Teorema de Green

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Teorema de Green
CyADLG ft. Team Ciencias Básicas 
Introducción:
Definición de teorema de Green
Propiedades
Corolarios teorema de Green
Área como integral de línea
Región múltiplemente conexa
Generalización del teorema de Green
Ejemplos
¿Qué es el teorema de Green?
Introducción
El segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea, establece que la integral de línea de un campo gradiente, sobre una curva regular a trozos que une los puntos y constituyen una frontera. El teorema de Green es algo parecido.
Sea un campo escalar con gradiente continua en una región abierta conexa . Sí y son dos puntos cualesquiera en unidos por un camino regular u trozos contenidos en , entonces se verifica:
Recordando el segundo teorema:
Definición
Dado un campo vectorial sobre un conjunto abierto , si es una curva en definida sobre un intervalo , entonces ya conocemos la integral de línea.
Para esta sección se considerará curvas cerradas simples seccionalmente regulares, parametrizadas en sentido antihorario, que constituirán la frontera de una región cerrada y acotada, tal que 
¿Para qué usar el teorema de Green?
El Teorema de Green es un resultado que permite expresar la integral doble sobre una región como una integral de línea a lo largo de la curva cerrada que constituye la frontera de la región 
Teorema de Green para Conjuntos simplemente conexos
Sean y dos campos escalares diferenciables con continuidad en un conjunto abierto del plano Sea una curva plana simple cerrada, regular a trozos y sea la región encerrada por ella, incluyendo los puntos de dicha curva. Entonces se verifica lo siguiente:
Donde en el cálculo de la integral de línea, la curva es recorrida en sentido antihorario
Demostración
Lo siguiente es una demostración de la mitad del teorema para la región D, se demostrará cuando D es una región tipo I donde y son curvas conectadas por líneas verticales.
Para la otra parte del teorema se considera a D como una región tipo II donde y son curvas conectadas por curvas horizontalmente
Si suponemos que es una región de tipo I entonces queda descrita como:
Donde y son funciones continuas en 
La demostración del teorema de Green es equivalente a demostrar las siguientes dos ecuaciones:
Ahora, para el cálculo de la integral de línea denominaremos por a la curva y por a la curva .
Puesto que en las porciones de sobre la recta , y por lo tanto , entonces las integrales de línea en estos tramos rectilíneos es cero. Por lo tanto, deducimos que la integral de línea de la ecuación es equivalente a:
Donde el recorrido de es en sentido antihorario con respecto a la región . Como:
Sumando:
De manera análoga se demuestra que:
Sumando ambas ecuaciones, tenemos demostrado que:
Ejemplo:
Halle 
Si es la elipse en sentido antihorario.
Solución:
Por datos, tenemos lo siguiente:
Hallando la integral doble:
Recordando, por geometría básica:
Sea:
Reemplazando en la ecuación inicial:
Ejemplo 2:
Calcular , donde:
Siendo la porción de la circunferencia en el primer cuadrante y en el sentido del punto hacia 
Solución:
Primero, hallamos las derivadas parciales:
Sea 
Operando por partes:
Sobre , donde 
Sobre , donde 
Reemplazando en la ecuación inicial:
Ejemplo 3:
Calcule la integral de línea:
Donde es la curva poligonal que va desde el punto hasta esto es:
Solución:
Para este ejercicio nosotros podemos aplicar el teorema de Green, pero primero tendríamos que cerrar la trayectoria de la figura 1.1. Podemos cerrarla de varias formas, pero convenientemente la cerraremos tal como está en la figura 1.2. (esto para facilitar el cálculo de la integral de línea).
Figura 1.1
Figura 1.2
Figura 1.3
Sea , el cual es simétrico con respecto al eje x. Si denominamos la región encerrada en la figura 1.2., por el teorema de Green tenemos que:
 
Por propiedad de simetría en x para integrales dobles, tenemos que Para hallar el área de la región R solo basta con hallar el área de la región que ese encuentra en la figura 1.3. y sumarlo 4 veces ya que esta área es simétrica en toda la figura.
Entonces:
Para la curva rectilínea , que está descrita por la ecuación :
Para la curva rectilínea , que está descrita por la ecuación :
Reemplazando en la ecuación inicial:
Área expresada como integral de línea
¿Qué sucede si en la aplicación del teorema de Green consideramos que la diferencia de derivadas parciales es uno?
Esto siempre y cuando .
Formulación de campos vectoriales para el cálculo de áreas
Si y , entonces aplicando el teorema de Green (si es que se cumplen las condiciones) obtenemos otra manera de calcular el área de una región.
Si y , entonces aplicando el teorema de Green (si es que se cumplen las condiciones) obtenemos otra manera de calcular el área de una región.
Otra alternativa
Si tomamos y , y si la región , está encerrada por una curva cerrada simple , aplicando el teorema de Green se puede expresar el área como:
Obs: La curva en sentido antihorario
Área parametrizada
Considerando la alternativa anterior. Teniendo una parametrización:
Esta fórmula también puede ser expresada como:
Ejemplo 1:
Sea la región encerrada por las curvas , 
Calcular el área de 
Solución:
Considerando a como la región de integración
Primero limitamos nuestra región , el cual sería:
Donde:
Método 2:
Considerando el contorno de la región R, podemos expresar el área por medio de integrales línea. Notamos que en puntos de es más fácil expresar como función explícita de por lo que usaremos como parámetro. Mientras que en los puntos de y , más fácil resulta expresar y como función explicita de por lo que usamos como parámetro. Por lo tanto, expresamos el área de la siguiente forma (diapositiva 15):
Ambas respuestas son las mismas, con esto reafirmamos que el procedimiento realizado es el correcto
Ejemplo 2:
Hallar el área encerrada por la hipocicloide:
Solución:
Parametrizando la ecuación:
Parametrizando la ecuación, tenemos:
Entonces, de la ecuación de la diapositiva 16:
Regiones múltiplemente conexa del plano
Un conjunto acotado abierto y conexo se llama Doblemente conexo si su frontera (o borde) consiste de dos curvas cerradas simples por secciones regulares (antihorarias) y se llama triplemente conexo si su frontera consiste de tres curvas cerradas seccionalmente regulares como se muestra en la figura 1.4.
En general, un conjunto conexo y abierto se llama doblemente conexo si tiene un hoyo, se llama triplemente conexo si tiene dos hoyos y así sucesivamente
S: Doblemente Conexo (1 Hoyo)
S: Triplemente Conexo (2 Hoyo)
Borde
Dado un conjunto múltiplemente conexo con hoyos y por lo tanto con su frontera constituida por curvas cerradas simples seccionalmente regulares, se llama Borde de a la reunión de las curvas 
Estas curvas deben tener una orientación tal que un observador sobre una de tales curvas siempre va a encontrar a la región a su izquierda. Las curvas siempre va a encontrar a la región a su izquierda. Las curvas interiores de las figuras deben recorrerse en sentido opuesto al indicado en la figura anterior. Al borde se le denota por:
Observaciones
Para un conjunto doblemente conexo:
Para un conjunto triplemente conexo:
Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas
Resulta que el teorema de Green se puede extender para regiones múltiplemente conexas, que tienen una o más regiones recortadas u hoyos en el interior, en contraposición a los puntos discretos recortados. Para tales regiones, el límite "externo" y los límites "internos" se atraviesan de modo que R siempre está en el lado izquierdo.
¿Por qué se considera regiones en direcciones contrarias?
=
Generalización del teorema de Green
Sean y campos escalares diferenciables con continuidad en un conjunto abierto que contiene a . Entonces se verifica lasiguiente identidad:
Es decir:
Donde todas las curvas son recorridas en sentido positivo con respecto a la región que encierran
Ejemplo 1:
Calcular
Siendo la frontera de la región encerrada por las circunferencias y recorrida en sentido positivo con respecto a la región que encierra.
Solución:
Sea la región encerrada por ambas circunferencias. Así denominamos por a la circunferencia exterior y a la circunferencia interior, entonces ambas curvas conforman la frontera de , es decir: 
Tenemos que:
Pero dado que es recorrido en sentido positivo, entonces debe recorrerse en sentido antihorario y en sentido horario, tal como muestra en la figura.
Entonces, la ecuación resultante sería:
Donde ambas integrales de línea se recorren las curvas en sentido antihorario.
Como es una región múltiplemente conexa, entonces por el teorema de Green se verifica que:
Sin embargo, de la ecuación anterior tenemos que:
Dado que:
Dado que es una función impar con respecto de la variable , y la región es simétrica respecto al eje , entonces:
Ejemplo 2:
Calcular el área de la región interior a la circunferencia y exterior a las circunferencias:
Solución:
Sea 
Por el teorema de Green:
Sin embargo, para que se halle el área de la región consideramos valores y tal que .
Sin embargo, para el teorema de Green en regiones múltiplemente conexas:
Para :
Para 
Análogamente se demuestra que:
Reemplazando tenemos:
Invarianza de la Integral de línea ante la deformación del camino (1/2)
Si para todo :
Y si , entonces:
Donde y tienen la misma orientación
Con este teorema, solo bastaría hallar el valor de la integral de a lo largo de alguna curva cerrada donde fuese sencilla esta evaluación.
Ejemplo:
Sea el campo vectorial:
Y sea la elipse . Calcular recorrida en sentido antihorario
Solución:
Sin embargo, se demostró que este campo no es conservativo en todos los puntos del conjunto (clase 21). Por otra parte si intentamos el cálculo directo de la integral de línea sobre la integral de línea, este nos resultará muy difícil de resolver. Pero si consideramos que es la curva de la circunferencia ,de tal forma que , entonces por el teorema anterior, se cumple
Evaluando la integral de línea sobre :
Invarianza de la Integral de línea ante la deformación del camino (2/2)
Si para todo :
Y si , entonces:
Donde tienen la misma orientación
Ejemplo:
Sean:
Donde se verifica que en el domino de y . Calcular donde es la curva conformada por la unión de dos cuadrados y una elipse como se muestra en la figura u recorrida en el siguiente orden: .
Solución:
Se puede escribir:
Donde:
Podemos considerar las siguientes funciones vectoriales:
Usted mismo puede verificar lo siguiente:
Por el teorema de campos conservativos se demuestra que los campos vectoriales planteados son conservativos que pertenecen a su dominio. Nótese que el campo está definido sobre el conjunto .
Además apreciamos que el campo de es similar al problema resuelto anteriormente. Entonces por la invarianza de la integral de línea, encontramos que la integral de línea de dicho campo sobre toda curva cerrada que engloba al origen es . Realizando el mismo análisis a los demás campos podemos concluir que el campo no es conservativo en todo el conjunto de puntos que contenga al punto y que su integral de línea sobre toda curva cerrada que contenga a ese punto es (realizando el mismo análisis que en el problema anterior).
Igualmente para el campo con respecto al punto 
Al considerarse que , entonces los dominios de no deben incluir a los puntos .
Sin conocer el teorema aprendido anteriormente, el cálculo de la integral de línea sería muy laborioso, sin embargo, teniendo en cuenta que las curvas están descritas por las circunferencias:
Donde 
Entonces, por la invarianza de la integral se deduce que:
Pero:
Dado a que contiene al punto los campos y no están definidas en este punto, pero sus reglas de correspondencia pueden ser validas en este punto, de esta forma estos campos serian conservativos en toda región que contenga a pero no a y Dado a que el valor de las integrales de línea sobre no depende de si dichos estén o no definidas en la integral en los campos y es nula. Entonces: 
Realizando el mismo análisis a y : Entonces:
(0,a)(a,0)Yx
YXP(0,1)Q(3,0)(-2,2)-3(-2,-2)(2,-2)-1
YX(2,2)
YX
RYX(4,2)(0,6)(-4,-2)
YXaa-a-a
YX
YX
YXR
SR
23aYX
R
YXACDEGF
YXABCDEGF