Sistema de Ecuaciones Lineales 2

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SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES 
LINEALES (2)
Método de Cholesky. Método iterativo Gauss Seidel.
ി𝐼 =
𝐼𝑥𝑥 𝐼𝑥𝑦
𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑦𝑦
𝐼𝑧𝑥 𝐼𝑧𝑦
𝐼𝑥𝑧
𝐼𝑦𝑧
𝐼𝑧𝑧
𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥
𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥
𝐼𝑧𝑦 = 𝐼𝑦𝑧
Donde,
Tensor de Inercia
La factorización de Cholesky es una manera de
resolver sistemas de ecuaciones matriciales, tenemos
la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones,
llamada A. Una condición necesaria y suficiente para
que una matriz A admita factorización de Cholesky es
que sea simétrica y definida positiva. Si cumple
podemos tratar de factorizarla la forma A = L*LT,
cuando la tenemos factorizada ya podemos resolver
el sistema de ecuaciones.
DESCOMPOSICION DE CHOLESKY
La factorización de Cholesky es una manera de resolver
sistemas de ecuaciones matriciales, tenemos la matriz
de coeficientes de un sistema de ecuaciones, llamada
A. Una condición necesaria y suficiente para que una
matriz A admita factorización de Cholesky es que sea
simétrica y definida positiva. Si cumple podemos tratar
de factorizarla la forma A = L*LT, cuando la tenemos
factorizada ya podemos resolver el sistema de
ecuaciones.
A = L LT
http://www.geocities.ws/jucamucas/Fchol.html
Sea L es una matriz triangular inferior de orden n, es
decir, L tiene la siguiente forma:
Descompuesta de esta forma la matriz A, la resolución
del sistema A x = b queda dada por la resolución de dos
sistemas triangulares. En efecto,
Si hacemos y = LT x 
Entonces L y = b
El cual resulta en un sistema triangular inferior en y.
De fácil resolución con 
En forma general tenemos,
Una vez que se resuelve la ecuación anterior, que es un 
sistema triangular superior.
Los valores de xk quedan dados por:
Ejemplo: Considere el siguiente sistema de ecuaciones
x + a y = a
a x + y + b z = b
b y + z = c
Determine los valores de a y b para los que la matriz de
los coeficientes del sistema sea simétrica y se pueda
aplicar el método de Cholesky.
El método de Cholesky requiere que la matriz A sea
hermítica y positiva definida.
La condición para que sea definida positiva es que sus
auto valores sean positivos,
que por inspección nos conduce a  = 1 como primera
raíz y a
que serán dos raíces positivas sólo si (a; b) pertenece al
disco unidad. Sólo en dicho caso será aplicable el
método de Cholesky.
Otra posibilidad para estudiar cuando es definida
positiva es utilizar el signo de los menores principales
Ejercicio: Comprobar que la matriz que determina el 
sistema es positiva.
10 x1 - 3 x2 = 2
-3 x1 + 10 x2 - 2 x3 = 3
-2 x2 + 10 x3 = 5;
El sistema se puede escribir como Ax = b donde
Para comprobar que esta matriz es definida positiva 
podemos calcular sus autovalores,
que son
También podríamos haber aplicado la regla de los 
menores principales,
Ejemplo: Dados A y b, hallar los valores de x1, x2 y x3
utilizando el método de Cholesky
Comprobemos que la matriz sea simétrica y definida
positiva. Aplicaremos la regla de los menores
principales.
La factorización de Cholesky A = L LT se determina 
fácilmente igualando fila a fila las matrices
METODO GAUSS-SEIDEL
Los métodos iterativos constituyen una alternativa a los
métodos de eliminación descritos hasta ahora. Suponga
que se da un sistema de n ecuaciones: [A]{X} = {B}
Para que el método converja. Los coeficientes de las
magnitudes que en la matriz de coeficientes están
fuera de la diagonal deben sumar menos de 1.
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
    

    


     
L
L
L L L L L L L L L L L L L L L
L
Procedimiento
1. Se despeja cada una de las incógnitas xi en cada
ecuación en función de los bi, aij y los xi (i>1)
2. En la primera ecuación se da valores en forma
arbitraria a los xi (i>1) y se evalúa x1.
3. En la ecuación (2) se reemplaza el valor hallado de x1
y los demás valores arbitrario tomado en (1) y se
calcula x2.
4. De modo similar se procede con los demás xi.
5. Se vuelve a procesar xi (1→ n) con lo valores hallados
en cada paso anterior.
6. Se evalúa si la aproximación de los x1 están dentro
del error.
Suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones de
3 × 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero,
la primera ecuación se puede resolver para x1, la
segunda para x2 y la tercera para x3,
Ahora, se puede empezar el proceso de solución al
escoger valores iniciales para las x. Una forma simple
para obtener los valores iniciales es suponer que todos
son cero. Estos ceros se sustituyen en la ecuación (1), la
cual se utiliza para calcular un nuevo valor x1 = b1/a11.
Después, se sustituye este nuevo valor de x1 junto con
el valor previo cero de x3 en la ecuación (2) y se calcula
el nuevo valor de x2. Este proceso se repite con la
ecuación (3) para calcular un nuevo valor de x3.
Después se regresa a la primera ecuación y se repite
todo el procedimiento hasta que la solución converja
suficientemente.
METODO DE JACOBI
Sea A en la forma siguiente: A = D + R
Donde D, es una matriz diagonal, cuyos elementos
son los elementos de A.
R es la suma de una matriz triangular inferior L y una
matriz triangular superior U, es decir sus elementos
son los elementos de A con elementos en la diagonal
son nulos.
Partiendo de AX = b, podemos reescribir dicha
ecuación como: DX + RX = b
X = D-1(b – RX)
𝑋(𝑘+1) = 𝐷−1(𝑏 − 𝑅𝑋(𝑘))
Si aij  0 para cada i. Por regla iterativa, la definición
del método de Jacobi puede ser expresado de la
forma.
𝑥(𝑘+1) =
1
𝑎𝑖𝑖
𝑏𝑖 −෍
𝑗≠𝑖
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘)
, 𝑖 = 1, 2, 3, …
METODO DE JACOBI
METODO DE JACOBI
Una matriz es de diagonal estrictamente dominante,
cuando lo es por filas o por columnas.
• Lo es por filas cuando, para todas las filas, el valor
absoluto del elemento de la diagonal de esa fila es
estrictamente mayor que la norma del resto de
elementos de esa fila.
• Lo es por columnas cuando, para todas las
columnas, el valor absoluto del elemento de la
diagonal de esa columna es estrictamente mayor
que la norma del resto de elementos de esa
columna.
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones utilizando 
el método de Jacobi con un error menor a 10-2.
2x + y = 5
5x + 7y = 17
Entonces,
𝐴 =
2 1
5 7
; b=
5
17
𝐷 =
2 0
0 7
; 𝑅 =
0 1
5 7
; 𝐷−1 =
1/2 0
0 1/7
Sea 𝑋0 =
1
0