Clase Superficies

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Superficies
MateDLG y CyADLG
Índice:
Funciones de varias variables
Introducción
Dominio y rango
Operaciones
Superficies
Superficies Cilíndricas
Superficies Cuádricas
Clasificación
Curvas
Proyección
Gráfica de Funciones de varias variables
Curvas de Nivel
Trazos
Superficies de Nivel
Extra
GeoGebra
Gráficas según invariante
Descripción de una superficie
Nociones de Límite de varias variables
Funciones de varias variables
ParabulUS
Introducción
El cálculo multivariable (también conocido como cálculo de varias variables ) es la extensión del cálculo en una variable al cálculo con funciones de varias variables : la diferenciación e integración de funciones que involucran varias variables, en lugar de solo una.
Una función multivariable es simplemente una función cuya entrada y/ o salida se compone de varios números. Por el contrario, una función con entradas de un solo número y salidas de un solo número se denomina función de variable única
Funciones de varias variables
Una función de variable vectorial función de n variables o función de varias variables es una correspondencia de un conjunto A de vectores de , a un conjunto B de números reales, y es denotado por 
Donde es una variable dependiente
Dominio de una función de varias variables
Consideremos la función el dominio de existencia de la función será denotada por , y es el conjunto definido por:
Interpretación: El dominio de la función multivariable es el conjunto completo de posibles valores de la variable independiente (.
También podemos visualizar los dominios de una función de n variables como un subconjunto de que contiene todos los puntos para cual se define.
Rango de una función de varias variables
Consideremos la función el rango de la función será denotada por , y es el conjunto definido por: :
Interpretación: Los valores que toma la función multivariable al analizar el dominio de esta.
Operaciones de funciones multivariables
Sean dos funciones de n variables cuyos dominios son y respectivamente y cuyos dominios es 
Ejemplo:
Hallar el dominio, rango y bosquejar el gráfico de la siguiente función:
Solución:
Dominio de , Se tiene que:
Luego 
El dominio de f está conformado por los puntos del plano XY que están dentro y sobre la elipse, como muestra en la siguiente figura:
Para el rango de f:
Sea donde se tiene que , por otro lado de acuerdo al dominio de la función:
Intersecando ambas restricciones tenemos que:
Superficies
Definición
Una superficie S en el espacio es el conjunto de puntos que verifican una ecuación de la forma 
Es decir:
Nota:
No siempre una ecuación de tres variables representa una superficie:
En ambas ecuaciones el conjunto solución es vacío, por el cual no se puede representan en el eje XYZ
Espacio Tridimensional
El espacio tridimensional (también: el espacio XYZ) es una configuración geométrica en la que tres valores (llamados parámetros son necesarios) para determinar la posición de un elemento (es decir, punto ). Este es el significado informal del término dimensión .
Comúnmente se representa con el símbolo . Esto sirve como un modelo de tres parámetros del universo físico (es decir, la parte espacial, sin considerar el tiempo), en el que existe toda la materia conocida . Si bien este espacio sigue siendo la forma más convincente y útil de modelar el mundo tal como se experimenta, es solo un ejemplo de una gran variedad de espacios en tres dimensiones llamados 3-variedades.
Meme entendible para los miembros de ADLG :v
Superficies Cilíndrica
Sea C una curva contenida en un plano P y L una recta que no es paralela al plano P. Una superficie cilíndrica S es el conjunto de puntos que se obtiene cuando la recta L se desplaza paralelamente por la curva C.
La curva C y la recta L se denominan directriz y generatriz de la superficie cilíndrica respectivamente.
Notas:
La directriz es una curva plana
La generatriz no necesariamente es perpendicular al plano contenedor de la curva
La directriz puede ser una curva cerrada
Observación
SI la recta generatriz es perpendicular a la curva directriz entonces la superficie es denominada “superficie cilíndrica recta”.
Ejemplo:
La superficie cilíndrica definida por la curva directriz:
Graficamos el sistema tridimensional y ubicamos la curva directriz
Graficamos una recta generatriz
Desplazamos la curva en todos los ejes de manera que genere una superficie constante
Realizamos copias de la recta generatriz
Superficies cuádricas
Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x, y, z. La ecuación general está dada por:
Donde A,B,C,D,E,F,G,H,I,J, son coeficientes de la ecuación pero por traslación y rotación se puede llevar a una de las formas estándar.
Superficies cuadráticas con centro dado por la ecuación:
Superficies cuadráticas sin centro dado por la ecuación:
Elipsoide:
Donde es el centro y son constantes positivas
Las proyecciones al plano XYZ son elipses
Nota: Si , la elipsoide es una esfera
Clasificación de superficies cuádricas por forma canónica
Hiperboloide de una hoja:
Donde es el centro y son constantes positivas
Las proyecciones al plano XZ y YZ son hipérbolas
Las proyecciones al plano XY son elipses
Hiperboloide de dos hojas:
Donde es el centro y son constantes positivas
Las proyecciones al plano XZ y YZ son hipérbolas
Las proyecciones al plano XY son elipses
Paraboloide elíptico:
Donde es el centro y son constantes positivas
Las proyecciones al plano XZ y YZ son parábolas
Las proyecciones al plano XY son elipses
Paraboloide hiperbólico:
Donde es el centro y son constantes positivas
Las proyecciones al plano XZ y YZ son parábolas
Las proyecciones al plano XY son hipérbolas
Cono elíptico:
Donde es el centro y son constantes positivas
Las proyecciones al plano XZ y YZ son lineas
Las proyecciones al plano XY son elipses
Curvas en el espacio
La totalidad de los puntos y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente las ecuaciones de dos superficies rectangulares independientes.
Las trazas de una superficies sobre los planos coordenados, y las secciones de una superficie por planos paralelos a los planos coordenados, son ejemplos especiales de curvas en el espacio
Proyección de superficies
La proyección perpendicular de una superficie S sobre un plano es la proyección perpendicular de cada uno de sus puntos sobre este plano
Para obtener la proyección sobre uno de los planos XY, XZ o YZ, se realizarán los siguientes pasos:
Proyectamos ortogonalmente, algunos puntos de la superficie, sobre el plano de elección. 
La ecuación de la proyección de las curvas entre estos puntos se puede determinar usando las ecuaciones de las superficies intersecadas con los planos generadores
Ejemplo:
Considere la superficie limitada por el plano de ecuación en el primer octante (para X,Y,Z positivos)
Solución:
Usemos los vértices 
Proyección en XY:
La proyección de los vértices es sobre sus coordenadas en el plano XY. La superficie limitada por el plano x+y = 5 es la curva C proyectada
Proyección en XZ:
La superficie S es un cilindro, su proyección sobre este plano es la curva que le dio origen
Proyección en XY:
La curva determinada las superficies S y P se proyecta sobre la curva C’ . Para determinar la ecuación de la curva. Como la curva está en el plano YZ, debemos “eliminar” la variable x: despejamos y sustituimos en la otra:
Esbozo de funciones de varias variables
Normal
Proyección de Mercator
Curvas de Nivel
Una forma muy práctica de visualizar la gráfica de una función multivariable es a través de las curvas de nivel, para esto se considera la función tal que cuya gráfica de esta función es una superficie en . Supongamos que la superficie se corta mediante una familia de planos paralelos al plano coordenado XY, que son de la forma cuyas intersecciones son curvas, que al proyectarlosobre el plano XY tiene por ecuación a estas curvas se le llaman curva de nivel ce la función en k y al conjunto de curvas de nivel se le llama mapeo de contorno.
Nota:
Las curvas de nivel nos indican la naturaleza de la gráfica
Las curvas de nivel se pueden graficar en el plano XY, pero se sobreentienden que están ubicados a diferentes “alturas”
No es necesario dibujar las trazas
Interpretación de las curvas de nivel
Ejemplo
Queremos analizar la siguiente gráfica:
Curvas de Nivel:
Cada curva representa la proyección de la intersección de los planos con la superficie generada 
Trazos
Las trazas son intercepciones de la gráfica con los tramos coordenados:
Traza en 
Traza en 
Traza en 
A veces es necesario interceptar con planos paralelos a un plano coordenado, por ejemplo:
Traza en 
Donde 
Ejemplo:
Trazas:
En 
En
En XY
Uniendo con el resultado anterior, obtenemos la siguiente gráfica:
Superficies de Nivel
Parecido al caso de las curvas de nivel
La superficie de nivel de una función está formada por el conjunto de puntos en el espacio tridimensional , tales que donde .
Estas brindan una noción del comportamiento de la función en un espacio de cuatro dimensiones.
Adicionales
I) Uso del GeoGebra 3d
GeoGebra es un software gratuito desarrollado por Markus Hohernwarter y de código abierto que permite realizar geometría dinámica.
Sirve de calculadora gráfica que puede exportar a Web Page
Pasos:
Buscamos GeoGebra 3D en el buscador y le damos a la primera opción
Graficamos las ecuaciones que nos dan
Recomendación:
Hay veces en que la página no soporta tantos datos al reducir las ecuaciones, así que es preferible que desarrollen la ecuación para obtener una ecuación cuádrica y colocarla en la graficadora
II) Forma Cuádrica según invariantes
	Superficie	Ecuación
	Elipsoide real	
	Elipsoide imaginario	
	Hiperboloide de una hoja	
	Hiperboloide de dos hojas	
	Cono elíptico real	
	Cono elíptico imaginario	
	Paraboloide elíptico	
	Paraboloide hiperbólico	
	Superficie	Ecuación
	Cilindro elíptico Real	
	Cilindro elíptico imaginario	
	Cilindro Hiperbólico	
	Planos de intersección reales	
	Planos de intersección imaginarios	
	Cilindro parabólico	
	Planos paralelos reales	
	Planos paralelos imaginarios	
	Planos coincidentes	
Identificar superficies:
Dada la ecuación cuádrica:
Se tiene que: 
 valor de la determinante de e		 :rango de la matriz E
: valor de la determinante de E
:rango de la matriz e			 : eigenvalores de la matriz e
			Signo de 	Los valores de k poseen el mismo signo?	Superficie
	3	4	-	Si	Elipsoide real
	3	4	+	Si	Elipsoide imaginario
	3	4	+	No	Hiperboloide de una hoja
	3	4	-	No	Hiperboloide de dos hojas
	3	3		No	Cono elíptico real
	3	3		Si	Cono elíptico imaginario
	2	4	-	SI	Paraboloide elíptico
	2	4	+	No	Paraboloide hiperbólico
			Signo de 	Los valores de k poseen el mismo signo?	Superficie
	2	3		No	Cilindro elíptico Real
	2	4	+	si	Cilindro elíptico imaginario
	2	3		No	Cilindro Hiperbólico
	2	2		No	Planos de intersección reales
	3	3		Si	Planos de intersección imaginarios
	1	3			Cilindro parabólico
	1	2			Planos paralelos reales
	1	2			Planos paralelos imaginarios
	1	1			Planos coincidentes
Podemos identificar las superficies que genera la ecuación cuádrica solamente utilizando el rango de las matrices e y E, analizando la discriminante de E y los eigenvalores de E
III) Descripción de un Solido
La descripción de un solido sirve para poder expresar un función de tres variables como en forma de un conjunto.
Se usa mas que todo cuando se pide el análisis de la intersección de varios solidos.
Para poder describir un solido se tiene que realizar los siguientes procedimientos:
Graficar solamente la superficie generada por la intersección de los demás solidos.
Realizar proyecciones del solido sobre los planos XY, YZ , XZ, y hallar la regla de correspondencia de las curvas planas que forman las proyecciones
Hallar las variaciones que se forman en las gráficas
Recomendación: Para esta parte es sugerible que se vea a las variaciones como la gráfica piso y la grafica techo.
Ordenar por intervalos y posteriormente realizar una unión de estos
Nota: Esta notación nos servirá más adelante cuando veamos integrales de funciones multivariables
Ejemplo:
Describa el solido generado por las siguientes superficies: (Exprese el solido en forma de conjunto):
Solución:
Graficamos la intersección de los solidos
Realizamos las proyecciones a los planos XYZ:
En YZ: 		 En XY		 En XZ:
Para determinar la ecuación de la curva. Como la curva está en el plano XZ, debemos “eliminar” la variable y: despejamos y sustituimos en la otra
Acotar nuestras proyecciones con respecto a una variable:
En YZ:		 	En XY			En XZ
		 		 
 		 		 
Tenemos 3 descripciones de nuestra superficie:
Del gráfico: 0 		 		 
Explicación de piso y techo:
Supongamos que queremos hallar la variación de z en XY:
En nuestra gráfica para la variación de z vemos que la parte inferior de la superficie es limitada por z=0 (piso) y en la parte superior esta limitada por z=1-y (techo). Si se quiere hallar la variación de las demás funciones es cuestión de ver la disposición de nuestro solido
IV) Conjuntos Abiertos y Cerrados
Distancia entre 2 puntos: Sea A y B dos puntos de :
Bola abierta en : Una bola abierta de centro en el punto y radio , es el conjunto:
 Bola reducida en : 
Bola cerrada en : 
Nota: Se referirá a una vecindad de un punto a una bola abierta con centro en C
Conjunto Abierto y Cerrado
Conjunto abierto en : 
Un conjunto es abierto en si y solo sí , existe tal que 
Ej: y 
 Conjunto cerrado en :
Un conjunto es cerrado si y solo si el complemento de es abierto en 
Ej: 
Punto de Acumulación:
Llamaremos punto de acumulación de un conjunto a un punto si toda bola reducida contiene algún punto de A: 
Aplica lo aprendido
Ejercicio 1 (Examen FIIS UNI-2018-I):
Dada la función:
Grafique la función y muestre las curvas de nivel:
Solución:
En la primer función podemos apreciar que es parte del paraboloide con eje paralelo al eje Z y vértice en .
Aplicamos el concepto de curvas de nivel, donde:
Donde 
Para la segunda función, según la ecuación podemos apreciar que es un paraboloide con eje paralelo a Y, con vértice en :
Donde, debido a que 
Entonces, la gráfica de nuestra función debe ser la siguiente
Ejercicio 1 (Examen FIIS UNI-2018-I):
Dada la función:
Grafique el dominio de la función f:
Si bosquejamos las gráficas de cada superficie y posteriormente hallamos la superficie generada, tenemos que:
11z = 1 - y
11
11zx