un crimen, etc.
Recordemos, que en interés continuo, para calcular
el monto, aparece dicho número irracional
itnt
n
CeM
n
i
CM =





+=
→
)1(lim
FRACCIONES
Del capítulo anterior, en forma práctica, al par ordenado 𝒂; 𝒃 se le representa por:
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
Sea una fracción, donde: 𝒂 es el numerador y 𝒃 es el denominador𝒇 =
INTERPRETACIÓN
Si dividimos el círculo en 8 partes iguales y tomamos una parte, 
decimos que se está considerando la octava parte
𝟏
𝟖
PARTE
TOTAL
Tenemos la octava parte de un total
1. Clases de fracciones
Sean: 𝒂; 𝒃 ∈ ℤ con 𝒃 ≠ 𝟎 , la fracción es:
𝒂
𝒃
1. Propia Si: 𝒂 < 𝒃
𝟑
−𝟒
;
𝟓
𝟐𝟏
. Ejemplo:
2. Impropia Si: 𝒂 > 𝒃 𝟖
𝟐
;
−𝟏𝟕
𝟗
. Ejemplo:
4. Irreductible o irreducible, cuando sus términos son primos entre sí. 
3. Unitaria Si: 𝒂 = 𝒃
−𝟔
𝟔
;
−𝟖
−𝟖
;
𝟏
𝟏
. Ejemplo:
5. Decimal cuando el denominador es una potencia de 10. 
𝟑
𝟐𝟓
;
−𝟕
𝟔
Ejemplo:
𝟑
𝟏
;
𝟕
𝟏𝟎
;
−𝟏𝟗
𝟏𝟎𝟎
Ejemplo:
6. Ordinaria o común, cuando no es decimal. 
𝟏𝟐
𝟔𝟎
;
−𝟐
𝟏𝟒
Ejemplo:
APLICACIÓN 1
Calcule la suma de los términos de una fracción mayor que 3/5 y menor que 7/8,
sabiendo que dichos términos son los mayores posibles y su diferencia es 10.
RESOLUCIÓN:
𝒂
𝒃
Sea 𝒇 = es una fracción propia, ya que:
𝟑
𝟓
<
𝒂
𝒃
<
𝟕
𝟖
𝒃 > 𝒂
Además: 𝒃 = 𝒂 + 𝟏𝟎
𝟑
𝟓
<
𝒂
𝒂+𝟏𝟎
<
𝟕
𝟖
(1)
(2)
De (1): 𝟏𝟓 < 𝒂 y de (2): 𝒂 < 𝟕𝟎
𝟏𝟓 < 𝒂 < 𝟕𝟎
Los mayores valores posibles son: 𝒂 = 𝟔𝟗 y 𝒃 = 𝟕𝟗
Suma de términos es 148
APLICACIÓN 2
¿Cuántas fracciones propias e irreductibles existen de denominador 35?.
(Ex-UNI)
RESOLUCIÓN:
𝒂
𝟑𝟓
Sea 𝒇 = una fracción propia, entonces: 𝒂 < 𝟑𝟓
𝒂 ∈ 𝟏; 𝟐; 𝟑;… ; 𝟑𝟒 𝟑𝟒 valores
Además, debe ser irreductible 𝒂 y 𝟑𝟓 deben ser PESI
𝒂 ≠ 𝟓 y 𝒂 ≠ 𝟕 𝒂 ∉ 𝟓; 𝟕; 𝟏𝟎; 𝟏𝟒; 𝟏𝟓; 𝟐𝟎; 𝟐𝟏; 𝟐𝟓; 𝟐𝟖; 𝟑𝟎
quiere decir que 𝒂 no toma 𝟏𝟎 valores
N° de valores de 𝒂 = 𝟑𝟒 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝟒
∴ existen 24 fracciones propias e irreductibles
° °
APLICACIÓN 3
Tres equipos de obreros de obreros podrían hacer el mismo trabajo: el primero en 8 días, el
segundo en 10 días y el tercero en 12 días. Se toma la mitad del primer equipo, la tercera
parte del segundo equipo y los 3/4 del tercer equipo. ¿En cuántos días quedarán terminadas
las 19/30 partes del trabajo?
RESOLUCIÓN:
𝟏
𝟏𝟐
En un día cada equipo
podría hacer de la obra:
= 𝟒
1º equipo:
=
𝟏𝟗
𝟏𝟐𝟎
Juntos en un día hacen:Tomando las partes
indicadas de cada equipo,
lo que hacen en cada día:
𝟏𝟗
𝟑𝟎
2º equipo:
3º equipo:
𝟏
𝟏𝟎
𝟏
𝟖
1
2
(1º equipo):
1
3
(2º equipo):
3
4
(3º equipo):
𝟏
𝟐
𝟏
𝟖
=
𝟏
𝟏𝟔
=
𝟏
𝟑𝟎
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏𝟎
𝟑
𝟒
𝟏
𝟏𝟐
=
𝟏
𝟏𝟔
=
𝟏
𝟏𝟔
+
𝟏
𝟑𝟎
+
𝟏
𝟏𝟔
Luego, para hacer : 
Por lo tanto, requieren 
de 4 días 
𝟏𝟗
𝟑𝟎
÷
𝟏𝟗
𝟏𝟐𝟎
Un grupo de fracciones son: 
Cuando no son homogéneas.
a) Fracciones Homogéneas
b) Fracciones Heterogéneas
Cuando los valores absolutos de sus denominadores son iguales.
−𝟐
𝟒
;
𝟏𝟏
−𝟒
;
𝟑
𝟒
Ejemplo:
−𝟑
𝟓
;
𝟖
𝟏𝟎
;
𝟐
−𝟓
Ejemplo:
entonces se dirá que
es un divisor de
tal que
es un múltiplo de
Sean: y
y
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
y 𝒌 ∈ ℤ 𝒌
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
PROPIEDADES
∈ ℚ
Ejemplo: 𝟐
𝟓
𝟔
=
𝟓
𝟑
entonces: es un divisor de es un múltiplo dey
𝟓
𝟔
𝟓
𝟑
𝟓
𝟔
𝟓
𝟑
Ejemplo: Calcule el MCD y MCM de las siguientes fracciones:
RESOLUCIÓN:
Para aplicar la fórmula, se requiere fracciones irreductibles:
Sean: fracciones irreductibles, entonces:
y
𝒂
𝒑
, 
𝒃
𝒒
, … , 
𝒄
𝒓
𝑴𝑪𝑫
𝒂
𝒑
,
𝒃
𝒒
,… ,
𝒄
𝒓
=
𝑴𝑪𝑫 𝒂,𝒃,… , 𝒄
𝑴𝑪𝑴 𝒑, 𝒒, … , 𝒓
𝑴𝑪𝑴
𝒂
𝒑
,
𝒃
𝒒
, … ,
𝒄
𝒓
=
𝑴𝑪𝑴 𝒂, 𝒃,… , 𝒄
𝑴𝑪𝑫 𝒑,𝒒,… , 𝒓
𝟏𝟔
𝟏𝟎
, 
𝟏𝟐
𝟕
, 
𝟏𝟓
𝟓𝟎
𝑴𝑪𝑫
𝟖
𝟓
,
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟑
𝟏𝟎
=
𝑴𝑪𝑫 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟑
𝑴𝑪𝑴 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟎
𝑴𝑪𝑫
𝟏𝟔
𝟏𝟎
,
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟏𝟓
𝟓𝟎
= =
𝟏
𝟑𝟓𝟎
𝑴𝑪𝑴
𝟖
𝟓
,
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟑
𝟏𝟎
=
𝑴𝑪𝑴 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟑
𝑴𝑪𝑫 𝟓,𝟕, 𝟏𝟎
𝑴𝑪𝑴
𝟏𝟔
𝟏𝟎
,
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟏𝟓
𝟓𝟎
= =
𝟐𝟒
𝟏
Sean: fracciones irreductibles, tales que:
𝒂
𝒃
y 
𝒄
𝒅
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
es un número entero, entonces: 𝒃 = 𝒅 ó 𝒃 = −𝒅
DEMOSTRACIÓN:
Sea: 𝒌 ∈ ℤ , tal que:
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
= 𝒌
𝒂𝒅 + 𝒃𝒄
𝒃𝒅
= 𝒌 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 = 𝒃𝒅𝒌⋯(∗)
De (∗) tenemos:
𝒂𝒅 = 𝒃(𝒅𝒌 − 𝒄) 𝒂𝒅 = 𝒃°
Por el principio de Arquímides: 
𝒂 y 𝒃 son PESI 𝒅 = 𝒃
°
Además, de (∗) tenemos:
𝒃𝒄 = 𝒅(𝒃𝒌 − 𝒂) 𝒃𝒄 = 𝒅°
Por el principio de Arquímides: 
𝒄 y 𝒅 son PESI 𝒃 = 𝒅
°
Es decir: ∃𝒎 ∈ ℤ , tal que:
∃ 𝒏 ∈ ℤ , tal que:
𝒅 = 𝒃𝒎
𝒃 = 𝒅𝒏
Reemplazando (1) en (2):
𝒃 = 𝒃𝒎 𝒏 𝒎𝒏 = 𝟏
𝒎 = 𝒏 = 𝟏 𝒎 = 𝒏 = −𝟏
⋯(1)
⋯(2)Es decir:
Se tiene: ∨
Reemplazando 
en (2):
𝒃 = 𝒅 ∨ 𝒃 = −𝒅
APLICACIÓN 4
Sean:
𝒂
𝒃
y
𝒄
𝒅
dos fracciones irreductibles, además 𝒅 es el menor número que tiene 8
divisores enteros. Calcule la menor diferencia entre 𝒂 y 𝒄 , si la suma de dichas
fracciones irreductibles es 5.
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
RESOLUCIÓN:
Se observa que el menor número que tiene 8 divisores es 𝒅 = −𝟔
Como: = 𝟓 𝒃 = 𝟔 ó 𝒃 = −𝟔
Si: 𝒃 = 𝟔
𝒂
𝟔
+
𝒄
−𝟔
= 𝟓 𝒂 − 𝒄 = 𝟑𝟎
Si: 𝒃 = −𝟔
𝒂
−𝟔
+
𝒄
−𝟔
= 𝟓 𝒂 + 𝒄 = −𝟑𝟎
−𝟏𝟕 −𝟏𝟑
𝒂 y 𝒄 no deben contener a
los factores primos 𝟐 y 𝟑
Menor diferencia es −𝟒
REPRESENTACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL
Se obtiene cuando se dividen los términos de un número racional
𝒂
𝒃
en base 10, si se
dividen en otra base, nos dará la representación correspondiente en dicha base.
Ejemplos:
29
8
2
7
23
10
= 3,625
= 0,1414…(6) =
= 2,1222…(5) =
𝟎, ෢𝟏𝟒(𝟔)
𝟐, 𝟏෡𝟐(𝟓)
Decimal exacto
Número inexacto periódico mixto en base 5
Número inexacto periódico puro en base 6
REPRESENTACIÓN LINEAL
Al expresar una fracción irreductible en una base 𝒏 , ésta tendrá la forma:
𝒂
𝒃
𝒇 = = 𝒄𝒅…𝒆, 𝒙𝒚…𝒛 (𝒏)
parte parte
entera no entera
FORMA LINEAL
ORDEN DE LAS CIFRAS EN LOS NÚMEROS QUE 
TIENE PARTE MENOR QUE LA UNIDAD: 
9254,37
2 1 1 2 3
ORDEN SUBORDEN
Consiste en expresar un número racional, en función a potencias de su base,
teniendo en cuenta el orden que ocupa cada una de sus cifras.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
𝟑𝟒, 𝟔𝟓𝟐 = 𝟑 × 𝟏𝟎𝟏 + 𝟒 +
𝟔
𝟏𝟎𝟏
+
𝟓
𝟏𝟎𝟐
+
𝟐
𝟏𝟎𝟑
𝟎, 𝟑𝟑𝟑… 8 =
𝟑
𝟖𝟏
+
𝟑𝟖
+
𝟑
𝟖𝟑
+⋯
𝟐
𝟕𝟏
+
𝟏
𝟕𝟐
+
𝟓
𝟕𝟑
+⋯𝟒, 𝟐෢𝟏𝟓7 = 𝟒 +
Cantidad finita de cifras decimales
Cantidad infinita de cifras en la parte no entera
Ejemplos:
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES
1. Número decimal exacto
Es aquel originado por una fracción irreductible cuyo denominador puede estar formado sólo
por factores 2 y/ó 5. La cantidad de cifras en su parte decimal es finita.
El mayor exponente de los factores 2 y/ó 5 indica la cantidad de cifras decimales no
periódicas que tendrá la fracción decimal.
Ejemplos:
𝟑
𝟐𝟓
=
𝟑
𝟓𝟐
𝟕
𝟏𝟔
=
𝟕
𝟐𝟒
𝟑𝟏𝟗
𝟓𝟎𝟎
=
𝟑𝟏𝟗
𝟓𝟑 × 𝟐𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟖
NOTA:
Ejemplo:
𝟖𝟕
𝟓𝟑𝟎𝟎 × 𝟐𝟓𝟎𝟎
tiene 500 cifras decimales no periódicas
2. Número decimal inexacto
Es aquel número originado por una fracción irreductible ordinaria, cuyo denominador no tiene
ningún factor 2 ni 5.
Se denomina decimal inexacto periódico puro, por que al dividir el numerador entre el
denominador, no se encuentra un cociente exacto y las cifras del cociente se repiten en
forma ilimitada formando periodos.
Ejemplos:
𝟒
𝟏𝟏
=
𝟑
𝟕
=
𝟖
𝟑𝟕
=𝟎, 𝟑𝟔𝟑𝟔𝟑𝟔… 𝟎, 𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏 𝟎, 𝟐𝟏𝟔
GENERATRIZ
En otro sistema, de base n:
a) Decimal periódico puro
Puede ser:
= 𝟎, 𝟑𝟔
𝒂𝒃𝒄
𝟗𝟗𝟗
𝟎, 𝒂𝒃𝒄 =
𝟎, 𝒂𝒃𝒄(𝒏) =
𝒂𝒃𝒄(𝒏)
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏)
Es aquel número originado por una fracción irreductible, cuyo denominador tiene como
factor 2 y/ó 5 y además otros factores diferentes a los anteriores.
Ejemplos:
b) Decimal periódico mixto
𝟓
𝟐𝟒
=
𝟓
𝟐𝟑 × 𝟑
Ejemplo:
= 𝟎, 𝟐𝟎𝟖෡𝟑
𝟏𝟑
𝟓𝟓
=
𝟏𝟑
𝟓 × 𝟏𝟏
= 𝟎, 𝟐𝟑𝟔 𝟐
𝟏𝟕𝟓
=
𝟐
𝟓𝟐 × 𝟕
= 𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕
GENERATRIZ 𝟎, 𝒂𝒃𝒄 =
𝑎𝑏𝑐 − 𝑎
990
Se debe tener una fracción equivalente con tantos ceros como cifras no periódicas tenga
y tantos nueves como cifras periódicas tenga.
En otro sistema de base m:
𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝒎) =
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝒎) − 𝒂𝒃(𝒎)
𝒎− 𝟏 𝒎− 𝟏 𝒎− 𝟏 𝟎𝟎(𝒎)
0,41357 =
41357 − 413
99000
=
40944
99000
Determinación a priori de la cantidad de cifras de la parte decimal periódica y no 
periódica de una fracción
Sea la fracción irreductible 𝒇 =
𝒑
𝟐𝒂. 𝟓𝒃. 𝑲
donde 𝑲 es un número entero positivo que no es
múltiplo de 2 ni de 5, entonces con respecto a la representación decimal de 𝒇, se tiene:
Como un número decimal
inexacto es originado por
una fracción que en su
forma equivalente tiene a un
número formado por cifras
nueve, es importante tener
en cuenta para el análisis la
siguiente descomposición:
NOTA: TABLA DE LOS NUEVES
Cantidad de cifras de la parte no periódica es igual al mayor de los exponentes 𝒂 o 𝒃
Cantidad de cifras de la parte periódica es igual a la cantidad de cifras del menor número compuesto 
de cifras 9 que contiene a 𝑲 como factor.
𝟗 = 𝟑𝟐
𝟗𝟗 = 𝟑𝟐  𝟏𝟏
𝟗𝟗𝟗 = 𝟑𝟑  𝟑𝟕
𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟑𝟐  𝟏𝟏  𝟏𝟎𝟏
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟑𝟐  𝟒𝟏  𝟐𝟕𝟏
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟑𝟑  𝟕  𝟏𝟏  𝟏𝟑  𝟑𝟕
Teniendo en cuenta la tabla de la descomposición canónica de los números
formados por cifras 9 se concluye lo siguiente:
Los divisores de:
𝟗 ∶ 𝟏 ; 𝟑 ; 𝟗
𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑 ; 𝟗 ; 𝟏𝟏; 𝟑𝟑 ; 𝟗𝟗
𝟗𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑 ; 𝟗 ; 𝟐𝟕; 𝟑𝟕 ; 𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑 ; 𝟗𝟗𝟗
𝟗𝟗𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑 ; 𝟗 ; 𝟏𝟏 ; 𝟑𝟑 ; 𝟗𝟗 ; 𝟏𝟎𝟏 ; 𝟑𝟎𝟑 ; 𝟗𝟎𝟗 ; 𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑; 𝟗; 𝟒𝟏; 𝟏𝟐𝟑; 𝟑𝟔𝟗; 𝟐𝟕𝟏; 𝟖𝟏𝟑; 𝟐𝟒𝟑𝟗; 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∶ 𝟏; 𝟑; 𝟕; 𝟗 ; … ; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑 ; … ; 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
Cantidad de cifras 
periódicas
𝐾
𝟏 𝟑; 𝟗
𝟐 𝟏𝟏; 𝟑𝟑; 𝟗𝟗
𝟑 𝟐𝟕; 𝟑𝟕; 𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗
𝟒 𝟏𝟎𝟏; 𝟑𝟎𝟑; 𝟗𝟎𝟗; 𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟓 𝟒𝟏; 𝟏𝟐𝟑; 𝟐𝟕𝟏; 𝟑𝟔𝟗; 𝟖𝟏𝟑; 𝟐𝟒𝟑𝟗; 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟔 𝟕 ; 𝟏𝟑; 𝟏𝟏; 𝟑𝟕; … ; 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗

Ejemplos:
𝟐𝟏
𝟏𝟐𝟓
=
𝟐𝟏
𝟓𝟑
=𝟎, 𝟏𝟔𝟖
3 cifras no periódicas
𝟑𝟗
𝟖𝟎
=
𝟑𝟗
𝟐𝟒. 𝟓𝟏
= 𝟎, 𝟒𝟖𝟕𝟓
4 cifras no periódicas
𝟕𝟐
𝟑𝟕
=
𝒏𝟑
𝟏𝟎𝟐𝟓
=
𝟎, 𝟗𝟒𝟓 Está contenido en 999,
entonces hay 3 cifras
en la parte periódica
𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟏
= 𝟎, 𝟏𝟏𝟖𝟖 Está contenido en 9999,
entonces hay 5 cifras en
la parte periódica
𝟕
𝟖𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟗𝟓𝟒
Hay 3 cifras en la parte
no periódica, y 11 está
contenido en 99,
entonces hay 2 cifras
en la parte periódica
𝟕
𝟐𝟑. 𝟏𝟏
=
𝒏𝟑
𝟓𝟐. 𝟒𝟏
=
Hay 2 cifras en la parte
no periódica, y 41 está
contenido en 99999,
entonces hay 5 cifras
en la parte periódica
𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇𝒈
En el caso de otras bases, por ejemplo en la 
base 𝟔, se tiene:
OBSERVACIÓN:
Cantidad de cifras de la parte no periódica 
es igual al mayor de los exponentes 𝒂 o 𝒃
Cantidad de cifras de la parte periódica
es igual a la cantidad de cifras del menor
número compuesto de cifras 5 que
contiene a 𝑲 como factor.
Sea la fracción irreductible 𝒇 =
𝒑
𝟐𝒂 . 𝟑𝒃 . 𝑲
donde: 𝒌 ∈ ℤ+, 𝒌 ≠ 𝟐 , 𝒌 ≠ 𝟓
TABLA DE LOS CINCOS
𝟓𝟔 = 𝟓
𝟓𝟓𝟔 = 𝟓  𝟕
𝟓𝟓𝟓𝟔 = 𝟓  𝟒𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔 = 𝟓  𝟕  𝟑𝟕
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔 = 𝟓
𝟐  𝟑𝟏𝟏
EJEMPLOS:
𝟏𝟏
𝟓𝟔
=
𝟕
𝟏𝟏𝟏
=
𝟏𝟏
𝟐𝟑 . 𝟕
=
𝟏𝟏
𝟑 . 𝟑𝟕
=
𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝟔)
𝟎, ഥ𝒎𝒏𝒑𝒒𝒓(𝟔)
APLICACIÓN 5
¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador de 2 cifras existen, tales
que en base 6, originen un periódico puro de tres cifras, cuya tercera cifra sea 2?
Resolución
𝑵
𝑫
= 𝟎, 𝒂𝒃𝟐(𝟔)
El menor número formado por cifras máximas en base 𝟔 que contiene a 𝑫 es:
𝟓𝟓𝟓(𝟔) = 𝟓 × 𝟒𝟑 . Como 𝑫 tiene 2 cifras 𝑫 = 𝟒𝟑
Reemplazando y operando, se tiene:
𝑵
𝟒𝟑
=
𝒂𝒃𝟐(𝟔)
𝟓𝟓𝟓(𝟔)
𝟓𝑵 = 𝒂𝒃𝟐(𝟔) = 𝟔 + 𝟐
𝑵 = 𝟔 + 𝟒 y 𝑵 < 𝟒𝟑 𝑵 ∈ 𝟒;𝟏𝟎; 𝟏𝟔; 𝟐𝟐; 𝟐𝟖; 𝟑𝟒; 𝟒𝟎
Luego, existen 𝟕 fracciones
Sea la fracción propia e irreductible:
°
°
FRACCIÓN GENERATRIZ
𝒂𝒃𝒄…𝒙
𝟏𝟎𝟎…𝟎
𝟎, 𝒂𝒃𝒄…𝒙 =
𝒂𝒃𝒄…𝒙
𝟗𝟗𝟗…𝟗
𝟎, 𝒂𝒃𝒄…𝒙 =
𝟎, 𝒂𝒃…𝒄𝒚…𝒙 =
𝒂𝒃…𝒙 − 𝒂𝒃…𝒄
𝟗𝟗…𝟗𝟎…𝟎
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras “𝒑” cifras
“𝒑” cifras “𝒌” cifras
BASE 10
DECIMAL 
EXACTO
DECIMAL INEXACTO 
PERIÓDICO PURO
DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO MIXTO
EN OTRA BASE 
𝒂𝒃…𝒙(𝒏)
𝟏𝟎𝟎…𝟎(𝒏)
𝒂𝒃…𝒙(𝒏)
𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟏 …(𝒏 − 𝟏)(𝒏)
𝟎, 𝒂𝒃𝒄…𝒙(𝒏) =
𝟎, 𝒂𝒃…𝒄 𝒚…𝒙(𝒏) =
𝒂𝒃…𝒙(𝒏) − 𝒂𝒃…𝒄(𝒏)
𝒏 − 𝟏 … 𝒏− 𝟏 𝟎𝟎…𝟎(𝒏)
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras “𝒌” cifras
“𝒌” cifras
“𝒌” cifras “𝒑” cifras “𝒑” cifras “𝒌” cifras
𝟎, 𝒂𝒃…𝒙 𝒏 =
APLICACIÓN 6
RESOLUCIÓN:
¿Cuántas fracciones propias e irreductibles, generan un decimal con tres cifras no
periódicas y 2 cifras en el periodo; si el denominador es de 2cifras?
Sea:
𝑵
𝒂𝒃
𝒇 = = 𝟎,𝒎𝒏𝒑 𝒒𝒓
3 cifras no periódicas
Se observa:
𝒂𝒃 contiene un factor 𝟐𝟑 y/o 𝟓𝟑
2 cifras periódicas Un factor de 𝒂𝒃 está contenido en 𝟗𝟗
Luego:
𝒂𝒃 =
𝟐𝟑 × 𝟏𝟏
𝟓𝟑 × 𝟏𝟏
𝒂𝒃 = 𝟖𝟖
𝑵
𝟖𝟖
𝒇 =
propia (𝑵 < 𝟖𝟖)
irreductible (𝑵 y 𝟖𝟖 son PESI)
Cantidad de valores de 𝑵 = 𝝋 𝟖𝟖 = 𝝋(𝟐𝟑 × 𝟏𝟏) = 𝟐𝟐 × (𝟐 − 𝟏) × 𝟏𝟏𝟎 × (𝟏𝟏 − 𝟏) = 𝟒𝟎
Sean: 𝑨 ; 𝑩 ;… ; 𝑪 enteros positivos PESI 2 a 2, donde ninguno es múltiplo de 2 ni de 5.
Si dichos números generan 𝒂 ; 𝒃 ;… ; 𝒄 , cifras periódicas, entonces el producto de
ellos ( 𝑨 × 𝑩 ×⋯× 𝑪 ) genera 𝒎 cifras periódicas, donde 𝒎 es el mínimo común
múltiplo de 𝒂 ; 𝒃 ;… ; 𝒄
PROPIEDAD
𝟏𝟎𝟏 y 𝟕 generan 𝟒 y 𝟔 cifras
periódicas respectivamente y como el
mínimo común múltiplo de 𝟒 y 𝟔 es 𝟏𝟐
𝟕𝟎𝟕 genera 𝟏𝟐 cifras periódicas 
EJEMPLO
𝟖
𝟕𝟎𝟕
=
𝟖
𝟏𝟎𝟏 × 𝟕
= 𝟎, 𝒙𝒚…𝒛
𝟒𝟎
𝟒𝟓𝟏
=
𝟒𝟎
𝟒𝟏 × 𝟏𝟏
= 𝟎, 𝒆𝒇…𝒕
𝟒𝟏 y 𝟏𝟏 generan 𝟓 y 𝟐 cifras
periódicas respectivamente y como el
mínimo común múltiplo de 𝟓 y 𝟐 es 𝟏𝟎
𝟒𝟓𝟏 genera 𝟏𝟎 cifras periódicas 
𝟏𝟐 cifras 𝟏𝟎 cifras
PROPIEDAD
EJEMPLO
Sean 𝒑 y 𝒒 dos números enteros positivos PESI, tal que 𝒒 no es múltiplo de 𝟐 ni de 𝟓,
entonces la cantidad de cifras periódicas que genera
𝒑
𝒒
es un divisor del indicador de
Euler de 𝒒
𝟏𝟐
𝟏𝟕
=
Como 17 noes múltiplo de 2 ni de 5, entonces 
la cantidad de cifras periódicas es:
𝝋 𝟏𝟕 = 𝟏𝟕 − 𝟏 = 𝟏𝟔
𝟎, 𝒙𝒚…𝒛
𝟏𝟔 cifras
𝟗
𝟐𝟑
=
Como 23 no es múltiplo de 2 ni de 5, entonces 
la cantidad de cifras periódicas es:
𝝋 𝟐𝟑 = 𝟐𝟑 − 𝟏 = 𝟐𝟐
𝟎, 𝒂𝒃…𝒄
𝟐𝟐 cifras
DENSIDAD DE LOS RACIONALES Y LAS FRACCIONES
EL CONJUNTO ℚ ES DENSO EN LOS REALES
Entre dos números racionales diferentes siempre existe otro racional. 
EJEMPLOS
a) Determinar un racional entre los números 
𝟓
𝟖
y 
𝟕
𝟗
𝟓 + 𝟕
𝟖 + 𝟗
=
𝟏𝟐
𝟏𝟕
La fracción 
𝟏𝟐
𝟏𝟕
se ubica entre racionales 
𝟓
𝟖
y 
𝟕
𝟗
𝟓
𝟖
𝟕
𝟗
𝟏𝟐
𝟏𝟕
b) Insertar dos números racionales entre −1
𝟐
𝟕
y 2
𝟑
𝟓
−𝟏
𝟐
𝟕
= −
𝟗
𝟕
𝟐
𝟑
𝟓
=
𝟏𝟑
𝟓
Primero insertamos:
−𝟗 + 𝟏𝟑
𝟕 + 𝟓
=
𝟒
𝟏𝟐
=
𝟏
𝟑
Luego podemos
insertar:
−𝟗 + 𝟏
𝟕 + 𝟑
= −
𝟖
𝟏𝟎
−
𝟗
𝟕
𝟏𝟑
𝟓
𝟏
𝟑
−𝟏
𝟐
𝟕
𝟐
𝟑
𝟓
−
𝟖
𝟏𝟎
𝟎
PROPIEDAD DE LA DENSIDAD
El conjunto ℚ es denso porque entre dos números racionales diferentes siempre existe otro
racional. Dados dos números racionales distintos, 𝜶 y 𝜷 , siempre existe otro número
racional 𝜸 , tal que: 𝜶 < 𝜸 < 𝜷
Para ello, si 𝜶 =
𝒂
𝒃
y 𝜷 =
𝒄
𝒅
, con 𝒃 y 𝒅 positivos; se puede considerar: 𝜸 =
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
Luego, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos, es 
claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos.
Por ejemplo, entre 𝟑/𝟓 y 𝟐/𝟑 se encuentra 𝟓/𝟖. 
Ahora entre 𝟑/𝟓 y 𝟓/𝟖 se encuentra 𝟖/𝟏𝟑, entre 𝟑/𝟓 y 𝟖/𝟏𝟑 se encuentra 𝟏𝟏/𝟏𝟖, 
etc., tenemos así 𝟑/𝟓 < ⋯ < 𝟏𝟏/𝟏𝟖 < 𝟖/𝟏𝟑 < 𝟓/𝟖 < 𝟐/𝟑.
por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso.
La propiedad de la Densidad de los racionales en los reales implica que para todo número
real existe una sucesión de números racionales que converge a dicho número racional.
Esto quiere decir que para todo número real 𝒓 ya sea racional ó irracional siempre existe
una sucesión de números racionales 𝒂𝒏 que converge a dicho número real. Esto es,
siempre se puede encontrar un 𝒂𝒏 tan cerca de 𝒓 como se quiera.
Se define la siguiente sucesión de números racionales 𝒂𝟎 ; 𝒂𝟏 ; 𝒂𝟐 ; . . . en forma recursiva.
EJEMPLO
𝒂𝟎 = 𝟏 , 𝒂𝒏+𝟏 =
𝒂𝒏
𝟐
+
𝟏
𝒂𝒏
, para 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑;…donde:
𝒂𝟏 =
𝒂𝟎
𝟐
+
𝟏
𝒂𝟎
𝒂𝟐 =
𝒂𝟏
𝟐
+
𝟏
𝒂𝟏
𝒂𝟑 =
𝒂𝟐
𝟐
+
𝟏
𝒂𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟏
=
𝟑
𝟐
= 𝟏, 𝟓
=
𝟏, 𝟓
𝟐
+
𝟏
𝟏, 𝟓
=
𝟏𝟕
𝟏𝟐
= 𝟏, 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔…
=
𝟏𝟕/𝟏𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟏𝟕/𝟏𝟐
=
𝟓𝟕𝟕
𝟒𝟎𝟖
= 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟓𝟔…
Se observa que esta sucesión 
converge a 𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓𝟔…
Luego:
APLICACIÓN 8
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones
I) La suma de dos irracionales es otro irracional
II) El producto de dos irracionales es otro irracional
III) ∀𝒂; 𝒃 ∈ ℚ+, 𝒂𝒃 es siempre racional
IV) La suma de dos números reales no racionales (irracional) puede ser racional
V) El producto de un número racional y un número irracional puede ser racional.
Resolución
I) 3 + − 3 = 0 ∉ Ι Ι: conjunto de los números irracionales, donde
II) 5 × 5 = 5 ∉ Ι
III) 21/2 ∉ℚ
IV) 7 + 1 − 7 = 1 ∈ ℚ
V) 0 × 5 = 0 ∈ ℚ
𝑭
𝑽
𝑽
𝑭
𝑭
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Determinar una fracción equivalente a
𝟒𝟖𝟑
𝟕𝟏𝟑
tal que la suma de sus términos sea múltiplo
de 91 y que la diferencia de los mismos esté comprendida entre 250 y 350.
𝟒𝟖𝟑 = 𝟑 × 𝟐𝟑 × 𝟕
Problema 01
Resolución
𝟕𝟏𝟑 = 𝟑𝟏 × 𝟐𝟑Se tiene:
𝒇 =
𝟐𝟏𝒌
𝟑𝟏𝒌
La fracción equivalente es: 𝟓𝟐𝒌 = 𝟗𝟏
°
𝟒𝒌 × 𝟏𝟑 = 𝟕 × 𝟏𝟑𝒒
𝒌 = 𝟕𝒏 𝟐𝟓𝟎 < 𝟏𝟎𝒌 < 𝟑𝟓𝟎
𝟐𝟓𝟎 < 𝟕𝟎𝒏 < 𝟑𝟓𝟎 𝟐𝟓 < 𝟕𝒏 < 𝟑𝟓 𝒏 = 𝟒 y 𝒌 = 𝟐𝟖
Reemplazando: 𝒇 =
𝟐𝟏(𝟐𝟖)
𝟑𝟏(𝟐𝟖)
=
𝟓𝟖𝟖
𝟔𝟖𝟖
⋀
Por el principio de Arquímedes: . Además:
¿Cuál es el menor número racional mayor que
𝟓
𝟏𝟐
tal que al sumar 𝒏 veces el
denominador al numerador y 𝒏 veces el numerador al denominador se obtiene 𝟐?
Problema 02
Resolución
Se tiene:
𝒂
𝒃
>
𝟓
𝟏𝟐
𝒂 + 𝒏𝒃
𝒃 + 𝒏𝒂
= 𝟐⋀ 𝒂 + 𝒏𝒃 = 𝟐𝒃 + 𝟐𝒏𝒂
𝒏 − 𝟐
𝟐𝒏 − 𝟏
=
𝒂
𝒃
Luego: 
𝒏 − 𝟐
𝟐𝒏 − 𝟏
>
𝟓
𝟏𝟐
𝟐𝒏 > 𝟏𝟗 𝒏 = 𝟏𝟎 (mínimo valor)
Reemplazando:
𝒂
𝒃
=
𝟖
𝟏𝟗
Problema 03
Resolución
¿Cuántas fracciones, menores que 𝟐, de la forma
𝒎+ 𝟐𝟔
𝟏𝟐𝟓
son irreductibles?.
Sabiendo que: 𝒎 ∈ ℕ
Se tiene: 
𝒎 + 𝟐𝟔
𝟏𝟐𝟓
< 𝟐 𝒎 < 𝟐𝟐𝟒 𝟏 ≤ 𝒎⋀
Para que la fracción sea irreductible, 𝒎+ 𝟐𝟔 ≠ 𝟓 𝒎 ≠ 𝟓 − 𝟏
𝟏 ≤ 𝒎 < 𝟐𝟐𝟒
Hay 𝟐𝟐𝟑 valores para 𝒎
Se tienen que quitar 𝟒𝟒 valores de 𝒎
Debemos quitar la cantidad de valores de 𝒎, tal que: 𝒎 = 𝟓 − 𝟏
Luego: 𝟏 ≤ 𝒎 < 𝟐𝟐𝟒 𝟏 ≤ 𝟓𝒌 − 𝟏 < 𝟐𝟐𝟒 𝒌 ∈ 𝟏; 𝟐; 𝟑;… ; 𝟒𝟒
Cantidad de fracciones = 𝟐𝟐𝟑 − 𝟒𝟒 = 𝟏𝟕𝟗
° °
°
¿Cuántas fracciones propias de la forma
𝒂𝒃𝒄
𝒄𝒃𝒂
existen tales que al simplificarse toman la
forma irreductible
𝒂𝒄
𝒄𝒂
?
Problema 04
Resolución
𝒂𝒃𝒄
𝒄𝒃𝒂
=
𝒂𝒄
𝒄𝒂
𝒂𝒃𝒄 = 𝒌 (𝒂𝒄) … (I)
𝒄𝒃𝒂 = 𝒌 (𝒄𝒂) … (II)
𝒂𝒃𝒄 − 𝒄𝒃𝒂 = 𝒌 (𝒂𝒄 − 𝒄𝒂)
𝟗𝟗 𝒂 − 𝒄 = 𝟗𝒌 𝒂 − 𝒄 𝒌 = 𝟏𝟏
Reemplazando en (I):
𝟏𝟎𝟎𝒂 + 𝟏𝟎𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟏𝟎𝒂 + 𝟏𝟏𝒄
𝒃 = 𝒂 + 𝒄, donde: 𝒂 < 𝒄 𝒃 ≠ 𝟑⋀
°
𝟒 𝟏 𝟑
entonces:
𝟓 𝟏 𝟒
𝟓 𝟐 𝟑
𝟕 𝟏 𝟔
𝟕 𝟐 𝟓
𝟕 𝟑 𝟒
𝟖 𝟏 𝟕
𝟖 𝟑 𝟓
(I) - (II):
Existen 𝟖 fracciones propias
𝟖 ternas de valores
Raúl va a jugar cartas con 700 dólares y cuando va perdiendo los
𝟑
𝟒
de lo que no pierde,
apuesta los
𝟐
𝟓
de lo que le quedaba, triplicando de esta manera su apuesta; y luego se
retira del juego. ¿Cuánto gana o pierde?.
Problema 07
Resolución
Para el primer juego tiene 𝟕𝟎𝟎 PIERDE
NO PIERDE
=
𝟑
𝟒
𝐏𝐈𝐄𝐑𝐃𝐄 = 𝟑𝒌 𝐍𝐎 𝐏𝐈𝐄𝐑𝐃𝐄 = 𝟒𝒌 𝟕𝒌 = 𝟕𝟎𝟎 𝒌 = 𝟏𝟎𝟎
en el segundo juego tiene 𝟒𝟎𝟎 , apuesta
𝟐
𝟓
𝟒𝟎𝟎 = 𝟏𝟔𝟎
gana el doble: 𝟑𝟐𝟎 . Finalmente tiene: 𝟒𝟎𝟎 + 𝟑𝟐𝟎 = 𝟕𝟐𝟎
Por lo tanto, gana 𝟐𝟎 dólares
. Además:
Dos caños alimentan un estanque, el primero puede llenarlo en 40 horas, y el
segundo en 30 horas, se deja abierto el primero por 20 horas, se cierra y se abre el
segundo sólo por 15 horas. Enseguida se retiran 700 litros y luego se abren dos
llaves simultáneamente, verificando que el estanque se llene en cuatro horas. La
capacidad del estanque en litros es:
Problema 08
Resolución
𝐴 𝐵
𝑨 llena en 𝟒𝟎 horas
𝑩 llena en 𝟑𝟎 horas
Sea 𝑽 capacidad del estanque
𝑨 llena en 1 hora: 
𝟏
𝟒𝟎
𝑽
𝑩 llena en 1 hora: 
𝟏
𝟑𝟎
𝑽
En 𝟐𝟎 horas 𝑨 llena 
𝑽
𝟐
y en 𝟏𝟓 horas 𝑩 llena 
𝑽
𝟐
Es decir, se tiene el tanque lleno, luego se retiran 𝟕𝟎𝟎 litros
y los dos caños juntos lo llenan en 𝟒 horas:
𝟒
𝑽
𝟒𝟎
+
𝑽
𝟑𝟎
= 𝟕𝟎𝟎 𝑽 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 litros
Luego:
Tres ingenieros compran un terreno: el primero contribuye con los del
𝟐
𝟕
precio total;
el segundo, con los
𝟑
𝟗
y el tercero con el resto. Calcule la extensión del terreno y la
cantidad que gastaron los dos primeros, si el tercero pagó 37 800 soles por 1 680
metros cuadrados de terreno.
Problema 09
Resolución
INGENIERO FRACCIÓN
PRIMERO
SEGUNDO
TERCERO
𝟐
𝟕
𝟏
𝟑
=
𝟕
𝟐𝟏
=
𝟔
𝟐𝟏 𝟏𝟑
𝟐𝟏
=
𝟖
𝟐𝟏
Con respecto al tercer ingeniero:
𝟖
𝟐𝟏
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏 𝟔𝟖𝟎
𝟖
𝟐𝟏
𝑮𝒂𝒔𝒕𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟑𝟕 𝟖𝟎𝟎
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟒 𝟒𝟏𝟎𝒎𝟐
𝑮𝒂𝒔𝒕𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟓
Los dos primeros gastaron = 𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟓 – 𝟑𝟕 𝟖𝟎𝟎 = 𝟔𝟏 𝟒𝟐𝟓
Respuesta: 𝟒 𝟒𝟏𝟎𝒎𝟐 y 𝟔𝟏 𝟒𝟐𝟓 soles
𝟏 −
𝟏𝟑
𝟐𝟏
¿Cuántas fracciones equivalentes a 0,351 existen tales que al numerador sea de
tres cifras y el denominador de 4 cifras no múltiplo de 5.
A) 28 B) 36 C) 39 D) 42 E) 49
Problema 12
Resolución
Tenemos: 𝟎, 𝟑𝟓𝟏 =
𝟑𝟓𝟏
𝟗𝟗𝟗
=
𝟏𝟑
𝟑𝟕
𝒇 =
𝟏𝟑𝒌
𝟑𝟕𝒌
Por la condición del problema:
i) 𝟏𝟎𝟎 < 𝟏𝟑𝒌 < 𝟏𝟎𝟎𝟎
ii) 𝟏𝟎𝟎𝟎 < 𝟑𝟕𝒌 < 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟕, 𝟎𝟐… < 𝒌 < 𝟐𝟕𝟎, 𝟐…
𝟕, 𝟔𝟗… < 𝒌 < 𝟕𝟔, 𝟗… 𝟐𝟕, 𝟎𝟐… < 𝒌 < 𝟕𝟔, 𝟗…
Valores de 𝒌: 𝟐𝟖; 𝟐𝟗; 𝟑𝟎; … ; 𝟕𝟔
Pero: 𝒌 ≠ 𝟓
(𝟒𝟗𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠)
𝒌 ≠ 𝟑𝟎; 𝟑𝟓; 𝟒𝟎; … ; 𝟕𝟓
(𝟏𝟎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠)
Por lo tanto, existen 𝟒𝟗 − 𝟏𝟎 = 𝟑𝟗 fracciones
Problema 15
Resolución
Dado el siguiente número racional
𝒄+𝟏
𝒂
= 𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇 ; calcule la suma de cifras
de la parte periódica y no periódica que genera la fracción:
𝒃𝒄
𝒆𝟎𝒆×𝒃(𝒃+𝟏)
Como la fracción 
𝒄+𝟏
𝒂
da origen a un decimal de 6 cifras periódicas, la única 
posibilidad es que 𝒂 = 𝟕
𝒄 + 𝟏
𝟕
= 𝟎, 𝟕𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇
𝒄 + 𝟏
𝟕
𝟎, 𝟕 < < 𝟎, 𝟖 𝟒, 𝟗 < 𝒄 + 𝟏 < 𝟓, 𝟔 𝒄 = 𝟒
Luego:
𝟓
𝟕
= 𝟎, 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 𝒃 = 𝟏 ; 𝒅 = 𝟐 ; 𝒆 = 𝟖 ; 𝒇 = 𝟓
Reemplazando los valores, se tiene:
𝟏𝟒
𝟖𝟎𝟖 × 𝟏𝟐
=
𝟕
𝟐𝟒 × 𝟑𝟎𝟑
𝟒 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 𝒏𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒊ó𝒅𝒊𝒄𝒂𝒔 𝟒 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒓𝒊ó𝒅𝒊𝒄𝒂𝒔
Piden: 𝟒 + 𝟒 = 𝟖
Problema 18
Resolución
La menor fracción irreductible
𝑎×𝑏
𝑎𝑏
que genera un decimal periódico puro con tres cifras
en el periodo, se representa en base 9. Dar como respuesta la suma de las cifras de
dicho resultado.
Sea: 
𝑎×𝑏
𝑎𝑏
= 0, 𝑥𝑦𝑧 =
𝑥𝑦𝑧
27 × 37
Si hacemos: 𝑎𝑏: 27 ; 54
𝑎𝑏: 37 ; 74
𝑎 × 𝑏
𝑎𝑏
=
14
27
𝑎 × 𝑏
𝑎𝑏
=
21
37
La menor fracción es: 
𝟏𝟒
𝟐𝟕
=
𝟒𝟔𝟗
𝟏𝟎𝟎𝟗
=
𝟒𝟐
𝟖𝟏
= 𝟎, 𝟒𝟔𝟗 Suma de cifras = 𝟏𝟎
Problema 20
Resolución
Si se cumple: ഥ𝒏, 𝒂𝒃(𝟓) = 𝟏𝟎,
𝒏
𝟐
𝒏
𝟐
(𝒃 + 𝟏)(𝒏) ; determine el numerador de la menor
fracción equivalente a:
𝒏𝒂
𝒏𝒃
, de modo que la suma de los términos sea múltiplo de 100.
Igualando la parte entera: 𝒏 = 𝟏𝟎𝒏 . Del dato se observa: 𝒏 < 𝟓 , 𝒏 puede ser 𝟐 o 𝟒
Hacemos: 𝒏 = 𝟒
Igualando la parte no entera: 𝟎, 𝒂𝒃(𝟓) = 𝟎, 𝟐𝟐(𝒃 + 𝟏)(𝟒)
𝒂𝒃(𝟓)
𝟒𝟒(𝟓)
=
𝟐𝟐(𝒃 + 𝟏)(𝟒) − 𝟐(𝟒)
𝟑𝟑𝟎(𝟒)
Descomponiendo polinómicamente: 
𝟓𝒂 + 𝒃
𝟐𝟒
=
𝟐 × 𝟒𝟐 + 𝟐 × 𝟒 + 𝒃 + 𝟏 − 𝟐
𝟑 × 𝟒𝟐 + 𝟑 × 𝟒
𝟓𝒂 + 𝒃
𝟐𝟒
=
𝟑𝟗 + 𝒃
𝟔𝟎
𝟐𝟓𝒂 + 𝟑𝒃 = 𝟕𝟖
𝒂 = 𝟑
𝒃 = 𝟏
Reemplazando:
𝒏𝒂
𝒏𝒃
=
𝟒𝟑
𝟒𝟏
=
𝟒𝟑𝒌
𝟒𝟏𝒌
𝟒𝟑𝒌 + 𝟒𝟏𝒌 = 𝟏𝟎𝟎 𝟖𝟒𝒌 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌 = 𝟐𝟓
Para que el numerador sea mínimo, entonces 𝒌 = 𝟐𝟓 . El numerador es: 𝟒𝟑 × 𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝟕𝟓
° °°
Problema 23
Resolución
La cantidad de cifras no periódicas de la fracción 𝒇 =
𝟐𝟓𝟔
𝟐𝟓! 𝒏 − 𝟏𝟖! 𝒏
es:
Factorizando el denominador =
𝟐𝟓𝟔
𝟏𝟖! 𝒏 × (𝟐𝟓 × 𝟐𝟒 ×⋯× 𝟏𝟗)𝒏 − 𝟏
𝟐𝟓𝟔
𝟐𝟓! 𝒏 − 𝟏𝟖! 𝒏
≠ 𝟐 ; ≠ 𝟓
El factor 𝟏𝟖! 𝒏 es el único que tiene divisor 𝟐
El exponente de 𝟐 en la descomposición canónica de 𝟏𝟖! es:
𝟏𝟖
𝟗
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟗 + 𝟒 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟔
𝒇 =
𝒇 =
𝟐𝟖
𝟐𝟏𝟔𝒏 × 𝒐𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
=
𝟏
𝟐𝟏𝟔𝒏 − 𝟖 × 𝒐𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
Luego, la cantidad de cifras no periódicas es: 𝟏𝟔𝒏 − 𝟖
° °
Problema 25
Resolución
Un número fraccionario se expresa en el sistema senario como 𝒂𝟓𝒃, 𝒄𝒅 y al ser convertido
al sistema nonario se obtiene 𝒃𝒂𝟒, 𝒆𝒅 . Sabiendo que: 𝒂; 𝒃 ; 𝒄 ; 𝒅 𝑦 𝒆 son cifras
significativas y diferentes entre sí. Calcule el menor valor de: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆
Comparando la parte entera: 𝒂𝟓𝒃(𝟔) = 𝒃𝒂𝟒(𝟗) 𝟑𝟔𝒂 + 𝟑𝟎 + 𝒃 = 𝟖𝟏𝒃 + 𝟗𝒂 + 𝟒
𝟐𝟕𝒂 + 𝟐𝟔 = 𝟖𝟎𝒃 𝒂 = 𝟐 ; 𝒃 = 𝟏
Además: 𝟎, 𝒄𝒅(𝟔) = 𝟎, 𝒆𝒅(𝟗)
𝒄𝒅(𝟔)
𝟏𝟎𝟎(𝟔)
=
𝒆𝒅(𝟗)
𝟏𝟎𝟎(𝟗)
𝟖𝟏 × 𝟔𝒄 + 𝒅 = 𝟑𝟔 × (𝟗𝒆 + 𝒅)
Operando se tiene: 
𝟓𝟒𝒄 + 𝟓𝒅 = 𝟑𝟔𝒆
𝟎 𝟒 𝟔
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 = 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 + 𝟎 + 𝟔 = 𝟏𝟑𝟑𝒄 = 𝟐𝒆