Funciones Vectoriales de Variable Vectorial

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Funciones Vectoriales de Variable Vectorial
MateDLG y CyADLG
Índice:
Introducción
Repaso
Funciones Vectoriales de vectores
Definición
Campos Vectoriales y gráficos
Limites
Continuidad
Diferencial
Regla de la cadena
Ejemplos
Introducción
Anteriormente vimos funciones vectoriales de variable real (de la forma: 
 que van de ). Y también vimos lo opuesto, que son las funciones reales de variable vectorial: ( que van de ). Un demente juntó estos dos conceptos de tal forma de poder generalizar estos tipos de funciones (funciones de la forma: que van de ) creando esta aberración denominada función vectorial de variable vectorial.
Osea funciones que reciben como entrada vectores y al transformarlos nos devuelven vectores
Objetivos
Generalización para funciones vectoriales y reales.
Utilizar estos conceptos en las integrales curvilíneas
Aprender como utilizar estos conceptos en otras ramas de la ciencia:
Física
Química
Ingeniería
Establecer fundamentos necesarios para interpretar la gradiente de una función de varias variables
Aprender sobre divergencia y rotacional
Recodar
Definiciones Previas- Conjuntos
Norma: Sea y puntos de . Se define como longitud o norma :
Bola abierta en : Una bola abierta de centro en el punto y radio , es el conjunto:
Bola reducida en : 
Bola cerrada en : 
Nota: Se referirá a una vecindad de un punto a una bola abierta con centro en a
Punto frontera: Un punto frontera es un punto frontera del conjunto si y solo si 
Esto es, se llama punto frontera del conjunto si cada bola abierta con centro en contiene al mismo tiempo puntos que están en y puntos que están en 
Conjunto abierto en : Un conjunto es abierto en si y solo sí , existe tal que (es abierto si y solo si A no contiene a ningún puntos de frontera)
Conjunto cerrado en : Un conjunto es cerrado si y solo si el complemento de es abierto en (es cerrado si y solo si A contiene a todos sus puntos de frontera)
Conjunto convexo: Un conjunto , se llama convexo si para cada par de puntos , de el segmento de la recta que une a está íntegramente contenida en , esto es: 
Conjunto conexo: Un conjunto , se llama conexo si para cada par de puntos , de , existe una curva que los une a está íntegramente contenida en , esto es: donde , 
Teorema: Un conjunto es conexo si la única manera de escribir a como la unión disjuntas de dos subconjuntos abiertos en es la trivial, es decir: .
Curva cerrada simple: Es aquella curva que verifica y 
Conjunto simplemente conexo: Un conjunto se llama simplemente conexo si toda curva cerrada simple contenida en puede ser deformada de manera continua hasta convertirla en un punto de , con la particularidad de que todas las curvas cerradas intermedias obtenidas en el proceso de deformación están contenidas en .
Ejemplo:
En , así como en todas las bolas abiertas reducidas a si resultan ser simplemente conexas, pues cualquier curva cerrada simple C puede ser deformada en forma continua hasta convertirla en un punto. (reducir tu conjunto)
En el conjunto que es el espacio al que se le ha quitado el eje Z no es simplemente conexo
Teorema del Valor Medio
Sea y un vector unitario, dada la derivada direccional :
Si existe sobre un conjunto abierto que contiene el segmento rectilíneo cerrado que va de a Entonces existe un número tal que:
Demostración: Hacemos entonces usando la definición de derivada direccional, vemos que De donde F resulta ser continua sobre y diferenciable sobre .
Aplicando a F el teorema del valor medio para funciones de :
Operaciones con Matrices
Si A y B son matrices mxn, entonces la suma de A y B es la matriz mxn A+B:
Observación: Un valor de la función se llama entrada de la matriz.
 representa el orden de la matriz, donde m indica el número de filas y n el número de columnas
Si A es una matriz mxn y B es una matriz nxp, el producto de A y B es la matriz mxp C tal que para 
y 
Teorema: Si es una matriz , una matriz y es una matriz , entonces 
Teorema: Si es una matriz , y es una matriz , entonces 
Norma Matricial euclidiana:
La función real definida sobre el conjunto U de todas las matrices de entradas reales por la regla:
Donde A es una matriz , es una norma matricial. La llamaremos norma matricial euclidiana.
Propiedades:
. 
Funciones Vectoriales de varias variables
Definición
 Es una función matemática de varias variables cuyo rango es un conjunto de vectores multidimensionales o vectores de dimensión infinita.
Es una correspondencia de un conjunto A de vectores a un conjunto B de vectores de tal manera que para cada vector existe un vector .
Si es un conjunto de y es un conjunto de entonces diremos que es una función de cuya notación es 
Ejemplo:
Es una función de tipo 
Campos Vectoriales
A las funciones vectoriales también se les conoce como campos vectoriales.
Mientras que a una función se le conocen campos escalares (funciones multivariables)
El campo vectorial sobre el plano está definido por:
Un campo vectorial sobre se representa como en la siguiente figura, y se puede expresar en términos de funciones reales de variable vectorial:
Las flechas de la figura muestra vectores velocidad que indican la rapidez y dirección del viento en los puntos que están 10 m por arriba de la superficie en el área de la bahía de San Francisco.
Estos son campos vectoriales de velocidad que muestran los patrones de viento en la bahía de San Francisco
Gráfica de Campos Vectoriales
Tenemos la función vectorial 
Para poder graficar campos vectoriales, debemos tomar un punto cualquiera que este dentro del conjunto D. Ejemplo de tal forma que al evaluarlo en nuestra función nos devolverá un vector de dos variables. Lo que haremos es en la gráfica de nuestro campo vectorial, poner como punto de partida de nuestro vector el punto y dibujamos nuestros vectores.
Ejemplo:
Tomamos un punto cualquiera, 
En nuestra gráfica dibujaremos un vector con un punto de partida en , entonces la dirección del vector apuntaría a el punto . Calculando 
Y hacemos esto para varios puntos, evaluamos y lo ponemos en la el eje XY para representar al campo vectorial:
		
		
		
		
		
		
		
		
		
Como podemos apreciar en el cuadro anterior, solamente hemos evaluado algunos puntos, y solamente hemos considerado números enteros; sin embargo, el dominio de la función está evaluada en los reales. Entonces, como podrá ver no podemos generar una gráfica concisa mas si tener una noción de ella.
Una forma común de abordar este problema es limitar la longitud de cada flecha y representar vectores largos con flechas gruesas. Por lo general, no usamos una gráfica de un campo vectorial para determinar exactamente la magnitud de un vector en particular. Más bien, nos preocupan más las magnitudes relativas de los vectores: ¿cuáles son más grandes que otros? Por tanto, limitar la longitud de los vectores no es problemático.
Dibujar flechas con grosor variable se realiza mejor con tecnología; busque en la documentación de su programa gráfico favorito términos como "campos vectoriales" para aprender a hacerlo. La tecnología, obviamente, nos permite trazar muy bien muchos vectores en un campo vectorial; En la figura vemos el mismo campo vectorial dibujado con muchos vectores y finalmente obtenemos una imagen clara de cómo se comporta este campo vectorial.
Algunos sistemas algebraicos computarizados son capaces de dibujar campos vectoriales en dos o tres dimensiones. Proporcionan una mejor representación del campo vectorial de lo que es posible a mano, porque la computadora puede trazar una gran cantidad de vectores representativos. Observe que las computadoras dan una escala a las longitudes de los vectores de modo que no sean demasiado grandes, pero que sean proporcionales a sus longitudes verdaderas.
Grafica hecha con Wólfram Alpha
Ejemplo:
La ley de la gravitación universal establece que la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos objetos con masa es:
Donde esla constante de gravitación universal y es la distancia entre el centro de gravedad de las dos masas.
Supongamos que el objeto de masa tiene su centro de gravedad en el origen de coordenadas.
La distancia es el módulo del vector con punto inicial en el origen .
La fuerza de atracción del objeto de masa hacia el centro de gravedad del objeto de masa , entonces esto significa que el vector fuerza y el vector distancia van en la misma dirección.
Del gráfico podemos observar que la dirección de la fuerza sería el vector unitario de la distancia, ósea:
Entonces concluimos que:
Este campo está representado en la siguiente figura.
Limites
En este capitulo más que nada generalizaremos el concepto de limites para funciones vectoriales de varias variables.
Se dice que el vector es el límite de la función en y escribimos si para cada número hay un número , tal que siempre esté en el dominio de y entonces
Análogamente que los anteriores casos:
Interpretación de Límite
Recordemos conceptos ya hablados en el tema de funciones multivariables:
Decimos que si para cada B de hay una bola reducida de tal quesiempre que .
Teorema
Sea , una función de en y un punto de acumulación de . Entonces si y solo sí . Osea:
Observación:
De el teorema se puede derivar el teorema de la unicidad, ósea:
La demostración queda para el alumno
Ejemplo:
Hallar los siguientes límites si existen:
Demostrar:
Recordemos la desigualdad triangular para vectores, se cumple:
Sea: 
Como:
 existe un tal que 
Operaciones de funciones vectoriales de un vector
Sean funciones vectoriales con dominio y respectivamente.
Sea donde es un escalar:
Operaciones con límites
Sean funciones vectoriales tal que y y es un punto de acumulación donde , entonces:
Sea una función real y es un punto de acumulación donde , entonces: 
Función Continua
La función es continua en el punto de si para todo existen un 
Siempre que y 
En resumen y sencillamente:
La función es continua en si se cumple que:
Teorema: Similar al caso de funciones vectoriales de variable real, si la función es continua en si y sólo si cada una de sus funciones componentes es continua en 
Adicionales a las funciones continuas
Teorema: Si las funciones y son continuas en , entonces , , , son continuas en 
Lema: Sea una función continua de con dominio . Si es un abierto relativo a entonces es abierto respecto a .
Teorema: Sea una función continua de . Si es cualquier subonjunto conexo del dominio de , entonces es conexo
Diferencial de una función vectorial de vectores
Sea es diferenciable en el punto si está definida en una vecindad de. Además existe una matriz independiente de h tal que para cualquier punto en .
Donde. El termino se llama diferencial de en y y se denota por La matriz A se llama derivada de en y se denota por 
.
Observación: 
De la ecuación anterior, tenemos que:
Reordenando la ecuación tenemos que:
Si entonces, para todo i, 
Así pues, si es diferenciable en , entonces cada una de las funciones componentes de es diferenciable en . Análogamente si para todo i entre 1 y m, entonces .
Esto muestra que es diferenciable en si en cada una de las funciones componentes es diferenciable en .
Entonces enunciamos el siguiente teorema
Matriz Jacobiana de una función
Si es una función diferenciable en entonces cada una de las funciones componentes son diferenciables en , luego a la función matricial definiremos por:
Se llama matriz jacobiana de la función 
Observación: 
Ejemplo:
Halle la matriz jacobiana en el punto de la función:
 
Teorema de diferenciabilidad
Sea una función de en . Si la matriz jacobiana de es continua sobre un conjunto abierto . Entonces es diferenciable sobre ; es decir, para cada , hay una vecindad tal que para cualquier .
Demostración:
Tomemos , sea una vecindad de contenida en . Tomemos h, tal que . Entonces, usando el teorema del valor medio tenemos que:
Aplica teorema del valor medio:
Donde y es el vector unitario con 1 como componente y todos los otros componentes 0. Como las derivadas parciales son continuas sobre .
Donde Entonces:
Y como cada una de las derivadas parciales es continua sobre cualquier conjunto cerrado entonces es uniformemente continua sobre .
De donde para cada existe una tal que implican :
Sea y implican:
Lo que demuestra nuestro teorema.
Observación:
Ejercicios:
Demuestre que las funciones son diferenciables en cualquier :
Los elementos de la matriz jacobiana de para cualquier punto de son continuas, entonces decimos que es diferenciable en .
Además:
Como podemos observar, la matriz Jacobiana es continua para cualquier punto de excepto para 
Entonces la función no se puede afirmar que la función es diferenciable para cualquier 
Teoremas
Los siguientes teoremas son generalizaciones de los vistos en diferenciales para funciones multivariables, puede demostrarlo usted mismo.
Teorema: Si diferenciable en entonces es continua en 
Teorema: Si y son diferenciables en entonces:
Teorema: Sea , si la matriz jacobiana de es continua sobre un conjunto abierto entonces es diferenciable sobre 
Composición de Funciones
Sea y , entonces la composición de con , es la función de con regla de correspondencia y dominio:
Si entonces 
Teorema: Sea , tal que tal que es continua en y es un punto de acumulación del dominio de , entonces: 
Teorema: Sea continua en y sea que es continua en , entonces es continua en 
Derivación de la función compuesta
Sea diferenciable en un conjunto abierto , y sea diferenciable sobre un conjunto abierto que contiene Entonces es continua sobre y para toda se verifica que:
Además se cumple:
Podemos generalizar:
Donde , esta propiedad se le conoce como regla de la cadena
Ejemplo:
Sea una función real diferenciable sobre (ósea ). Si describimos los puntos de por medio de coordenadas polares, entonces se transforma en la función donde Es decir:
Encuentre las expresiones para las derivadas parciales de en términos de las derivadas parciales de 
Solución:
Operando:
Si hacemos y podemos reescribir la solución:
Recomendaciones:
Felizmente este tema nos solamente nos servirá mas que todo de apertura para la siguiente clase que abordaremos temas de rotacional y divergencia, por lo que no veremos cosas tan tediosas como las de ahora. 
Sin embargo, si quieren entender mejor el tema, les recomiendo leer el libro de análisis matemático de Hasser- La Salle.
Hasta ahora eso es todo mi reporte, así que:
A mimir zzzzzzzzz
Re17: Silver Spoon