Matemáticas para todos _ La historia - Horst Beyer

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MateMáticas
para todos
La Historia
CONSEJO NACIONAL PARA LA CULTURA Y LAS ARTES
Rafael Tovar y de Teresa
Presidente
Saúl Juárez Vega
Secretario Cultural y Artístico
Guillermo Núñez Herrera
Secretario Ejecutivo
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Director General de Publicaciones
GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACÁN DE OCAMPO
Salvador Jara Guerrero
Gobernador de Michoacán
Marco Antonio Aguilar Cortés
Secretario de Cultura
Paula Cristina Silva Torres
Secretaria Técnica
María Catalina Patricia Díaz Vega
Delegada Administrativa
Raúl Olmos Torres
Director de Promoción y Fomento Cultural
Argelia Martínez Gutiérrez
Directora de Vinculación e Integración Cultural
Eréndira Herrejón Rentería
Directora de Formación y Educación
Jaime Bravo Déctor
Director de Producción Artística y Desarrollo Cultural
Héctor García Moreno
Director de Patrimonio, Protección y Conservación
de Monumentos y Sitios Históricos
Héctor Borges Palacios
Jefe del Departamento de Literatura y Fomento a la Lectura
MateMáticas
para todos
La Historia
Horst r. Beyer
Héctor ruiz Paredes
Maricela Hernández Beyer
GoBierno del estado de MicHoacán
secretaría de cultura
Primera edición, 2014
dr © Horst R. Beyer
dr © Héctor Ruiz Paredes
dr © Maricela Hernández Beyer
dr © Secretaría de Cultura de Michoacán
dr © Secretaría de Cultura de Michoacán
Isidro Huarte 545, Col. Cuauhtémoc,
C.P. 58020, Morelia, Michoacán
Tels. (443) 322-89-00
www.cultura.michoacan.gob.mx
Coordinación editorial: Héctor Borges Palacios y 
Jorge Arriola
Diseño de portada: Sergio Alatorre
Diseño editorial: Horst R. Beyer,
Héctor Ruiz Paredes y Maricela Hernández Beyer
ISBN: 978-607-8201-79-2
Impreso y hecho en México
MateMáticas
para todos
La Historia
Índice general
Presentación................................................................................................... XI
Agradecimientos............................................................................................ XIII
INTRODUCCIÓN XV 
1. Las Matemáticas.................................................................................. XV
 1.1. A Los Lectores........................................................................ XVI
 1.2. El Método Genético................................................................ XVIII
 1.3. Conclusión.............................................................................. XXI
1. LA BASE: EGIPTO 1
 1.1. La Base................................................................................... 1
 1.2. Antiguos Egipcios................................................................... 1
 1.3. Representación de los Números en el Antiguo Egipto........... 2
 1.4. Ejemplos de los Papiros del Rhind y de Moscú..................... 5
 1.4.1. Problemas del Papiro del Rhind.......................................... 5
 1.4.2. Problemas del Papiro de Moscú........................................... 7
 1.5. Otros logros en el Antiguo Egipto.......................................... 8
2. LA BASE: MESOPOTAMIA 11
 2.1. Introducción............................................................................ 11
 2.2. Representación de los números
 en la Antigua Mesopotamia.................................................... 13
 2.3. Tablilla Plimton 322 y Tablilla YBC 7289............................. 15
 2.3.1. Tablilla Plimpton 322.......................................... 15
 2.3.2. Tablilla YBC 7289............................................... 16
 2.4. Otros Logros Matemáticos en la Antigua Mesopotamia........ 17
3. MATEMÁTICAS DE LOS MAYAS 23
 3.1. Introducción............................................................................ 23
 3.2. Representación de los Números Mayas................................. 24
 3.3. Astronomía Maya................................................................... 28
 3.4. El Códice de Dresden............................................................. 30
 3.4.1. El Planeta Venus.................................................. 32
 3.4.2. La Luna y los Eclipses......................................... 34
 3.4.3. Almanaque del Agricultor.................................... 34
4. LOS GRIEGOS: DESDE TALES DE MILETO A EUCLIDES 39
 4.1. Introducción............................................................................ 39
 4.2. Tales de Mileto....................................................................... 41
 4.3. Pitágoras de Samos................................................................. 43
 4.4. Zenón de Elea......................................................................... 45
 4.5. Aristóteles............................................................................... 46
 4.6. Theatetus de Atenas................................................................ 47
 4.7. Eudoxo de Cnido.................................................................... 52
 4.8. Euclides de Alejandría............................................................ 54
5. LOS GRIEGOS: DESDE ERATÓSTENES HASTA HIPATIA 59
 5.1. Introducción............................................................................ 59
 5.2. Eratóstenes de Cirene............................................................. 60
 5.3. Arquímedes de Siracusa......................................................... 62
 5.4. Apolonio de Pergamón........................................................... 66
 5.5. Diofanto de Alejandría........................................................... 69
 5.6. Hipatia de Alejandría.............................................................. 70
6. LOS GRIEGOS Y EL ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA 71
 6.1. Introducción............................................................................ 71
 6.2. El Universo para la Magna Grecia......................................... 72
 6.3. Desventajas del Modelo Matemático de Aristóteles............... 76
 6.4. Hiparco de Rodas.................................................................... 79
 6.5. Tolomeo de Alejandría............................................................ 84
7. LAS MATEMÁTICAS EN LA INDIA 87
 7.1. Introducción............................................................................ 87
 7.2. Aryabhata y la Interpolación................................................... 90
 7.3. Brahmagupta........................................................................... 92
 7.4. Bashkara Acharya................................................................... 94
 7.5. Kerala...................................................................................... 94
8. LAS MATEMÁTICAS EN LA ANTIGUA CHINA 97
 8.1. Introducción............................................................................ 97
 8.2. Liu Hui.................................................................................... 98
 8.3. El Teorema Chino del Residuo............................................... 101
 8.4. Li-Chun-Feng.........................................................................102
 8.5. Jia Xian................................................................................... 102
 8.6. Qin Jiushao............................................................................. 104
 8.7. La China en el siglo XIII........................................................ 104
9. ISLAM Y EL NACIMIENTO DEL ÁLGEBRA 107
 9.1. Introducción............................................................................ 107
 9.2. Abu Jafar Al-Kwarizmi........................................................... 107
 9.3. Thabit Ibn Qurra..................................................................... 110
 9.4. Abul Hasan Al-Uqlidisi.......................................................... 111
 9.5. Abu Bekr al-Karaji.................................................................. 111
 9.6. Abu Ali Al-Haytham............................................................... 112
 9.7. Otros Matemáticos Importantes de la Época.......................... 117
10. ÁLGEBRA EN ITALIA 119
 10.1. Introducción.......................................................................... 119
 10.2. Leonardo de Pisa.................................................................. 120
 10.3. Scipione Del’Ferro............................................................... 121
 10.4. Gerolamo Cardano................................................................ 124
 10.5. Solución de Ecuaciones Cúbicas.......................................... 126
 10.6. Rafael Bombelli.................................................................... 128
11. NAPIER Y LOS LOGARITMOS 131
 11.1. Introducción.......................................................................... 131
 11.2. Nicolás Copérnico................................................................ 131
 11.3. Ticho Brahe y Johannes Kepler............................................ 132
 11.4. John Napier........................................................................... 135
12. GALILEO Y EL MOVIMIENTO 141
 12.1. Introducción.......................................................................... 141
 12.2. Galileo Galilei....................................................................... 142
 12.3. El Problema de la Gravedad................................................. 145
 12.4. Matemáticas del Movimiento............................................... 146
 12.5. Descomposición Vectorial de la Velocidad........................... 148
 12.6. Simón Stevin y los Vectores................................................. 150
 12.7. El Problema de la inercia...................................................... 151
13. FERMAT, DESCARTES Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 153
 13.1. Introducción.......................................................................... 153
 13.2. Pierre De Fermat................................................................... 153
 13.3. René Descartes..................................................................... 161
 13.4. El Trabajo de Fermat en Cálculo.......................................... 164
 13.5. El Trabajo de Fermat en Teoría de Números........................ 168
14. NEWTON 173
 14.1. Isaac Newton 1642-1727...................................................... 173
 14.2. Introducción.......................................................................... 174
 14.3. Newton y la Mecánica Celestial........................................... 174
 14.4. Maestros importantes de Newton
 (Wallis, Huygens, Barrow)................................................. 180
 14.4.1. John Wallis........................................................ 180
 14.4.2. Christian Huygens............................................. 181
 14.4.3. Isaac Barrow...................................................... 183
 14.4.4. James Gregory................................................... 185
 14.5. Newton y el Cálculo............................................................. 185
 14.6. Newton, el Hombre............................................................... 186
15. LEIBNIZ Y EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 189
 15.1. Introducción.......................................................................... 189
 15.2. Gottfried Wilhelm Leibniz.................................................... 193
 15.3. El Cálculo Integral de Leibniz.............................................. 195
 15.4. El Cálculo Diferencial de Leibniz........................................ 195
 15.5. Jakob y Johann Bernoulli..................................................... 197
16. EULER 201
 16.1. Introducción.......................................................................... 201
 16.2. Leonhard Euler...................................................................... 203
 16.3. Trabajo de Euler con números complejos............................. 204
 16.4. Logros Adicionales de Euler................................................. 209
 16.5. Más Logros de Euler............................................................. 211
 16.6. Otros Matemáticos del Siglo XVIII...................................... 212
17.GAUSS Y LA NUEVA GEOMETRÍA 215
 17.1. Introducción.......................................................................... 215
 17.2. Trabajos de Gauss en Geometría.......................................... 217
 17.2.1. Teorema de Gauss-Bonnet en Geometría.......... 224
	 17.3.	Trabajos	de	Gauss	en	Superficies	No	Euclidianas................										226
 17.4. Trabajos de Gauss Sobre Funciones Elípticas...................... 229
Bibliografía.................................................................................................... 233
Índice de Figuras............................................................................................ 235
Índice de Cuadros.......................................................................................... 245
Índice de Símbolos........................................................................................ 246
Índice Alfabético............................................................................................ 247
XI
Presentación
Marco Antonio Aguilar Cortés
Si en mi infancia me hubieran explicado con simpleza y claridad 
qué eran los números, y las formas de las cosas, mis inquietudes 
estudiantiles se hubiesen encaminado a la investigación de las 
matemáticas.
Cuando	por	la	puerta	de	la	filosofía	entre	al	estudio	de	Pitágoras	
(569-475 a. de n. e.) me percaté de que en ese pensador había 
gérmenes	del	actual	pensamiento	científico,	mezclado	con	una	
fuerte fantasía religiosa llena de mitos.
En	 un	 fragmento	 que	 perdura	 de	 las	 obras	 de	 ese	 filósofo	
leemos, no sin emoción: “La matemática es el alfabeto con que 
los dioses han escrito el universo”. Diógenes Laercio en el siglo 
III de nuestra era da cuenta de ello en su libro de biografías 
sobre	los	filósofos	ilustres.
Lamentablemente las sectas pitagóricas, que en la península 
itálica alentaron la veneración a Pitágoras, desarrollaron más 
sus posturas religiosas hasta deformarlasen extremo, que sus 
principios matemáticos, algunos de los cuales ya se expresaban 
tanto en la cultura egipcia como en la mesopotámica.
Mi interés tardío por la matemática fue acompañado por 
inquietudes sobre fenómenos físicos, lo que me llevó a lecturas, 
entre otras, de y sobre Max Planck, y de y sobre Albert Einstein; 
ambos, tan ligados en ese curioso teatro que es el mundo. Pero, 
en	fin,	que	lo	anterior	sólo	sirva	de	dato	referencial.
Con ese antecedente externado, recibí con sumo placer al 
doctor Horst R. Beyer, destacado investigador del Instituto 
Max Planck de Alemania, quien me visitó en la Secretaría de 
XII
Cultura poniendo en mis manos las páginas que constituyeron 
el proyecto de este libro.
Percibí de inmediato el valor cultural que se desprende del texto 
de Matemáticas para todos, y al mismo tiempo que di cuenta al 
Gobernador Fausto Vallejo Figueroa, de este preciado proyecto, 
envié el cuaderno que lo contiene a nuestro consejo editorial 
para su dictamen.
Seguidos los trámites que corresponden legalmente, y en espera 
de los recursos económicos para llevar a cabo la primera edición, 
hoy que ambas cosas se han satisfecho vemos, con deleite, el 
libro impreso.
Su valor nos obliga a iniciar el trabajo para incluirlo en la 
biblioteca cibernética de nuestras ediciones que la Secretaría de 
Cultura está preparando, a efecto de que tengan acceso a éste, 
como a otros libros, todos los lectores cibernéticos del mundo.
Reconocemos el profesionalismo de los autores: Doctor Horst 
R. Beyer, Doctor Héctor Francisco Ruiz Paredes, y Maestra en 
Ciencias Maricela Hernández Beyer.
Diré,	 para	finalizar,	 que	 nuestra	 cultura	 no	 puede	 ni	 debe	 ser	
ajena a la matemática; y ésta es, tanto un fenómeno natural 
presente en todo, como una extraordinaria herramienta del 
conocimiento que los humanos tenemos para comprender, pero 
sobre todo para transformar, el universo que nos contiene.
Otoño del 2014.
XIII
Agradecimientos
En primer lugar queremos agradecer al Señor Gobernador del 
Estado de Michoacán, al Doctor Salvador Jara Guerrero, por 
su gentil atención al desarrollo de la educación matemática. 
Al escribir y leer este libro tenemos la certeza que todos los 
“corazones de la humanidad” conforman un solo mundo 
cultural, por esto, con gran gratitud reconocemos la labor del 
Lic. Marco Antonio Aguilar Cortés por su afable cuidado y 
apoyo a la promoción de la cultura. 
Agradecimientos especiales al personal de la Secretaría de 
Cultura del Estado de Michoacán especialmente a la Lic. Paula 
Silva Torres, a la Maestra Ma. Cristina Paz y Hernández, al Lic. 
Héctor Borges y al DG Jorge Arriola. A los directivos y docentes 
del Instituto Tecnológico Superior de Puruándiro, especialmente 
al M.C. Jorge Zamora Magaña y al Ing. Francisco Luis Sánchez 
A. De la misma manera agradecemos a los docentes y directivos 
de los Tecnológicos Superiores de Ciudad Hidalgo, de Uruapan, 
de Tacámbaro y Coalcomán, especialmente al Profesor Lauro 
Guillermo Pallares.
A los directivos y a los docentes de Ciencias Básicas de los 
Institutos Tecnológicos de Zitácuaro y de Lázaro Cárdenas 
especialmente al director Ing. José Angel Esquivel Tovar. Al 
Ing. Bertín Cornejo Cruz y al Profesor, Ing. Mario Zamora, 
así como a los docentes y alumnos de la Universidad 
Politécnica de Uruapan. Al Instituto Tecnológico de Morelia, 
especialmente al Programa de Graduados e Investigación en 
Ingenieria Eléctrica.
A la Dra. Teresita Perdomo por sus pacientes revisiones y 
amables comentarios. Al Ing. Francisco J. Hurtado C., al Lic. 
Héctor Ruiz Hernández y a la Lic. Luise Angela Thalheim y a la 
XIV
Ing. Ma. Cristina Martínez Carretero por el apoyo en la edición 
de este libro.
Agradeciendo la posibilidad de mirar un mundo más educado y 
sobre todo un mundo lleno de respeto de comprensión y de paz. 
Horst R. Beyer, Héctor. Ruiz P., Maricela H. Beyer.
Alemania - México 2014
XV
Introducción
1. Las Matemáticas
Las matemáticas están presentes en los primeros registros his-
tóricos de la llamada cuna de la civilización, hace más de 4000 
años. Las matemáticas han tenido una vida tan excitante como 
la del ser humano con un corpus viajero sin fronteras, sin limi-
taciones culturales o religiosas han obtenido la forma actual, 
como las conocemos ahora. El propósito de mirar hacia el desa-
rrollo de las matemáticas es motivar a nuestra psique a buscar 
que hay más allá de sumar nuestros salarios y restar nuestros 
gastos. Diariamente calculamos distancias y tiempos, ¿es en-
tonces, el ser humano un ser matemático que vive en una 4ª. 
dimensión tiempo-espacio? Durante miles de años las matemá-
ticas fueron un conocimiento secreto exclusivo para sacerdotes 
y reyes, ahora, es el tiempo de reconocerlas pues las matemáti-
cas son para todos.
Los seres humanos, conscientes o no de ello, somos matemáti-
cos, tenemos que hacer ciertos cálculos matemáticos para de-
terminar distancias, tiempos, posiciones, sumas, divisiones, etc. 
Basándonos en la lógica matemática podremos observar que in-
cluso las soluciones a problemas de la vida cotidiana se vuelven 
más ligeras, si aprendemos el lenguaje lógico en que las mate-
máticas están escritas, veremos que son más fáciles de lo que 
pensamos, lo único que necesitamos es: motivación.
XVI
1.1. A Los Lectores.
“ Los padres y maestros tenemos la responsabilidad de criar hi-
jos que transformen nuestro país, en uno donde reine la libertad, 
la abundancia, la justicia y sobre todo la felicidad”, Benito Juá-
rez (México,1806-1872).
Las nuevas generaciones están cargadas de mentes inteligentes y 
a su vez con grandes necesidades educativas para enfrentar los re-
tos de un mundo cada vez más globalizado. Hoy en día los apren-
dices de matemáticas tienen que lidiar con conceptos de “carácter 
abstracto” por lo que se requiere una gran atención.Para captar la 
atención de los alumnos, los profesores tienen que competir con 
muchas distracciones como la TV, películas, videojuegos, etc. En 
los salones de clase los estudiantes interesados en las matemáti-
cas son inquisitivos, curiosos y dispuestos a aprender. El interés 
de los estudiantes en el tema es crucial para el éxito de sus estu-
dios y tendrán éxito bajo cualquier circunstancia.
Es necesario que trabajemos conjuntamente, maestros, alumnos 
y padres de familia en la educación de nuestra sociedad. El do-
cente de matemáticas no necesita ser un experto en matemáticas 
avanzadas, lo único que se le requiere es fomentar en los alum-
nos el gusto por aprender a pensar por sí mismos, invitar a los 
alumnos/hijos a buscar y encontrar la verdad, saber reconocer lo 
que está bien y lo que no.
Matemáticos importantes como Felix Klein, Henri Poincaré, 
Gerhard Kowalewski, etc., preocupados en la educación ma-
temática, propusieron el uso de la historia de las matemáticas 
para despertar en los alumnos el gusto por aprenderlas. Gerhard 
Kowaleski en 1909 escribió en su libro Die Klassischen Proble-
me der Analysis des Unendlichen , Los Problemas clásicos del 
Análisis	del	Infinito	:
XVII
“A menudo, los libros de matemáticas que solamente consisten 
en una colección de problemas repelen a los estudiantes, lo mis-
mo sucede con aquellos libros llenos de teoremas y demostra-
ciones. Pero hay una manera de hacer las cosas más aceptables 
para los jóvenes principiantes. Siempre que sea posible y con 
buen éxito, he usado un método en mis clases de matemáticas. 
El método consiste en revivir los momentos histórico-persona-
les del concepto en cuestión. De esta manera se revive el interés 
del alumno. Si le digo a los estudiantes: “Leibniz construyó la 
curva logarítmica así” o digamos ésta es otra manera que utilizó 
Leibniz para integrar las funciones racionales, etc.
!Hay una gran diferencia entre una simple presentación y 
una muestra de las relaciones personales con los conceptos 
matemáticos! Mi objetivo es que los estudiantes contacten con 
los principales creadores del mundo matemático que conocemosahora”. G. Kowalewski.
El objetivo fundamental de este libro es despertar la motivación 
a estudiar las matemáticas a través del conocimiento de la 
propia historia, la historia de las matemáticas va aparejada con 
la historia del ser humano. En el salón de clases es notorio cómo 
los estudiantes enfocan toda su atención cada vez que se hace 
mención de un hecho histórico. Fue el matemático alemán Otto 
Toeplitz en 1926 quien utilizó por primera vez el término de 
método genético por hacer referencia a la génesis matemática. 
Pero Toeplitz no se detuvo en meras anécdotas históricas sino en 
el uso del desarollo histórico como herramienta para fomentar la 
motivación en el estudio de las matemáticas.
XVIII
1.2. El Método Genético.
El término “Genetische Methode”,“método genético” (en la 
enseñanza de las matemáticas) fue acuñado en 1926 por el 
alemán Otto Toeplitz en la conferencia titulada “Das Problem 
der	Universitaetsvorlesungen	ueber	 Infinitesimalrechnung	und	
ihrer	Abgrenzung	gegenueber	der	Infinitesimalrechnung	an	den	
hoeheren Schulen”, “El problema en la Enseñanza del Cálculo 
Diferencial e Integral en las Universidades, después de lo 
Aprendido en los Cursos del Bachillerato”.
Toeplitz fue un matemático- investigador bien conocido, con 
importantes contribuciones en el campo del análisis funcional. 
Durante 19 años como profesor de matemáticas en universida-
des de Alemania desarrolló y probó el método genético, pero, 
¿ por qué un método?, Toeplitz estaba decepcionado al ver que 
los estudiantes al ingresar a las universidades alemanas se en-
frentaban a cursos de matemáticas bajo el enfoque axiomático 
riguroso basado en la construcción de los números reales y sin 
motivación alguna de los conceptos abstractos, con este sistema 
el 50 % de los alumnos no estaban preparados para los estudios 
universitarios, sólo el 5 % de los alumnos acreditaban excelen-
temente la materia de matemáticas y había un 45 % de “buenos” 
estudiantes que se perdían por falta de motivación.
Con	el	fin	de	alcanzar	a	este	45	%	de	buenos	estudiantes	Toeplitz	
propuso utilizar el método genético que despliega la génesis mate-
mática, es decir el nacimiento y evolución de las matemáticas, el 
uso de la historia de las matemáticas cómo fuerza de motivación. 
Toeplitz razonó como sigue: “el desarrollo de los conceptos mate-
máticos establecidos ahora ha sido un proceso vivo y emocionan-
te,	por	lo	tanto,	la	enseñanza	de	las	matemáticas	deberá	reflejar	ese	
entusiasmo y traer vida a los conceptos para despertar el interés de 
la mayoría de los estudiantes por aprender matemáticas”.
XIX
Es de destacar que en los Estados Unidos (EE.UU.), en el año 
1962, se presentó una situación similar. El lanzamiento del 
satélite espacial “Sputnik” representó la amenaza intelectual 
de los ingenieros soviéticos sobre los ingenieros de los Estados 
Unidos, lo que condujo a una crisis en el sistema educativo 
estadounidense, la educación matemática se reformó hacia unas 
“nuevas matemáticas que consistía en preparar a los estudiantes 
con matemáticas más avanzadas, el plan de estudios pasó a 
centrarse en la abstracción y el rigor.
Una de las respuestas más razonables a las “nuevas matemáticas” 
fue	 la	 declaración	 colectiva	 firmada	 por	 61	 	miembros	 de	 la	
comunidad matemática de la época entre ellos: Lipman Bers, 
Kline Morris, George Polya, y Max Schiffer, publicada en 
“The Mathematics Teacher” y en la revista “The American 
Mathematical	Monthly”,	 en	 esta	 carta	 los	 firmantes	 hacen	 un	
llamado al uso del “método genético” en la enseñanza de las 
matemáticas. “Esto podría sugerir un principio general: La 
mejor manera de guiar el desarrollo mental del individuo es 
hacerle observar el desarrollo mental de sus ancestros”.
Así mismo, en la década de los 1980s, los departamentos de 
matemáticas en los EE.UU. se enfrentaron a las críticas de los 
otros departamentos, especialmente en las carreras de ingeniería, 
muchos de sus estudiantes no tenían idea de cómo aplicar los 
conceptos matemáticos en las diferentes áreas de la ingeniería. 
En nuestra experiencia la problemática en la enseñanza de las 
matemáticas es un problema a nivel mundial. El único remedio 
prometedor para esta situación es el uso del método genético 
con objeto de aumentar la motivación en el estudio de las 
matemáticas.
En este libro se utiliza el método genético que consiste en la 
solución de los problemas relacionados con el desarrollo de las 
XX
matemáticas desde su génesis y su transformación a su paso por 
la historia de la humanidad. Veremos cómo la estructura actual 
de las matemáticas tiene sus orígenes en las tierras egipcias y 
en la antigua Mesopotamia (Iran-Irak-Turquía) hace aproxima-
damente 4000 años. Estos orígenes tienen como testigos a las 
grandiosas Pirámides de Egipto y los monumentos de Ishtar. La 
historia nos muestra evidencias de que las matemáticas se han 
ido construyendo capa por capa por diferentes culturas, razas, 
religiones, como un “trabajo mundial comunitario” . ¿Cómo 
es posible esto? Lo que sabemos es que la forma de las matemá-
ticas actuales es un producto de un trabajo comunitario, donde 
la	cultura,	religión,	raza,	idioma,	se	unifican.		¡Vaya	que	sí!	Una	
de las razones por las que se les llama el lenguaje universal .
A través de ecuaciones y números es posible describir desde 
el movimiento de los átomos hasta la formación de galaxias, 
gracias a las matemáticas es posible el internet y muchas de las 
comodidades de las que gozamos ahora. Galileo Galilei en la 
Italia del Renacimiento escribió:
“... io dico l’universo, ma non si puo intendere se prima non 
s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali 
é scritto. Egli é scritto in lingua matematica, e i caratteri son 
triangoli,	cerchi,	ed	altre	figure	geometriche,	senza	i	quali	mezi	
é impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi é 
un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto”. Galileo-Galilei 
(1564-1643).
“...Lo que digo es que el Universo no puede ser entendido si 
no se entiende el lenguaje en que éste está escrito, el Universo 
está escrito en el lenguaje de las matemáticas. Los triángulos, 
círculos	y	otras	figuras	geométricas	son	los	caracteres	en	que	el	
Universo se da a entender, sin las matemáticas es humanamente 
imposible entenderle una sóla, sin las matemáticas estaríamos 
vagando en un laberinto obscuro”.
XXI
1.3. Conclusión
Los padres y maestros debemos tomar la responsabilidad de la 
educación de los pequeños y de los jóvenes con la conscien-
cia de que se trata de formar hombres y mujeres que sean 
capaces de crear felicidad, de incorporar el conocimiento a 
su propia vida social y que se vea reflejado en una mejor 
calidad de vida . Creatividad y docencia son dos términos ínti-
mamente vinculados. ¿Qué hago o dejo de hacer para despertar 
la creatividad de mis hijos, de mis alumnos? La creatividad se 
alcanza siendo activos, los docentes y padres debemos propiciar 
el ambiente para que los jóvenes generen ideas novedosas en 
beneficio	propio	y	de	la	comunidad.
La intención de este libro es proveer la ruta a seguir para elevar 
la motivación en la enseñanza y en el aprendizaje de las ma-
temáticas. Es accesible tanto para maestros como alumnos de 
educación media superior y superior. También, este libro es para 
todos aquellos que quieran enamorarse de un mundo literalmen-
te “pintado con números”.
Horst R. Beyer, Héctor. Ruiz P., Maricela H. Beyer.
Tübingen, Alemania y Morelia, México 2014
1 LA BASE: EGIPTO
1.1. La Base
Las matemáticas hoy en día están muy bien estructuradas, sólidamente esta-
blecidas, además son una herramienta indispensable para el desarrollo de cual-
quiera de las ciencias. La estructura matemática ha sido edificada capa por capa
por alrededor de 4000 años, esfuerzo de la comunidad mundial. Un sólo trabajo
realizado por hombres y mujeres de alrededor del mundo, Las matemáticas son
viajeras sin fronteras y las antiguas culturas de Egipto y Mesopotamiasentaron
los cimientos, la base de las matemáticas actuales.
1.2. Antiguos Egipcios
Siempre hay controversia entre qué cultura es más antigua, Egipto o Mesopota-
mia, ambas tienen evidencias de existencia en tiempos similares así que elegi-
mos Egipto por simplicidad. El Egipto de hace 4000 años contaba con un clima
extraordinario y una tierra extremadamente fértil debido principalmente a las
bondades del agua del Río Nilo, además con pocos vecinos y pocos enemigos,
Egipto, que basaba su economía en la agricultura, alcanzó una producción sufi-
ciente de trigo para satisfacer las necesidades alimenticias de toda la sociedad,
factor que ayudó a crear una civilización, altamente desarrollada en el sentido
arquitectónico, material y cultural.
Los primeros registros en matemáticas datan entre los años 2030-1640 a.C.,
pertenecientes a la época llamada, Imperio Medio. Las matemáticas tienen su
origen en la administración, comercio y la arquitectura. Se capacitaba a funcio-
narios y burócratas para supervisar impuestos o para la creación de proyectos
de construcción. Se sabe que a partir de los años 1600 a.C., las matemáticas se
guardaron secretamente, reservadas exclusivamente para clases sacerdotales y
reyes. Se creía que así como el Sol, la Luna y las estrellas influyen en el clima
y la agricultura también los astros “deben influir en el destino” de los humanos,
entonces, el conocimiento matemático se convirtió en importante herramienta
1
1 LA BASE: EGIPTO
Figura 1.1: Ubicación de Egipto en el continente africano
para la preparación de horóscopos y adivinación del futuro.
Lo que actualmente queda como vestigios de esta gran cultura, son pirámi-
des, zonas arqueológicas y textos matemáticos, escritos en papiros. Los papiros
muestran problemas matemáticos totalmente resueltos pero sin deducciones o
“pruebas”. El concepto de prueba o “demostración matemática” para un teore-
ma se desarrollaría más tarde por los antiguos griegos.
1.3. Representación de los Números en el
Antiguo Egipto
Para recordar: nuestro sistema numérico moderno es un sistema posicional
en base 10. y tiene 10 símbolos numéricos,
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 :
Por ejemplo, el número
714;21
se interpreta así:
2
1.3 Representación de los Números en el Antiguo Egipto
1st Proof Title: Ancient Egypt & The Near East : 28769
Job No: PL0310-79/4234
 AE_14-27_.qxd 3/30/10 10:15 AM Page 15
(c) 2011 Marshall Cavendish. All Rights Reserved.
Figura 1.2: Sesostris I, uno de los reyes más poderosos del Reino Medio Egipcio
Figura 1.3: Viejo calendario egipcio en el templo de Karnak
714;21 D 7 � 102 C 1 � 101 C 4 � 100 C 2 � 10�1 C 1 � 10�2
D 7 � 102 C 1 � 101 C 4 � 100 C 2 �
1
101
C 1 �
1
102
:
3
1 LA BASE: EGIPTO
En México y otros países del continente americano, El Reino Unido, Australia,
India, etc., utilizan un punto (.), para separar la parte entera de la parte fraccio-
nal. En Europa continental y otros países de Sudamérica utilizan una coma “,”
para separar “la parte entera” de la “parte fraccional”.
Del ejemplo anterior vemos que el 714 es la parte entera y
21
100
(,21) es la parte fraccional del número 714;21.
Gracias al descubrimiento de la Piedra Rosetta que es un texto grabado en
piedra y en 3 idiomas (antiguo egipcio, jeroglíficos egipcios y antiguo griego),
ha sido posible traducir muchos jeroglíficos egipcios. Algunos símbolos numé-
ricos son:
| 2 3 4 567
Hombre Renacuajo Dedo Loto Cuerda Yugo Vara
10 renacuajos 10 dedos 10 lotos’ 10 cuerdas 10 yugos 10 varas
7 6 5 4 3 2 |
1,000,000 100,000 10,000 1,000 100 10 1
Cuadro 1.1: Representación de los números en jeroglíficos egipcios
Algunos números naturales, 1; 2; 3; : : : se representaban de la siguiente manera:
|||||| D 6 ; 22||| D 23 ; 222|||22|||||| D 59 ; 33 22233 22 D 450 :
Representación de los números recíprocos o (inversos):
r|| D 1
2
; r||||||D 1
6
:
Algunos ejemplos de representaciones de fracciones:
2
3
D
1
2
C
1
6
D
r|| r|||||| :
4
1.4 Ejemplos de los Papiros del Rhind y de Moscú
1.4. Ejemplos de los Papiros del Rhind y de
Moscú
Como mencionamos anteriormente los papiros eran hechos del “papirus” (plan-
ta típica de Egipto), un tipo de tela semejante al algodón, pero, con una textura
más parecida a la del papel. A continuación veremos unos ejemplos de los pa-
piros del Rhind y de Moscú. Cabe mencionar que el papiro del Rhind lleva ese
nombre en honor a Henry Rhind que lo rescató, este papiro, ahora se encuentra
en el Museo Británico. El papiro de Moscú es un papiro egipcio que se encuen-
tra en el palacio de Bellas Artes en la ciudad de Moscú, Rusia.
1.4.1. Problemas del Papiro del Rhind
Papiro del Rhind: también se le conoce como papiro de Ahmes fue escrito al-
rededor del 1600 a.C. por el escriba Ahmes, mide cerca de 32 cm de ancho y
199;5 cm de largo. Este es un texto matemático de carácter didáctico de es una
verdadera joya arqueológica. A continuación veremos unos ejemplos de este
papiro.
Problema 1.4.1.1. El Problema 21 del papiro del Rhind dice: “Completar 2=3
y 1=15 hasta 1”.
solución:
15 �
2
3
C 15 �
1
15
D 10C 1
De esta manera, se llega al problema auxiliar, escrito en tinta roja por el escriba,
“completar 10 y 1 hasta 15”.
10C 1C 4 D 15
Entonces llegamos a:
2
3
C
1
15
C 2 �
�
2 �
1
15
�
D 1 :
Duplicando la tabla, se concluye que:
2 �
1
15
D
1
10
C
1
30
�
1
10
C
1
30
D
3
30
C
1
30
D
4
30
D
2
15
�
5
1 LA BASE: EGIPTO
y como:
2 �
�
2 �
1
15
�
D
2
10
C
2
30
D
1
5
C
1
15
:
finalmente, la respuesta al problema viene dada por:
2
3
C
1
15
C
1
5
C
1
15
D 1 :
Tomemos nota de que, en escencia, este problema requiere la solución de la
ecuación:
2
3
C
1
15
C x D 1 :
Otro ejemplo:
Problema 1.4.1.2. Problema 26 del Papiro del Rhind dice : “A una cantidad
dada añadir un cuarto de esa cantidad para que se convierte en 15. ¿ Cuál es esa
cantidad?”
Solución: en notación moderna, el problema consiste en la solución de la ecua-
ción:
x C
1
4
x D 15 :
La solución utiliza el “método de posición falsa”. En primer lugar, se supone
que x D 4, entonces sustituyendo 4 en lugar de x :
4C
1
4
4 D 4C 1 D 5 ¤ 15 :
Como,
15 D 3 � 5 ;
se requiere de un 3 que multiplique a 5 para obtener 15 entonces en lugar del 4,
usaremos para x el valor de x D 4veces3 en el lado izquierdo de la ecuación,
así se concluye que:
3 � 4C
1
4
3 � 4 D 15
y por lo tanto que la cantidad buscada, está dada por: 3 � 4 D 12.
6
1.4 Ejemplos de los Papiros del Rhind y de Moscú
1.4.2. Problemas del Papiro de Moscú
Papiro matemático de Moscú, data de entre los años (1900- al 1800 a.C.), y
mide cerca de 3;8� 7;6 cm de ancho y 5;5 m de largo. A continuación veremos
el problema 14 del papiro egipcio de Moscú.
Problema 1.4.2.1. Problema 14 del Papiro de Moscú.
Ejemplo del cálculo del volumen de una pirámide truncada. La base de la pi-
rámide es un cuadrado que mide 4 codos en cada lado, la parte superior donde
está la parte truncada hay otro cuadrado que mide 2 codos en cada lado, y la
altura de la pirámide truncada es de 6 codos.
Solución: en primer lugar, se calcula el área de la base:
4 � 4 D 16 :
también se calcula el área de la del cuadrado de la parte superior donde está la
parte truncada,
2 � 2 D 4 :
A continuación, se multiplica la longitud de un lado de la base inferior 4 por la
longitud de uno de los lados de la base superior 2, esto es:
4 � 2 D 8 :
Se suman lo tres números que se obtuvieron, 16; 4 y 8,
16C 4C 8 D 28 :
Ahora se lee un 2, que es 1=3 de la altura que recordemos es 6 codos, así que
6=3 es igual a 2. Finalmente, el escriba escribió con tinta roja:
“He aquí que el resultado es 56.”
El 56 se obtuvo de multiplicar el 2 proveniente de 6=3 con el 28 proveniente de
la suma 16C 4C 8 D 28.
Este ejemplo muestra que los egipcios conocían, la fórmula para el volumen
V de una pirámide truncada pero no en el sentido algebraico moderno.
Si la base de la pirámide es un cuadrado y tiene lado a, el cuadro superior tiene
lado b, y una altura h, entonces la formulausada en nuestros días es la siguiente:
V D .a2 C b2 C ab/
h
3
:
7
1 LA BASE: EGIPTO
Se podría concluir que los egipcios tenían el álgebra en la mente, pero no de la
manera que la usamos ahora.
1.5. Otros logros en el Antiguo Egipto
Los antiguos egipcios eran buenos geómetras. Encontraron una gran cantidad
de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Especialmente, ellos conocían el
teorema de Pitágoras.
a
b
A
BC
b
2
a
2
c
2
= a
2
+b
2
c
Figura 1.4: Interpretación geométrica del teorema de Pitágoras
Además, trataron de encontrar una aproximación al problema de “la cuadratura
del círculo”, es decir, de encontrar el lado a de un cuadrado cuya área es igual
al área de un círculo unitario,(círculo de radio igual a 1). Por consiguiente ellos
se dieron cuenta que se puede dar una aproximación al area a2 de un círculo
unitario esto es: a2 D .16=9/2, nótese que el valor del área del cuadrado es
exactamente a2 donde a es la longitud de cada uno de los lados del cuadrado.
En términos modernos, podemos decir, que ellos encontraron una aproximación
al valor de � � .16=9/2.
8
1.5 Otros logros en el Antiguo Egipto
a
1
Figura 1.5: Círculo unitario junto un cuadrado de lado a D 16=9.
a �
16
9
;
ˇ̌̌̌ �
16
9
�2
� �
ˇ̌̌̌
6 0;02 :
Podemos observar que el valor que dieron los egipcios para � tiene un margen
de error de sólo 0;02 respecto al valor utilizado en nuestros días.
Por otra parte, mediante la observación sistemática de los movimientos de la
Luna, el Sol, los planetas y las estrellas, los egipcios y sumerios encontraron
la manera de medir el tiempo, (la cual utilizamos en nuestros días). Ellos divi-
dieron, un día en 12 horas y una noche en 12 horas, cada hora en 60 pedacitos
ahora llamados minutos y cada minuto en 60 segundos.
9
1 LA BASE: EGIPTO
Figura 1.6: “Cielo norte”, fresco en la tumba de Senenmut, TT 353, las 12 partes del día y las 12
partes de la noche. Es decir las 24 partes (horas)de un día y una noche.
10
2 LA BASE: MESOPOTAMIA
2.1. Introducción
Hace unos 200 años en la Europa moderna dentro de los mercados de objetos
usados, se encontraban a la venta “tablillas de barro” con escritura cuneiforme.
Estas tabletas alertaron a los arqueólogos sobre la existencia de lugares impor-
tantes para entender la historia de la humanidad, la historia y vida de nuestras
matemáticas. El descubrimiento de estas preciosas reliquias abrió las puertas al
estudio de las culturas de Mesopotamia, conocida ésta como, “la tierra entre
los dos ríos, el Tigris y el Eufrates...” Mesopotamia o también llamada Babilo-
nia es reconocida como la cuna de la civilización. Se tienen registros de que
aproximadamnte 4000 años antes de Cristo, grupos de personas se unieron y
se establecieron en un solo lugar para formar una ciudad con dos instituciones
principales el Rey y El Templo. También existían otros hombres con poder eco-
nómico pero no político, “los comerciantes”.
Los habitantes de Mesopotamia pertenecían a diferentes grupos étnicos: sume-
rios, babilonios, caldeos y asirios, etc. La mayor parte de la antigua Mesopota-
mia se encontraba en lo que hoy es parte de los países de Irak, Iran, Turquía,
Armenia, etc., a esta zona se le ha llamado “el creciente fértil” y la simboli-
zaban con una luna creciente. La tierra de Mesopotamia era extremadamente
fértil, les proveía a sus habitantes de una gran cantidad de frutas y vegetales,
lino, cebada, trigo y ajonjolí, así como, gracias a la presencia del agua en abun-
dancia fue posible dedicarse a la ganadería (“la tierra de la miel y leche”).
Al igual que la antigua cultura egipcia, las culturas de la antigua Mesopotamia
nos heredaron la grandiosa idea de transmitir la palabra a través de símbolos.
Con el poder de la escritura la humanidad dio un gran avance en la comunica-
ción, lo que marcó el inicio de una nueva era para el desarrollo de las ciencias.
A las personas adiestradas en el conocimiento de la escritura se les llamaba
escribas. Los escribas elaboraban los mensajes del rey dirigidos al pueblo y a
los vecinos del reino, la escritura utilizada es llamada escritura cuneiforme, por
tener forma de cuñas.
11
2 LA BASE: MESOPOTAMIA
Figura 2.1: Localización de la antigua Babilonia en Medio Oriente
named Merodach-baladan succeeded
twice in briefly seizing the crown of
Babylonia.
Defeat of the Assyrians
In 729 BCE, following the death of
the Babylonian ruler Nabu-nasir, the
Assyrian king Tiglath-pileser III led a
campaign into Babylonia.After a series of
military victories, he managed to estab-
lish Assyrian ascendancy over the region
and make himself king of Babylonia.The
Assyrians remained overlords of Babylon
until 626 BCE, when a Chaldean gener-
al called Napolassar led a campaign of
determined onslaughts aimed at ousting
the Assyrians from the Babylonian plain.
Napolassar successfully managed to drive
the Assyrians out. He then took the
Babylonian crown for himself, restoring
Babylonian independence from Assyria
and ushering in the greatest period of
Babylonian history.
The power of Assyria was on the
wane, and Napolassar followed up his
victory at home by joining forces with
the Medes from the Iranian plain and
attacking the Assyrians from two sides.
Nineveh, the Assyrian capital, was taken
in 612 BCE; three years later, the
Assyrian Empire was totally destroyed.
By this victory, Napolassar became king
of a vast empire that stretched from the
Mediterranean Sea to the Persian Gulf.
74
1st Proof Title: Ancient Egypt & The Near East : 28769
Job No: PL0310-79/4234
This reconstruction
of Babylon’s Ishtar
Gate, made partially
from the original
tiles, stands in
Berlin’s Pergamon
Museum.The
original was
constructed in the
sixth century BCE.
AE_62-77_.qxd 3/30/10 10:19 AM Page 74
(c) 2011 Marshall Cavendish. All Rights Reserved.
Figura 2.2: La puerta de Ishtar, construída en el 575 a.C. Ahora se encuentra en el museo de
Pergamón en la ciudad de Berlín, Alemania
El patrimonio matemático que heredaron los babilonios a la humanidad está
guardado en tablillas de barro, hechas de arcilla y tierra cocidos en horno, pa-
recido al barro mexicano o tepalcates (Meseta Purépecha). Al igual que los
12
2.2 Representación de los números en la Antigua Mesopotamia
papiros egipcios, las tablillas de los babilonios presentan problemas matemáti-
cos y sus soluciones pero sin explicar sus deducciones.
Los desarrollos matemáticos se ven reflejados en la arquitectura de las ciudades
como los arcos y las majestuosas columnas. En esos tiempos, sufrieron varias
inundaciones, por lo que tuvieron que aprender a controlar el flujo del agua, lo
que requería, en sí de grandes trabajos de ingeniería. Los babilonios utilizaron
un sistema numérico en base 60 para contar, medir y resolver problemas. Algu-
nos de los registros matemáticos más importantes conservados en tablillas de
barro son los siguientes:
1. Aproximación del número pi (�).
2. Aproximación de la raíz cuadrada de 2,(
p
2)
3. Resolución (geométrica) de ecuaciones de primer y segundo grado.
Algunos textos escritos en barro interesantes son: la tablilla Plimpton 322, la
tablilla YBC 7289 y la tablilla VAT 8492. En el museo británico se encuentra
un texto muy interesante, es la tablilla número 13901.
Los antiguos matemáticos relacionaban las diferentes posiciones del Sol, la Lu-
na y otros astros y así determinaban la influencia celestial en el destino de
los seres humanos. Después del año 1600 a.C. el conocimiento matemático-
astronómico de Mesopotamia comenzó a ser secreto. Al igual que en Egipto,
cuando se empezaron a utilizar las matemáticas para calcular horóscopos, las
matemáticas pasaron a ser estudiadas exclusivamente por sacerdotes y reyes.
En Mesopotamia, las matemáticas-astronomía y la astrología eran una sola pro-
fesión, entonces a los matemáticos se les llamaban magi o magos, por lo que
se cree que aquellos Reyes Magos que visitaron al niño Jesús (Biblia cristiana)
fueron matemáticos-astrónomos-astrólogos que consideraron que el acomodo
de las estrellasen el firmamento de aquel tiempo implicaba el nacimiento de un
“nuevo rey ”.
2.2. Representación de los números en la
Antigua Mesopotamia
Símbolos numéricos:
13
2 LA BASE: MESOPOTAMIA
àD 1, uD 10 :
Números:
:D 2 , QD 3 , UD 4 , mD 5 , nD 6 , oD 7 ,
pD 8 , qD 9 , uD 10 , uàD 11 , ×D 20 , ʃD 30
ÙD 40 , ÛD 50 :
Utilizaron un sistema numérico en base 60. recordemos que nuestro sistema
numérico es base 10.
Ejemplo:
à un ÙàD 1 � 3600C 16 � 60C 41 D 4601 :
El sistema numérico de Mesopotamia era un sistema posicional, es decir el va-
lor de un dígito cambia dependiendo de la posición donde se encuentra. Nuestro
sistema decimal es posicional también pero es base 10 y en Mesopotamia usa-
ban potencias de 60. También en Mesopotamia leían los números de izquierda
a derecha, número de mayor valor se lee primero y así sucesivamente hacia la
derecha.
Para representar fracciones utilizaban los mismos símbolos por lo que era ne-
cesario revisar el contexto para diferenciar si se hablaba de un número entero
o de una fracción, su numeración escrita estrictamente utilizó números enteros
y fracciones, sin separar la parte entera de la parte fraccional, no usaban
tampoco un punto (".") como nosotros en el sistema decimal moderno.
Ejemplos de algunas fracciones (recordemos que son en base 60):
ʃD
30
60
D
1
2
, ×D 20
60
D
1
3
, uD 10
60
D
1
6
.
En general, para representar fracciones como,
a
b
, se utilizó:
a
b
D a �
1
b
:
El uso de números recíprocos (números inversos 1
b
) facilitaban sus cálculos,
pues tenían tablas de números inversos (¡hasta de varios dígitos!), éstas se en-
contraban disponibles en tablillas de barro.
14
2.3 Tablilla Plimton 322 y Tablilla YBC 7289
En particular, nótese que 1
3
no tiene ninguna representación decimal finita,
mientras que 20
60
sí tiene una representación sexagesimal finita,
20 � 60�1 :
Entonces nosotros lo escribimos así:
1
3
D
3
10
C
3
100
C
3
1000
C : : :
En una fracción a
b
, cuando a y b no tienen factores positivos en común, pueden
ser representados como una fracción finita si y solo si b no tiene divisores pri-
mos distintos de 2, 3 o 5. Nótese que 60 es divisible por los números primos 2,
3, y 5, por lo tanto, relativamente “más” fracciones tienen una representación
sexagesimal finita que una representación decimal finita. En otras palabras, una
fracción de a
b
, tiene una representación sexagesimal reducida y finita si y solo
si b tiene únicamente como factores los números primos 2, 3 y 5.
Las fracciones que no tenían representación sexagesimal finitas, como 1
7
, o 1
13
se redondeaban. Para el caso de 1
13
usaron la siguiente escritura:
1
13
D
7
91
D 7 �
1
91
� 7 �
1
90
D 7 �
40
3600
D
280
3600
D
4 � 60C 40
3600
:
Este último se representaba en la forma
UÙ .
2.3. Tablilla Plimton 322 y Tablilla YBC 7289
2.3.1. Tablilla Plimpton 322
La tablilla Plimpton 322 es interesante porque contiene una tabla de tripletas
pitagóricas, lo que sugiere el conocimiento del teorema de Pitágoras, más evi-
dencias se encuentran en la tablilla de la Ciudad de Susa y en la tablilla de
Tell-Dhibayi.
En la tablilla Plimpton 322 encontramos las siguientes tripletas,
32 C 42 D 52 ; 52 C 122 D 132 ; 82 C 152 D 172 ;
1192 C 1202 D 1692 ; 33672 C 34562 D 48252 ;
46012 C 48002 D 66492 :
15
2 LA BASE: MESOPOTAMIA
Figura 2.3: Tablilla Plimpton 322
Las tripletas pitagóricas son 3 números que representan los 3 lados de un trián-
gulo rectángulo, cuyas magnitudes cumplen con el teorema de Pitágoras. Los
números escritos en la tablilla Plimpton 322 indican que los babilonios cono-
cían algún método sistemático para construir tripletas pitagóricas.
2.3.2. Tablilla YBC 7289
Figura 2.4: Tablilla YBC 7289
La tablilla YBC 7289 es interesante porque nos da una aproximación bastante
exacta para
p
2:
16
2.4 Otros Logros Matemáticos
p
2 � 1C
24
60
C
51
60 � 60
C
10
60 � 60 � 60
D
30; 547
21; 600
� 1;41421 ;ˇ̌̌̌
1C
24
60
C
51
60 � 60
C
10
60 � 60 � 60
�
p
2
ˇ̌̌̌
< 6 � 10�7 < 10�6 :
Esta aproximación de
p
2 es demasiado precisa para haber sido tomada de la
medición geométrica de la diagonal de un cuadrado de lado igual a 1. Es decir,
dicho valor proviene de un cálculo aritmético y no de una medición hecha con
instrumentos. Por lo tanto, debe haber sido resultado de rigurosos cálculos y un
gran conocimiento de los números. Esta aproximación podría haber resultado
de lo que ahora llamamos el “método babilónico de aproximación de raíces
cuadradas” en números reales.
2.4. Otros Logros Matemáticos
En la Tablilla 13901 del Museo Británico está registrado que los matemáticos
de la antigua Mesopotamia consiguieron la solución geométrica de ecuaciones
cuadráticas. A continuación veremos el planteamiento del problema presentado
en esta tablilla y su solución, tratando de diseñar la lógica atrás de los resulta-
dos, considerando que ellos no utilizaban el álgebra como la usamos nosotros.
Ejemplo de la Tablilla 13901 del Museo Británico [Apendice A.3].
Problema no. 1 de la Tablilla 13901 “Tengo un cuadrado y le he
sumado el valor de uno de sus lados al valor de su área; esto me da
como resultado 3=4. Solución: Tu le agregas la unidad. Tu divides
en dos el 1; (y lo que te da es) 1=2. Multiplicas (1=2) por 1=2; y te
resulta 1=4. Sumas 1=4 a 3=4; ( te da) 1. Se trata de un cuadrado de
1. Tu le restas un medio (1=2); este medio (1=2) lo multiplicas por
1; esta multiplicación te da 1=2, este es un lado de mi cuadrado”.
En términos modernos este problema se puede escibir con la siguiente ecuación
cuadrática o ecuación de segundo grado:
x2 C x D
3
4
; (2.4.0.1)
para cualquier número real x.
17
2 LA BASE: MESOPOTAMIA
x
1
1�2 1�2x
Figura 2.5: Paso 1 de la solución geométrica. Aquí se observa la representación del área en la forma
de x2 C x, nótese que éste no es un cuadrado de lados iguales.
x
1�2
1�2
x
Figura 2.6: Paso 2 de la solución geométrica, el área x2 C x es la misma que en la figura anterior,
aquí un medio de x se deslizó hacia la parte inferior, con objeto de “completar el cuadrado.
x2 C x C
1
4
D
�
x C
1
2
�2
: (2.4.0.2)
¿Cómo escribirlo de manera algebraica? Recordemos que estamos partiendo de
la siguiente ecuación:
x2 C x D
3
4
; (2.4.0.3)
18
2.4 Otros Logros Matemáticos
x
1�2
1�2
x
Figura 2.7: Paso 3 de la solución geométrica, “completando el cuadrado”. Aquí se observa la re-
presentación geométrica de x2 C x C 1
4
, se puede observar que la parte faltante para completar
el cuadrado es un cuadrito (negro) de lado igual (1=2), como el área = lado por lado el área del
cuadrado es 1
4
.
1
1
Figura 2.8: Paso 4 de la solución geométrica. Como se puede ver en la figura la suma de las dos
partes 3
4
C 1
4
D 1 da un cuadrado perfecto de lado 1, por lo que xC 1
2
D 1. De aquí, la solución
para x es x D 1=2.
para cualquier número real x.
Lo que se quiere es completar un nuevo cuadrado partiendo del cuadrado origi-
nal:
19
2 LA BASE: MESOPOTAMIA
x2 C x C
1
4
D
�
x C
1
2
�2
D
3
4
C
1
4
D 1 D 12 :
Geométricamente se llega a:
x C
1
2
D 1 ;
Que corresponde al paso 4 de la solución geométrica.
Esto nos conduce a la solución de la ecuación:
x D
1
2
:
Que corresponde al paso 5 de la solución geométrica.
Nótese que toda ecuación cuadrática tiene dos soluciones. En el ejemplo ante-
rior (2.4.0.1) la segunda solución es negativa y para los babilonios estas solu-
ciones no tenían importancia por no tener algun significado geométrico.
x D �
1
2
:
Longitudes más pequeñas de 0, es decir, números negativos no fueron conside-
radas por los antiguos babilonios, ni por los egipcios ni por los griegos.
Los antiguos babilonios encontraron una muy buena aproximación al valor de
� , 25
8
D 3;125, (esta aproximación se encuentra en una tablilla de la Antigua
Ciudad de Susa): ˇ̌̌̌
25
8
� �
ˇ̌̌̌
6 0;02 ;
notemos que este valor es ligeramente mejor que el valor encontrado por los
antiguos egipcios,
�
16
9
�2
.
Los antiguos babilonios fueron grandes constructores de tablas numéricas,en
particular se han encontrado, tablas de números elevados al cuadrado desde el
1 hasta el 59 y tablas que contienen los valores de números elevados al cubo
desde el 1 hasta el 32. Ellos usaron las tablas de números elevados al cuadrado
para multiplicar dos cantidades a y b , utilizaron las siguientes identidades:
ab D
.aC b/2 � a2 � b2
2
; ab D
.aC b/2 � .a � b/2
4
20
2.4 Otros Logros Matemáticos
Utilizaron las tablas de números elevados al cubo para resolver ecuaciones cú-
bicas simples. Un ejemplo lo encontramos en la tablilla VAT 8492 que contiene
los siguientes productos, n �n � .nC1/D n3Cn2 donde n es un número natural
desde el 1 hasta el 32 para resolver ecuaciones del tipo:
ax3 C bx2 D c
donde a; b y c son fracciones especiales, las únicas que encajan con sus tablas
previamente elaboradas. Recordemos que tanto los egipcios, babilonios y grie-
gos no tenían el concepto de números reales ni de números irracionales como
los conocemos ahora, los únicos números usados por ellos fueron enteros y frac-
ciones, una fracción es una representación de una división entre dos números
enteros.
21
3 MATEMÁTICAS DE LOS
MAYAS
3.1. Introducción
Casi a la par con las ciudades mesopotámicas, egipcias, indias y chinas, los pue-
blos del continente Americano comenzaron a crear ciudades sedentarias dando
origen a grandes civilizaciones. Las matemáticas de Mesopotamia y Egipto fue-
ron desarrolladas más tarde por los griegos y otras culturas en el paso del tiempo
hasta tener la forma que tienen ahora. En cambio, las matemáticas de las cultu-
ras antiguas del continente americano tuvieron un desarrollo aislado y lo mucho
que habrían logrado ya, fue prácticamente borrado al momento del encuentro
directo con las culturas de Europa a partir del 1492.
Por las evidencias encontradas en Chichen-Itza, Tikal, Palenque, Copán, El Mi-
rador, etc., la civilización Maya, es una civilización mesoamericana reconocida
en el desarrollo de las matemáticas. Los mayas habitaron el sur de México,
Guatemala, Belice, Honduras y El Salvador, nosotros nos vamos a enfocar en
el esplendor de la civilización maya entre los años 900 d.C y 1500 d.C.
“El propósito de las matemáticas”: la administración civil, la astronomía y la
astrología. Las matemáticas utilizadas para el estudio de los cielos fueron re-
servadas para uso exclusivo de sacerdotes y para la nobleza maya, expertos en
numeración y en la elaboración de calendarios, se dedicaron a determinar la
influencia de los astros sobre la tierra donde vivían, basados en la idea de que
todo cuanto sucede es cíclico, calcularon ciclos lunares, ciclos solares, ciclos de
eclipses, de planetas y de constelaciones. Sus textos astrónomicos-matemáticos
son llamados “códices”, el papel utilizado para escribir los códices se obtenía
de la corteza del árbol de la higuera, a este tipo de papel se le llama amate y
tiene la cualidad que no se desintegra aún con el paso de los años.
Se sabe por referencias que una gran mayoría de textos matemáticos fueron
quemados o destruidos sistemáticamente por el imperio español durante la con-
23
3 MATEMÁTICAS DE LOS MAYAS
quista de las Américas, en el siglo XVI. Actualmente, sobreviven 4 códices,
resguardados en museos alrededor del mundo, ellos son: el Códice de Madrid,
el Códice de Dresden, el Códice de París y el Códice de Grolier, aunque, la
autencidad del Códice de Grolier es cuestionada. La nobleza Maya era la única
con acceso a la educación matemática. Con la conquista española, la nobleza
maya desapareció y junto con ellos gran parte del conocimiento astronómico-
matemático.
Figura 3.1: El antiguo terriorio Maya en el continente americano
3.2. Representación de los Números Mayas
Recordemos que nosotros utilizamos un sistema numérico “de origen hindú, en
base 10 y con notación posiciónal”, los 10 símbolos numéricos son:
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 :
Al igual que otras culturas mesoamericanas, los mayas usaron un sistema numé-
rico, en base 20, para ellos el número 20 representaba 1 persona, con 10 dedos
en las manos y 10 dedos en los pies, el número 40 representaba 2 personas.
Los mayas tenían dos tipos de numeración basado en 3 símbolos numéricos,
uno para la aritmética y otro era usado para marcar el paso del tiempo, utilizan-
do para ello, unos caracteres llamados Glifos. Los 3 símbolos numéricos son: el
24
3.2 Representación de los Números Mayas
Figura 3.2: Símbolos numéricos mayas
número 0 generalmente representado como una concha marina. El número 1 lo
representaron dibujando una semilla de cacao y el número 5, respresentado con
una línea horizontal que simbolizaba una mano de 5 dedos. Figura 3.2.
Figura 3.3: Representación numérica maya del 0 al 20.
Figura 3.4: Representación de algunos números utilizando la notación posicional maya.
El sistema numérico maya también es un sistema con notación posicional pero
la diferencia con nuestro sistema es que los mayas acomodan las cifras verti-
calmente, en la parte inferior se escribe el término menor, la cifra aumenta en
potencias de 20 una sobre otra. Los números mayores a 19 se escriben en el se-
25
3 MATEMÁTICAS DE LOS MAYAS
gundo nivel de abajo hacia arriba. En la figura 4.4 vemos un ejemplo de como
escribir con notación maya los números 21, 12 y 2012.
Utilizando las potencias de 20 observemos que los números: 21, 12 y 2012: se
descomponen de la siguiente forma:
21 D 1 � 200 C 1 � 201 D 1C 1 � 20 ;
12 D .5C 5C 2/ � 200 D .5C 5C 2/ � 1 ;
2012 D .5C 5C 2/ � 200 C 0 � 201 C 5 � 202
D 5 � 400C 0 � 20C .5C 5C 2/ � 1 :
Las potencias de 20 normalmente van así:
200 D 1 ; 201 D 20 ; 202 D 400 ; 203 D 8000 ; 204 D 160000 ; : : :
Para los cálculos astronómicos los mayas ajustaban la tercera posición para ha-
cerla coincidir con la duración del año maya de 360 días llamado Tun, entonces
la secuencia numérica quedaba de la siguiente manera:
200 D 1 ; 201 D 20 ; 360 ; 20 � 360 D 7200 ; 20 � 7200 D 144000 ; : : :
En la figura 4.5 hemos marcado el número 5840 con un rectángulo, leyendo
éste número de abajo hacia arriba, tenemos primero un 0, es decir una concha
marina, en el siguiente nivel se escriben 4 granitos de cacao (un 4) y en el tercer
nivel tenemos 3 barras horizontales más un granito de cacao, es el número 16,
para traducir dicho número maya a decimal es necesario utilizar “notación de
calendario”:
5840 D 0 � 1C 4 � 20C 16 � 360 :
.
El número 5840 tiene un significado en astronomía, corresponde al número de
días en 10 revoluciones sinódicas del planeta Venus, cada una era considerada
de 584 días.
El sistema numérico con base 20 permite esquemas simples para la adición,
substracción y multiplicación, aunque, no hay evidencia directa que los mayas
hayan usado fracciones, se acepta que ellos intuían el uso de fracciones, ya que
26
3.2 Representación de los Números Mayas
Figura 3.5: Página 24 del Códice de Dresden. Número 5840 notación posicional vertical.
llegaron a obtener valores escritos en sus calendarios donde se implica una frac-
ción.
Es importante destacar que la semilla de cacao era usada como “divisa” para
compra-venta entre los diferentes pueblos de mesoaamérica. Los mayas llama-
ban al número 8000 “pic”, también usaban el mismo nombre para llamar a un
costal con semillas de cacao. Ellos empacaban costales con 203 D 8000 semi-
llas de cacao.
27
3 MATEMÁTICAS DE LOS MAYAS
3.3. Astronomía Maya
Basándose en las observaciones del cielo, los mayas, desarrollaron calendarios
extremadamente sofisticados, lograron algunos descubrimientos que en tiempos
modernos sólo han sido posibles con la ayuda de la tecnología. La siguiente
tabla nos da una idea del conocimiento maya sobre las propiedades orbitales de
los planetas en comparación a la información obtenida por el astrónomo griego
Claudio Tolomeo (90 � 168d.C.) y en comparación con los datos modernos:
Códice Maya Mayas Tolomeo Moderno
Mes lunar (días) 405 lunaciones.D 11; 960 d 29;53086 29;53337 29;53059
Orb. Sinod. Venus (días) 301 per.D 175; 760 d 583;92 583;92 583;92
Orb. Sinod.Marte (días) 1 per.D 780 d 780 779;94 779;94
Año Solar (trop.) (días)) 1507 Año trop.D 550; 420 d 365;242 365;24667 365;24198
Cuadro 3.1: Tabla de Comparación de datos astronómicos de los mayas con los de Claudio Tolomeo
y datos modernos
Los mayas, como muchos pueblos de la antiguedad, conjuntaban la astrología
con la astronomía teniendo a las matemáticas como herramienta, ellos trata-
ron los fenómenos naturales y astronómicos como un sistema mecánico exacto
usado con propósitos de adivinación sin preocuparse por entender cómo y por
qué el cielo aparece como lo hace. Venus fue el objeto astronómico de mayor
interés, y era considerado más importante que el Sol. Las mediciones mayas
sobre la órbita de Venus son tan exactas con sólo un día de error en un lapso de
6000 años. Se sabe que ellos creían que cuando Venus salía antes del amanecer
era presagio para tener éxito en la guerra. Además la órbita de Venus definía si
las cosechas, lluvias, enfermedades y suerte de los mayas iban a ser buenas o no.
Para medir el tiempo, los mayas elaboraron 3 calendarios diferentes el primer
y más común para el pueblo era el Calendario “Haab” que medía el año civil,
este calendario era un calendario solar de 365 días, formado por 18 meses de
20 días, al final de los 360 días se contaban los 5 días de balance, tiempo para
reflexionar entre lo ganado y lo perdido.
El segundo calendario era llamado Tzolkin, era un almanaque que marcaba las
celebraciones religiosas y rituales, usado principalmente para hacer augurios.
El Tzolkin expresa la cosmogonía maya, este “almanaque” está formado por 13
numerales que interaccionan con los 20 días mayas de un mes. La duración del
Tzolkin es de 260 días este ciclo está relacionado con el tiempo de gestación
28
3.3 Astronomía Maya
de una mujer, con ciclos astronómicos de Venus, la Luna y el Sol. También con
ciclos de eclipses lunares y solares.
Cada uno de los 260 días eran vistos como seres vivientes llamados abuelos,
eran representados por caracteres llamados glifo, la fecha de nacimiento mar-
caba el destino de cada ser humano y desde pequeño se le entrenaba de acuerdo
a las características de su abuelo regidor. Los ciclos de siembra y cosecha, ca-
cería, recolección de miel, sanación de enfermedades, matrimonios, la fechas
para comenzar una guerra etc., provenían de el Tzolkin.
El tercer calendario era llamado “Calendario de la Cuenta Larga”, llamado así
porque se dedica a la medición del tiempo en “Eras”, cada era de 13 baktunes,
que correspone a aproximadamente 1; 872; 000 días, de acuerdo a la correlación
Goodman-Martinez-Thompson, el 13 de Agosto del 3114 a.C. inició un ciclo
de 13 Baktunes y terminó el 23 de diciembre del 2012, para comenzar otra era
maya de 13 Baktunes.
La fecha Maya 4 Ahaw 8 Kumku, es equivalente a, Agosto 13 del año
3114 a.C., fecha inscrita en las estelas A y C de Quirigua, Guatemala,
Según los mayas han pasado cuatro Eras y la quinta Era, comenzó el 23 de
Diciembre del 2012. Para los mayas 5 Eras contienen un lapso de 26000 años.
1 (Kin)= 1 día
1 (Winal)= 20Kin= 20 días
1 (Tun)=18 Winal= 360 días = 1 año
1 (Katun)=20Tun= 7; 200 días 20 años
1 (B’ak’tun)=20Katun = 144; 000 días 394 años
1 (Piktun)=20Baktun = 2; 880; 000 días 7; 885 años
Los Calendarios Haab y Tzolkin se sincronizaban después de cada 52 años ma-
temáticamente observemos que ambos calendarios tienen los siguientes factores
primos:
260 D 2 � 2 � 5 � 13 ; 365 D 5 � 73 ;
29
3 MATEMÁTICAS DE LOS MAYAS
lo que significa que
2 � 2 � 13 D 52 :
Los nombres de cada uno de los días del calendario Haab combinados con los
del Tzolkin se repetí́an cada 18; 980 días, es decir, aproximadamente cada 52
años. En cada ciclo 52 años se celebraba el Fuego Nuevo con grandes rituales.
Se cree que los mayas esperaban el momento en que las Pleyades se encon-
traban en el Cenit para dar comienzo a la celebración. Las personas al llegar a
la edad de 52 años, eran consideradas Consejeros del Pueblo, se integraban al
llamado Consejo de Ancianos.
3.4. El Códice de Dresden
El Códice de Dresden es un texto matemático maya, que tiene su propia histo-
ria, por azares del destino ahora se encuentra bajo el resguardo del Sächsische
Landesbibliothek del Museo estatal de la ciudad de Dresden, Alemania. Los
códices mayas tienen una característica son escritos con tinta negra y roja, de
hecho se sabe que los Mexicas llamaban al pueblo Maya como el pueblo de la
Tinta Roja y la Tinta Negra.
La historia del Códice de Dresden es digna de contarse, se cree que ha pasa-
do por diversas manos como Hernán Cortés y Carlos V. Además el códice ha
paseado por las ciudades de Viena, Moscú y finalmente Dresden, Alemania,
donde actualmente . Desde su reencuentro en Viena en 1880 ha sido estudia-
do por diversas personalidades entre ellos: Förstemann (1880), Von Humbolt,
Kingsborough, Villacorta, Gates, Zimmermann, Lips, y Eric Thompson, éste
último, afirma que los mayas tienen registrado un tiempo de diluvio y conocían
la existencia de la Vía Láctea.
Nosotros estamos utilizando la clasificación del Códice de Dresden de acuerdo
a Ernst Fortesmann. En el siglo XIX, el alemán Förstemann encontró el Códice
en la Biblioteca donde trabajaba y se dedicó a limpiarlo y a estudiarlo. Él lo
organizó en diferentes capítulos y numeró las páginas como él lo creyó conve-
niente. En general se considera que el Códice de Dresden está formado por los
siguientes capítulos:
Almanaques de 7260 días
La Diosa de la Luna
Almanaque del Agricultor: Los Chaques
30
3.4 El Códice de Dresden
Figura 3.6: Páginas 24 y 25 del Códice de Dresden versión de Förstemann contiene información
del planeta Venus.
El Planeta Venus
Tablas Lunares
Múltiplos de 78
Profecías de Katun
Números de Serpiente
El Diluvio
31
3 MATEMÁTICAS DE LOS MAYAS
Ceremonia de Año Nuevo
Tabla de Multiplicar y el Monstruo del cielo
Múltiplos de 364
3.4.1. El Planeta Venus
Las fotografías de las páginas 24 y 25 del Códice de Dresden, en la figura 4.6,
contienen una tabla de revoluciones sinódicas de Venus que permite calcular la
posición corregida de Venus hasta en un período de 6000 años. Con estas tablas
ellos determinaban el día en que Venus aparecería por primera vez en la mañana
(Horto de Venus) después de haber estado oculto. (¡Fecha para comenzar una
guerra, nuevos proyectos, etc!).
Según la NASA la orbita sinódica de Venus es de 584;9 días, es decir, el mo-
vimiento cíclico de Venus, visto desde la Tierra. Cabe señalar que la órbita
sinódica es diferente a la órbita propia del planeta alrededor del Sol. Los da-
tos de la NASA reportan que la órbita sinódica de Venus está formada por las
siguientes 4 fases:
Venus aparece como estrella de la mañana alrededor de 263 días.
Venus aparece como estrella del atardecer alrededor de 263 días.
Venus no se puede observar cuando está atrás del Sol por alrededor de 50
días.
Venus no se puede observar cuando está enfrente del Sol, esto es por
alrededor de 8 días.
En la figura 3.7 que corresponde a la página 24 del Códice de Dresden, nosotros
hemos marcado en la parte inferior 4 columnas en color amarillo, aquí vamos
a leer de derecha a izquierda, la primer columna está encerrada en un rectán-
gulo, el número maya escrito ahí corresponde al número 2920, este número
es igual al número de días en 5 revoluciones sinódicas de Venus. Las siguien-
tres tres columnas encerradas en óvalos amarillos corresponden a los números
2920x2 D 5840, 2920x3 D 8760 y 2920x4 D 11620 que corresponden a
10, 15 y 20 revoluciones sinódicas de Venus, respectivamente. Aquí es impor-
tante notar que 20 revoluciones de Venus tardan 11680 días no 11620 como
está escrito en la figura 3.7, esto se presta a especulaciones, puede ser un error
32
3.4 El Códice de Dresden
Figura 3.7: Página 24 del Códice de Dresden de Förstemann. Revoluciones sinódicas de Venus,
también podemos observar el Super número maya.
del “escriba” o tal vez que, con el paso del tiempo se han borrado algunas cifras.
En la misma pagina 24 del Códice Maya de Dresden,en la figura 3.7 nosotros
hemos marcado el número 185; 120 con un rectángulo de color verde, esta cifra
corresponde a 712 años sagrados de 260 días, al parecer, este período de 712
años, son años de observaciones de la órbita sinódica de Venus.
En la misma página 24 del Códice de Dresden en la figura 3.7 hemos marcado
en un rectángulo de color azul el número 1; 366; 560 llamado super número
Maya. Este número tiene los siguientes factores primos:
33
3 MATEMÁTICAS DE LOS MAYAS
25 � 32 � 5 � 13 � 73
Cabe mencionar que dentro de los factores de 1; 366; 560 se encuentran el 30,
el 584 y 780 que son los tiempos de los períodos sinódicos de la Luna, Venus
y Marte, respectivamente. Otro factor del super número maya es el número 52,
que como sea dicho, cada 52 años se alineaban los dos calendarios el Haab y el
Tzolkin, representando el inicio del fuego nuevo, un nuevo ciclo de 52 años.
3.4.2. La Luna y los Eclipses
La figura 3.8 muestra las paginas 31 y 32 del Códice de Dresden, estas páginas
contienen tablas lunares al parecer podían predecir eclipses lunares y solares.
Con una gran capacidad de estadística, al igual que los babilonios y griegos, los
mayas registraron sus datos durante siglos de observaciones. Los mayas consi-
deraron importante el ciclo de 11960 días, equivalentes a 405 lunaciones que
permite predecir la ocurrencia de eclipses solares.
En la figura 3.9 tenemos una fotografía de la página 32 del Códice de Dresden
donde se observan datos de la órbita sinódica de la Luna, hemos encerrado con
un rectángulo amarillo el números 148 correspondientes a 5 lunaciones y con
rectángulos de color azul el 177 maya que representa 6 lunaciones . Se piensa
que además de registrar los eclipses, utilizaban éstas tablas para predecir futu-
ros eclipses. Para las civilizaciones antiguas los eclipse eran fuertes señales de
augurio.
3.4.3. Almanaque del Agricultor
Debido a que los tiempos de siembra y cosecha eran determinados por las esta-
ciones de lluvia y secas era muy importante para las culturas antiguas determi-
nar con exactitud los tiempos de inicio de siembra y cosecha. Las figuras 3.10
y 3.11 del Códice de Dresden vemos las páginas del Almanaque del Agricultor,
ahí se encuentran múltiplos de 78, 91 y 364.
Los mayas utilizaron los datos del pasado para predecir el futuro. David Carras-
co escribió en su libro “Religions of Mesoamerica”
“Los mayas estuvieron profundamente preocupados en encajar cada uno de
los eventos dentro de un marco cosmogónico diseñado para asegurar la
regeneración de la vida.... Los tiempos pasado y futuro fueron fijados en un
34
3.4 El Códice de Dresden
Figura 3.8: Páginas 31 y 32 del Códice de Dresden de Foerstermann contiene tablas de eclipses.
Se pueden observar múltiplos de 177, que representan el número de días en 6 lunaciones, hasta
llegar a 405 lunaciones.
patrón de tal manera que fuese posible leerlo y predecirlo.... los mayas
marcaron ciclos con todo detalle, ciclos para celebrar y ciclos para temerles
con toda la emoción posible”. (Nuestra traducción)
Es triste ver que no ha sido posible desplegar matemáticas sobre el fundamento
matemático Maya. Este capítulo es escrito como un sencillo homenaje a los
Señores del Tiempo.
35
3 MATEMÁTICAS DE LOS MAYAS
Figura 3.9: Página 32 del Códice de Dresden de Foerstermann contiene tablas de eclipses. He-
mos marcado en rectángulos los números 148 y 177 que representan al número de días en 5 y 6
lunaciones respectivamente.
36
3.4 El Códice de Dresden
Figura 3.10: Página 61 del Códice de Dresden versión de
Foerstermann. En la parte superior hay múltiplos de 91 y 364.
Figura 3.11: Página 73 del Códice de Dresden versión de
Foerstermann pertenece al Almanaque del agricultor. Esta pá-
gina contiene múltiplos de 78 en notación de calendario. De
derecha a izquierda: 1� 78, 2� 78, 3� 78, 4� 78, 5� 78,
and 10� 78.
37
4 LOS GRIEGOS: DESDE
TALES DE MILETO A
EUCLIDES
Mientras las matemáticas en el continente americano quedaron aisladas, en las
tierras del Medio Oriente, se vio aparecer en las costas del mar Egeo una raza
que entendía la vida de una manera completamente diferente. Su misión fue,
embellecer todo lo que hacían, embellecer la escritura, la política, el arte pero
su obra magna, con la que han ganado todas las simpatías de generaciones en
generaciones es su trabajo en las matemáticas.
Figura 4.1: Localización de Grecia en el continente europeo.
4.1. Introducción
La antigua civilización griega ha influido enormemente en la cultura de todo el
mundo. Diferentes idiomas utilizan palabras que tienen un origen en la lengua
39
4 LOS GRIEGOS: DESDE TALES DE MILETO A EUCLIDES
griega, su organización política, sistemas educativos, filosofía, ciencias y artes
influyeron en Europa por más de 1500 años.
Los griegos fueron los herederos de las técnicas matemáticas de los egipcios y
babilonios pero a los griegos eso no les bastó, ya que ellos encontraron otras
aplicaciones matemáticas más allá del comercio o la arquitectura, los matemá-
ticos griegos le dan a las matemáticas la columna vertebral que es la noción de
demostración matemática, dándole a las matemáticas un sentido más formal y
por consiguiente más accesible a la comunidad.
Los primeros matemáticos griegos vivieron en el llamado período clásico de
la antigua Grecia (600-300 a.C.). En esta época sobre salen los matemáticos:
Tales de Mileto, Pitágoras de Samos, Zenón de Elea, Aristóteles, Theaetetus de
Atenas, Eudoxo de Gnido y Euclides quien escribió 13 libros de matemáticas.
A partir de Euclides se abrió una Biblioteca llamada “Naós ton Mouson, “Mu-
sei’on” o “el Templo de las Musas”, lugar exclusivo para promover el estudio
de las ciencias y las artes. Esta época representa un gran salto más allá de las
matemáticas secretas de Egipto y Babilonia.
Figura 4.2: Comienzos del Antiguo Imperio Griego entre el 700� 600 a.C.
La Grecia de este período estaba localizada en lo que ahora es Macedonia, Gre-
cia, parte de Turquía, parte de Italia y una parte del Norte de Africa. Los griegos
40
4.2 Tales de Mileto
entonces, contaban con un poderoso ejército, fueron grandes estrategas y famo-
sos por la invención de armas.
En esta época vivió el famoso Euclides, quien escribió 13 libros de matemáticas
para uso general.
Figura 4.3: El imperio de el gran Alejandro “Magno”
4.2. Tales de Mileto
Uno de los primeros matemáticos griegos importantes fue Tales de Mileto, alre-
dedor del 624 al 545 a.C. Mileto fue una ciudad, ahora localizada en Turquía. El
principal interés de Tales era calcular distancias entre objetos. Se sabe que Tales
estudió con matemáticos egipcios. Especialmente él aprendió astronomía de los
egipcios. Incluso está registrado que Tales predijo el eclipse del año 585 a.C.,
además, calculó las alturas de las pirámides, ¿cómo lo hizo? Usando triángulos
rectángulos semejantes.
Diógenes (sigloII d.C.), escribió:
“[Tales]... consiguió medir la altura de las pirámides con solo ob-
servar el largo de su sombra al mismo momento en que la sombra
del hombre es igual a su propia altura”.
Plutarco (II d.C.) escribió:
41
4 LOS GRIEGOS: DESDE TALES DE MILETO A EUCLIDES
“Aunque el rey de Egipto admiró a Tales por muchas cosas, espe-
cialmente lo admiró por la manera en que él midió la altura de las
pirámides, fácilmente y sin ningún instrumento”.
Siguiendo con los comentarios de Plutarco:
“[Tales] fijó una vara en la punta de la sombra de la pirámide, y
así, la vara reflejando su propia sombra, formaba otro triángulo
semejante, la proporción de la pirámide al palo es la misma que la
relación de las respectivas sombras”
h1
h2
l1 l2
Figura 4.4: Esquema del método que usó Tales para determinar la altura h1 de una pirámide. h2 es
la altura de un objeto auxiliar como la vara situada en la punta de la sombra de la pirámide con un
largo de l1, l2 es el largo de la sombra del objeto auxiliar.
Es probable que Tales sabía de cocientes para los lados de triángulos rectán-
gulos, ya que los egipcios también habían utilizado estas técnicas,