Aplicaciones de las derivadas parciales I

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

Aplicaciones de las derivadas parciales I
MateDLG y CyADLG
Índice:
Máximos y Mínimos
Extremos Absolutos
Extremos relativos
Puntos Críticos
Criterio de la Segunda derivada Parcial
Matriz Hessiana
Definición
Criterio de la Segunda derivada Parcial
Ejercicios Contextualizados
Adicional
Función de clase 
Serie de Taylor para dos variables
Generalización de la serie de Taylor para varias variables
Forma Cuadrática
Criterio general de la matriz Hessiana
Método de los mínimos cuadrados
Regresión Lineal
Máximos y Mínimos
Valores Extremos Absolutos de las Funciones
Sea f una función definida en cada punto de una región del plano XY
Se dice que f tiene un valor máximo absoluto en si este existe al menos en un punto en tal que:
Se dice que f tiene un valor mínimo absoluto en si este existe al menos en un punto en tal que:
A los extremos absolutos también se les denomina extremos globales porque son los valores máximo y mínimo en toda región R
Valores Extremos Relativos de las Funciones
Sea f una función de varias variables, en se tiene un valor máximo relativo si existe una bola abierta , tal que:
Sea f una función de varias variables, en se tiene un valor mínimo relativo si existe una bola abierta , tal que:
A los máximos o mínimos relativos también se les denomina máximos o mínimos locales, pues dichos valores son máximos o mínimos en las cercanías de los puntos 
Ejemplo
Nótese que en la figura que en los puntos en que se produce el máximo y el mínimo, el plano tangente es horizontal. Pareciera pues que esto es así, no solo para las funciones graficadas en dichas figuras, sino para otras funciones.
Teorema
Si la función definida en un conjunto abierto , tiene un valor extremos en y las derivadas parciales en existen, entonces todas las derivadas parciales en dicho punto son cero.
Demostración:
Si la función tiene un valor máximo relativo en entonces tal que:
Recordar que
Donde 
De la inecuación anterior, podemos afirmar que :
Dado que para cada se tiene que :
Esto implica que si se tiene que 
Pero si entonces
Como la derivada direccional existe, se tiene que:
Donde 
Análogamente, si tomamos el mínimo relativo de la función, obtendremos el mismo resultado.
Por lo tanto, los valores extremos de una función la función definida en un conjunto abierto puede ocurrir en puntos donde las primeras derivadas parciales de f son ceros
Observación
El recíproco del teorema anterior no siempre es válido (pueden existir puntos en donde la derivada parcial sea nula pero la función en ese punto no es un extremo relativo). Por ejemplo:
Sus derivadas parciales se anulan en sin embargo, si analizamos los puntos cercanos a su origen:
, es un máximo relativo
, es un mínimo relativo.
Entonces podemos concluir que en los puntos de la superficie que están cerca a contiene puntos donde y otros donde .
Entonces para el punto no se cumple la definición de máximo relativo o mínimo relativo
Punto de Silla
Un punto de silla o punto de ensilladura es el punto sobre una superficie en el que la gradiente de la función es un vector nulo (todas las derivadas parciales en ese punto son cero), pero no se trata de un extremo relativo (máximo o mínimo).
El nombre deriva del hecho de que el ejemplo prototípico en dos dimensiones es una superficie que se curva hacia arriba en una dirección y se curva hacia abajo en una dirección diferente, asemejándose a una silla de montar o un paso de montaña entre dos picos formando una forma de relieve . 
Punto de silla para el ejemplo anterior
Puntos críticos (P.C.)
Sea la función definida en un conjunto abierto . A los puntos del dominio en que sus derivadas parciales se anulan, o una o ambas derivadas parciales no existen, se les denomina puntos críticos o puntos estacionarios de f.
De esta definición deducimos que una función puede tener extremos relativos o puntos silla en los puntos críticos. 
Formalmente, dado se dice que es punto crítico si cumple que:
Ejemplo:
Halle los puntos críticos de:
Recordar: 
Analizaremos 4 casos:
Existen 4 puntos críticos
Teorema
Sea la función definida en un conjunto abierto 
Si la función no tiene puntos críticos, entonces la función no tiene extremos.
Ejemplo:
No presenta puntos críticos, por lo tanto, no tiene extremos, como se aprecia en el gráfico
Criterio de la Segunda Derivada Parcial
Sea la función definida en un conjunto abierto donde las derivadas primeras y segundas de f son continuas, sea un punto tal que:
Se cumple:
Si y , entonces es un valor mínimo relativo
Si y , entonces es un valor máximo relativo
Si , entonces es un punto de silla
Si no se puede concluir nada
¿Y si me olvido?
Una forma de recordar el valor de es por medio de una determinante:
También recordemos que:
Nota: este es un caso de la matriz Hessiana, más adelante hablaremos de esta.
R17: Hitori Bocchi no marumaru
Ejemplos:
1. Determinar los puntos críticos de la función, luego halle los extremos relativos u puntos de silla, si existen.
Solución:
Recordar 
Tenemos 2 casos:
tenemos dos puntos críticos: 
; tenemos dos puntos críticos: 
Luego:
Aplicando el criterio de la segunda derivada parcial:
 por el segundo criterio concluimos que f tiene un máximo relativo en 
 por el primer criterio concluimos que f tiene un mínimo relativo en 
 por el tercer criterio concluimos que f tiene un punto de silla en 
Conclusiones:
 tiene un máximo relativo en dicho valor máximo es 
 tiene un mínimo relativo en dicho valor máximo es 
 tiene punto de silla en dicho punto de silla es 
 tiene un punto de silla en dicho punto de silla es 
2. Determinar los puntos críticos de la función, luego halle los extremos relativos o puntos de silla, si existen.
Solución:
Resolviendo, tenemos que solo existe un punto crítico para Punto críticos: 
Por el cuarto criterio, no se puede concluir nada. En este caso, haremos un análisis de contorno para determinar si satisface la definición de extremo relativo o punto de silla.
De nuestra regla de correspondencia:
Tenemos dos opciones, analizar por puntos (escoger valores próximos a (0.0)) o analizando superficies:
Hallamos el valor de f en el punto ; .
La recta , para el dominio de f, este pasa por el punto . Para estos puntos, regla de correspondencia se reduce a:
Para todo disco abierto en el plano XY centrado en , contiene puntos sobre la recta donde para:
 se tiene que .
 se tiene que .
Entonces, para este disco abierto, no se verifica la definición de extremo relativo; sin embargo si cumple la de punto de silla
Por lo tanto, concluimos entonces que es un punto de silla, donde es el punto de silla en la superficie
Nota: Dependiendo del profesor, este análisis es innecesario. La mayoría de veces solo piden que demuestres el valor del discriminante
Y si me viene así?
En esta sección mostraré algunos problemas que son muy poco probables que te vengan en tu examen, pero se mostrará la solución para que el estudiante se encuentre más preparado
R17: Death Note
1. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función:
Solución:
Tenemos 2 casos:
 entonces el punto crítico sería 
 ; entonces el punto crítico sería 
De ambos casos, sostenemos que el punto crítico es único y es .
Por el cuarto criterio, no se puede concluir nada.
Hallamos el valor de f en el punto ; .
Consideramos algunos conjuntos de puntos particulares del dominio que tienen a como un punto de acumulación.
En puntos del eje :
Podemos decir que es un mínimo relativo.
En puntos de la recta 
Para analizar si esta función es positiva o negativa, aplicamos lo aprendido en cálculo I.
Tomemos 
Observamos que tiene un punto crítico en ; analizando la función alrededor de el P.C. tenemos que tiene un mínimo relativo en 0. Esto implica que es también un mínimo relativo en la recta 
Sin embargo, aún no podemos afirmar nada, debido a que aún existen distintas rectas para analizar.
Reescribimos nuestra regla de correspondencia: 
Vemos que sobre
las parábolas . Entonces sí no está sobre estas curvas, entonces .
Con un análisis de signos podemos comprobar que en los puntos que están encima de o debajo de 
Sin embargo, en los puntos comprendidos entre las dos parábolas.
Entonces considerando un disco abierto cerrado en (0,0), entonces la distribución de signos de en dicho disco son los que se muestran en la figura. Entonces, deducimos que en no hay extremos relativos y el punto en la superficie es un punto de silla.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
Problema y solución sacado del libro de Matemática III-Funciones de varias variables, de Félix Carrillo Carrascal
Matriz Hessiana
Definición
Sea la función definida en un conjunto abierto tal que las derivadas parciales de primer y segundo orden existen en un punto .
Se denomina matriz hessiana de la función f en el punto a la matriz dada por:
Observación	
Los elementos de la matriz Hessiana son derivadas parciales de 2do orden de la función
La matriz es simétrica
El para 
Es igual a la ecuación de la discriminante para el uso del criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables.
Criterio de las segundas derivadas parciales general
Sea la función definida en un conjunto abierto tal que las derivadas parciales de primer y segundo orden existen en un punto donde es un punto crítico de f, ósea . Entonces:
Tenemos los siguientes casos:
 en es mínimo relativo si:
 en es máximo relativo si:
	Tiene signos alternos, pero empezando siempre con 
Si ninguna de las condiciones anteriores se cumple, entonces no se puede concluir nada
Observación
Ejemplo:
Determinar los extremos relativos de la función 
Por el segundo caso del criterio, afirmamos que f tiene un máximo relativo en el punto y su valor es 
Ejercicios Contextualizados
En el plano XY determine un punto tal que la suma de cuadrados de las distancias que se miden de dicho puntos a los ejes X e Y, y a la recta , sea la menor posible.
Solución:
Sea un punto arbitrario, te piden 
Donde es la distancia de P hacia eje X, es la distancia de P hacia eje y es la distancia de P hacia la recta.
Cumple el primer caso del criterio de la matriz Hessiana, por lo tanto si existe el mínimo en el punto y ese valor es 
2. Una caja rectangular cerrada con volumen de se construye con dos clases de material. La parte superior e inferior se hace con un material que cuesta 10 dólares el metro cuadrado; los lados, con un material que cuesta 5 dólares el metro cuadrado. Calcule las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo.
Solución:
Asignemos las dimensiones de la caja rectangular.
Podemos calcular las áreas laterales y gracias al dato que tenemos podemos expresar el costo con la siguiente formula:
Como el volumen de la caja es igual a , se tiene:
Entonces, para tener poder minimizar el costo solo usaremos dos variables para nuestra función de costo:
El punto crítico corresponde a un mínimo. Por lo tanto, las dimensiones de la caja para que tenga un costo mínimo serian de:
. El costo será de 
2do Problema tipo: Así no viene:
3. Demostrar que un triangulo tiene área máxima cuando es equilátero.
Solución:
Sean los lados del triangulo, tal que su perímetro es: 
Recordemos que el área de un triángulo en función de su perímetro y su lado es:
Cuatro casos:
 esta solución no tiene sentido
 esta solución no tiene sentido
 esta solución no tiene sentido.
Cumple la segunda condición, por lo que el área es máxima si , ósea el triángulo es equilátero
4. Supóngase que e representan las cantidades en kilos de los complementos diferentes mezclados en un alimento balanceado para pollos. Los pesos resultantes (en kilos) para vender los gallos y las gallinas se estiman por , y respectivamente.
La utilidad (en miles de dólares) obtenido de un lote de pollos se modela por la función donde el número de gallos y gallinas en cada lote no varía.
Determine las cantidades e de cada complemento alimentario que maximiza la utilidad.
Solución:
Para poder maximizar la utilidad en función de e aplicaremos el criterio de la Hessiana para maximizar con respecto de dichas variables. Usando regla de la cadena:
Cumple la segunda condición, por lo que para hay un máximo relativo
Por consiguiente, las cantidades de kilos e kilos maximizan la utilidad.
Adicional
Función de clase 
En distintos textos se menciona que una función pertenece a un conjunto . ¿Qué significa esta notación?
Dada una función diferenciable en todo . Se dice que la función: , si las derivadas parciales hasta el orden son continuas.
Ejemplo:
entonces y existen y son continuas
entonces existen y son continuas
Serie de Taylor para dos variables
Sea , donde Sobre un conjunto abierto y si , entonces para cualquier , distinto de , tal que . En resumen, que para puntos muy cercanos a . Se define al polinomio de Taylor de n-ésimo grado para una función de dos variables muy próximas al punto si:
Donde:
3. Problema tipo: ¿Y si me viene así?
Calcule una expansión de la serie de Taylor de segundo grado alrededor del punto para la función:
Como n=2, entonces
Resolviendo, tenemos que:
El polinomio de expansión de segundo grado será :
Generalización Serie de Taylor
Sea , donde , la serie de Taylor de grado k alrededor del punto será:
Donde:
Forma cuadrática
Una forma cuadrática es una función cuy valor en es dado por:
Donde también se puede definir a esta como:
Observación: Puede definir la formula de expansión de Taylor por formas cuadráticas
Verdadero criterio de la Hessiana
Si el criterio de la Hessiana propuesta te pareció muy sencillo, entonces te gustará usar este criterio siempre que quieras hallar máximos o mínimos.
Sea la función definida en un conjunto abierto tal que las derivadas parciales de primer y segundo orden existen en un punto donde es un punto crítico de f, ósea. Entonces:
Si la forma cuadrática es definida positiva, entonces f tiene un mínimo relativo en 
Si la forma cuadrática es definida negativa, entonces f tiene un máximo relativo en 
Método de los mínimos cuadrados
Para el campo de la estadística, este es el procedimiento matemático estándar para el cálculo del ajuste. Para un conjunto de puntos de datos, una función determina las ejecuciones lo más cerca posible de los puntos de datos y, por lo tanto, el mejor resumen posible de los datos. La función más utilizada es la línea recta , que luego se llama línea de ajuste . Para poder utilizar el método, la función debe tener al menos un parámetro. El método determina estos parámetros de modo que cuando la función se compara con los puntos de datos y la distancia entre el valor de la función y el punto de datos se eleva al cuadrado, la suma de estas distancias al cuadrado se vuelve lo más pequeña posible. Es decir:
Recta de Regresión Lineal
La recta de regresión de mínimos cuadrados, para los puntos dados es la recta tal que:
La demostración queda para el estudiante.
Ayuda: aplica el criterio de la segunda derivada para el método de mínimos cuadrados 
Jacobiano
Hace tiempo definimos que es el Jacobiano de para dos funciones. Sin embargo esta vez generalizaremos para varias funciones.
Sea la función donde . Se expresa como jacobiano a la matriz compuesta por las gradientes de cada función ordenada de manera vertical.
Nota: Esta expresión será más utilizada para el tema de funciones vectoriales de variable vectorial