Clase Curvatura y Torsion

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Curvatura y Torsión
MateDLG y CyADLG
Índice:
Aclaración
Curvatura
Teoremas
Radio de Curvatura
Centro de Curvatura
Torsión
Teoremas
Ejercicios
Ayuden me quedo sin memes para los índices :,v
2
Aclaración con las propiedades del Triedro Móvil
La última clase de cálculo vectorial se mencionó acerca del triedro móvil; sin embargo no se mencionó que se cumplía en esta.
Como recordarán, el triedro móvil está conformado por los 3 vectores unitarios:
 y , los cuales se demuestran que son perpendiculares cada uno. Estos cumplen la siguientes propiedades:
La demostración se deja para el estudiante :D
Observación:
Puede recordarse de las propiedades recordando este ciclo. Ejemplo:
T=NxB, luego N=BxT y luego B=TxN
𝑁 ⃗(𝑡)
𝐵 ⃗(𝑡)
𝑇 ⃗(𝑡)
 
 
 
Aclaración
Curvatura
Meme con el objetivo de no ofender
;-;
Curvatura
La idea general que se tienen en el estudio de curvaturas de una curva es de medir la rapidez con la que la curva se aleja de sus recta tangente en un punto p dado de ella.
Definición:
Sea una curva regular, tal que , se define el vector curvatura como:
Y se define curvatura 
Demostración:
Consideremos una curva C para la función vectorial la curvatura se define como la razón instantánea de cambio de dirección de los puntos de la curva C con respecto a la longitud de arco.
S es la función longitud de curva
Nota: El cambio de dirección es dado por pero para pequeño se tiene 
Demostración:
Consideremos una curva C para la función vectorial la curvatura se define como la razón instantánea de cambio de dirección de los puntos de la curva C con respecto a la longitud de arco.
S es la función longitud de curva
Nota: El cambio de dirección es dado por pero para pequeño se tiene 
Observación
Dado que el vectores unitario, ósea es unitario, entonces el vector es perpendicular a por lo tanto el vector curvatura tiene la misma dirección que el vector unitario normal principal , entonces existe un número real tal que , luego al número se denomina curvatura de la curva en el punto 
Teorema
Lo que hacemos es dejar expresada la norma del vector en términos de la norma de los vectores y .
Donde 
Pero 
Como 
Demostramos la propiedad de arriba
OBSERVACIÓN:
Cuando hablamos de hablamos de la función vectorial con respecto a su longitud de arco (esto se demuestra con lo aprendido en la clase anterior)
A lo largo de esta clase usaremos 2 igualdades:
Este ultimo teorema se puede demostracion la definición de vector normal principal
Si volvemos a derivar con respecto a s obtenemos:
Entonces:
Resolviendo:
Recordemos que 
2. Para una curva plana :
3. Para una curva plana que tiene la ecuación cartesiana 
Expresamos la curva en forma paramétrica: 
Donde , 
Además: 
Reemplazando:
Finalmente:
Curva Regular de Rapidez Unitaria
Dada una curva C regular, , se define como rapidez unitaria si cumple que:
, donde s: longitud de arco.
Además se cumple las siguientes propiedades:
Radio de Curvatura
Consideremos una curva se define al radio de la curvatura como:
Denominamos centro de curvatura al punto
Ejercicios:
Para la curva descrita por la función vectorial:
Halle la curvatura, el radio de curvatura, el centro de la circunferencia de la curvatura en el punto f(0).
¿Cuáles de los siguientes puntos están sobre la circunferencia de la curvatura en el punto f(0):
	 
Solución:
				 
En el punto 
a. La curvatura en es:
Entonces el radio de curvatura es:
Hallando el vector normal principal: 
Por lo tanto el centro de curvatura de la curva en el punto f(0) es igual a 
b. Un punto P estará sobre la circunferencia de curvatura si verifica dos condiciones: está en el plano osculador y su distancia al centro de curvatura es igual al radio de curvatura. Como el vector binormal tiene la dirección del vector 
, entonces el . Así la ecuación del plano osculador en (0,0,0) es:
Así, de los cuatro puntos dados, solo los tres últimos cuyas coordenadas z es 0, pueden estar en la circunferencia de curvatura. Ahora, si un punto está en el plano osculador, estará además en la circunferencia de curvatura si verifica la siguiente ecuación;
Si desarrollamos esta ecuación, esta tendrá la forma:
Los puntos que verifican la siguiente ecuación son:
Solución:
Hallar la función curvatura para la cicloide:
Halle los puntos en que la curvatura es mínima y máxima:
Entonces:
Para hallar los valores máximos y mínimos hallamos los puntos críticos de la primera derivada de k(t)
Puntos críticos: sent = 0; 1 – cost = 0; 
Analizando la derivada en los intervalos 
En el intervalo y en el intervalo Existe un mínimo en el punto 
Dada que la función no está acotada superiormente, entonces no existe máximo
Torsión
Torsiones Aprendidas hasta ahora
TORSIÓN TESTICULAR ACTIVADA
Torsión (Introducción)
En la clase anterior aprendimos a como obtener el plano osculador de la curva que describe f. ¿Pero, cuál es la rapidez con que una curva se aleja de su plano osculador en la vecindad de un punto dado?.
Esta rapidez está relacionada con el concepto que estudiaremos en esta sección, la cual denominaremos torsión.
 
Definición
Sea un camino regular tres veces diferenciable parametrizado por longitud de arco, tal que (significa que la curvatura k(s) es siempre no nula). Existe un número real tal que donde y son los vectores binormal y normal de en s respectivamente, se llama torsión de en s
.
Observación: Si la curva es plana, significa que su torsión es nula, (), por lo tanto es constante, la ecuación del plano osculador es el mismo en todos los puntos.
¿Por qué negativo?
Dado C una curva regular en , descrita por alguna función vectorial es paralelo al vector , siempre y cuando existan.
Además sabemos que por regla de la cadena:
Dado que , deducimos de esta ecuación que el vector tiene el mismo sentido que el vector y por lo tanto, también es paralelo al vector Así por condición de paralelismo entre vectores, el vector será igual a un número real de veces el vector . Al inverso aditivo de dicho número real se le denota por de modo que para el punto de la curva:
Notas:
La torsión mide la rapidez con que una curva se aleja de su plano osculador P
 
Torsión para una curva suave y de rapidez unitaria
Recordemos que habíamos demostrado lo siguiente:
Las comillas en rojo significan que están siendo derivadas respecto a t
Nota:, coplanares
En:
Recordemos que: 
Nota: Recordar que y son ortogonales
Recordemos que: 
Nota: Recordar que:
Para el vector 
Desarrollándolo:
Desarrollemos el vector :
No le costará mucho trabajo demostrar que la expresión se simplifica a lo siguiente:
Reemplazando para la ecuación anterior:
Ejercicio:
Analice la torción para la función:
Solución:
; ; 
;