La-Magia-de-La-Matematica - Theoni-Pappas

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Theoni Pappas 
La Magia de la 
Matemática 
El orden oculto tras la naturaleza y el arte 
 
 
 
 
Divulgación 
― 3 ― 
 
Este libro está dedicado a los matemáticos que 
han creado y siguen creando la magia de la 
matemática. 
 
 
Colección dirigida por Jaime Poniachik y Daniel Samoilovich 
Edición a cargo de Diego Uribe 
Traducción de Mirta Rosenberg 
© 1994 by Theoni Pappas 
Edición original en inglés publicada por Wide World Publishing/Tetra con el 
título The Magic of Mathematics. 
© 1996 by Juegos & Co. 
 
Edición digital: Sargont (2019) 
 
I.S.B.N.: 84-88155-47-6 
Depósito Legal: M. 23107-1996 
Impreso en España - Printed in Spain 
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PREFACIO 
No es necesario resolver problemas ni ser matemático para descubrir 
la magia de la matemática. Este libro es una compilación de ideas... ideas 
en las que subyace un tema matemático. No es un libro de texto. El lector 
no debe esperar convertirse en un experto en algún tema ni agotar una 
idea. La magia de la matemática investiga el mundo de las ideas, explora 
la seducción que la matemática ejerce sobre nuestras vidas, y ayuda al 
lector a descubrirla en los lugares más inesperados. 
Muchos creen que la matemática es una disciplina rígidamente esta-
blecida. Nada podría estar más lejos de la verdad. La mente humana 
constantemente crea ideas matemáticas y mundos fascinantes y nuevos 
independientes de nuestro mundo... y rápidamente esas ideas se conectan 
con nuestro mundo, casi como si las hubieran tocado con una varita má-
gica. Del mismo modo en que los objetos de una dimensión pueden desa-
parecer en otra, siempre se puede encontrar un nuevo punto entre otros 
dos puntos cualesquiera, los números pueden producir operaciones, re-
solver ecuaciones, los gráficos pueden producir cuadros, el infinito resol-
ver problemas, generar fórmulas... y todo eso parece poseer una cualidad 
mágica. 
Las ideas matemáticas son creaciones de la imaginación. Son ideas 
que existen en mundos extraños, y sus objetos se producen mediante pura 
lógica y creatividad. Un círculo o un cuadrado perfectos existen en un 
mundo matemático, en tanto en nuestro mundo sólo existen representa-
ciones de las cosas matemáticas. 
Los tópicos y conceptos mencionados en cada capítulo no se limitan 
de ningún modo a esa sección. Por el contrario, los ejemplos pueden tras-
pasar los límites arbitrarios de los capítulos. Aunque fuera posible, resul-
taría indeseable restringir una idea matemática a un área específica. Sin 
embargo, cada tópico es esencialmente completo, y puede ser disfrutado 
independientemente. Espero que este libro sea una puerta de entrada a los 
mundos matemáticos. 
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Galería de grabados, por M.C. Escher 
© 1996 M.C. Escher/Cordon Art, Baarn, Holanda. 
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LA MATEMÁTICA EN LAS COSAS COTIDIANAS 
La matemática del vuelo 
La matemática de una llamada telefónica 
Reflectores parabólicos y los faros de su auto 
La complejidad y el presente 
La matemática y la cámara 
Reciclado de números 
Bicicletas, mesas de pool y elipses 
En busca de teselados 
Sellos matemáticos 
La cola del ratón 
Una visita matemática 
La ecuación del tiempo 
¿Por qué las bocas de inspección de desagües son redondas? 
No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no 
pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. 
Nikolai Lobachevsky 
Muchísimas de las cosas con las que estamos en contacto en nuestra 
rutina diaria tienen una base o una conexión matemática. Estas cosas os-
cilan entre volar en avión hasta la forma de las bocas de inspección de 
desagües. Con frecuencia, donde uno menos lo espera, descubrimos la 
presencia de la matemática. He aquí un muestreo al azar de esos casos. 
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LA MATEMÁTICA DEL VUELO 
 
Bocetos de los cuader-
nos de Leonardo da 
Vinci 
 
 
Leonardo da Vinci escribió: “...el hombre... podría someter el 
aire y elevarse en él con grandes alas de su propia creación. 
Una cosa ejerce contra el aire tanta fuerza como el aire ejerce 
contra ella” 
La gracia y naturalidad del vuelo de los pájaros han sido siempre un 
tormento para el deseo humano de volar. Las antiguas historias de mu-
chas culturas dan testimonio del interés mostrado por diversas criaturas 
voladoras. Al ver los planeadores, advertimos que el vuelo de Dédalo y 
de Ícaro tal vez no fuera tan sólo un mito griego. Hoy, aeroplanos de 
enormes dimensiones se elevan con su carga al reino de los pájaros. Los 
peldaños históricos hasta que la humanidad consiguió volar, tal como 
ahora lo hacemos, han tenido literalmente sus altibajos. En el curso de los 
años, científicos, inventores, artistas, matemáticos y otros especialistas se 
han sentido desafiados ante la idea de volar, y han creado diseños, proto-
tipos y experimentos con el objeto de dominar el aire. 
He aquí un resumen condensado de la historia del vuelo: 
* Los chinos inventaron las cometas (400-300 A.C.). 
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* Leonardo da Vinci estudió científicamente el vuelo de los pájaros y bo-
ceto diversas máquinas voladoras (1500). 
* El matemático italiano Giovanni Borelli demostró que los músculos 
humanos son demasiado débiles para propulsar el vuelo (1680). 
* El francés Jean Pilàtre de Rozier, marqués d’Arlandes, realizó el pri-
mer ascenso en globo de aire caliente (1783). 
* El inventor británico, Sir George Cayley, diseñó el plano aerodinámico 
(sección transversal) de un ala, construyó y voló (1804) en el primer 
modelo de planeador, y fundó la ciencia de la aerodinámica. 
* El alemán Otto Lilienthal ideó un sistema para medir la fuerza de sus-
tentación producida por alas experimentales y realizó los primeros 
vuelos tripulados de planeadores entre 1891 y 1896. 
* En 1903, Onille y Wilbur Wright realizaron los primeros vuelos tripu-
lados en un aeroplano impulsado a motor. Experimentaron con tíme-
les de viento y sistemas de peso para medir la sustentación y la resis-
tencia al avance de los modelos. Perfeccionaron las máquinas y las 
técnicas de vuelo, al punto que para 1905, sus vuelos alcanzaron los 
38 minutos de duración, cubriendo una distancia de 20 millas. 
He aquí el modo en que nos elevamos del suelo: 
Para poder volar, hay que equilibrar fuerzas verticales y horizontales. 
La gravedad (la fuerza vertical hacia abajo) nos mantiene unidos a la tie-
rra. Para contrarrestar la fuerza de gravedad, es necesario crear una fuerza 
de sustentación (una fuerza vertical hacia arriba). La forma de las alas y 
el diseño de los aeroplanos es esencial en la creación de esta fuerza. El 
estudio del diseño que la naturaleza ha hecho de las alas y de los pájaros 
en vuelo es la clave para lograrlo. Parece casi sacrílego cuantificar la ele-
gancia del vuelo de los pájaros, pero sin el análisis matemático y físico de 
los componentes del vuelo los aviones actuales jamás hubieran despegado 
de la tierra. No siempre pensamos en el aire como en una sustancia, ya 
que es invisible. Sin embargo, el aire es un medio como el agua. El ala de 
un aeroplano, así como el aeroplano mismo, divide o corta el aire cuando 
avanza a través de él. El matemático suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), 
descubrió que a medida que aumenta la velocidad de un gas o fluido, su 
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presión disminuye. El principio de Bemouilli1 explica el modo en que la 
forma de un ala crea una fuerza de ascenso. La parte superior del ala es 
curva. 
Esa curva aumenta la velocidad del aire, y por lo tanto disminuye la 
presión del aire que pasa por encima de ella. Como la parte inferior del 
ala no tiene esta curva, la velocidad del aire que pasa por debajo del ala 
es menor, y por lo tanto su presión es mayor. La alta presión del aire de-
bajo del ala se desplaza o empuja hacia la baja presión del aire que está 
por encima del ala, y de ese modo eleva al aeroplano. El peso (la fuerza 
de gravedad) es la fuerza vertical que contrarresta el ascensodel aero-
plano. 
 
La forma del ala hace más larga la distancia de la parte superior, lo que implica que el aire 
debe desplazarse más rápido sobre ella, haciendo que la presión del aire en la parte supe-
rior del ala sea menor que debajo del ala. La mayor presión existente debajo del ala empu-
ja a ésta hacia arriba. 
 
Cuando el ala forma un ángulo mayor, la distancia de su parte superior es todavía más 
extensa, incrementando de ese modo la fuerza de ascenso o sustentación. 
El empuje o propulsión y la resistencia son las fuerzas horizontales 
que inciden en la situación del vuelo. El empuje impulsa el aeroplano 
hacia delante, en tanto la resistencia lo impele hacia atrás. Un pájaro crea 
empuje agitando las alas, mientras que un avión lo hace por medio de sus 
 
1 Las leyes que gobiernan el flujo de aire para los aeroplanos se aplican también a muchos 
otros aspectos de nuestra vida, como por ejemplo los rascacielos, los puentes suspendidos, 
los discos duros de los ordenadores, las bombas de agua y de gas, y las turbinas. 
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hélices o reactores. Para que un avión mantenga el nivel y vuele en línea 
recta todas las fuerzas actuantes deben equilibrarse entre sí, es decir, ser 
cero. La sustentación y la gravedad deben equilibrase, lo mismo que el 
empuje y la resistencia. Durante el despegue, el empuje debe ser mayor 
que la resistencia, pero durante el vuelo deben igualarse, pues de otra 
manera la velocidad del avión aumentaría constantemente. 
La observación del ascenso y el descenso de los pájaros revela otros 
dos factores del vuelo. Cuando la velocidad del aire por encima del ala 
aumenta, la sustentación también aumenta. Al aumentar el ángulo del ala 
con respecto al aire circundante (llamado ángulo de ataque) la velocidad 
del aire por encima del ala puede incrementarse aún más. Si este ángulo 
aumenta hasta aproximarse a los 15° o más, se produce una pérdida de 
sustentación, el vuelo puede interrumpirse abruptamente, y el pájaro o el 
aeroplano empieza a caer en vez de elevarse. Esto se debe a que, para ese 
ángulo, el aire forma vórtices por encima del ala. Estos vórtices hacen 
vibrar el ala, produciendo un debilitamiento de la fuerza de sustentación y 
haciendo que la fuerza de gravedad la supere. 
Por no estar dotados del equipo de vuelo de los pájaros, los seres hu-
manos han utilizado los principios matemáticos y físicos para elevarse a 
sí mismos y a otras cosas de la tierra. Los diseños y características de los 
aviones han sido constantemente adaptados para mejorar el desempeño 
aéreo2. 
 
 
2 Los alerones y las ranuras son innovaciones que han sido agregadas al ala con el objeto 
de aumentar la fuerza de sustentación. El alerón es una sección articulada que al entrar en 
acción cambia la curvatura del ala y aumenta la fuerza de ascenso. Las ranuras son mues-
cas en el ala que incrementan en unos pocos grados el ángulo en el que se produce pérdida 
de sustentación. 
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LA MATEMÁTICA DE UNA LLAMADA TELEFÓNICA 
 
Cada vez que usted levanta su receptor telefónico para hacer una lla-
mada, enviar un fax o mandar información por modem, usted ingresa 
dentro de una enorme red, extraordinariamente complicada. La red de 
comunicaciones que abarca todo el globo es sorprendente. Es difícil ima-
ginar la cantidad de llamadas que pasa diariamente por ella. ¿Cómo fun-
ciona un sistema que es “interrumpido” por los varios sistemas de los di-
ferentes países y por masas de agua? ¿Cómo es posible que una simple 
llamada telefónica se abra paso hasta alguien de su propia ciudad, estado, 
o de otro país? 
En las primeras épocas del teléfono, uno alzaba el receptor y hacía gi-
rar la manivela del aparato. Una operadora local atendía desde la central 
local, decía “número, por favor”, y desde allí lo comunicaba con la per-
sona con la que uno deseaba hablar. Actualmente el procedimiento se ha 
desarrollado enormemente, como así también los diversos métodos de 
convertir y dirigir las llamadas. La matemática, en forma de sofisticados 
tipos de programación lineal, en conjunción con sistemas y códigos bina-
rios, ha cambiado una situación potencialmente precaria. 
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Página tomada del libro de notas de Alexander Graham Bell, en la que describe su prime-
ra llamada telefónica, en el aparato de su invención, a su ayudante Mr. Watson: 
“Entonces grité en M la siguiente frase: ‘Mr. Watson ― Venga aquí ― Deseo verlo.’ Para 
mi delicia, vino y me dijo que había oído y comprendido lo que dije.” 
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¿Cómo viaja la voz? La voz produce sonidos que el receptor transfor-
ma en señales eléctricas. Actualmente estos impulsos eléctricos pueden 
ser transportados y convertidos de diversas maneras. Pueden convertirse 
en señales de luz láser que son transportadas por medio de cables de fibra 
óptica3, pueden convertirse en señales de radio y transmitirse por radio o 
emisores de microondas de una torre a otra de un país, o pueden seguir 
siendo señales eléctricas que pasan a través de las líneas telefónicas. Casi 
todas las llamadas realizadas en EEUU se transmiten por medio de un 
sistema de comunicación automático. En la actualidad, el sistema de co-
municación electrónico es el más rápido. Tiene un programa que contiene 
la información necesaria para manejar todos los aspectos de las operacio-
nes telefónicas, mientras mantiene el control de los teléfonos en uso y de 
las líneas disponibles. Las llamadas pueden transmitirse por medio de 
corrientes eléctricas en diferentes frecuencias o convertirse en señales 
digitales. Ambos métodos permiten que múltiples conversaciones se 
transmitan al mismo tiempo por los mismos cables. Los sistemas más 
modernos convierten las llamadas en señales digitales que están codifica-
das por medio de una secuencia numérica binaria. Así, las llamadas indi-
viduales pueden viajar “simultáneamente” a través de las líneas en un 
orden específico hasta que son decodificadas para sus respectivos desti-
nos. 
Cuando se hace una llamada, el sistema elige el mejor camino y envía 
una cadena de órdenes para describir el circuito. Todo el proceso insume 
una fracción de segundo. Idealmente, debería tomarse una ruta directa... 
lo que sería deseable desde el punto de vista de la economía de distancia 
y de tiempo. Pero si la línea directa se encuentra ocupada con otras co-
municaciones, la nueva llamada debe ser enviada a través de la mejor ruta 
alternativa. Es aquí que la programación lineal4 entra en acción. Visualice 
 
3 Según el tipo de líneas usadas, el número de conversaciones “simultáneas” puede oscilar 
entre 96 y 1300. Los sistemas de fibra óptica pueden transportar todavía más información 
que los cables tradicionales de cobre y aluminio. 
4 Las técnicas de programación lineal se usan para resolver una diversidad de problemas. 
Usualmente estos problemas implican muchas condiciones y variables. Un caso simple 
puede ser un problema agrícola: Un agricultor desea saber cuál es la manera más efectiva 
de usar su tierra para maximizar la producción y los beneficios. Las condiciones y varia-
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el problema de la ruta telefónica como un sólido geométrico complejo 
con millones de facetas. Cada vértice representa una solución posible. El 
desafío es encontrar la mejor solución sin tener que calcular cada una de 
ellas. En 1947, el matemático George B. Danzig desarrolló el método 
simplex para encontrar la solución a problemas complejos de programa-
ción lineal. El método simplex, en esencia, corre a lo largo de los bordes 
del sólido, controlando un vértice tras otro, mientras evalúa la mejor so-
lución. En tanto el número de posibilidades no sea mayor de 15.000 o 
20.000, este método consigue hallar efectivamente una solución. En 
1984, el matemático Narendra Karmarkar descubrióun método que redu-
ce drásticamente el tiempo necesario para resolver problemas de progra-
mación lineal complejos, tales como el de hallar la mejor ruta para las 
llamadas telefónicas de larga distancia. El algoritmo de Karmarkar hace 
un atajo con un recorrido a través del sólido. Tras seleccionar arbitraria-
mente un punto interior, el algoritmo retuerce toda la estructura dando 
una nueva forma al problema, y colocando el punto elegido en el centro 
exacto. El paso siguiente es encontrar un nuevo punto en la dirección de 
la mejor solución, y volver a retorcer la estructura para colocar el nuevo 
punto como centro. Si no se lleva a cabo el retorcimiento, la dirección 
que cada vez parece proporcionar la mejor opción resulta una ilusión. 
Estas transformaciones repetidas están basadas en conceptos de geome-
tría proyectiva y conducen rápidamente a la mejor solución. 
 
 
bles implicarían la consideración de diferentes sembrados, la cantidad de tierra que reque-
riría cada uno, el rendimiento por acre de cada uno, y los beneficios que se obtendrían una 
vez vendida cada cosecha. Para resolver este problema, se introducen las desigualdades 
y/o ecuaciones lineales para cada condición, y se estudia un gráfico bidimensional de una 
región poligonal que muestra la solución. 
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Actualmente, la vieja fórmula telefónica de “número, por favor” ad-
quiere doble significado. El proceso, antes simple, de alzar el receptor 
telefónico y hacer una llamada, ahora pone en marcha una vasta y com-
pleja red de comunicaciones basada en la matemática. 
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REFLECTORES PARABÓLICOS Y LOS FAROS DE SU AUTO 
Cuando usted hace cam-
bio de luces en su auto, de 
largas a cortas, la matemáti-
ca entra en acción. Para ser 
más específicos, digamos 
que los principios de la pa-
rábola son los responsables. 
Los reflectores que están 
detrás de los focos delante-
ros tienen forma parabólica. 
En realidad, son paraboloi-
des (parábolas tridimensionales formadas por la rotación de una parábola5 
sobre su eje de simetría). El haz de luz es creado por una luz situada en el 
punto focal de los reflectores parabólicos. Así, los rayos lumínicos emer-
gen paralelos al eje de simetría. Cuando se acortan las luces, la fuente de 
luz cambia de localización. Ya no se encuentra en el foco, y como conse-
cuencia los rayos de luz no son paralelos al eje. Las luces cortas apuntan 
ahora hacia arriba y hacia abajo. Los haces que apuntan hacia arriba son 
cegados, de modo que sólo los que apuntan hacia abajo resultan refleja-
dos, cubriendo una distancia más corta que las luces largas. 
La parábola es una antigua curva descubierta por Menaecmus (circa 
375-325 a.C.), mientras intentaba duplicar el cubo. Con el correr de los 
siglos se descubrieron nuevas propiedades de la curva. Por ejemplo, Gali-
leo (1564-1642) demostró que la trayectoria de un proyectil era parabóli-
ca. Actualmente, podemos encontrar en el comercio una eficaz estufa 
 
5 Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un 
plano que equidistan de un punto fijo llamado su foco, y 
de una línea fija llamada su directriz. 
 
 
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eléctrica parabólica que sólo consume 1000 vatios pero produce el mismo 
número de unidades térmicas que una estufa que funciona con 1500 va-
tios. 
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LA COMPLEJIDAD Y EL PRESENTE 
“Las horas que van desde las siete de la tarde hasta la medianoche 
son normalmente tranquilas en el puente... Pero casi exactamente a las 
siete... pareció como si todas las personas de Manhattan que tenían un 
auto hubieran decidido ir a Long Island esa noche”. 
Tal como lo ilus-
tra el anterior frag-
mento de la novela 
The Law, de Robert 
Coates, a veces las 
cosas parecen pro-
ducirse sin razón 
aparente. Tampoco 
hay ninguna adver-
tencia de que se va 
a producir algo en 
particular. Todos 
hemos experimen-
tado acontecimien-
tos de esa clase, y 
usualmente los he-
mos atribuido a 
“coincidencias”, ya 
que nada parecía 
indicar que se pro-
ducirían. 
La complejidad 
es una ciencia 
emergente que pue-
de proporcionar 
respuestas, o al me-
nos explicaciones, a 
preguntas tales como: 
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¿Cómo... 
* emergió el universo del vacío? 
* saben las células en qué órganos y partes deben convertirse, y cuándo? 
*fue que el 17 de enero de 1994 Los Angeles sufrió un terremoto de ines-
perada magnitud y destrucción? 
* es que el largo reinado de la Unión Soviética sobre sus países satélites 
se derrumbó en tan breve tiempo? 
* es que Yugoslavia cayó repentinamente en fuertes guerras internas? 
* es que una especie que no ha cambiado durante millones de año expe-
rimenta súbitamente una mutación? 
* es que sin razón aparente la bolsa de valores sube o baja? 
La lista es interminable. El factor común que subyace a todos estos 
acontecimientos es que cada uno de ellos representa un sistema muy 
complejo. Un sistema gobernado por un enorme número y diversidad de 
factores, que están delicadamente equilibrados, oscilando entre la estabi-
lidad y el caos. Los factores que actúan en esa clase de sistemas cambian 
y crecen constantemente. En consecuencia, un sistema complejo está 
siempre en un estado de caos potencial, es decir, al borde del caos. Pare-
ce haber una permanente tirantez o guerra entre el orden y el caos. Una 
dinámica espontánea de auto-organización es una parte esencial de cual-
quier sistema complejo. Es el medio por el que el sistema recupera el 
equilibrio, cambiando y adaptándose a los factores y circunstancias en 
constante cambio. Los que estudian esta nueva ciencia se basan en una 
enorme cantidad de ideas matemáticas y científicas, tales como la teoría 
del caos, los fractales, la probabilidad, la inteligencia artificial, la lógica 
difusa, etc. Estos científicos y matemáticos creen que la matemática ac-
tual, junto con otros medios e innovaciones de alta tecnología, son capa-
ces de crear un marco de referencia acerca de los fenómenos complejos 
que puede ejercer influencia sobre aspectos importantes de nuestro mun-
do, especialmente sobre la economía, el medio ambiente y la política. 
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LA MATEMÁTICA Y LA CÁMARA 
¿Alguna vez se preguntó por el número f del diafragma de una cáma-
ra? ¿De dónde salió su nombre? “f” representa al término matemático 
factor. La luminosidad de la imagen fotográfica en la película depende de 
la apertura y de la longitud de foco de la lente. Los fotógrafos usan lo que 
se conoce como el sistema del número f para relacionar la longitud de 
foco y la apertura. El valor de f se calcula midiendo el diámetro de aper-
tura y dividiéndolo por la longitud de foco de la lente. Por ejemplo: 
f4 = 80 mm lente / 20 mm apertura 
f 16 = 80 mm lente / 5 mm apertura 
Vemos que la apertura del diafragma es más pequeña a medida que el 
número f aumenta. Si trabaja con los números de f del diafragma y la ve-
locidad del obturador, usted puede decidir manualmente qué parte de la 
fotografía desea en foco. 
 
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RECICLADO DE NÚMEROS 
¡En este caso se han usado unidades y símbolos matemáticos para 
aclarar el tema del papel reciclado! 
Una tonelada de papel virgen no es igual a una tonelada de papel reci-
clado, ya que: 
* Una tonelada de papel reciclado insume 4.102 kwh menos de energía. 
* Una tonelada de papel reciclado necesita para su producción 26.500 
litros de agua menos. 
* Una tonelada de papel reciclado produce 27 kilogramos menos de po-
lución ambiental. 
* Una tonelada de papel reciclado produce 2.300 decímetros cúbicos 
menos de desperdicios sólidos. 
* Una tonelada de papel reciclado insume menos dinero de impuestos 
por relleno de tierras. 
* Una tonelada de papel reciclado implica talar 17 árboles menos. 
 
Los números que resumen el reciclado y el rellenode tierras: 
* El 37% de todos los rellenos de tierras procede del papel. 
* Sólo el 29% de todos los periódicos producidos son reciclados por el 
consumidor. 
*165 millones de yardas cúbicas de terrenos de relleno son necesarias 
para los desechos anuales de papel de EEUU. 
* El 97% de los bosques vírgenes de la zona continental de EEUU han 
sido talados en el transcurso de los últimos doscientos años. 
Tomado de I was once a tree... Newsletter, Primavera de 1990, Alonzo Printing, 
Hayward, CA, USA. 
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BICICLETAS, MESAS DE BILLAR Y ELIPSES 
La elipse, junto con otras curvas que se obtienen al seccionar un cono, 
fue estudiada por los griegos ya en el siglo III a.C. Casi todos nosotros 
asociamos las elipses con un círculo visto de costado o con la órbita de un 
planeta, pero las formas y propiedades elípticas también se prestan a apli-
caciones contemporáneas no científicas. ¿Quién hubiera imaginado que 
una elipse sirviera para diseñar el engranaje de una bicicleta y las mesas 
de pool? Actualmente se fabrican algunas bicicletas con engranajes de-
lanteros elípticos y engranajes traseros circulares. El dibujo que aparece 
en esta página ilustra la manera en que este diseño aprovecha el empuje 
hacia abajo al hacer fuerza la pierna, para a continuación hacer un rápido 
retomo hacia arriba. 
 
Las eliptipools, o mesas de billar elípticas, están diseñadas para utili-
zar la propiedad reflectora de los dos focos de una elipse. Tal como se 
observa en la ilustración, la eliptipool tiene una tronera situada en uno de 
los dos puntos focales de la elipse. Una bola que pase a través del foco de 
la elipse que carece de tronera rebotará contra el costado de la mesa y 
describirá el trayecto del reflejo hasta la tronera (el otro foco). 
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Una elipse tiene dos focos, y la suma de las distancias desde los focos hasta cualquier 
punto de la elipse es siempre igual a la longitud de su eje mayor. Es decir, PF( + PF2 = 
AB. 
 
Si esta bola es dirigida para que atraviese el foco, marcado con una X, rebotará en el late-
ral e irá hasta el otro foco, donde está localizada la tronera. 
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EN BUSCA DE TESELADOS 
Esta transformación tipo Escher realizada por Mark Simonson ilustra 
el uso de los teselados6 o recubrimientos del plano como forma de comu-
nicación visual. Este gráfico apareció en The Utne Reader y en la cubierta 
de Transactions, una publicación de Metropolitan Transportation Com-
munication. Aquí se reproduce por cortesía de Mark Simonson, Bluesky 
Graphics, Minneapolis, MN, USA. 
 
 
6 Los teselados son recubrimientos del plano usando mosaicos o baldosas, sin que queden 
intersticios libres entre baldosa y baldosa. En un mismo teselado, las baldosas pueden 
tener una o más formas diferentes. Ejemplos de teselados que usan una sola baldosa son 
las celdas hexagonales de las abejas o un simple piso de mosaicos cuadrados. Ejemplos de 
teselados con dos o más baldosas son las combinaciones de hexágonos y triángulos o de 
cuadrados y octógonos. Los mosaicos de la Alhambra, en Granada, son extraordinarios 
ejemplos de teselados. En la ilustración las baldosas negras y blancas se van transforman-
do en un automóvil o en una persona, según se recorra se recorra el teselado de derecha a 
izquierda o de izquierda a derecha. 
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SELLOS MATEMATICOS 
Usualmente no esperamos encontrar ideas matemáticas cuando vamos 
a la oficina de correos, pero he aquí algunos sellos con temas matemáti-
cos. Estas y muchas otras ideas han aparecidos en artículos tan populares 
como los posters, la televisión, las camisetas deportivas, las jarras de cer-
veza, etc. 
 
Teorema de Pitágoras, Grecia Teorema de Pitágoras, Nicaragua 
 
Cinta de Moebius, Brasil Fórmulas matemáticas, Israel 
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LA COLA DEL RATON 
“Por el contrario”, continuó Tweedledee, “si fue así, podría ser; y si 
hubiera sido, sería; pero como no es, no fue. Eso es lógico.” 
Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas 
Charles Lutwidge Dodgson (1832-
1898) fue un matemático, profesor de ma-
temática, creador de juegos y acertijos, 
renombrado fotógrafo Victoriano de niños 
y autor de libros matemáticos, historias 
para niños, poesía y ensayos sobre temas 
sociales.7 Cuando escribía historias para 
niños usaba el seudónimo de Lewis Ca-
rroll. Según parece, Dodgson no deseaba 
que se lo asociara con su identidad de 
Lewis Carroll. En realidad, devolvía las 
cartas que le llegaban dirigidas a Carroll. 
Cuando la Bodleian Library interrelacio-
nó a Dodgson y Carroll, Dodgson no re-
conoció la conexión. 
Dodgson tenía pasión por los juegos 
de palabras. En 1991, dos adolescentes de 
New Jersey descubrieron un juego de pa-
labras cuádruple (de naturaleza verbal y 
visual) en el poema A Caucus Race and a 
Long Tale, que aparece en el capítulo tres 
de Alicia en el País de las Maravillas. 
Allí, un ratón le relata a Alicia un cuento 
en un poema con la forma de una larga 
cola. Además de este juego entre cuento y 
 
7 Euclides y sus rivales modernos, Un tratado elemental sobre los determinantes, Alicia 
en el país de las maravillas, La caza del Snark, Fantasmagoría y otros poemas, A través 
del espejo, son algunas de las obras de Dodgson. 
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cola8, los estudiantes Gary Graham y Jeffrey Maiden descubrieron que 
cuando se escribía el poema en forma de estrofas, se formaba el contorno 
de un ratón: cada estrofa tenía dos versos cortos (el cuerpo del ratón), y 
un largo tercer verso (la cola). Además, descubrieron que una rima de 
cola es una estructura con un par de versos rimados seguidos por otro 
verso de diferente longitud que rima con el semejante de la estrofa si-
guiente. ¿Usted cree que Lewis Carroll lo planeó así intencionadamente? 
 
 
8 En inglés, cuento y cola se asemejan fonéticamente: tale y tail (N. de la T.). 
― 29 ― 
 
UNA VISITA MATEMATICA 
No sabiendo muy bien qué esperar, llamé a la puerta. Una voz me pi-
dió que por favor digitara los primeros cinco términos de la serie de Fi-
bonacci. Afortunadamente, había investigado un poco después de que en 
la revista me asignaran el artículo sobre la casa de Selath, el renombrado 
matemático. 
Digité 1, 1, 2, 3, 5, y la puerta se abrió con lentitud. Cuando la traspu-
se advertí el arco de piedra, con forma de catenaria, suspendido por sí 
mismo en la entrada. Al cabo de un minuto, entró Selath diciendo: 
―¿Puedo ofrecerle algo después de su largo viaje?. 
―Verdaderamente apreciaría un vaso de agua fría ―respondí. 
―Por favor, venga conmigo ―me dijo, encabezando la marcha. 
 
Mientras lo seguía no pude dejar de reparar en los numerosos objetos 
inusuales, únicos, que veía en el camino. En la cocina había una mesa 
peculiar, con muchas patas. Selath extrajo de la heladera una botella 
igualmente inusual. Mi expresión debe haber sido de perplejidad, ya que 
Selath me dijo: 
―Mientras toma agua, bien podemos empezar nuestro tour por la co-
cina. Como se habrá dado cuenta, esta mesa y esta botella no son acceso-
rios corrientes. Uso mesas de tangram para comer porque sus siete com-
ponentes pueden reacomodarse en tantas formas como las que tiene el 
― 30 ― 
 
rompecabezas del tangram. Esta de la cocina hoy tiene forma cuadrada, 
en tanto que he acomodado la de la sala en forma de triángulo, ya que 
espero dos invitados para la cena. El recipiente del agua se conoce como 
el nombre de botella de Klein... el interior y el exterior son la misma co-
sa. Si mira el suelo, advertirá que sólo se han usado en él dos clases de 
baldosas. 
 
 
Botella de Klein Ilusión joven-vieja 
―Sí ―respondí―, pero el diseño no parece repetirse en ninguna par-
te. 
―Muy perceptiva ―dijo Selath, aparentemente complacido con mi 
respuesta―. Son baldosas de Penrose. Estas dos formas puedencubrir un 
plano en un diseño que jamás se repite. 
―Por favor, prosiga ―lo insté―. Estoy muy ansiosa por ver todas las 
partes matemáticas de su casa. 
―Bien, en realidad casi toda mi casa es matemática. Todas las pare-
des están empapeladas con teselados especialmente diseñados al estilo de 
Escher. Vayamos ahora a la Sala Op. Todo lo que está aquí es una ilusión 
óptica. En verdad, hasta la realidad es una ilusión en este cuarto, ¡Los 
muebles, los objetos, las fotos, todo! Por ejemplo, el retrato de la pared es 
una ilusión oscilante: según como se la perciba se reconoce una mujer 
joven mirando hacia atrás o una mujer vieja mirando hacia la izquierda. 
Además, el diván está hecho de cubos modulares en tela blanca y negra 
apilados para dar la sensación de otra ilusión oscilante, esta vez cónca-
va―convexa. La escultura que está en el medio fue diseñada para mos-
― 31 ― 
 
trar convergencia y divergencia, en tanto las dos figuras apiladas son 
exactamente del mismo tamaño. La base de esta lámpara, vista desde este 
ángulo, forma un triángulo imposible. 
―¡Fascinante! Podría pasarme horas descubriendo cosas en esta habi-
tación ―respondí con entusiasmo. 
 
Cubos ambiguos Triángulo imposible 
―Como no tenemos mucho tiempo, será mejor que pasemos al cuarto 
siguiente ―dijo Selath mientras se ponía en marcha. 
Entramos en una habitación en penumbras. 
―Fíjese dónde pisa. Venga por aquí, a la pantalla parabólica ―me 
instruyó Selath. 
Mientras yo observaba el disco, apareció una escena móvil. 
―¿Es una videocámara? ―pregunté. 
―Oh, no ―contestó Selath, riéndose―. Yo lo llamo mi antiguo sis-
tema de vigilancia. La lente que está encima del agujero capta la luz du-
rante el día y rota para proyectar escenas que se desarrollan fuera de mi 
casa, de manera muy semejante a como lo haría una cámara. Se llama 
cámara oscura. Tengo lentes especiales para ver de noche. 
Yo me atareaba tomando notas, dándome cuenta de que tendría que 
hacer mucha investigación adicional antes de escribir mi artículo. Miran-
do a mi alrededor, señalé: 
―Su reloj fluorescente aparentemente anda mal. ―mi reloj marcaba 
las 5:30 P.M., mientras que el de él marcaba las 21:30. 
― 32 ― 
 
―No, es tan sólo que tengo las 24 horas del día distribuidas en base 
ocho, porque esta semana estoy trabajando en ciclos de ocho horas. En-
tonces las 24:00 horas serían las 30:00 horas, las 8:00 serían las 10:00, y 
así sucesivamente ―me explicó Selath. 
―Como a usted le parezca ―repliqué, un poco confundida. 
―Ahora, vayamos al dormitorio principal. 
Y allí fuimos, pasando junto a toda clase de formas y objetos que yo 
jamás había visto antes en una casa. 
―El dormitorio principal tiene una claraboya semiesférica, además de 
otras claraboyas geodésicas móviles. Tienen como objeto optimizar el 
uso de la energía solar. 
―Maravilloso, pero... ¿dónde está la cama? ―pregunté. 
―Sólo tiene que oprimir el botón sobre este cubo de madera y verá 
cómo se despliega una cama con respaldo y dos mesas de luz adosadas. 
―Una gran manera de hacer una cama ―repliqué. 
―Hay muchas cosas más para ver, pero el tiempo es breve. Vayamos 
al baño para que pueda ver los espejos sobre el lavabo. Venga por aquí. 
Ahora inclínese hacia adelante. 
Para mi gran sorpresa, vi un infinito número de imágenes de mí mis-
ma repetidas. Los espejos se reflejaban entre sí de uno al otro hasta el 
infinito. 
―Ahora vuélvase y mire este espejo. ¿Qué tiene de especial? 
―preguntó Selath. 
―Mi parte está del lado equivocado ―dije. 
―Por el contrario, este espejo9 la muestra a usted tal como realmente 
la ven los demás ―explicó Selath. 
Justo en ese momento sonó el timbre. Habían llegado los invitados a 
cenar. 
―¿Por qué no se queda a cenar? ―me preguntó Selath.― Todavía no 
ha visto la sala, y estoy seguro de que le gustará conocer a mis invitados. 
Era difícil disimular mi entusiasmo. 
―Pero usted ya ha preparado la mesa para tres ―balbuceé. 
 
9 Hecho con dos espejos colocados en ángulo recto entre sí. En este caso, los espejos en 
ángulo recto están colocados de modo que reflejan el reflejo. 
― 33 ― 
 
―No hay problema. Puedo reacomodar algunas partes de la mesa de 
tangram y tendremos un rectángulo. 
 
― 34 ― 
 
LA ECUACIÓN DEL TIEMPO 
 
Un reloj de sol de bolsillo del siglo X. Tiene seis 
meses grabados de cada lado. Se coloca una vara 
en el orificio de la columna del mes en curso. 
Si alguna vez usted ha utilizado un reloj de sol, habrá advertido que el 
tiempo registrado en él difiere levemente del que indica su reloj. Esa dife-
rencia se debe al cambio de la extensión de la luz diurna durante el año. 
En el siglo XV, Johannes Kepler formuló tres leyes que gobiernan el mo-
vimiento planetario. Kepler describió el modo en que la tierra se desplaza 
alrededor del sol siguiendo una órbita elíptica, y también explicó que el 
segmento de línea que une a la tierra y el sol barre superficies iguales 
(sectores) en intervalos iguales de tiempo a lo largo de la órbita. El sol 
está situado en uno de los focos de la elipse, lo que hace que, para un de-
terminado período de tiempo, las superficies de los sectores sean iguales, 
mientras que la longitud de los arcos correspondientes sean desiguales. 
Así, la velocidad orbital de la tierra varía durante el trayecto. Eso explica 
las variaciones de la duración de la luz diurna durante las diferentes épo-
cas del año. Los relojes de sol se basan en la luz diurna, y la luz diurna 
depende de la época del año y de la situación geográfica. La diferencia 
existente entre la hora de un reloj de sol y la hora de un reloj común se 
denomina ecuación del tiempo. El almanaque contiene una carta de la 
― 35 ― 
 
ecuación del tiempo, que indica cuántos minutos retrasa o adelanta el re-
loj de sol con respecto a los relojes comunes. Una de esas cartas podría 
ser como la que aparece a continuación. 
 
Si los tiempos que la tierra tarda en reco-
rrer los arcos elípticos son iguales, las 
superficies de los correspondientes secto-
res también serán iguales. 
Carta de la ecuación del tiempo 
Los números positivos y negativos indican los minutos que el reloj de 
sol retrasa o adelanta con respecto a un reloj común. Naturalmente, la 
tabla no toma en cuenta la diferencia de luz diurna dentro de las zonas 
horarias. 
Fecha Variación 
Enero 1 –3 
 15 –9 
Febrero 1 –13 
 15 –14 
Marzo 1 –3 
 15 –9 
Abril 1 –4 
 15 0 
Mayo 1 +3 
 15 +4 
Ejemplo: Si el reloj de sol marca las 77:50 el 15 de mayo, hay que 
agregar 4 minutos, lo que daría las 11:54. 
― 36 ― 
 
¿POR QUÉ LAS BOCAS DE INSPECCIÓN DE DESAGÜES SON 
REDONDAS? 
 
¿Por qué es circular la forma de una boca de inspección de desagües? 
¿Por qué no tiene forma cuadrada, rectangular, hexagonal o elíptica? 
¿Es porque la forma del círculo es más agradable? 
Hay una razón matemática. 
¿Qué explicación le da usted? 
(Solución en la página 151) 
― 37 ― 
 
 
Metamorfosis III, por M.C. Escher © 1986 M.C. Escher / Cordon Art-Baarn-Holanda 
― 38 ― 
 
MÁGICOS MUNDOS MATEMÁTICOS 
Cómo se forman los mundos matemáticos 
Mundos geométricos 
Mundos de números 
Los mundos de las dimensiones 
Los mundos de infinitos 
Mundos de fractales 
Mundos matemáticos en la literatura 
Cómo es posible que la matemática, un producto del pensa-
miento humano independiente de la experiencia, se adapte tan ad-
mirablemente a los objetos de la realidad. 
Albert Einstein 
La matemática está vinculada y es aplicada a muchas cosas de nuestro 
mundo, pero no obstante ahonda en sus propios mundos... mundos tan 
extraños, tan perfectos, tan absolutamente ajenos a las cosas de nuestro 
mundo. Un mundo matemático completo puede existir en la punta de una 
aguja o en el infinito conjunto de los números. Esos mundos, según des-
cubrimos, están compuestos por puntos, ecuaciones, curvas, nudos, frac-
tales, etc. Hasta que unono comprende cómo se forman los mundos y 
sistemas matemáticos, algunos de ellos pueden parecer contradictorios. 
Por ejemplo, podríamos preguntamos cómo puede existir un mundo infi-
nito en apenas un minúsculo segmento de línea, o cómo es posible que se 
cree un mundo usando tan sólo tres puntos. Este capítulo procura explorar 
la magia de algunos de esos mundos matemáticos y profundizar en sus 
dominios. 
Como se explica más adelante, los números contados en orden forman 
un mundo matemático por ellos mismos. 
― 39 ― 
 
 
― 40 ― 
 
CÓMO SE FORMAN LOS MUNDOS MATEMÁTICOS 
Pero si a veces he creído tanto como seis cosas imposibles an-
tes del desayuno. 
Lewis Carroll 
Cuando, en el año 300 a.C. Euclides empezó a organizar las ideas 
geométricas en un sistema matemático, no sospechaba que estaba desa-
rrollando el primer mundo matemático. Los mundos matemáticos y sus 
elementos abundan -entre ellos encontramos el mundo de la aritmética 
con sus elementos, los números; los mundos del álgebra con sus varia-
bles; el mundo de la geometría euclidiana con sus cuadrados y sus trián-
gulos; la topología con objetos tales como las redes y la cinta de 
Moebius; los fractales con sus objetos en continuo cambio-, y todos son 
mundos independientes, aunque se interrelacionan entre sí. Todos forman 
el universo de la matemática. Un universo que puede existir sin nada de 
nuestro universo, pero que puede describir y explicar las cosas que nos 
rodean. 
Cada mundo matemático existe en un sistema matemático. El sistema 
establece las reglas básicas para la existencia de los objetos de su mundo. 
Explica cómo se forman los objetos, la manera en que generan nuevos 
objetos, y las reglas que los gobiernan. Un sistema matemático está com-
puesto de elementos básicos, llamados términos indefinidos. Estos térmi-
nos pueden describirse, de modo que uno percibe qué significa cada uno, 
pero técnicamente no pueden definirse. ¿Por qué? Porque hacen falta 
términos para formar definiciones, y siempre hay que tener algunos tér-
minos para empezar. Y no hay otros términos que puedan ser usados para 
definir estas palabras iniciales. 
La mejor manera de entender un sistema de estas características es ob-
servarlo. He aquí como puede cobrar forma un mini-mundo matemático 
finito. Supongamos que los términos indefinidos de este mini-mundo son 
puntos y líneas. Además de los términos indefinidos, un sistema matemá-
tico también tiene axiomas, teoremas y definiciones. Los axiomas (tam-
bién llamados postulados), son ideas que aceptamos como ciertas sin 
― 41 ― 
 
comprobación. Las definiciones son nuevos términos que describi-
mos/definimos usando términos indefinidos o términos definidos previa-
mente. Los teoremas son ideas que deben ser demostradas por medio del 
uso de axiomas, definiciones o teoremas existentes. 
¿Qué tipos de definiciones, teoremas y axiomas puede tener nuestro 
mini-mundo? He aquí algunos de los que pueden presentarse: 
Términos indefinidos: Puntos y líneas. 
Definición 1: Un conjunto de puntos es colineal si una línea contiene al 
conjunto. 
Definición 2: Un conjunto de puntos no es colineal si una línea no puede 
contener al conjunto. 
Axioma 1: Nuestro mini-mundo contiene tan sólo 3 puntos diferentes, 
que no se encuentran en una línea. 
Axioma 2: Dos puntos diferentes cualesquiera forman una línea. 
Teorema 1: En este mundo sólo pueden existir tres líneas diferentes. 
 
Demostración: El axioma 1 establece que hay tres puntos diferentes en 
este mundo. Aplicando el Axioma 2, sabemos que cada par de estos pun-
tos determina una línea. Por lo tanto, se forman tres líneas por medio de 
los tres puntos de este mundo. 
Este ejemplo ilustra la manera en que se desarrolla un mundo matemá-
tico. A medida que se nos ocurren ideas nuevas, agregamos más términos 
indefinidos, axiomas, definiciones y teoremas, y de ese modo ampliamos 
nuestro mundo matemático. 
La sección que sigue nos introduce a algunos mundos matemáticos y a 
sus habitantes. 
― 42 ― 
 
MUNDOS GEOMÉTRICOS 
...el universo se ofrece continuamente a nuestra mirada, pero 
no puede ser comprendido si primero no aprendemos a compren-
der el lenguaje y a interpretar los caracteres con los que está es-
crito. Está escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracte-
res son... figuras geométricas, sin las cuales resulta humanamente 
imposible comprender una sola palabra de él; sin ellas, sólo po-
demos vagar erráticamente a través de un oscuro laberinto. 
Galileo 
La matemática posee muchos tipos de geometría. Estos tipos incluyen 
la geometría euclidiana, la geometría analítica y una multitud de geome-
trías no euclidianas. Entre ellas encontramos la geometría hiperbólica, La 
elíptica, la proyectiva, la topológica y la fractal. Cada geometría constitu-
ye un sistema matemático con sus propios términos indefinidos, axiomas, 
teoremas y definiciones. 
 
Este es un diseño abstracto del mundo hiperbólico de Henri Poincaré (1854-1912). Como 
se ve, el círculo es la frontera de este mundo. El tamaño de sus habitantes cambia de 
acuerdo con la distancia que los separa del centro. A medida que se acercan al centro su 
tamaño crece, y disminuye a medida que se alejan del centro. Así, nunca llegarán al límite 
y, para cualquier propósito, su mundo es para ellos infinito. 
― 43 ― 
 
Aunque estos mundos geométricos pueden emplear los mismos nom-
bres para sus propiedades o elementos, estos poseen diferentes caracterís-
ticas. Por ejemplo, en la geometría euclidiana, las líneas son rectas y dos 
líneas diferentes pueden intersectarse en un punto, ser paralelas o ser 
oblicuas. Pero en la geometría elíptica las líneas no son rectas sino círcu-
los máximos de una esfera, y por lo tanto dos líneas diferentes cuales-
quiera siempre se intersectan en dos puntos. 
 
Este diagrama muestra dos círculos máxi-
mos, en los que la línea I y la línea 2 se 
intersecan en los puntos A y B. 
En la geometría hiperbólica, las líneas M y 
N son ambas paralelas a la línea L y pasan 
por el punto P. La líneas M y N son asin-
tóticas a L. 
Consideremos la palabra paralelas. En la geometría euclidiana las lí-
neas paralelas son siempre equidistantes y no se intersectan nunca. Pero 
no ocurre lo mismo en la geometría elíptica o en la hiperbólica. ¿Por qué? 
Porque cada círculo máximo de una esfera se intersecta con otro. Así, en 
la geometría elíptica no hay líneas paralelas. En la geometría hiperbólica 
las líneas paralelas nunca se intersectan, pero no se parecen a las líneas 
euclidianas. Las líneas paralelas hiperbólicas se acercan cada vez más, 
pero nunca llegan a cortarse. Se las llama asintóticas. La geometría eucli-
diana, la hiperbólica y la elíptica crean tres mundos dramáticamente dife-
rentes con líneas y puntos, etc., pero sus propiedades los distinguen como 
universos aparte. Cada uno de estos mundos es en sí mismo un sistema 
matemático, y cada uno de ellos tiene su aplicación en nuestro universo. 
― 44 ― 
 
MUNDOS DE NÚMEROS 
Los números pueden ser considerados como los primeros elementos 
de la matemática. Sus primeros símbolos probablemente fueron marcas 
hechas en la tierra para indicar una cierta cantidad de objetos. Pero desde 
que los matemáticos entraron en escena el simple mundo de los números 
naturales nunca ha sido el mismo. Muchas personas están familiarizadas 
con los enteros, las fracciones y los decimales, y los utilizan en sus cálcu-
los diarios. Pero los mundos numéricos también incluyen los números 
racionales e irracionales, los números complejos, los decimales infinitos 
cuyas cifras no se repiten, los números trascendentes, los números trans-
finitos, y muchos subconjuntos de números que están relacionados por 
propiedades específicas, tales como los números perfectos, la suma de 
cuyos factores totaliza el número, o los números poligonales, cuyas for-
mas están relacionadas con las de los polígonosregulares, y así sucesi-
vamente. Resulta interesante ahondar en la interrelación de los números, 
inferir cómo se desarrollaron y explorar sus diversas propiedades. 
 
Diseños numéricos de la Edad de Piedra, encontrados en La Pileta, España. 
― 45 ― 
 
Los números naturales (los que se usan para contar) datan de tiempos 
prehistóricos: simples marcas que representan diseños de números fueron 
encontradas en la cueva de la Edad de Piedra de La Pileta, en el sur de 
España, que estuvo habitada por más de 25.000 años, hasta la Edad del 
Bronce (1500 A.C.). El número n era conocido hace más de tres mil años, 
cuando se lo usaba para calcular la superficie y circunferencia del círculo; 
más tarde se demostró que era un número irracional y trascendente. Las 
civilizaciones antiguas teman conciencia incluso de la existencia de las 
cifras fraccionarias. Los egipcios usaban el glifo de boca, , para escri-
bir sus fracciones. 
Por ejemplo, era 1/3; era 1/10. 
Los matemáticos antiguos conocían los números irracionales, e idea-
ron métodos fascinantes para aproximarse a sus valores. De hecho, los 
griegos idearon el método de la escalera para aproximarse a √2, en tanto 
los babilonios usaron otro método. 
A lo largo de los siglos las diferentes civilizaciones desarrollaron sis-
temas de contar y símbolos para los números, y en el siglo XX los núme-
ros binarios y la base dos han sido empleados con la revolución informá-
tica. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue quien primero escribió 
sobre el sistema binario en su ensayo De Progressione Dyadica (1679). 
Leibniz mantenía contacto epistolar con el padre Joachim Bouvet, un mi-
sionero jesuita en China. Lúe por medio de Bouvet como Leibniz se ente-
ró de que los hexagramas del I Ching estaban relacionados con su sistema 
de numeración binario. Advirtió que si sustituía cada línea quebrada por 
el cero, y cada línea entera por el uno, los hexagramas servían de ilustra-
ción de los números binarios. Siglos antes de esto, los babilonios desarro-
llaron y mejoraron el sistema sexagesimal sumerio para obtener un siste-
ma numérico de base 60. Pero esta sección sobre los mundos de números 
no se ocupa de los sistemas numéricos sino de los tipos de números. 
 
Hexagramas y sus equivalentes binarios 
― 46 ― 
 
Echemos un vistazo al primer tipo de números... los números natura-
les. En el mundo de los números naturales encontramos que los términos 
indefinidos son los números 1, 2, 3..., con axiomas tales como: el orden 
en que se suman dos números naturales no afecta a la suma (a + b = b + 
a, la llamada propiedad conmutativa de la suma); el orden en que dos 
números naturales se multiplican entre sí no afecta al producto (a × b = 
b × a, la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación), y con 
teoremas tales como: Un número par más un número par es también un 
número par. Y: La suma de dos números impares cualesquiera es siem-
pre un número par. Pero el mundo de los números naturales no bastaba 
para resolver todos los problemas que se presentarían con el correr de los 
años. ¿Cómo haríamos para resolver un problema cuya solución fuera el 
valor de x en la ecuación x + 5 = 3, sin saber nada de los números negati-
vos? Una posible reacción sería, sin duda, decir: el problema es defectuo-
so, carece de respuesta. Los textos árabes introdujeron los números nega-
tivos en Europa, pero casi ningún matemático de los siglos XVI y XVII 
estuvo dispuesto a aceptarlos. Nicholas Chuquet (siglo XV) y Michael 
Stidel (siglo XVI) se refirieron a los números negativos calificándolos de 
absurdos. Aunque Jéróme Cardan (1501-1576) dio números negativos 
como soluciones para algunas ecuaciones, los consideraba no obstante 
respuestas imposibles. Hasta Blaise Pascal dijo: “He conocido a personas 
que no podían comprender que cuando se resta cuatro de cero, sigue 
quedando cero”. 
 
Así, la historia revela que la solución de ciertos problemas exigió la 
invención de nuevos números. Por ejemplo, el intento de explicar el sig-
nificado de √–l, o de resolver la ecuación x2 = –1, llevó a la creación de 
números imaginarios. ¡Y los números imaginarios llevaron a los matemá-
ticos a expandir el mundo de los números para incluir todos los números 
reales e imaginarios y más! En ese punto fue cuando se introdujeron, en 
el siglo XVI, los números complejos (números de la forma a + bi, donde 
― 47 ― 
 
a y b son reales y donde i = √–1. A partir de esa introducción, todos los 
números inventados hasta entonces pudieron ser clasificados como com-
plejos.10 
 
Los gráficos son un medio de representar objetos matemáticos. La lí-
nea de los números reales muestra la organización de todos los números 
reales y sus respectivas distancias y tamaños con respecto al cero. Cada 
punto de esta línea está relacionado solamente con un número real y vi-
ceversa... de modo que –3½ tiene sólo una localización en esta línea. Los 
números imaginarios emplean una línea de números imaginarios. Así, 2i 
tiene la localización que se ve en el gráfico. 
Combinando la línea de números reales y la 
línea de números imaginarios logramos un 
medio de representar los números complejos, 
en lo que ha dado en llamarse el plano de los 
números complejos. La línea de los números 
reales y la de los imaginarios son perpendicu-
lares en el origen. Cada punto del plano que 
forman está asociado con un solo número 
complejo... ya que ningún otro número com-
plejo tiene esa localización. Así, el par orde-
nado para el punto (–4, 3), equivale al número 
complejo –4+3i. (4, 0) significa 4+0i, que 
equivale al número 4. Este sistema de coorde-
nadas fue una manera ingeniosa de organizar 
 
10 Cualquier número real puede considerarse un número complejo cuya parte imaginaria 
es 0, y cualquier número imaginario es un número complejo con una parte real 0. 
― 48 ― 
 
y representar los números complejos. La pregunta para plantearse ahora 
es: ¿Hay algún número que no aparezca sobre este plano? ¡Puede apostar 
que sí! El capítulo llamado La magia de los números presenta algunos 
ejemplos. 
― 49 ― 
 
LOS MUNDOS DE LAS DIMENSIONES 
Echemos un vistazo a los mundos creados por la idea de dimensiones. 
Un mundo matemático puede existir en un solo punto, en una sola línea, 
en un plano, en el espacio, en un hipercubo o teseracto. Cada dimensión 
mayor abarca a las precedentes, aunque cada una de las menores puede 
constituir un mundo en sí misma. Imagine su mundo y su vida en un 
plano. Usted no puede mirar hacia arriba ni hacia abajo. Las criaturas tri-
dimensionales pueden invadir su mundo sin que usted ni siquiera se dé 
cuenta, simplemente penetrando en sus dominios por arriba o por abajo. 
Los matemáticos, los escritores y los artistas han usado diversas ideas 
para intentar captar la esencia de las diferentes dimensiones en sus obras. 
Las dimensiones que están más allá de la tercera siempre han despertado 
intriga. El cubo fue uno de los primeros objetos de tres dimensiones que 
fue introducido en la cuarta dimensión al convertirlo en un hipercubo. El 
dibujo ilustra las etapas hasta llegar al hipercubo11. Se han ideado pro-
gramas de computación para conseguir imágenes reveladoras de la cuarta 
dimensión, que muestran perspectivas tridimensionales de las diversas 
facetas del hipercubo. 
 
Las cuatro dimensiones 
 
11 Un segmento se obtiene a partir de un punto trasladándolo una determinada distancia, 
de manera que el punto original y el trasladado sean los extremos del segmento. Trasla-
dando el segmento esa misma distancia en dirección perpendicular, se obtiene un cuadra-
do. Trasladando el cuadrado en dirección perpendicular al plano, es decir, hacia lo alto o 
tercera dimensión, se obtiene un cubo. En forma análoga, para obtener un hipercubo a 
partir del cubo, se lo traslada en una direcciónperpendicular al espacio tridimensional. 
Esta dirección es, desde el punto de vista matemático, una nueva dimensión distinta de las 
anteriores: la cuarta. El procedimiento puede seguirse para obtener hipercubos de cinco y 
más dimensiones. 
― 50 ― 
 
LOS MUNDOS DE INFINITOS 
Ver el mundo en un grano de arena, 
Y el cielo en una flor silvestre; 
Tener el infinito en la palma de la mano 
Y la eternidad en una hora. 
William Blake 
El infinito ha estimulado la imaginación durante miles de años. Es una 
idea que han tratado teólogos, poetas, artistas, filósofos, escritores, cientí-
ficos, matemáticos... una idea que ha provocado perplejidad e intriga, una 
idea que sigue siendo elusiva. El infinito ha adquirido diferentes identi-
dades en diferentes campos del pensamiento. En épocas ancestrales la 
idea del infinito, acertada o equivocadamente, se ligaba a los grandes 
números. Los pueblos de la antigüedad experimentaban una sensación de 
infinito observando las estrellas o los granos de arena de una playa. Filó-
sofos y matemáticos de la antigüedad, como Zenón, Anaxágoras, Demó-
crito, Aristóteles y Arquímedes, reflexionaron, plantearon y discutieron 
las ideas que les suscitaba el infinito. 
Aristóteles propuso la idea de infinitos potenciales y reales. Argumen-
tó que sólo existía una infinitud potencial.12 
En El contador de arena, Arquímedes descartó la idea de que el nú-
mero de granos de arena de una playa fuera infinito, por medio de la de-
terminación de un método destinado a calcular el número de granos de 
arena de todas las playas de la tierra. 
El infinito ha sido culpable de muchas paradojas. Las paradojas de 
Zenón sobre Aquiles y la tortuga y la de la Dicotomía13, han dejado per-
 
12 Los números de contar, o naturales, son potencialmente infinitos, ya que a cualquiera de 
ellos se le puede sumar uno para llegar al siguiente, pero nunca se puede tener el conjunto 
completo. 
13 En la Paradoja de la Dicotomía, Zenón arguye que un viajero que camina hacia un 
lugar determinado nunca llegará a destino, porque primero debe recorrer la mitad de la 
distancia. Al llegar a ese punto a mitad de camino, el viajero tiene que recorrer la mitad de 
la distancia que falta. Después, la mitad de la parte que le queda. Como siempre existirá la 
mitad de la parte que le queda por caminar, tendrá que pasar por un infinito número de 
puntos a mitad de camino y el viajero nunca llegará a su destino. 
― 51 ― 
 
plejos a los lectores durante siglos. Las paradojas de Galileo14 referidas a 
segmentos, puntos y conjuntos infinitos, también son dignas de ser men-
cionadas. 
 
Los campos de girasoles de la campiña española producen la ilusión de infinito. 
La lista de matemáticos que investigaron y aplicaron mal o bien la 
idea de infinito se amplía con el correr de los siglos. Euclides (circa 300 
a.C.) mostró que los números primos eran infinitos demostrando que no 
había un último número primo. Bernhard Bolzano (1781-1848), Gottfried 
W. Leibniz (1646-1716) y J. W. R. Dedekind (1831-1916) hicieron tam-
bién descubrimientos en el reino del infinito. Pero la fenomenal obra de 
Georg Cantor (1845-1918) sobre la teoría de conjuntos fue un avance de 
 
14 En su obra de 1634, Diálogos acerca de dos nuevas ciencias, Galileo habla del infinito 
en relación a los enteros positivos y los cuadrados de los enteros positivos. Y hasta trata la 
correspondencia unívoca entre estos dos conjuntos infinitos. Pero llega a la conclusión de 
que los conceptos de igual que, mayor que, menor que sólo son aplicables a conjuntos 
finitos. Galileo creía que el principio que enuncia que el todo es siempre más grande que 
sus partes debía ser válido tanto para los conjuntos finitos como para los infinitos. Tres-
cientos años más tarde, Cantor demostró que ese principio no se aplicaba a los conjuntos 
infinitos, y usó la idea de correspondencia uno a uno para revisar las ideas tradicionales de 
igual que, mayor que, menor que, cuando se las aplicaba a conjuntos infinitos. Las modi-
ficaciones de Cantor dieron por tierra con muchas paradojas que se relacionaban con con-
juntos infinitos y con el todo es siempre más grande que sus partes. 
― 52 ― 
 
verdadera importancia. Elaborando, creando y refinando ideas, Cantor 
descubrió una nueva manera de organizar la matemática aplicando la no-
ción de conjunto. Determinó un método de comparar conjuntos infinitos 
gracias al desarrollo de los números transfinitos... números que se atre-
vían a trasponer la frontera del reino de lo finito. Usando las ideas de con-
juntos equivalentes y de contabilidad, Cantor determinó cuáles conjuntos 
infinitos tenían el mismo número de objetos y les asignó un mismo núme-
ro transfinito. Sus trabajos y pruebas sobre estos tópicos son extraordina-
riamente ingeniosos. 
Además de ser un desafío para nuestras mentes, la idea de infinito es 
una herramienta matemática indispensable. Ha desempeñado un rol cru-
cial en muchos descubrimientos matemáticos. La encontramos aplicada 
en: la determinación de áreas y volúmenes, tanto en la geometría como en 
el cálculo; los cálculos de aproximaciones a π, e y otros números irracio-
nales; trigonometría; cálculo infinitesimal; vida media; conjuntos infini-
tos; objetos geométricos auto-perpetuantes; límites; series; simetría diná-
mica, y en muchos campos más. En otras partes de este libro se exploran 
diversas nociones sobre el infinito, como las del infinito que genera frac-
tales, la teoría del caos, la constante búsqueda de un número primo más 
grande, los números transfinitos y otras más, ad infinitum. 
― 53 ― 
 
MUNDOS DE FRACTALES 
Acuñé el término fractal a partir del adjetivo latino fractus. El 
verbo latino correspondiente, fragere, significa “romper”: crear 
fragmentos irregulares... ¡qué apropiado para nuestras necesida-
des!... que, además de “fragmentado” (como en fracción o refrac-
ción), fractus también signifique “irregular”, y que ambos sentidos 
se preserven en fragmento. 
Benoît Mandelbrot 
Los fractales son magníficos objetos que se presentan en infinitas 
formas. Ernesto Cèsaro (matemático italiano, 1859-1906), escribió lo si-
guiente acerca de un fractal geométrico, la curva fractal copo de nieve de 
Koch: 
Lo que más me impresiona de todo en esta curva es que cual-
quier parte es similar al todo. Para tratar de imaginarla de la ma-
nera más completa posible, debe advertirse que cada pequeño 
triángulo de la construcción contiene la forma del todo reducida 
por un factor apropiado. Y éste contiene una versión reducida de 
cada pequeño triángulo, que a su vez contiene la forma del todo 
aún más reducida, y así sucesivamente hasta el infinito.... Es esta 
auto-similitud de todas sus partes, por pequeñas que sean, lo que 
hace que la curva parezca tan maravillosa. Si apareciera en la 
realidad, no sería posible destruirla sin eliminarla por completo, 
ya que de otro modo no dejaría de alzarse una vez más de las pro-
fundidades de sus triángulos, como la vida del universo mismo. 
Esta es la esencia de los fractales. Si queda una parte de ellos, esa par-
te conserva la esencia del fractal... que de ese modo puede regenerarse a 
sí mismo. Entonces, ¿qué es un fractal? Tal vez los matemáticos han evi-
tado deliberadamente dar una definición para no restringir o inhibir la 
imaginación de las creaciones e ideas fractales que se están formulando 
en este novísimo campo de la matemática. Con esta teoría se han desarro-
llado ideas tales como las de dimensiones fraccionarias, teoría de la itera-
― 54 ― 
 
ción y de la auto-similitud y aplicaciones a la turbulencia. Las aplicacio-
nes de los fractales van desde la lluvia ácida y los zeolitos hasta la astro-
nomía y la medicina, la cinematografía, la cartografía, la economía, y 
mucho más. 
 
En 1883, Cantor construyó este fractal conocidocomo conjunto de Cantor. Empezando 
por el segmento de longitud unitaria sobre la línea de los números, Cantor quitó el tercio 
del medio y obtuvo la etapa I. Después, a cada uno de los tercios restantes les quitó el 
tercio del medio, creando así la etapa 2. Repitiendo el proceso hasta el infinito, el infinito 
conjunto de puntos que quedan es el conjunto de Cantor. He aquí las primeras etapas de la 
construcción. 
 
Las primeras tres etapas de la curva de Peano. Esta curva fue hecha en la década de 1890, 
por medio de la aplicación reiterada de la figura de la izquierda a cada nuevo segmento 
creado. 
 
Las cuatro primeras etapas del copo de nieve de Koch. El copo de nieve de Koch se gene-
ra empezando con un triángulo equilátero. Se divide cada lado en tercios, se borra el ter-
cio del medio, y se construye una nueva punta con lado igual a la longitud del tercio bo-
rrado. 
― 55 ― 
 
 
Las cuatro primeras etapas del triángulo de Sierpinski. Se empieza con un triángulo equi-
látero. Se divide en cuatro triángulos congruentes, tal como se muestra en la ilustración, y 
se elimina el del medio. Se repite este proceso en los triángulos más pequeños hasta el 
infinito. El fractal resultante tiene perímetro infinito y superficie cero. 
En términos matemáticos un fractal es una forma que empieza con un 
objeto -tal como un segmento, un punto, un triángulo- que es alterado 
constantemente por medio de la aplicación infinita de una regla determi-
nada. La regla puede describirse por medio de una fórmula matemática o 
por medio de palabras. Los diagramas previos ilustran el proceso de crea-
ción de cuatro de los primeros fractales ideados. 
Podemos pensar en los fractales como en una curva en perpetuo cre-
cimiento. Para ver un fractal, uno verdaderamente tiene que verlo en mo-
vimiento. Se desarrolla constantemente. Actualmente somos afortunados 
al disponer de ordenadores capaces de generar fractales ante nuestros 
ojos. También fue afortunado que Benoît Mandelbrot, con el mismo espí-
ritu que los matemáticos de la antigüedad, estudiara y ampliara las ideas y 
aplicaciones de los fractales prácticamente por su cuenta, entre 1951 y 
1975. En realidad, fue él quien acuñó el término “fractal”. Qué asombra-
dos estarían los audaces matemáticos del siglo XIX,15 que fueron los pri-
meros que se atrevieron a investigar estas ideas generalmente considera-
 
15 Los matemáticos Georg Cantor, Helge von Koch, Karl Weierstrass, Dubois Reymond, 
Giuseppe Peano, Waclaw Sierpinski, Félix Haussdorff, A. S. Besicovitch (Haussdorff y 
Besicovitch trabajaron en dimensiones fraccionarias), Gastón Julia, Pierre Fatou (Julia y 
Fatou trabajaron en la teoría de la iteración), Lewis Richard- son (trabajó en los temas de 
turbulencia y auto-similitud), entre el año 1860 y el principio del siglo XX exploraron las 
ideas relacionadas con estos “monstruos”. 
― 56 ― 
 
das monstruosas16 y psicopáticas, si pudieran ver la maravillosa geome-
tría de los fractales en constante movimiento. 
Cuando vemos una ilustración o una fotografía de un fractal, lo esta-
mos viendo en un momento del tiempo... está congelado en una etapa 
determinada de su crecimiento. En esencia, es esta idea de crecimiento o 
de cambio la que vincula dramáticamente a los fractales con la naturale-
za. Porque ¿qué hay en la naturaleza que no esté en constante cambio? 
Hasta una roca está cambiando a nivel molecular. Pueden crearse fracta-
les para simular cualquier forma que uno pueda imaginar. Los fractales 
no están necesariamente limitados a una sola regla, sino que ésta puede 
estar formada por varias reglas o estipulaciones. Intente crear su propio 
fractal. Elija un objeto simple e idee una regla para aplicársela. 
 
Las cinco primeras etapas de un fractal geométrico generado por ordenador. 
 
16 Estos “monstruos” no eran aceptados y además no eran considerados dignos de investi-
gación por los matemáticos conservadores de la época. 
― 57 ― 
 
La parábola del fractal 
 
―¡Despierta, Fractal! Tienes que trabajar ―dijo la voz, llamando al 
dormido Fractal. 
―No otra vez, y tan temprano ―suplicó Fractal―. Acabo de poner 
mis dimensiones en orden. 
―¡Despierta, Fractal! Baja de esa nube que hiciste ―dijo la voz lla-
mando al dormido Fractal. 
―Te necesitan en Investigación Geológica... hay que describir otra 
línea costera ―siguió diciendo la voz. 
―¿Cuándo tendré un descanso? ―preguntó Fractal. 
―Lo has pasado bien durante siglos... ahora es momento de ponerse 
a trabajar ―le respondió la voz. 
―Trabajar, trabajar, trabajar. ¿Por qué no llaman a Cuadrado, 
Círculo, Polígono o a cualquier otra figura euclidiana? ¿Por qué a mí? 
―preguntó Fractal. 
―Primero te quejabas de ser ignorado y de que te llamasen mons-
truo. Ahora que finalmente te entienden, quieres retirarte. Deberías 
agradecer ser tan popular ―le replicó la voz. 
― 58 ― 
 
―Ser popular es una cosa, pero ahora no me dejan descansar. Nada 
ha sido igual desde que Mandelbrot me bautizó y me hizo debutar 
―acotó Fractal―. Los matemáticos se esforzaban tediosamente conmi-
go. Estoy seguro de que mis dimensiones fraccionarias los obstaculiza-
ron durante un tiempo. Esas pobres almas del siglo XIX no tenían orde-
nadores que los ayudaran. Casi ningún matemático me aceptaba, porque 
no encajaba con sus reglas matemáticas, ni las cumplía. Pero algunos 
fueron obstinados. Y ahora aquí estoy, creado y usado para tantas co-
sas... Los ordenadores fueron sin duda una bendición. En un momento la 
pantalla muestra un fragmento o una parte inicial de un fractal, y al si-
guiente la pantalla se llena con sus generaciones... en constante creci-
miento. Ahora me usan casi para todo... puedo describir raíces, vegeta-
les, árboles, maíz inflado, nubes, paisajes... Debo confesar que es muy 
excitante ampliar mis límites. Me encanta hacer líneas costeras porque 
todavía mucha gente se queda perpleja al enterarse de que puedo abar-
car una región con área finita, siendo que mi perímetro es infinito. Sirvo 
de modelo para muchos de los fenómenos del mundo. Por ejemplo... po-
blaciones con curvas de Peano, curvas fractales para la creación de es-
cenas cinematográficas, fractales usados para descripciones de astrono-
mía, meteorología, economía, ecología, etc., etc., etc. Estoy tan ocupado 
e involucrado en todo que las cosas han empezado a ser un poco caóti-
cas, especialmente desde que me mezclaron con la teoría del caos ―dijo 
Fractal con voz muy fatigada. 
La voz le respondió: 
―¡Deja de quejarte! La teoría del caos te ofrece un poco de varie-
dad. Sin ella, todo el tiempo estarías repitiendo la misma regla y gene-
rando una y otra vez la misma forma, así que al menos, gracias a la teo-
ría del caos, cuando los valores iniciales varían levemente puede produ-
cirse algo totalmente distinto. 
―Supongo que tienes razón ―suspiró Fractal. 
―Por supuesto que tengo razón. Piensa tan sólo lo aburrido que se-
ría conservar la misma forma siempre, como un pobre cuadrado o círcu-
lo ―afirmó la voz. 
―Bien, al menos un cuadrado o un círculo no tienen sorpresas ―le 
replicó Fractal. 
― 59 ― 
 
―De eso precisamente se trata. La vida está llena de sorpresas, y por 
eso te llaman a ti con tanta frecuencia. Tú eres más parecido a la vida 
―dijo la voz, que parecía estar haciéndole un elogio a Fractal. 
―¿Quieres decir que soy humano? ―le preguntó Fractal. 
―No diría tanto. Y además, no todas las formas de vida son humanas. 
Digamos tan sólo que tú eres diferente, ¡y eres no―euclidiano! 
Y con ese comentario, la voz se interrumpió. 
 
Las primeras etapas de una nube fractal. 
Cómo hallar la superficie de una curva copo de nieve 
El bello fractal geométrico llamado curva copo de nieve (ver la página 
50, abajo) fue creado en 1904 por Helge von Koch. Para generarlo hay 
que empezar por un triángulo equilátero.Se divide cada lado en tercios. 
Se borra el tercio del medio y se lo reemplaza por dos nuevos lados de la 
misma longitud que el borrado, que forman una punta como si se tratase 
― 60 ― 
 
de los lados de un triángulo. El proceso se repite hasta el infinito en cada 
uno de los lados resultantes. 
Dos propiedades fascinantes de este fractal, que parecen contradicto-
rias, son: 
* la superficie de la curva copo de nieve es finita: es 8/5 de la superficie 
del triángulo original que la genera; 
* el perímetro de la curva copo de nieve es infinito. 
He aquí una prueba informal de que la superficie de la curva copo de 
nieve es 8/5 de la de su triángulo generador. 
I. Supongamos que la superficie del triángulo ABC es k. 
II. Dividamos el triángulo ABC en nueve triángulos equiláteros con-
gruentes de superficie a, tal como se ve en la ilustración. Así, k = 9a. 
 
Ahora calcularemos el límite al que tiende la superficie de cada una de 
las 6 puntas de la estrella del paso II. Conocemos la superficie del trián-
gulo base: es a. Los triángulos que se generan en sus lados tienen una 
superficie de a/9, ya que estos guardan la misma relación con la punta de 
la estrella que la existente entre los pasos I y II. El cálculo continúa de 
manera semejante, y cada nuevo triángulo que se construya tendrá una 
superficie igual a 1/9 de la superficie del que le sirve de base. 
El paso III muestra la suma de las diversas superficies que se constru-
yen en cada una de las puntas de la estrella. 
Paso IV. Ahora, sumando las superficies creadas por cada una de las 
seis puntas más el hexágono del interior del triángulo generador original, 
llegamos a la expresión IV. 
― 61 ― 
 
Manipulando términos, el paso IV se transforma en el V. La serie en-
tre corchetes (excluyendo al 1 inicial), es una serie geométrica con razón 
4/9 y término inicial 2/9, así que podemos calcular su límite: (2/9)/(l – 
(4/9)) = 2/5. 
Paso VI. Sustituyendo la serie por el valor del límite tenemos: 
[1 + 2/5]6a + 6a = 72a/5 
Ahora necesitamos expresar la superficie de la curva copo de nieve en 
términos de k, la superficie del triángulo generador original. Como k = 
9a, tenemos a = k/9. Finalmente, sustituyendo a en 72a/5, obtenemos: 
(72/5)(k/9) = (8/5)k. 
 
𝐈𝐈𝐈. [𝑎 + 2 (
𝑎
9
) + 8 (
𝑎
9 × 9
) + 32 (
𝑎
9 × 9 × 9
) + ⋯ ] 
() Nótese que hay 8 triángulos en esta etapa 
() Nótese que hay 32 triángulos en esta etapa 
𝐈𝐕. [𝑎 + 2 (
𝑎
9
) + 2 (
𝑎
9 × 9
) 4 + 2 (
𝑎
9 × 9 × 9
) 42
+ 2 (
𝑎
9 × 9 × 9 × 9
) 43 … ] 6 + 6𝑎 
𝐕. [1 +
2
9
+
2 × 4
92
+
2 × 42
93
+
2 × 43
94
+ ⋯ +
2
9
(
4
9
)
𝑛−2
] 6𝑎 + 6𝑎 
― 62 ― 
 
Curvas monstruo 
 
Las etapas del triángulo de Sierpinski. Supongamos que la superficie del triángulo equilá-
tero inicial es de 1 unidad cuadrada. La suma de las superficies de los triángulos negros y 
de los blancos están indicadas para las primeras cinco generaciones. Supongamos que los 
triángulos negros representan eliminación de superficie. Adviértase el modo en que los 
valores de los triángulos blancos decrecen constantemente, implicando que el área blanca 
se aproxima a cero. Así, la superficie del triángulo de Sierpinski tiende a 0, mientras su 
perímetro tiende a infinito. 
Hasta que Benoît Mandelbrot acuñó el término “fractal” a fines de la 
década de 1970, estas curvas eran llamadas monstruos. Los matemáticos 
conservadores del siglo XIX consideraban patológicas a estas curvas 
monstruo. No las aceptaban ni las creían dignas de exploración porque 
contradecían las ideas matemáticas aceptadas. Por ejemplo, algunas eran 
funciones continuas (curvas sin ninguna brecha) que no eran diferencia-
bles, algunas tenían áreas finitas y perímetros infinitos, y algunas podían 
llenar por completo el espacio. El triángulo de Sierpinski17 (también lla-
mado junta de Sierpinski) tiene un perímetro infinito y una superficie fi-
nita. La ilustración anterior intenta mostrar el modo en que la superficie 
del triángulo de Sierpinski es cero. 
 
 
17 Llamado así por el matemático Waclaw Sierpinski (1882-1920) 
― 63 ― 
 
La controversia del conjunto de Mandelbrot 
En el siglo XVII, un número de matemáticos prominentes (Galileo, 
Pascal, Torricelli, Descartes, Fermat, Wren, Wallis, Huygens, Jo- hann 
Bemoulli, Leibniz, Newton) se dedicó intensamente a descubrir las pro-
piedades de la cicloide. Como hubo una gran cantidad de descubrimien-
tos, también hubo mucha controversia acerca de quién había sido el pri-
mero en descubrir cada cosa, acusaciones de plagio y minimizaciones de 
la obra de los otros. Como resultado, la cicloide fue llamado “la manzana 
de la discordia” y “la Helena de la geometría”. Los matemáticos del siglo 
XX parecen tener ahora una nueva Helena de la geometría: el conjunto de 
Mandelbrot. 
¿Quién fue el primero en descubrir el conjunto de Mandelbrot?18 Se 
trata de una controversia muy caldeada. Los candidatos son: 
― Benoît Mandelbrot, a quien con frecuencia se califica de pionero de-
bido a su trabajo inicial con /raciales durante la década de 1970. El 
trabajo de Mandelbrot que mostraba diversas variantes del conjunto 
que hoy lleva su nombre fue publicado el 26 de diciembre de 1980 en 
los Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York. Su trabajo so-
bre el conjunto propiamente dicho fue publicado en 1982. 
― John H. Hubbard, de la universidad de Cornell, y Adrien Douady, de 
la Universidad de París, nombraron al conjunto de Mandelbrot en la 
década de 1980, mientras trabajaban en las pruebas de diversos as-
pectos del mismo. Hubbard dice haberse reunido con Mandelbrot en 
1979, y haberle mostrado cómo programar un ordenador para lograr 
 
18 La ilustración es la forma fractal más familiar del conjunto 
de Mandelbrot. El conjunto constituye un tesoro de fractales, ya 
que contiene un número infinito de ellos. Es generado por una 
ecuación iterativa, por ejemplo z2+c, en la que z y c son núme-
ros complejos y c produce valores acotados dentro de ciertos 
límites. 
 
 
― 64 ― 
 
funciones iterativas. Hubbard admite que Mandelbrot más tarde desa-
rrolló un método superior para generar las imágenes del conjunto. 
― Robert Brooks y J. Peter Matelski alegan que ellos descubrieron y 
describieron independientemente el conjunto antes que Mandelbrot, 
aunque su trabajo no fue publicado hasta 1981. 
― Pierre Fatou describió las inusuales propiedades de los conjuntos de 
Julia alrededor de 1906, y el trabajo de Gastón Julia sobre los llama-
dos conjuntos de Julia es anterior al de Fatou. (Los conjuntos de Julia 
fueron la base de los conjuntos de Mandelbrot). 
¿Quién se lleva el crédito? Tal vez todos. 
― 65 ― 
 
MUNDOS MATEMÁTICOS EN LA LITERATURA 
Hay una imaginación asombrosa incluso en la ciencia de la 
matemática. 
Voltaire 
¿Es el hipercubo un producto de alguna imaginación matemática? ¿La 
única dimensión “verdadera” es la tercera? En la geometría euclidiana 
aprendemos que un punto sólo muestra locación, y que no puede ser visto 
ya que tiene dimensión cero. Sin embargo, podemos ver un segmento de 
línea compuesto por esos puntos invisibles. Una línea tiene longitud infi-
nita, pero sin embargo, ¿existe una figura como ésa en el ámbito de nues-
tras vidas? ¿Y qué ocurre con un plano? Es infinito en dos dimensiones 
pero sólo tiene un punto de espesor. ¿Qué es un plano en nuestro mundo? 
Pensemos en la seudoesfera de la geometría hiperbólica, en las líneas 
asintóticas de las funciones exponenciales, en los infinitos de los números 
transfinitos. Pensemos en los números imaginarios, en el plano de los 
números complejos, en los fractales, y hasta en el círculo. Nos pregunta-
mos si todos ellos pueden existir en nuestro mundo. Aunque no hay duda 
de su existencia dentro de sus respectivos sistemas matemáticos, estos 
conceptos son tan sólo modelos