Diferenciabilidad, Regla de la cadena y derivación

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Diferenciabilidad, Regla de la cadena y derivación implícita
MateDLG + CyADLG
Diferenciales de 
Funciones de varias
variables
Diferenciales de 
Funciones de una 
variable
Índice:
Diferenciabilidad en funciones multivariables
Incremento
Interpretación geométrica
Condiciones de diferenciabilidad
Propiedad de la continuidad
Diferenciabilidad de 3 a más variables
Diferencial total
Aproximación y error
Regla de la cadena
Funciones compuestas
Regla de la cadena en 2 variables
Regla de la cadena general
Derivación Implícita
Definición de función implícita
Teorema de la función implícita
Adicional
Operaciones Aritméticas con diferenciales
Diferenciales de orden superior
Diferencial exacta
Regla general de la función implicita
Diferenciabilidad
Recordemos
Incremento de una función:
Se denomina Incremento de una función cuando una función pasa de un valor inicial a un valor final El incremento de la función es representada como se calcula:
Diferencial total de una función:
Representa la parte principal del cambio en una función con respecto a los cambios en la variable independiente
Es expresada como y se calcula
Para un incremento muy pequeño: 
Incremento y diferencial en funciones de Dos variables
Dada la función tal que , entonces el incremento de la función en el punto que denotaremos por es expresado por:
Y al diferencial total de la función como:
Donde y son valores reales relativamente muy pequeños
Punto 
tangente
Intersección
Con el plano 
tangente
Del gráfico anterior:
Podemos fijar un valor constante y mientras varia x, entonces por el teorema del valor medio tenemos que:
Análogamente proponemos un valor constante x mientras varía y:
Entonces, de las ecuaciones anteriores obtenemos que:
Ahora, para poder eliminar los incrementos de x en nuestra función lo que podemos hacer es el siguiente cambio de variable:
Entonces se deduce que:
Entonces por la continuidad de y de y además que
Se sigue que y , cuando y respectivamente.
En consecuencia por definición se tiene que f es diferenciable
Condición de diferenciabilidad (por definición)
Sea f una función de dos variables , definida en una vecindad de . Si el incremento de la función se puede descomponer de la siguiente forma:
Dondey son funciones de y que verifican:
Entonces se dice que f es diferenciable en el punto 
Esta definición implica que una condición necesaria para que f sea diferenciable en es que las derivadas parciales existan en dicho punto, pero también saber si el limite de y es cero
Ejemplo:
Muestre que la siguiente función es diferenciable en el punto 
Analizamos las derivadas parciales, estas existen y son las siguientes:
Entonces, para que exista el diferencial de la función en el punto (0,0) debemos probar que:
El primer límite es inmediato dado que 
Supongamos que el límite de existe y este es 0, entonces usando la definición de límites:
Sabemos que:
Además: 
Entonces:
El límite existe para un 
Por lo tanto se demuestra que:
Dado que se cumple la definición por incremento, podemos deducir que existe la diferencial en el punto (0,0) 
¿La demostración anterior te pareció muy tediosa para desarrollar?
No te preocupes hay una forma más directa de demostrar la diferenciabilidad en un punto; sin embargo, para poder usar esta definición se debe tener un poco de noción sobre direccionales.
Sin embargo no es necesario aprender esta definición porque solo ofreceré la formula
Condición de existencia 
Sea la función definida sobre el conjunto abierto D. Diremos que la función es diferenciable en el punto , si existen y en el punto y si existe:
A diferencia de la anterior condición solamente demostraremos la existencia de un limite en vez de uno. En realidad esta regla se deriva de la condición por definición, solamente que es más directa y sin la necesidad de evaluar el límite de cada error.
Sugerencia: Puede inferir esta propiedad de la lectura que está en el libro cálculo vectorial de Pita Ruiz
Del ejemplo anterior:
Demostramos que las derivadas parciales existe, y estas son:
Aplicamos el teorema:
El límite existe para un , Por lo tanto se demuestra que el limite es igual a 0.
Queda demostrado que existen la diferencial en ese punto.
Propiedad (Diferenciabilidad implica continuidad)
Dado que f es diferenciable en un punto entonces:
Pero hagamos , entonces:
Ahora tomamos límite cuando 
Si es una función diferenciable en un punto , entonces f es continua en 
Observación
Si la función es continua en un punto, esto no implica que f sea diferenciable en este punto. Ejemplo:
La función es continua, pero:
Sus derivadas parciales no existen en , por lo tanto f no es diferenciable en 
Condición de la continuidad
Sea la función si las derivadas parciales de f existen y son continuas en un entorno entonces f es diferenciable en .
Ejemplo:
Del ejercicio anterior, se define las derivadas parciales para los puntos , y también se infiere que el límite de las derivadas parciales en ese punto es igual a la función derivada parcial en ese punto.
Nota: Así, la continuidad de las derivadas parciales es una condición suficiente para la diferenciabilidad. Sin embargo, esta condición no es necesaria. Es decir pueden no ser continuas las derivadas parciales de f en pero si pueden ser diferenciables en dicho punto
Nota 2: La propiedad anterior habla sobre la existencia de la derivada parcial y esta condición habla sobre su continuidad. 
					!NO CONFUNDIR¡
Dada la función:
Puede demostrar que la función es diferenciable con la condición 1 o 2. Ahora evaluaremos la continuidad de la derivada parcial respecto a x
Evaluemos el límite para 
Consideremos el conjunto 
Luego no existe el límite en 
Por lo tanto
Diferenciabilidad de funciones de 3 a más variables
Sea f una función de varias variables definidas en una vecindad del punto Consideremos los incrementos Entonces el incremento de la función f en el punto:
Sea f una función de varias variables definidas en una vecindad del punto . Si el incremento se puede descomponer de la siguiente forma:
Donde:
Entonces se dice que f es diferenciable en 
Diferencial total
Si es una función diferenciable en , entonces la diferencial total de la función () es expresado como:
Donde 
De forma más general, podemos afirmar que para diferenciable en , la diferencial total de la función está expresada como:
Aproximación
Dada diferenciable en , entonces:
Donde y cuando 
De ambas ecuaciones se tiene 
Dado que , entonces:
Además se tiene error relativo: 
Ejemplo:
El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se desea disminuirlo en 1°. Determinar, aproximadamente, en cuánto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varía, sabiendo que su longitud inicial es de 20cm.
Solución:
El área de un sector circular de radio r y ángulo en el centro de radianes es: Como nos piden un valor aproximado, entonces , siendo:
Los datos del ejercicio:
; ; ; ; 
Nota: Se pone ya que el ejercicio dice que quieren disminuirlo, por ende la variación del ángulo es negativa
Para que el área del sector circular no varíe, el radio debe alargarse aproximadamente en 
Observación
La aproximación no solamente se limita para un función de 2 variables, también puede ser usada para funciones de 3 o más variables, tal que:
Para un incremento muy pequeño
Donde al igual que el anterior caso, para hallar el error relativo se tiene:
Y el error porcentual: 
Punto de descanso
Observa algunos ejercicios para poder comprender lo que hemos aprendido hasta ahora u.u
La utilidad mensual (en dólares) de una empresa que comercializa un producto de limpieza es dado por la siguiente función:
, donde x representa el número de unidades vendidas en la ciudad de Lima- Perú, representa el número de unidades vendidas en la ciudad de Arequipa- Perú.
Si actualmente la empresa vende 300 unidades en Lima y 200 unidades en Arequipa, estimeel cambio aproximado en la utilidad de la empresa, si las ventas en Lima aumentaron en 2%, mientras que en Arequipa disminuyó en 1%.
Solución:
Lima: 
Arequipa: 
Aplicamos el teorema de aproximación:
Para 
El cambio de utilidad es aproximadamente de 660 dólares
2. Sea , ¿es f diferenciable en ?
Dado que la función es continua. Entonces:
La derivada parcial con respecto a x:
Dado que 
Ahora, analicemos la continuidad de la función derivada parcial con respecto a x.
Consideremos el conjunto de coordenadas polares
Se puede demostrar que existe el límite por definición, tal que 0 si es el límite de este
Entonces se demuestra que la derivada parcial de la función con respecto a x es continua.
Dado que 
Analizar la derivada parcial nos dará el mismo resultado, por lo que también afirmamos que la derivada parcial de la función con respecto a y es continua.
Dado que ambas derivadas parciales son continuas en el punto y la función también es continua en ese punto. Entonces afirmamos que la función es diferenciable en 
Demuestre que la siguiente función es diferenciable en :
Demostremos que existen las derivadas parciales en :
Aplicamos la formula para analizar la continuidad:
El límite existe para un tal que este sea 0
Entonces la función si es diferenciable
Regla de la Cadena
Composición de funciones de dos variables
Sea una función definida en un intervalo abierto de y 
una función definida en un intervalo abierto de 
Supongamos que la función g es diferenciable en t y la función f es diferenciable en . Entonces la función compuesta es diferenciable en t.
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Regla de la cadena para funciones de dos variables
Caso 1:
Sea definida por ,donde f es una función diferenciable y sea e , tal que . Si g y h son diferenciables en t y f es diferenciable en , entonces es diferenciable en t, siendo:
Regla de la cadena para funciones de dos variables
Caso 2:
Sea definida por ,donde f es una función diferenciable y sea e , tal que . Si g y h son diferenciables en t y f es diferenciable en , entonces es diferenciable en t, siendo:
El siguiente método te puede ayudar a recordar el calculo de derivadas por la regla de la cadena:
Ejemplos:
Halle en el punto (0,0):
Para 
Para 
 
Halle ; 
Reemplazando:
Regla de la Cadena (General)
Consideremos es una función diferenciable en tal que y que cada es una función de m variables es decir . Entonces:
Recuerda siempre usar tu diagrama del árbol para realizar operaciones por el método de la cadena, es muy útil para recordar las reglas de derivación parcial con respecto a las distintas variables dependiente
Busca los términos semejantes de la última fila en el árbol y suma solamente sus términos semejantes
Ejemplo:
Halle y :
Recordemos:
Del diagrama del árbol podemos extrapolar que:
Reemplazando tenemos que:
Y si me viene así?
En esta sección mostraré algunos problemas que son muy poco probables que te vengan en tu examen, pero se mostrará la solución para que el estudiante se encuentre más preparado
R17: Death Note
Si se verifican las siguientes ecuaciones:
Exprese en términos de u, v, g y las derivadas parciales de g: 
Solución:
Resolviendo x e y:
Por regla de la cadena:
Donde:
Reemplazando:
Luego:
Recordemos que está en función de y por lo tanto también están en función de x e y:
Reemplazando en (1): 
De forma análoga se tiene que:
Reemplazando los valores ya calculados en (2):
También:
Reemplazando:
Sumando todos los resultados obtenidos:
Consideremos que f es una función definida en y tal que depende sólo de la distancia r del punto al origen, esto es donde 
Demostrar que para , se tiene:
Solución:
Dado que 
Operando tenemos: 
De la ecuación anterior se puede deducir que:
Dado que entonces se tiene que:
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Derivación implícita
Definición:
Sea una función definida en el conjunto abierto ; se dice que la ecuación define a z implícitamente como una función de x e y, cuando existe una función definida en un conjunto abierto U tal que:
Ejemplo:
La ecuación representa implícitamente las funciones:
Teorema de la función Implícita
Sea una función real de n+1 variables tales que:
Se puede expresar 
F tiene derivadas parciales continuas en la vecindad del punto 
Entonces la ecuación (*) representa a z en forma implícita como función de , es decir:
 y para se tiene:
Ejemplos:
Sea 
Demostrar que existe una función que defina implícitamente a F, y también demuestre que:
Solución:
 para , y el punto 
Las derivadas parciales de F son:
Entonces:
Hallar y donde 
Solución:
Sea para , y el punto 
Calculando las derivadas parciales:
Adicional
Operaciones aritméticas con diferenciales
Supongamos que las funciones son diferenciables. Entonces las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de funciones son diferenciables, y se cumple que:
Como puede apreciar, el diferencial de un función de dos variables tiene propiedades análogas a las de la derivada y diferencial de una función de una variable
Diferenciales de orden superior
Consideremos que f es una función de las variables de e . El diferencial de segundo orden de f, denotado por , es definido como el diferencial del diferencial de f. Esto es:
En general se tiene que el diferencial de orden n es:
Si , entonces y los diferenciales de mayor orden de son:
Aplicando la definición, el diferencial de segundo orden de es:
Aplicando la fórmula para el diferencial del producto, se tiene:
Como e son variables independientes y , no depende de x, entonces estos son constantes, por lo que 
Entonces, la ecuación inicial se reduce a
Demostración 
Diferencial exacta
Sea la expresión diferencial:
Es denominada diferencial exacta si existe una función F tal que:
Teorema:
Sean M y N dos funciones que tienen derivadas parciales continuas en cierta región R del plano xy. La expresión diferencial:
Es exacta si y solo si:
Sugerencia: Demuestre usando la definición de diferencial y el teorema de Schwarz
Teorema de Euler para funciones homogéneas
Una función es homogénea de grado r si:
Si f es diferenciable, se verifica que:
Demostración: Por regla de la cadena se tiene que:
De la primera ecuación:
Reemplazando tenemos que:
Función Implícita para 2 funciones
Considere las funciones Sea un punto tal que . Suponga que en una bola de centro , las funciones F y G tienen sus 4 derivadas parciales continuas.
Se tiene que:
Donde se denomina jacobiano y se calcula como:
Regla general de la función Implícita
Considere las n funciones: 
Sea un punto tal que Suponga que en una bola con centro en las funciones tienen derivadas parciales continuas. Si el Jacobiano:
Es no nulo en , entonces las expresiones definen funciones implícitas las cuales tiene derivadas parciales continuas que se pueden calcular como:
Integrantes de CyADLG