Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor1

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 A continuación se da la lista completa de los Ejercicios del Álgebra de Baldor: 
 
 
EJERCICIO 1 
 
1 
 
C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s 
 
 
1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico. 
S o l u c i ó n : 
 
Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, 
hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo 
expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor 
absoluto. 
 
Respuesta: el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares. 
 
 
 
2. Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado económico. 
S o l u c i ó n : 
 
Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, 
hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo 
expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor 
absoluto. 
 
Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres. 
 
 
 
 
 
 
3. Tenía $200. Cobre $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo? 
S o l u c i ó n : 
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Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, 
hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y 
los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre 
estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo 
de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) 
de mayor valor absoluto. 
 
Respuesta: Ud. tiene + $67. 
 
4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si después recibo 
2 280. ¿Cuál es mi estado económico? 
S o l u c i ó n : 
 
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, 
hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y 
los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre 
estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo 
de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) 
de mayor valor absoluto. 
 
Respuesta: su estado económico es de + 437 soles. 
 
5. Tenía $20. Pagué $15 que debía, después cobré $40 y luego hice gastos por $75. ¿Cuánto tengo? 
S o l u c i ó n : 
 
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, 
hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y 
de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre 
estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo 
de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) 
de mayor valor absoluto. 
 
Respuesta: Ud. tiene - $30. 
 
6. Enrique hace una compra por $67; después recibe $72; luego hace otra compra por $16 y después recibe $2. Expresar su estado económico. 
S o l u c i ó n : 
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Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, 
hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y 
los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre 
estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo 
de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) 
de mayor valor absoluto. 
 
Respuesta: El estado económico de Enrique es de - $9. 
 
7. Después de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo? 
S o l u c i ó n : 
 
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, 
hallamos los totales parciales de las cantidades 
positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la 
diferencia entre estas cantidades. El resultado lo 
expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que 
representan los subtotales) de mayor valor absoluto. 
 
Respuesta: Ud. tiene - 70 colones. 
 
8. Pedro tenía tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $ 200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene? 
S o l u c i ó n : 
 
Nota: cuando los subtotales de las cantidades positivas y 
el de las negativas son iguales, el total es cero. 
 
Respuesta: Pedro tiene 0 pesos. 
 
 
 
EJERCICIO 2 
 
1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m. 
S o l u c i ó n : 
Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° : 
 +12 - 15 = - 3. 
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Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°. 
 
 
2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar la 
temperatura a las 9 p.m. 
S o l u c i ó n : 
De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y 
 - 3 + 8 = +5 
De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y 
 + 5 - 6 = -1 
Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°. 
 
 
3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura? 
S o l u c i ó n : 
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : 
 |-3 - 15| = |-18| = 18 
Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°. 
 
 
4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura? 
S o l u c i ó n : 
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : 
 |+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13 
Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°. 
 
 
5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperatura 
a las 11 p.m. 
S o l u c i ó n : 
De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y 
 - 4 + 7 = +3. 
De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y 
 +3 + 2 = +5. 
De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y 
 +5 - 11 = -6. 
Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°. 
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6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a 
las 11 a.m. 
S o l u c i ó n : 
 7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora} 
 -8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
 8 - 6 = 2 y 4 C* 2 = 8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas} 
 -8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
 11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas} 
 -8 + 20 = 12 
Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°. 
 
 
7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora. 
Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m. 
 
S o l u c i ó n : 
Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1° 
10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4 
{de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°} 
-1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6 
{de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°} 
-1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7° 
12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3 
{de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°} 
-7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9 
{de las 11a.m. a las 2 p.m. hantranscurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°} 
-7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°. 
 
 
8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día. 
S o l u c i ó n : 
 56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}. 
Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°. 
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9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este y 
su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación el día 26. 
S o l u c i ó n : 
Longitud: -71° + 5° = -66° 
Latitud: -15° + (-5°) = -20° 
Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66° y su latitud de -20°. 
 
10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se ha 
acercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31. 
S o l u c i ó n : 
Longitud: +18° + 3° = +21° 
Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur} 
Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°. 
 
11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción. 
Solución: 
Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60. 
Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60. 
 
 
EJERCICIO 3 
 
1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m. 
S o l u c i ó n : 
Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° : 
 +12 - 15 = - 3. 
Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°. 
 
2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar la 
temperatura a las 9 p.m. 
S o l u c i ó n : 
De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y 
 - 3 + 8 = +5 
De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y 
 + 5 - 6 = -1 
Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°. 
 
 
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3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura? 
S o l u c i ó n : 
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : 
 |-3 - 15| = |-18| = 18 
Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°. 
 
 
4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura? 
S o l u c i ó n : 
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : 
 |+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13 
Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°. 
 
5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperatura 
a las 11 p.m. 
S o l u c i ó n : 
De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y 
 - 4 + 7 = +3. 
De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y 
 +3 + 2 = +5. 
De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y 
 +5 - 11 = -6. 
Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°. 
 
6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a 
las 11 a.m. 
S o l u c i ó n : 
 7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora} 
 -8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
 8 - 6 = 2 y 4 C* 2 = 8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas} 
 -8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
 11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas} 
 -8 + 20 = 12 
Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°. 
 
 
7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora. 
Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m. 
 
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S o l u c i ó n : 
Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1° 
10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4 
{de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°} 
-1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6 
{de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°} 
-1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
 
 
 
Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7° 
12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3 
{de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°} 
-7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9 
{de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°} 
-7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 
Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°. 
 
8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día. 
S o l u c i ó n : 
 56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}. 
Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°. 
 
9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este y 
su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación el día 26. 
S o l u c i ó n : 
Longitud: -71° + 5° = -66° 
Latitud: -15° + (-5°) = -20° 
Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66° y su latitud de -20°. 
 
10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se ha 
acercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31. 
S o l u c i ó n : 
Longitud: +18° + 3° = +21° 
Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur} 
Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°. 
 
11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción. 
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Solución: 
Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60. 
Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60. 
 
 
EJERCICIO 4 
 
N o m e n c l a t u r a a l g e b r a i c a 
 
 
Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebrade Baldor, las páginas 13 a 15. 
 
 
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: 
S o l u c i ó n : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes: 
 
S o l u c i ó n : 
 
 
 
 
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: 
 
S o l u c i ó n : 
 
 
 
 
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre hetereogéneos 
 
S o l u c i ó n : 
 
 
 
 
 
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales 
 
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S o l u c i ó n : 
 
 
 
 
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo 
grado 
 
S o l u c i ó n : 
 
 
 
 
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con 
relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b 
 
S o l u c i ó n : 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 5 
 
Clasificación de las expresiones algebraicas 
 
Sugerencia: lea juiciosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 16 y 17 
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1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios: 
 
 
2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras 
 
 
 
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EJERCICIO 6 
 
6 
 
Clases de polinomios 
 
Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 15, 16, 17 y 18. 
 
1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dígase qué clase son los polinomios siguientes: 
 
 
 
2. Escribir unn polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de octavo grado absoluto; de décimo quinto grado absoluto. 
Definición: "El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado absoluto". 
 
 
3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de la 
m. 
 
 
 
 
 
4. De los siguientes polinomios: 
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escoger dos que sean homogéneos y dos hetereogéneos. 
S o l u c i ó n : 
Definición 1: "Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto". 
Definición 2: "Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado absoluto". 
Definición 3: "El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales". 
Los polinomios homogéneos serían: a) y e) 
{en (a) todos los términos son de tercer grado absoluto, y en (e) todos los términos son de quinto grado absoluto}. 
Los polinomios heterogéneos serían: c) y d). 
 
 
5. De los siguientes polinomios: 
 
dígase cuáles son completos y respecto de cuáles letras. 
S o l u c i ó n : 
El polinomio (a) es completo respecto a la a. 
El polinomio (c) es completo respecto a la y. 
El polinomio (e) es completo respecto a la b y a la y. 
 
 
6. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomios completos. 
 
S o l u c i ó n : 
 
 
 
7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente: 
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S o l u c i ó n : 
 
 
8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente: 
 
S o l u c i ó n : 
 
 
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EJERCICIO 7 
 
7 
 
Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo 
 
Sugerencia: lee cuidadosamente, en el Álgebra de Baldor, la página Nro 19. 
 
Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
 Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los 
coeficientes de todos los términos y se antepone al coeficiente total el mismo 
signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal. 
 
 
 
Reducir: 
 
1. x + 2x. 
S o l u c i ó n : 
El signo común a todos los términos es el +. 
Los coeficientes de los términos son 1 y 2. 
La parte literal igual en todos los términos es x. 
Y 1 + 2 = 3; 
∴ x + 2x = 3x. 
 
2. 8a + 9a 
S o l u c i ó n : 
El signo común a todos los términos es el +. 
Los coeficientes de los términos son 8 y 9. 
La parte literal igual en todos los términos es a. 
Y 8 + 9 = 17; 
∴ 8a + 9a = 17a. 
 
3. 11b + 9b 
S o l u c i ó n : 
El signo común a todos los términos es el +. 
Los coeficientes de los términos son 11 y 9. 
La parte literal igual en todos los términos es b. 
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Y 11 + 9 = 20; 
∴ 11b + 9a = 20b. 
 
4. -b - 5b. 
Solución: 
El signo común a todos los términos es el -. 
Los coeficientes de los términos son 1 y 5. 
La parte literal igual en todos los términos es b. 
Y 1 + 5 = 6; 
∴ -b - 5b = -6b. 
 
5. -8m - m 
Solución: 
El signo común a todos los términos es el -. 
Los coeficientes de los términos son 8 y 1. 
La parte literal igual en todos los términos es m. 
Y 8 + 1 = 9; 
∴ -8m - m = -9m. 
 
6. -9m - 7m 
Solución: 
El signo común a todos los términos es el -. 
Los coeficientes de los términos son 9 y 7. 
La parte literal igual en todos los términos es m. 
Y 9 + 7 = 16; 
∴ -9m - 7m = -16m. 
 
 
 
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EJERCICIO 8 
 
8 
 
Reducción de dos términos semejantes de distinto signo 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
 Para reducir dos términos semejantes de distinto signo, se halla la diferencia 
entre los coeficientes de los términos, colocando antes de esta diferencia el signo 
del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuación se escribe la parte 
literal. 
 
 
Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan. 
 
Reducir: 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 9 
 
9 
 
Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos 
 
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Procedimiento 
 
 Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos 
distintos, se procede así: 
 
1) Se reducen a un solo término todos los positivos.2) Se reducen a un solo término todos los negativos. 
3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasos 
anteriores. 
4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será el que tenga el 
coeficiente mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2). 
5) Por último, se escribe la parte literal. 
 
 
 
R e d u c i r : 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 10 
 
10 
 
Reducción de términos semejantes 
Redución de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo paréntesis 
2. Se reducen los términos semejantes 
3. Se da la respuesta, ordenando el polinommio resultante 
 
Nota: recordemos que los términos semejantes son aquellos que tienen las 
mismas letras y afectadas por los mismos exponentes 
 
Reducir los polinomios siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO11 
 
11 
 
V a l o r n u m é r i c o 
Valor numérico de expresiones simples 
 
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P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 
2. Se efectúan las operaciones indicadas 
 
 
 
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para: 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 12 
 
12 
 
V a l o r n u m é r i c o 
Valor numérico de expresiones compuestas 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 
2. Se efectúan las operaciones indicadas 
 
 
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para: 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 13 
 
13 
 
V a l o r n u m é r i c o 
Valor numérico de expresiones compuestas 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 
2. Se efectúan las operaciones indicadas 
 
 
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para: 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 14 
 
14 
 
Ejercicios sobre notación algebraica 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 15 
 
 
15 
 
S u m a 
 
Suma de monomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos 
signos 
2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se 
procede de la siguiente forma: 
a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el 
signo común 
b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el 
signo del número mayor en valor absoluto 
c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal 
 
Nota: recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen 
las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes. 
 
S u m a r : 
 
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EJERCICIO 16 
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16 
 
S u m a 
 
Suma de polinomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila 
diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma 
columna 
3. Se reducen los términos semejantes: 
a. Se suman los términos positivos 
b. Se suman los términos negativos 
c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b 
d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, 
en valor absoluto, de las sumas en a y b 
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben 
los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos 
 
 
Hallar la suma de: 
 
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EJERCICIO 17 
 
17 
 
S u m a 
 
Suma de polinomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila 
diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma 
columna 
3. Se reducen los términos semejantes: 
a. Se suman los términos positivos 
b. Se suman los términos negativos 
c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b 
d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, 
en valor absoluto, de las sumas en a y b 
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben 
los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos 
 
 
Hallar la suma de: 
 
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EJERCICIO 18 
 
18 
 
S u m a 
 
Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila 
diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma 
columna 
3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, 
cada uno con su respectivo signo 
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben 
los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos 
Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo 
común denominador (m.c.d.) 
 
 
 
Hallar la suma de: 
 
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EJERCICIO 19 
 
19 
 
S u m a 
 
Suma de polinomios y valor numérico 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se suman los polinomios 
3. En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 
4. Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado 
 
 
 
 Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5. 
 
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EJERCICIO 20 
 
20 
 
R e s t a 
 
Resta de monomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo 
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo 
con signo cambiado 
3. Se reduce la expresión resultante 
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El 
sustraendo es la cantidad que se resta de otra. 
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas 
por los mismos exponentes. 
 
 
De: 
 
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Restar: 
 
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EJERCICIO 21 
 
21 
 
R e s t a 
 
Resta de polinomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo 
con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el 
sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma 
columna que su semejante. 
3. Se reduce la expresión resultante 
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El 
sustraendo es la cantidad que se resta de otra. 
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas 
por el mismos exponente. 
 
 
De: 
 
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EJERCICIO 22 
 
22 
 
R e s t a 
 
Resta de polinomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo 
con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el 
sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma 
columna que su semejante. 
3. Se reduce la expresión resultante 
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El 
sustraendo es la cantidad que se resta de otra. 
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas 
por el mismos exponente. 
 
 
 
Restar: 
 
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EJERCICIO 23 
 
23 
 
R e s t a 
 
Resta de polinomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo 
con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el 
sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma 
columna que su semejante. 
3. Se reduce la expresión resultante 
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El 
sustraendo es la cantidad que se resta de otra. 
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas 
por el mismos exponente. 
 
 
 
De: 
 
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EJERCICIO 24 
 
24 
 
R e s t a 
 
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo 
con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el 
sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma 
columna que su semejante. 
3. Se reduce la expresión resultante 
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El 
sustraendo es la cantidad que se resta de otra. 
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas 
por el mismos exponente. 
Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común 
denominador (m.c.d.) 
 
 
 
De: 
 
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EJERCICIO 25 
 
25 
 
R e s t a 
 
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo 
con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el 
sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma 
columna que su semejante. 
3. Se reduce la expresión resultante 
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El 
sustraendo es la cantidad que se resta de otra. 
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas 
por el mismos exponente. 
Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común 
denominador (m.c.d.) 
 
 
 
Restar: 
 
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EJERCICIO 26 
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26 
 
R e s t a 
 
Resta de polinomios y valor numérico 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo 
con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el 
sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma 
columna que su semejante. 
3. Se reduce la expresión resultante 
4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico 
5. Se simplifica aritméticamente el resultado 
 
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El 
sustraendo es la cantidad que se resta de otra. 
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas 
por el mismos exponente. 
Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común 
denominador (m.c.d.) 
 
 
 
Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5: 
 
De: 
 
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EJERCICIO 27 
 
27 
 
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros 
 
Procedimiento 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 
3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del 
sustraendo, según el caso 
4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del 
minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 
5. Se efectúa la suma indicada 
 
 
 
 
 
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Biblioteca Virtual Ejercicios ResueltosEJERCICIO 28 
 
28 
 
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros 
 
Procedimiento 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 
3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del 
sustraendo, según el caso 
4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del 
minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 
5. Se efectúa la suma indicada 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 29 
 
29 
 
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios 
 
Procedimiento 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 
3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del 
sustraendo 
4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del 
minuendo 
5. Se efectúa la suma indicada 
 
Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos 
semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d. 
 
 
 
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EJERCICIO 30 
 
30 
 
Suma y resta combinadas 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 31 
 
31 
 
Signos de agrupación 
 
Supresión de signos de agrupación 
 
Procedimiento 
 
Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 
 
1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los 
términos que estaban agrupados por él no cambian de signo 
2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos 
que estaban agrupados por él cambian de signo 
3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los 
términos semejantes 
 
 
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes: 
 
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EJERCICIO 32 
 
32 
 
Signos de agrupación 
 
Supresión de signos de agrupación 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupación 
más interiores 
2. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian los 
signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 
3. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian 
los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 
4. Se reducen los términos semejantes 
 
 
 
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes: 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 33 
 
33 
 
Signos de agrupación 
 
Introducción de signos de agrupación 
 
Procedimiento 
 
 Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la 
siguiente manera: 
 
1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido 
del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 
2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido 
del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia 
 
 
 
Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +: 
 
 
 
 
Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo -: 
 
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EJERCICIO 34 
 
34 
 
Signos de agrupación 
 
Introducción de signos de agrupación 
 
Procedimiento 
 
 Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la 
siguiente manera: 
 
1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido 
del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 
2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido 
del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia 
 
 
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EJERCICIO 35 
 
35 
 
Multiplicación 
 
Multiplicación de monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 
2. Se multiplican los coeficientes numéricos 
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se 
escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los 
exponentes de los factores" 
 
 
 
M u l t i p l i c a r : 
 
 
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EJERCICIO 36 
 
36 
 
Multiplicación 
 
Multiplicación de monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 
2. Se multiplican los coeficientes numéricos 
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se 
escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los 
exponentes de los factores" 
 
 
 
M u l t i p l i c a r : 
 
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EJERCICIO 37 
 
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37 
 
Multiplicación 
 
Multiplicación de monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 
2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Para 
multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar 
el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el 
denominador del producto" 
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se 
escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los 
exponentes de los factores" 
 
 
 
E f e c t u a r : 
 
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EJERCICIO 38 
 
38 
 
Multiplicación 
 
Multiplicación de monomios 
 
Producto continuado de monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el 
número de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el 
número de signos menos es par el producto es positivo 
2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionarios 
se efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los 
numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los 
denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potenciasde la misma base, se 
escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los 
exponentes de los factores" 
 
 
 
M u l t i l p l i c a r : 
 
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EJERCICIO 39 
 
39 
 
M u l t i p l i c a c i ó n 
 
Multiplicación de polinomios por monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el 
siguiente orden: 
a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" 
b. se multiplican los numeros entre si. 
c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el 
producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común 
y, sumando los exponentes respectivos ... 
2. Se ordena el polinomio resultante 
 
 
 
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EJERCICIO 40 
 
40 
 
M u l t i p l i c a c i ó n 
 
Multiplicación de polinomios por monomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el 
siguiente orden: 
a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" 
b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos 
fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los 
numeradores; denominador, producto de los denominadores 
c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el 
producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun 
y, sumando los exponentes respectivos ... 
2. Se ordena el polinomio resultante 
 
 
M u l t i l p l i c a r : 
 
 
 
 
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EJERCICIO 41 
 
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41 
 
M u l t i p l i c a c i ó n 
 
Multiplicación de polinomios por polinonomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando 
en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal 
debajo de estas dos filas 
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del 
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea 
horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la 
primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del 
mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del 
multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del 
tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 
5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 
6. Se reducen los términos semejantes 
 
Ley de los signos 
+ por + da + 
+ por - da - 
- por + da - 
- por - da + 
Propiedad en el producto de 
potencias 
Para hallar el producto de dos o más 
potencias con la misma base, basta con 
escribir la base común y sumar los 
exponentes respectivos. 
 
 
M u l t i l p l i c a r : 
 
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EJERCICIO 42 
 
42 
 
M u l t i p l i c a c i ó n 
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Multiplicación de polinomios por polinomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando 
en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal 
debajo de estas dos filas 
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del 
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea 
horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la 
primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del 
mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del 
multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del 
tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 
5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 
6. Se reducen los términos semejantes 
 
Ley de los signos 
+ por + da + 
+ por - da - 
- por + da - 
- por - da + 
Propiedad en el producto de 
potencias 
Para hallar el producto de dos o más 
potencias con la misma base, basta con 
escribir la base común y sumar los 
exponentes respectivos. 
 
M u l t i p l i c a r : 
 
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EJERCICIO 43 
 
43 
 
M u l t i p l i c a c i ó n 
 
Multiplicación de polinomios por polinomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando 
en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal 
debajo de estas dos filas 
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del 
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea 
horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la 
primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del 
mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del 
multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del 
tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 
5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 
6. Se reducen los términos semejantes 
 
Ley de los signos 
+ por + da + 
+ por - da - 
- por + da - 
- por - da + 
Propiedad en el producto de 
potencias 
Para hallar el producto de dos o más 
potencias con la misma base, basta con 
escribir la base común y sumar los 
exponentes respectivos. 
 
 
M u l t i p l i c a r : 
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EJERCICIO 44 
44 
 
M u l t i p l i c a c i ó n 
 
Multiplicación de polinomios con coeficientes separados 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila 
superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos 
filas 
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando 
(teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en 
el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del 
primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el 
producto del segundo termino del multiplicadory todos los del mutiplicando; en la tercera 
fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 
5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 
6. Se reducen los términos semejantes 
Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es 
igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los 
denominadores 
Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo 
común múltiplo de los denominadores (m.c.d.) 
 
Ley de los signos 
+ por + da + 
+ por - da - 
- por + da - 
- por - da + 
Propiedad en el producto de 
potencias 
Para hallar el producto de dos o más 
potencias con la misma base, basta con 
escribir la base común y sumar los 
exponentes respectivos. 
M u l t i p l i c a r : 
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EJERCICIO 45 
 
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45 
 
M u l t i p l i c a c i ó n 
Multiplicación por coeficientes separados 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los polinomios 
2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un 
término 
3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de las 
letras de los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador 
 
 
Multiplicar por coeficientes separados: 
 
 
 
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EJERCICIO 46 
46 
M u l t i p l i c a c i ó n 
Producto continuado de polinomios 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se 
multiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningún 
factor 
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando 
en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal 
debajo de estas dos filas 
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del 
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea 
horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la 
primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del 
mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del 
multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del 
tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 
5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 
6. Se reducen los términos semejantes 
Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos 
 primeramente dicho monomio por uno de los paréntesis 
Nota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el 
monomio por cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en 
cuenta la "ley de los signos" 
 
 
Ley de los signos 
+ por + da + 
+ por - da - 
- por + da - 
- por - da + 
Propiedad en el producto de 
potencias 
Para hallar el producto de dos o más 
potencias con la misma base, basta con 
escribir la base común y sumar los 
exponentes respectivos. 
 
S i m p l i f i c a r : 
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EJERCICIO 47 
 
47 
 
M u l t i p l i c a c i ó n 
 
Multiplicación combinada con suma y resta 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término del 
multiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta 
la ley de los signos) 
2. Se reducen los términos semejantes 
Nota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio": 
 
Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por la 
diferencia de dos cantidades": 
 
 
 
Ley de los signos 
+ por + da + 
+ por - da - 
- por + da - 
- por - da + 
 
 
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EJERCICIO 48 
 
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48 
 
Supresión de signos de agrupación con productos indicados 
 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se suprimen los signos de agrupación más internos 
2. Se reduce 
3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, se 
reduce; y así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación 
 
 
 
S i m p l i f i c a r : 
 
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EJERCICIO 49 
 
49 
 
D i v i s i ó n 
 
División de monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se aplica la ley de los signos 
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, 
teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma 
base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el 
exponente del dividendo y el exponente del divisor" 
4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico 
y, por último, la parte literal en orden alfabético 
 
Ley de los signos 
 
 
 
 
Dividir: 
 
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EJERCICIO 50 
 
50 
 
D i v i s i ó n 
 
División de monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se aplica la ley de los signos 
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, 
teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma 
base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el 
exponente del dividendo y el exponente del divisor" 
4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico 
y, por último, la parte literal en orden alfabético 
 
Ley de los signos 
 
 
 
 
 
D i v i d i r : 
 
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EJERCICIO 51 
51 
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D i v i s i ó n 
División de monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se aplica la ley de los signos 
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este 
caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una 
fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del 
dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto 
entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar 
la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el 
cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo 
denominador es el producto de los medios": 
 
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, 
teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma 
base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el 
exponente del dividendo y el exponente del divisor" 
4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico 
y, por último, la parte literal en orden alfabético 
 
Ley de los signos 
 
 
 
 
Dividir: 
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Biblioteca Virtual Ejercicios ResueltosEJERCICIO 52 
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52 
 
D i v i s i ó n 
División de polinomios por monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 
2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la 
siguiente manera: 
3. Se aplica la ley de los signos 
4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 
5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, 
teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma 
base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el 
exponente del dividendo y el exponente del divisor" 
 
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico 
y, por último, la parte literal en orden alfabético 
 
Ley de los signos 
 
 
 
 
 
D i v i d i r : 
 
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EJERCICIO 53 
53 
D i v i s i ó n 
División de polinomios por monomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 
2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 
3. Se aplica la ley de los signos 
4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son 
fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el 
numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el 
denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción 
sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los 
extremos y cuyo denominador es el producto de los medios": 
 
5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los 
exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la 
diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 
 
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en 
orden alfabético 
 
Ley de los signos 
 
 
 
 
D i v i d i r : 
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EJERCICIO 54 
 
54 
 
D i v i s i ó n 
 
División de dos polinomios 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, 
éste será el primer término del cociente 
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del 
divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el 
signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante 
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste 
será el segundo término del cociente 
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos 
del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando 
los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante 
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se 
efectúan las operaciones anteriores ... 
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. 
 
 
 
Dividir: 
 
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EJERCICIO 55 
 
55 
 
D i v i s i ó n 
 
División de dos polinomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, 
éste será el primer término del cociente 
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del 
divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el 
signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) 
siguiente término del dividendo que no entró en la resta 
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste 
será el segundo término del cociente 
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos 
del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando 
los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) 
siguiente término del dividendo que no entró en la resta 
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se 
efectúan las operaciones anteriores ... 
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. 
Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los 
polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no 
aparece 
 
 
D i v i d i r : 
 
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EJERCICIO 56 
 
56 
 
D i v i s i ó n 
 
División de dos polinomios 
 
 P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, 
éste será el primer término del cociente 
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del 
divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el 
signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) 
siguiente término del dividendo que no entró en la resta 
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste 
será el segundo término del cociente 
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos 
del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando 
los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) 
siguiente término del dividendo que no entró en la resta 
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se 
efectúan las operaciones anteriores ... 
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. 
Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los 
polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no 
aparece 
 
 
D i v i d i r : 
 
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EJERCICIO 57 
 
57 
 
División de polinomios con coeficientes fraccionarios 
 
Dividir: 
 
 
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EJERCICIO 58 
 
58 
 
D i v i s i ó n 
 
División de polinomios por el método de coeficientes separados 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 
2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 
0 donde falte algún término 
3. Se efectúa la división con los coeficientes 
4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente 
del primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. 
Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde 
aparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente 
 
 
 
Dividir por coeficientes separados: 
 
 
 
 
EJERCICIO 59 
 
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59 
 
Cociente mixto 
Hallar el cocientemixto de: 
 
 
 
EJERCICIO 60 
 
60 
 
Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos 
 
Procedimiento 
 
1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 
2. Se efectúan las operciones indicadas 
3. Se simplifica 
 
Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva 
Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa 
 
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EJERCICIO 61 
61 
 
M i s c e l á n e a 
Suma, resta, multiplicación y división 
 
1. A las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m. 
Solución: 
 5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2° 
 2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1° 
 -1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°. 
 
2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B. 
Solución: 
Tomamos el sentido positivo el hecho de que un punto esté a la derecha de otro punto y como negativo que esté a la izquierda: 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 62 
 
62 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Productos notables 
 
Cuadrado de la suma de dos cantidades 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 
2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la 
primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, 
más el cuadrado de la segunda cantidad" 
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se 
multiplica el exponente de cada letra por 2 
 
 
 
Escribir por simple inspección, el resultado de: 
 
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EJERCICIO 63 
 
63 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Productos notables 
 
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 
2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la 
primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, 
más el cuadrado de la segunda cantidad" 
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se 
multiplica el exponente de cada letra por 2 
 
 
 
Escribir por simple inspección, el resultado de: 
 
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EJERCICIO 64 
 
64 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Productos notables 
 
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al 
cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 
2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se 
multiplica el exponente de cada letra por 2. 
 
 
 
Escribir por simple inspección, el resultado de: 
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EJERCICIO 65 
 
65 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Productos notables 
 
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1) 
2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al 
cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se 
multiplica el exponente de cada letra por 2. 
 
 
Escribir por simple inspección, el resultado de: 
 
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EJERCICIO 66 
 
66 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Productos notables 
 
Cubo de un binomio 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la 
diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, 
en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 
2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad 
más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la 
primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda" 
3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera 
cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo 
de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 
4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se 
multiplica el exponente de cada letra por 2. 
 
 
 
Escribir por simple inspección, el resultado de: 
 
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EJERCICIO 67 
 
67 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Productos notables 
 
Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 
2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual 
en ambos) 
3. El segundo término será el producto de la suma de los términos 
independientes por el primer término común de los paréntesis 
4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes 
 
 
 
Escribir por simple inspección, el resultado de: 
 
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EJERCICIO 68 
 
 
68 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Productos notables 
 
M i s c e l á n e a 
 
 
 
 
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EJERCICIO 69 
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69 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Cocientes notables 
 
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 
2. Simplificamos. 
 
 
 
 
Hallar, por simple inspección, el cociente de: 
 
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EJERCICIO 70 
 
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70 
 
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
 
Cocientes notables 
 
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades 
 
P r o c e d i m i e n t o 
 
1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador 
2. Simplificamos. 
 
 
 
 
Hallar, por simple inspección, el cociente de: 
 
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EJERCICIO 71 
71 
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P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s 
Cocientes notables 
Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades 
 
P r o c e d i m i e n