Algebra_lineal_Eduardo_Espinoza_Ramos_FR

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ALGEBRA 
LINEAL
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA - PERU
IMPULSO EN EL PERU 
2 ' - 9 8 - 2 0 0 6
2da. Edición
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún 
método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas 
de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin 
expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR.
RUC
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N ° 10070440607 
N° 28086 
N ° 13714 
N ° 10716 
N° 4484
PRÓLOGO
El estudio del Álgebra Lineal, hace tan sólo unos 80 años, estaba destinado 
nada más a los estudiantes de Matemática y Física, aquellos que necesitaban 
conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como estadística 
muiíi variada.
En el Algebra Lineal se estudia ahora en muchas disciplinas debido a 1a, 
invención de las computadoras de alta velocidad y el aumento general de las 
aplicaciones de la matemática en áreas que por tradición no son técnicas.
En el presente libro en su 2da. edición, se estudia en el Capítulo I, la recta y los 
planos en R 3 , en el Capítulo II se hace una revisión de los conceptos de Producto 
Cartesiano, de Relaciones Binarias y Funciones, en el Capítulo III se trata los Espacios 
Vectoriales, Subespacios, base, dimensión, en el Capítulo IV se trata todo lo referentes a 
T ransformaciones Lineales, así como el Núcleo, Imagen, Base, Dimensión, 
Operaciones, Matriz Asociada a una Transformación y en los Capítulos V y VI, se trata 
del producto interno, el proceso de GRAM - SCHMITD y las Formas Bilineales.
La Lectura del presente trabajo requiere del conocimiento de un curso de 
matemática básica así como el cálculo diferencial e integral. Los temas expuestos en 
esta obra esta con la mayor claridad posible.
Es un placer expresar mi gratitud a los siguientes profesores por sus valiosas
sugerencias.
♦ Lic. Juan Bemuy Barros ♦ Doctor Pedro Contreras Chamorro.
♦ Lic. Antonio Calderón. ♦ Lic. Guillermo Más Azahuanche.
Y a todo él público por la preferencia que brindan a cada una de mis 
publicaciones
EDUARDO ESPINOZA RAM O S
DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos.
RONALD, JO RG E y DIANA
Que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guías de sus Prójimo
BVPICE
CAPÍTULO I
1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
; : TRIDIMENSIONAL >
1.1 Sistema de Coordenada Rectangular en el Espacio.
1.2 Distancia entre Dos Puntos.
1.3 División de un Segmento según una Razón dada.
1.4 Ángulos Directores, Cosenos Directores y Números Directores.
1.5 Expresiones de los Cosenos Directores de una Recta determinados 
por Dos de sus Puntos.
1.6 Relación entre los Cosenos Directores de una Recta.
A. LA RECTA
1.7 La Recta en el Espacio Tridimensional.
1.8 Ecuación Vectorial de la Recta.
1.9 Ecuación Paramétrica de la Recta en el Espacio.
1.10 Ecuación Simétrica de la Recta.
1.11 Rectas Paralelas y Ortogonales.
1.12 Ángulo entre Dos Rectas.
1.13 Distancia Mínima entre Dos Rectas (Rectas que se Cruzan).
1.14 Teorema.
1.15 Teorema.
1.16 Proyección Ortogonal de un Punto Sobre una Recta.
1.17 Ejercicios Desarrollados.
1
2
3
5
7
8
8
9
9
10
11
12
14
16
16
18
19
21
22
B. EL PLANO 38
1.18 Definición. 38
I J 9 Ecuación Vectorial del Plano. 38
1.20 Ecuaciones Paramétricas del Plano. 40
1.21 Ecuación General del Plano. 40
1.22 Planos Paralelos y Ortogonales. 41
1.23 Intersección de Planos. ’ 43
1.24 Ecuación Biplanar de la Recta. 43
1.25 Intersección entre Recta y Plano. 45
1.26 Plano Paralelo a una Recta y Plano Perpendicular a una Recta. 46
121 Familia de Planos,. 48
1.28 Ecuaciones Incompletas del Plano. 49
1.29 Distancia de un Punto a un Plano., 5 1
1.30 Ángulo entre Recta y Plano. 53
1.31 Proyección Ortogonal de un Punto sobre un Plano. 54
1.32 Proyección Ortogonal de una Recta sobre un Plano 55
! .33 Distancia Mínima entre un Plano y una Recta que no está contenida
en el Plano, 58
1.34 Ángulo entre dos Planos. 59
1.35 Ejercicios Desarrollados. 59
1.36 Ejercicios Propuestos. 75
CAPÍTULO n
2. CONCEPTOS BÁSICOS 104
2.1. Producto de dos Conjuntos 104
2.2. Propiedades de dos Conjuntos 104
2.3. Relación Binaria 104
2.4. Aplicación de X en Y 104
2.5. Clases de Funciones 105
2.6. Conjunto Imagen y Conjunto Imagen Inversa 105
2.7. Composición de Funciones 106
2.8. Leyes de Composición Interna y Extema 107
2.9. Campo o Cuerpo 107
CAPÍTULO III
3. ESPACIOS VECT0«ÍAL1S 111
3.1. Definición 111
3.2. Ejemplos de Espacios Vectoriales 113
3.3. Propiedades de los Espacios Vectoriales 117
3.4. Espacio Vectorial de Funciones 119
3.5. Espacio Vectorial de las Matrices mxn 121
3.6. Ejercicios Propuestos 127
3.7. Sub - espacios Vectoriales 130
3.8. Operaciones con Funciones 153
3.9. Combinaciones Lineales 168
3.10. Conjunto de Combinaciones Lineales 171
3.11. Sub - espacio Generado 173
3.12. Independencia y Dependencia Lineal 178
3.13. Sistema de Generadores 184
3.14. Base de un Espacio Vectorial 186
3.15. Dimensión de un Espacio Vectorial 191
3.16. Dimensión de la suma 195
3.17. Dimensión de la suma Directa 199
3.18. Teorema 208
3.19. Ejercicios Propuestos 213
229
229
230
230
237
239
242
247
252
255
260
266
268
275
278
282
287
289
296
303
321
32!
323
327
i CAPÍTULO IV
TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición
Interpretación Geométrica
Teorema
Proposición
Clasificación de las Transformaciones Lineales 
Proposición
Núcleo o Imagen de una Transformación Lineal 
Teorema
Dimensiones del Núcleo y de la Imagen
Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales
Coordenadas o Componentes de un Vector
Matriz Asociada a una Transformaciones Lineales 
Algebra de las Transformaciones Lineales
Composición de las Transformaciones Lineales 
Transformaciones Lineales Inversíbles 
Teorema
Isomorfismo Inducido por una Transformación Lineal 
Cambio de Base y Semejanza de Matrices 
Ejercicios Propuestos
CAPÍTULO V
PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD
Definición
Definición
Teorema
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
Ortogonalidad - Conjunto Ortogonal - Conjunto Ortonormal
Teorema
Corolario
Proceso de Ortogonalidad de GRAM - SCHMIDT
Corolario
Definición
Teorema
Ejercicios Propuestos
CAPÍTULO VI
329
333
333
335
338
339 
339 
342
<» VALORES Y VECTORES PROPIOS 343
6.1. Definición 343
6.2. Valores y Vectores Propios de una Matriz 344
6.3. Definición 345
6.4. Teorema 350
6.5. Polinomio Característico de una Matriz 353
6.6. Matrices Semejantes y Diagonalización 355
6.7. Teorema 356
6.8. Matriz Diagonable 356
6.9. Teorema 358
6.10. Teorema de Cayley - Hamilton 364
6.11. Ejercicios Propuestos 369
6.12. Formas Bilineales 379
6.13 Matriz Bilineal Simétrica 380
6.14. Forma Bilineal Simétrica 381
6.15. Formas Cuadráticas 383
6.16. Ejercicios Propuestos 385
BIBLIOGRAFÍA 387
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 1
CAPITULO I
1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
TRIDIMENSIONAL_________________ _
PRE-REQUISITOS.- Para la comprensión adecuada de este tema de rectas y
planos en R3, se requiere de los conocimientos previos 
de:
Sistema de coordenadas en el plano.
Solución de sistemas de ecuaciones.
Elementos de geometría del espacio.
OBJETIVOS.- Establecer los fundamentos necesarios para el trazado de 
planos y rectas en el espacio, respecto a un sistema de 
coordenadas. Al terminar este capítulo el alumno debe ser capaz de:
Describir el sistema coordenado en el espacio.
Situar puntos a i el sistema coordenado del espacio.
Recordar las distintas formas de la ecuación general de un plano.
Trazar un plano dada su ecuación, interpretando geométricamente.
Hallar la ecuación del plano a partir de condiciones geométricas.
Recordar que dos ecuaciones lineales simultáneas representan una recta 
en el espacio. (Sistema Compatible).
Representar gráficamente una recta en el espacio.
Hallar la ecuación de la recta en el espacio a partir de condiciones 
geométricas dadas.Eduardo Espinoza Ramos
SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL 
ESPACIO.-
Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, Pxy, Pxz y Pyz, que se 
cortan en un mismo punto O. En la figura identificamos los siguientes 
elementos geométricos.
EJES COORDENADOS.- Los ejes generalmente son identificados por
las letras X, Y, Z y se habla
frecuentemente del eje X, del eje Y y del 
eje Z, donde:
El eje X es la recta determinada por la 
intersección de los planos Pxy y Pxz, el eje 
Y es la recta determinada por la
intersección de los planos Pxy y Pyz y el 
eje Z es la recta determinada por la
intersección de los plano Pxz y Pyz.
La dirección positiva se indica por medio de una flecha. Los ejes
coordenados tomados de dos en dos determinan tres planos, llamados
planos coordenados.
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 3
b) PLANOS COORDENADOS.-
E1 plano coordenado XY que denotaremos 
por Pxy, es determinado por las rectas: eje 
X y el eje Y.
El Plano coordenado XZ que denotaremos 
por Pxz, es determinado por las rectas: eje 
X y el eje Z.
El Plano coordenado YZ que denotaremos 
por Pyz, es determinado por las rectas: eje 
Y y el eje Z.
Los planos coordenados dividen al espacio tridimensional en 8 sub- 
espacios llamados octantes.
Consideremos un punto P(x,y,z), cualquiera en el espacio tridimensional, 
a través de P(x,y,z) se construye tres planos, un plano perpendicular a 
cada uno de los ejes coordenados.
Sea A(x, 0, 0 ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, 
B(0, y, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea 
C(0,0,z) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z.
1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS*-
TEOREMA.- La distancia no dirigida entre dos puntos pi (xj ,yj ,Z j) y p2 
(x2 ,y2 ,z2) ^ esPac*° tridimensional está dado por:
d ( p 1, p 2) = -J(x2 - * | ) 2 + ( > 2 -.V i)2 + ( * 2 - * l ) 2
Demostración
4 Eduardo Espinoza Ramos
/
p,<>
 Sea a = P ^ 2 un vector de origen pj y extremo
, / P2, entonces:
i - ■
vV .T .K
a = p ,/>2 = p 2 ~p¡ = (x2 ~ x , , y 2 - y l , z 2 - z l )
—>
por lo tanto la longitud del vector a es:
Y
¿ ( a >/»2 ) = I I a I! = V ¿ * 2 - *i )2 + ( ^ 2 - > ' i ) 2 + < z 2 - z i ) 2 
Ejemplo.- Hallar la distancia entre los puntos rv. (-1 ,-2,2) y p2 (2,4,-1)
Solución
-»
Sea a = p xp 2 = p 2 - p x = (2,4,- i ) - ( - 1 , - 2 ,2) = (3,6,-3)
d(px,P2)= IU II = \¡32 +62 + (-3)2 =V9 + 3d+9 = >/54 
d(pl , p 2) = 3y¡6
Ejemplo.- Demostrar que los puntos pj (-2,4,-3), p2 (4,-3,-2) y p3 (-3,-2,4) 
son los vértices de un triángulo equilátero.
Soliición
Los puntos pi , p2 y P3 son los vértices de un triángulo equilátero si: 
d(pi,p2) ~ d(pi,p3) = d(p2, p3), ahora calculando cada una de las distancias:
^(P1.P2) = V (4 - ( -2 ) )2 + ( - 3 - 4 ) 2 + ( - 2 - ( - 3 ))2 = V36 + 4 9 + l= V 8 ó 
d( p l 5p 3) = V ( - 3 - ( - 2 ))2 + ( - 2 - 4 ) 2 + (4 - (-3 ))2 = V í+36 + 49 = Vs6
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 5
<* (P 2, P 3) = >/(-3 - 4)2 + (-2 - (-3» 2 + (4 - ( -2 » 2 = V49 + 1 + 36 = V86
Como las distancias son iguales, entonces los puntos pi , p2 y P3 son los 
vértices de un triángulo equilátero.
1.3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZÓN 
DADA- ____________________ __________
TEOREMA.- Si los puntos pi (xi ,yi ,z0 y p2 (x2 ,y2 ,z2) son los extremos 
de un segmento dirigido pjp2 ; las coordenadas de un
punto p(x,y,z) que divide al segmento pjp ̂ en la Razón r = pjp + pp2 es:
z ,+ r r 2y \ +ry2x _ —-----i ' y = ,----------- ' g -
1 + r 1 + r 1 + r
, r * - 1
Demostración
p i(x i>yvz iJ o
Del gráfico se tiene: P jp / / pp2 => 3 r eR
P2(x2,y2,Z2) tal que: P iP = r PP2 > de donde
p - /?, = r( / ? 2 - p) al despejar p se tiene: 
1
p _ ^ + jp ̂) ahora reemplazamos por
1 + r
P(x,y,z)
—► sus coordenadas respectivas:
Y
(x ,y ,z) = >y\>Z\) + r(x2 , y 2 ,z 2))
^ 1 + ^ 2 );l + 0 ;2 zl + rz2s i , i(x ,y,z) = (— -¡ ------------------- ), por igualdad se tiene:
1 + r 1 + r 1 + r
jCj + nr2
1+r
y = -y \+ r y 2
1 + r
z = •
1 + r
r * - l
6 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento 
cuyos extremos son (5,-1,7) y (-3,3,1)
Solución
P,(5.-1,7) P2(-3,3,1)
------------ i— ..........................--------------- ------- -------.............. — .
A B
Calculando las coordenadas del punto A se tiene:
p,A PjA 1
r = * = = - = r = entonces r = VL por lo tanto se tiene:
Ap2 2pjA 2
5 + ±(-3> , - l + ±<3) , - |( I ) , 5 7 M i
- — - i - " 1■ ? 2' — - T = 3 ' 3 ’T
2 ■ 2 2 _____
p^B 2Bp,
Ahora calculemos las coordenadas del punto B donde: r = : = r = - = - = 2.
Bp2 Bp2
entonces r = 2
„ 5 + 2(-3) _ 1 _ - 1 + 2(3) 5 . 7 + 2 (1 ) 9 _ J. 5 .9 >
A 7 — — — , V 7 — , ¿.7 — — : — ÍJ\ , , )
1 + 2 3 ' ‘ 1 + 2 3 7; 1 + 2 3 ' 3 3 3
COROLARIO.- Si p(x,y,z) es el punto medio del segmento pjp2 ,
PiP 
PP.2
PjPentonces r = = z* = 1. Luego las coordenadas del punto
medio son:
.r, +x2 y ¡ + y 2 z ,+ z 2
> y - ■ , z —
2 2 2
Ejemplo.- Los puntos extremos de un segmento son pi (-2,1,4) y p2 (3,2,-1).
Hallar la coordenadas del punto medio del segmento pjp2 
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 7
Sea p(x,y,z) el punto medio de pi y P2 entonces:
xx + x2 -2 + 3 1 y x + y 2 1 + 2 3 z{ + z2 4 -1 3
X 2 ~ 2 ~ 2 ’ y ~ 2 2 2 2 2 2
1 3 3
entonces p(—,—,—)
2 2 2
J a . á n g u l o s d i r e c t o r e s , c o s e n o s d i r e c t o r e s y
NÚMEROS DIRECTORES.-___________________________
Consideremos el vector a = (a\,a2,cii) en el espacio tridimensional y los
ángulos a, P y y formados por los ejes coordenadas positivos y el vector 
—> —> —► —> —► —> — *
a = (a t,a 2 ,a3) ; es decir: a = ¿£(/,a ), P = ¿ ( j , a), 7 = ¿£(A,a). Si aH L
(recta) donde a = (úfj,a2 ,a 3) diremos que:
i) ai, aj, a3 son los números directores de la recta L.
ii) Los ángulos a, (3 y y se llaman ángulos directores de la recta L, y son
formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas y la recta,
respectivamente.
8 Eduardo Espinoza Ramos
Los ángulos directores toman valores entre 0o y 180°, es decir: 
0° < a ,p ,y < 180°.
iii) A los cosenos de los ángulos directores de la recta L, es decir: eos a, 
eos p, eos y, se denominan cosenos directores.
1.5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE 
UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS 
"PUNTOS.. -
puntos p¡ (x* yj ,z}) y p2 (x2 ,y2 ,z2).
Si d(pi, p 2) =1! P1P2 II Y tx, p y y son los 
ángulos directores de la recta L, entonces se
tiene: eos a = -
eos ¡3 =
X 2 - * j 
¿(Pl*P2 )
y 2 ~y\
^(Pi ,p2)
eos y = ~2
¿(Pl,P2)
1.6. RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE 
UNA RECTA..___________ ________ _
TEOREMA.- La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una 
recta L es igual a 1, es decir: eos2 a + eos2 p + eos" y = 1
Demostración
Aplicando la parte 2.5, se tiene:
~ x \ y 2 - Vi z2 - z¡cosa _ ̂ eos ¡3 = ---- -f— , eos y = — -— , de donde
a • d a
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 9
d = -j(x2 - * i ) 2 + ( ^ 2 - y \ ) 2 + ( z 2 ~ z \)2 , por lo tanto:
eos a + eos p + eos / =2 (*2~*i )2 ( y i ~ y \ ) 2 (z2~zi)2
d 2 d 2
eos1 a + c o s2 p+cos2 y = 1
OBSERVACIÓN.- Si a = (aj, a2 , es un vector dirección de ia recta L,
donde || a J| = y¡a¡ + a \ + a \ , entonces:
i . a a.
->
II a || l | a | |
-► -►
_ y * a _ a 2
-► —►
II a || l | a | |
-► -* 
¿ . a «3
=> a, = a cosa
a2 ~ II a II COSP
=> «3 =|| a ||c o s /
a =(|| a ||cosa, || a ||cos/?, || a ||cos/)= || a ||(eo sa ,eos>3, e o s /) .
A. LA RECTA.-
1,7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.-
Dado un punto /?0(xo>>’o>2o) Y un vector a = (<31,a2,fl3) no nulo, 
llamaremos recta que pasa por />o (*o > Yo * zo) paralela al vector
a = (au a2,a3) al conjunto.
L = {p&R* / p = p 0 + t a, / e i?}
10 Eduardo Espinoza Ramos
J .8. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.-
ZM
Sea L la recta que pasa por el punto 
Po(x0, y 0,z0) paralelo al vector 
—►
a = (a{,a2,a3)
sP(x »y»z ) Si p(x,y,z) de R3 es un punto cualquiera de la
S? recta L, entoncesel vector p 0p es paralelo al
P0= (xo*y0*zo) vector a , es decir: pQp// a <=> 3 t e R tal
que: PqP = t a , de donde p - p 0 = í a
—̂
entonces p = p0 f t a , por lo tanto la recta L 
es dado por:
L = {P ~ p0 4- t a /i e R } j ecuación vectorial de la recta L.
Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto
—>
(4,0,5) y es paralela al vector a = (1,-1,3)
Solución
Como la ecuación vectorial de la recta es: L = { p0 +1 a/ / € R }
reemplazando los datos se tiene: L = {(4,0,5) + /(1,-1,3) / 1 e /?}
OBSERVACIÓN.- Para cada par de puntos distintos de R3, hay una y solo 
una recta que pasa por ellos.
Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 
P, (1,3,5) y P2 (4,2,7).
Solución
La ecuación vectorial de la recta, está dado por: L = { p x +t p xp 2¡ t e R }, 
donde /^ = ( 3 ,- l> 2 ) L = {(1,3,5)+ /(3,-1 ,2 ) // 6 /f}
Rectas y Allanas en él Espa ció Tridimensional 11
OBSERVACIÓN Consideremos la recta L = { pQ+ta/1 e R }, Un punto 
p de R3 pertenece a la recta L si p = p0 +1 a para
algún t en R, es deci r:
p e í <=> p = Pq +t a para algún t real
1.9. ECUACIÓN PA RAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL 
ESPACIO.-
Consideremos la ecuaci ón vectorial de la recta L: L - { P a +t a / t e R}
De la observación anteri or se tiene: P e í o P = P0 +r a , para algún t € R
de donde, al reemplazar por las coordenadas de P, P0 y de las componentes del 
—►
vector a se tiene: (x,y,;z) = (x0, yo, Zo) + 1 (ai, a2, a3), es decir:
\x = x0 +a , í
£ : - >'!=>’0+«2í » t e R
z = z^+a^t
Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L.
Ejemplo.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el
—>
punto (5,3,2), paralela al vector a = (4,1,-1)
Solución
Las ecuaciones paramétricas de la recta L son: L: *
x = 5+ 41
y ^ l + t , t € R 
z = 2 - t
12 Eduardo Espinoza Ramos
OBSERVACIÓN,- Las ecuaciones paramétricas de la recta L qué pasa por 
el par de puntos Px(xu y x>z x) y P2(x2, y 2 ^ 2 ) esí¿ 
dado por :
l :
x = Jtj + (x2 - X j ) r 
y - = y i+ ( y 2 - y i ) t , t e R 
* » * ,+ (* 2 ~ Z |X
Ejemplo.* Hallar las ecuaciones paramétricais de la recta L que pasa 
por los puntos Pi (1,2,1) y P2 (5,*1,1)
De acuerdo a la observación se tiene que las ecuaciones paramétricas de la 
recta L son:
L:
jc = l + (5 -
y = 2+ ( - 1 - 2 ) / , t € R e s decir: 
[z = 1 + (1 -1 )/
L'A
x = l + 4r
y * 2 - 3 í , t € R 
z = l+Qí
1.10. ECUACIÓN SIMÉTRICA PE LA RECTA.-
Consideremos las ecuaciones paramétricas de la recta L.
x = x0 +a , t
y = y 0 + o 2t , t é R
2 = z0 + a3t
Suponiendo que a, * 0 , a2 * 0 , a3 * 0 , despejando el parámetro t de cada
x - x 0 y - y 0 z - z 0
ecuación tenemos: t -------- = --------- = -------- , de donde por igualdad
a, a 2 aj
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 13
Que se denomina ecuación simétrica de la recta L.
Ejemplo.- Encontrar las ecuaciones simétricas de la recta paralela al
—y
vector a = (4,-3,2) que pasa por el punto (2,5,-1)
Solución
x - x 0 y - y 0 z - z 0 . x - 2 y - 5 z+1
como L: —-----= ----------= -------- se tiene L : ---- = ------- -- ——
OBSERVACIÓN.-
© Si a3 = 0, la ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma
L: y - y o a z =:
© Si ai = 0 a a3 = 0 . La ecuación simétrica de la recta L se escribe en la 
forma:
L: x = xq a z = Zq
Ejemplo.- Hallar la ecuación simétrica de la recta L que pasa por P0 (-1,1,1)
—►
paralela ai vector a = (2 ,0 ,1)
Solución
x ~ *o y~~ y o z ~ zocomo L: —--- = --------- = -------- ecuación simétrica de la recta L y como
a x ao 3
x - xQ z ~ z0
a 2 = 0 , la ecuación de esta recta es L: — a y = y0 , ahora
ax a.
x +■ 1 z - 1
reemplazamos por los datos se tiene: L: = —— a y - 1
14 Eduardo Espinoza Ramos
L! L RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES.-
Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se da 
comparando sus vectores direccionales.
Consideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas.
—> —
L\ - {p0 +1 a / 1 e R} y L2 ={g0 + A b / Á e R}
La recta Lj y la recta L2 son paralelas (L t // L2) sí y sólo sí, sus vectores
—̂ ►
direccionales son paralelo, es decir: L\ i¡ L2 <=> a// b
OBSERVACIÓN.-
© Si Li y L2 son paralelas (Lt // L2), entonces L : = L2 ó L t n L2 = <J>.
© Si Lj y L2 no son paralelas (Lj K L 2), entonces L\ n L2 = <|> (las rectas 
se cruzan) ó Lj n L2 consta de un solo punto.
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 15
Ejemplo.- La recta Lj = {(1,2,-1) + ¿(5,-2 ,-3 ) / 1 e R] es paralela a la recta 
L2 = {(l,-3,2) + i(-1 0 ,4 ,6) / i g R} puesto que el vector dirección
—> —>
de , a = (5,-2,-3) es paralelo al vector h = (-10,4,6) que es el vector
dirección de la recta L2 .
Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta L que intercepta en ángulo 
recto a la recta Li = 4(1,2,3) + t(2 ,l,-l) / 1 g R} y que pasa por el 
punto A(2,0,l).
Solución
S eap e L | n L 2 => p g Lj A p e L
además AP = P - A = (2t - 1, 2 + 1, 2 - 1)
como L ± L \ => AP _L a
Si AP _L a => AP. a = 0
(2 t- 1, 2 + 1, 2 - 1) . (2,1,-1) = 0 4 t-2 + 2 + t - 2 + t = 0 =>* = -
-> 1 7 5 1
por lo tanto AP = = —(-1,7,5).
3 3 3 3
Luego L = {(2,0,1) + Á,(-l,7,5) i k g R}
16 Eduardo Espinoza Ramos
1.12. ANGULO ENTRE DOS RECTAS.-
Consideremos las ecuaciones de dos rectas
—> —>
¿ 1={ p0 +t ñ/t g R } y L2 = {q0 +t h! t e R }
Un ángulo entre las rectas Lt y L2 se define como el
—>
ángulo formado por sus vectores direccionales a y
—► —> —>
b , es decir: , Z,2) = XX a , 6 ) - # , y es dado por
la fórmula.
Ejemplo.- Encuéntrese un ángulo formado por las rectas
L, = !(1,3,-2) + í (3 -6 ,9 ) / / e R\ y Z,, = {(2,1,7)+ .* (1-3 ,4 )/A e /?}
Solución
-> —» —>
Como 6 = ^ ( I },C2) = ¿(a,¿> ) donde a =- (3 ,-6,9 ), 6 -= (1,-3,-4) entonces
a .¿ (3,-6,9).(l,-3,4) 3 + 18 + 36 57eos# = ■
3>/Í4V26II a ¡! ¡|6 ||
eos 0 = 0.99587 de donde 0 = árceos (0.99587)
6>/9T 6V91
1.13. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS 
QUE SE CRUZAN).- _____________________
 > — >
Si Lx ={ p{) + 1 a/1 g R } y L-y~{g0 + A b / A e R } son dos rectas no paralelas
(rectas que se cruzan), entonces a la distancia mínima entre las retas L¡ y L2
denotaremos por d ( L l , L 1) y es definido como el segmento perpendicular
común a ambas rectas.
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 17
Si las rectas Li y L2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que 
contienen a las rectas Li y L2 respectivamente.
Si d es la distancia entre los planos Pi y P2 donde N es la normal al plano P2; 
por lo tanto N es ortogonal a los vectores a y b entonces Af = a x b
—>
Ahora consideremos el vector unitario en la dirección de la normal N \
-> n ->
fjN = y como 8 = jC(¿ín ,AC) entonces
IIÍVII
h n . a c Hn AC . . .
eos 8 = ----- ------------= —-------- , de donde
—> —>
f iN .AC=\\AC || eos8 ...(1)
\ \ M n IIII AC\\ \\AC II 
por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene:
d =\\AC\\cos8 - (2)
de donde al comparar ( 1) y (2) se tiene: d(Ll ,L2) = \ MN.AC\
18 Eduardo Espinoza Ramos
1.14. TEOREMA.-
-> —>
Sean ={ p 0 +t a¡ t e R} y L2 ={ q0 + A b / A e R ¡ dos rectas no paralelas
(rectas que se cruzan).
Demuestre que la distancia mínima entre Lj y L2 está dado por:
d(L\,L2) —
1 Po% -(a v b) ¡ 
l l a l l i
Demostración
Presentaremos en un gráfico, en forma 
intuitiva a L ^%s rectas que se cruzan sin 
interceptaise s ser paralelas del gráfico 
observamos que la distancia mínima entre 
las rectas Lj y L2 es: “La longitud del
vector proyección de /?()<y0 sobre a v h , lo 
cual es expresado en forma matemática por:
\ \ (axb) \ \ , de donde d(L\, />2) - I - a -v b 1
li (a -v b ) ||
Ejemplo.- Calcule la distancia perpendicular entre
X ~ 1
oblicuas dadas por ias ecuaciones Ll :— ~
las
v
dos rectas 
- 2 r + 1 _ = _ y
L2:-
x 4-2 y 4-1 z - 3
4 2 -3
Solución
Escribiendo las rectas dadas en forma vectorial se tiene:
= { (l,2 ,- l) + r(5 ,3 ,2)/f e /?} y L2 = {(-2 ,-l,3) + ,1(4,2-3), /. e r \, la 
distancia entreLj y L2 es dado por:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 19
------y
(¡m ,L2 ) = ) donde: Po (1,2,-1), q0 (-2,-1,3) =* /vT0 =(-3,-3,4)
II (a x 6) ||
además a - (5,3,2), b =(4,2,-3), entonces:
a x b =
i j k 
5 3 2 
4 2 - 3
= (-13,23,-2) => || a x ¿ || = -v/702
/?0g0 . a x b = 39 - 69 - 8 = -3 8 , por lo tanto:
■ 11(1,4)11 ^ 'Z™2
OBSERVACIÓN.- Si las rectas Lx y Z2 son paralelas, entonces 
d(Lx,L 2) - d ( P , L 2) , donde P es un punto cualquiera 
de la recta L ,.
1.15. TEOREMA.-
Demostrar que la distancia del punto P a la recta /?0 + 1 a!t e i? íes dado 
por:
d(p,L) = Vil A)/71
a ¡I2 "(p,sP- a )“
II a ll
Demostración
Hacemos un dibujo intuitivo, para su interpretación, entonces. En el triángulo 
A P0P se tiene:
20 Eduardo Espinoza Ramos
B = £ ( p 0p, a) => eos0 = - PoP %
II PoP II!! a I!
además sen# =
d(P,L)
Wp o p W
de donde d{P,L) =|| p 0p || senB
d 2(p,L)=\\ p 0p\\2 sen29=\\p0p\ \2 (1 -c o s 2 9)
=I|— ||2 ( ,„ j y r
! IP » P lñ la ||2 «a » ’
llPo/’ lñl a I!2 -{PoP-*)2 d(p,L) = Vll.PbPiriiair-CPo^-a)'
lia |i
Ejemplo.- Hallar la distancia del punto P(3,l,-2) a la recta 
/ 11} >>-f2 r + 1
Solución
Escribimos la recta en forma vectorial: L = {(-1,--2,-1") + t( 1,1,1) / 1 e R¡
La d(p,L) es dada por: d{p,L) = ¡ llfl>/>ll2||a | |~(PoP-a )2
donde p0 (-1,-2,-!) y p(3,l-2) entonces pQp ~ (4,3,-1),^ =(1,1,1),
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 21
1.16. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE 
UNA RECTA.-
Consideremos una recta L ]-{ p0 4-í ai t e R } y un punto p, que no pertenece a 
la recta L
Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de
la recta L, al cual denotaremos proypL de tal manera que el vector AP sea 
ortogonal a la recta L.
Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal del punto P(2,-l,3) sóbrela
Observando el gráfico se tiene:
P0A = proy[':P de donde A - P 0 - proy¡;h
a a
a
A = proy'l = p0 + p ro ypp
a
recta L = {(0,-7,2) + t (3,5,2) / 1 e R
Solución
A = Pq + proyp'p , donde p0p ~ (2,6,1)
a
A = (0 -7 ,2 ) +
(2.6,1).(3,5,2)
1 -------- .(3,5,2)
38
22 Eduardo Espinoza Ramos
6 + 30+2
A - <<>,—7,2) +■-------- — .(3.5.2) entonces A (0,- 7,2) + (3,5.2) = < 3.-2.4)
38
A (3.-2,4)
i 1.17. EJERCICIOS DESARROLLAPOS.-l
© Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3,1,>2) y es
Y 4-1 y -f- 2 Z 4-1 
perpendicular y corta a la recta L : ------ = 1—— = —
1 1 í
Solución
Escribiendo en forma vectorial a la recta L = {(A,-2,-1) + t (1,1,1) / 1 e Rj 
La recta pedida pasa por A(3,l,-2) cuya ecuación es:
- 1(3,1,-2) + A (a, b, c ) ! I € Aj­
eóme L Lj => (1,1,1 ).(a,b,c) = 0 => a + b + c = 0
a + b + c = 0 ...(1)
Sea p e L a L¡ entonces p e L a p e L¡ de donde
Si p e L p (- l + t , - 2 + t , -1 + t ) , p e L] :=> p(3 + la , 1 + /„b, -2 + Xc),
entonces: (-1 + i, -2 + t, -1 + t) = (3 + /.a, 1 + Ab, -2 + / c) de donde:
-5
—1 . -t-1 — 3 + Xa 
-2 + t = \ + Áb 
- \ + t = -2 + Ac
A = -
Á = -
a - c
1
b - a
a - c b - a
entonces c = 5b - 4a ... (2)
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 23
de (1) y (2) se tiene: a = 2b. c = -3b, (a,b,c) = (2b„ K-3h) = b(2J,-3) 
por lo tanto la recta pedida es: L = {(3,1,-2) + X (2 J ,-3) / X e R}
© Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3,4) y es perpendicular
x + 2 y - 3 z + 2
a cada una de las rectas L ,: ----- - - 1—— - — , y
2 - 1 5
L2:
x - 3 2 y - 7 3 - z 
1 2 -3
Solución
A las ecuaciones dadas escribiremos en forma vectorial
L] = {(-2,3,-2) + 1 (2,-1,5) / t e R } , y L2 = {(3,7/2,3) + >- (1,1,3) / * e R}.
Sea L la recta pedida que pasa por el punto (3,-3,4) es decir:
L = {(3,-3,4) + P (a,b,c) / P € R}
como L _L L i , L2 entonces (a,b,c) _L (2,-1,5),(1,1,3) entonces
í(2 ,-l,5 .(a ,6 ,c ) = 0 Í2a-¿>-t-5c = 0
l(l,l,3 ).(a,6 ,c) = 0 ^ \ a + b + 3c = 0
3a a a 3a a
dedonde c = - — , b = —, { a ,b , c ) - { a , ~ - — ) = —(8,1-3)
8 8 8 8 8
L = {(3 ,-3,4) + 1 (8,1,-3) / 1 e R¡
© Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(-l ,2,-3) es perpendicular
x -1 y + 1 z — 3
a! vector a -(6,-2,-3) y se corta con la recta L , : — — ------ - ------
3 2 - 5
Solución
24 Eduardo Espinoza Ramos
©
'Escribiendo a la recia 
x ~~ 1 y + 1 z - 3
3 2
se tiene:
en fon na vectorial
L = {(1,-1,3) + t(3,2,~5)/t g R}
Sea p e Li a L => p e L¡ a P e L.
Si p € Lj ==> p(l + 3t, -1 + 2t, 3 - 5t) para 
algún t e R
como b = MP = P-M = (3t + 2, 2t - 3, -5t + 6)
—> —* —>
además a => a .ó =0 => (6,-2,-3).(3t + 2, 2t - 3, -5t +6)=0
6(3t + 2) - 2(2t - 3) - 3(-5t + 6) = 0 => t = 0, 6 = (2,-3,6) 
por lo tanto: L={(-l,2,-3) + 1 (2,-3,6) / t e R}
Dados los puntos A (3,1,1) y B (3,-2,4). Hallar el punto C de la recta 
L = { (l,-l,l) + t ( l , l ,0 ) / t e R} tal que Z ( AB, AC) = 60"
Solución
Sea C e L => C(1 + t , -1 + t, 1)
-» -» ->• ■-*
A B .A C =|| AB mi AC || eos60°, donde
—> —>
AB = (0,-3,3), /íC = ( f - 2 , / - 2 ,0 )
|| ZB||= 9 + 9 = 3 2 J 9 + 9 
 >
IMC(|= 2 ( /-2 ) 2 = 2 t - 2
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 25
—> —̂ ^
Como AB .AC =|| AB\\\\AC || eos60° , reemplazando:
6 - 3 1 = 3>/2.V2 11 ~ l \ — => | t - 2 | = 2 - 1 de donde t - 2 < 0 como t < 2 
2
entonces C(1 + t, -1 + t, 1), para t < 2.
® Una recta pasa por el punto p( 1,1,1) y es paralela al vector a = (1,2,3), otra
recta pasa por el punto Q(2,l,0) y es paralela al vector b = (3,8,13). Demostrar 
que las dos rectas se cortan y determinar su punto de intersección.
Solución
Sean L, = {(1,1,1) + 1 (1,2,3) / t e R} y L2 = {(2,1,0)+A, (3,8,13) / i e R } . 
Las rectas Lt y L2 se cortan si y solo si 3 P0 tal que P() e Lj a L2 como 
P q € L j A L2 P0 e Lj A P0 E L2
Si P q g L¡ => Po ( 1 + t, 1 + 2 t , 1 + 3 t )
P0 G L2 => Po (2 + 3X, 1 + 8)1, 13A,)
como Po es punto común a Lj y L2 
entonces: (1 + 1, 1 + 2t, 1+ 3t) = (2 + 3X, 1 + 8X, 13X)
'l + t = 2 + 3A
< 1 + 2í ~ 1 + SA resolviendo el sistem a se tiene t=4, X^ 1 
1 + 3 / - 1 3 a
Luego el punto de intersección es P0 (5 ,9 ,13 )
@ Dadas las rectas L,= {(3.1,0) + t (1,0,1) / 1 e R} y L2={(I,1,1 )+X (2 , 1,0)/?,eR¡.
Hallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mínima, además 
hallar ésta distancia.
26 Eduardo Espinoza Ramos
©
B b = (2,1,0).
Q
a =(1 ,0 ,1 )
Solución
Sea A e L ¡ => A (3 + t, 1, t), B e L2 
—̂
B(1 + 2X, 1 + X, 1), AB=B-A=(2A~t-2y A, 1-í) 
 ̂ ►
a 1 AB => a . AB = 0 , (1,0,1 ).(2¡U-2,A., 1 -t)=0,
de donde 2 X - 2t - 1 = 0
—̂ ̂ ~
b ±AB=> b.AB=0 => (2,1,0).(2X - 1 - 2, X, 1 - 1) - 0 => 5X - 2t - 4 = 0 ... (2)
formando el sistema de ( 1) y (2 ) se tiene:
Í2 /i--2 í - l = 0 
5 /1 -2 /-4 = 0
resolviendo el sistema se tiene t = —, A= 1
2
yl + fi 13 3 3
como Q es punto equidistante de A y B entonces Q{ ) = Q(— )
2 4 2 4
1 4 1
La distancia mínima d - ~~d(A, B) = — .
2 4
Dadas ias tres rectas L¡ - {(1,1,2) + t (1,2,0) / t e R}
L2 = {(2,2 ,0) + A,(1,-1,1) / A €R }.
L3= {(0,3,-2) + r (5,0,2)/ r e R}
Hallar la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas L,, L2, Lj en M, N
'—¥ —̂
y P respectivamente de tal manera que MN = NP.
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 27
M e Li = {(1,1,2) + 1 (1,2,0) / t e R} => M (1 + 1, 1 + 2t, 2)
N 6 L2 = {(2,2,0) + X (1,-1,1) / X e R} =s> N (2 + X, 2 - X, X)
P e U = {(0,3,-2) + r (5,0,2) / r e R{ => P (5r, 3, -2 + 2r)
—̂ ̂ ^
como MN = NP entonces se tiene: MN = N - M =(X - t+1, -X - 2 t+ l, X - 2)
—̂
/VP = P - N = (5r - X - 2 , 1 + X, 2r - X - 2), de donde
(X-t+1, -X-2t+l, X-2)=(5r-X-2, 1+X, 2r-X-2), por igualdad de vectores se tiene:
A - t + l = 5 r - A - 2 
- A - 2 t + l = l + A 
A~2 = 2 r - A - 2
5 r - 2 A + t =3 ...(1)
2 /1+ 2 / = 0 . ..(2 ) 
2r — 2A = 0 ...(3)
de (2) y (3) se tiene X = - 1 , r = X ahora reemplazamos en la ecuación (1). 
t = ~ \ ’ A = Í • L u e g o M ( - i , - 2, 2), P ( y , 3,-1)
L={ ( - - - . - 2 ,2 ) + / ( 8 ,5 , - l ) / / e f l }
28 Eduardo Espinoza Ramos
@ Hallar la ecuación de una recta que pasa por p( 19,0,0) y corta a las 
rectas L, - {(5,0,-!)+ t (1,1,1) / 1 e R}, y L2 - {(-1,2,2) + X (-2,1,0) / X e R}
Solución
B g L2 = {(-1,2,2) + X (-2 ,1,0) / X e R¡ -> B (-2X - 1, X + 2, 2) 
como los punto F, A, B son colineales, entonces.
PAti AB ~=> 3 r e R tal que PA = r /IR de donde A - P = r(B - A) 
que al reemplazar por sus coordenadas se tiene:
(t - 14, t, t - 1) = r(-2X - 1 - 6 , X - 1 + 2, -t + 3)
por igualdad de vectores se tiene:
t - 14 = -2rA - rt - 6/- ... (1) 
t ~ Á r - r t + 2r . . ( 2 )
/ - 1 = - r t + 3r ...(3 )
3 r + l r - 1
de la ecuación (3) y (2) se tiene: t = --------, i = ------ de la ecuación ( 1)
r + 1 r
(1 + r) t + 2rA, + 6r = 14 reemplazando t y X se tiene:
Rectas y Manas en el Espacio Tridimensional 29
28 -> jS4 28 15
luego a = PA = (t - 14, t, t - 1) para / = — , a =
F 13 13 13 13
L = {(19,0,0) + t (-154, 28, 15) / 1 e R}
Qm Encuentre el punto de intersección de las rectas: L {= {-1,7,17)+ t(-l,2,3)/teR} 
x - 1 3; z
Solución
Escribiendo Ja ecuación L2 en forma vectorial. L2 = {(7,0,0)+A(4, 1 ,-5)/A e R} 
Sea p € Lj a L2 entonces p e L| a p e L2 .
Si pe Li => p(-l - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) a p e L2 entonces p (7 + 4A, A,, - 
5A)
como p e Lj a L2 => (-1 - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) = (7 + 4A, A, -5A)
; í - l - / = 7 + 4A
i 7 + 2/ = A entonces t = -4 , A = -1. Luego: p(3, -1,5)
1.17 + 3/ = -5 A
Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A(-4,2,6) y forma 
ángulos iguales con las rectas dadas.
Solución
Escribiendo las rectas dadas en forma vectorial. Lj ={(1,-2,3)+ t(2,2,l)/ te R },
Dadas las rectas no coplanares
x — \ y + 2 z - 3 x ~ í 3 ~ z
L = = / o . _ = _ ,
L2 = {(1 ,3 ,-2 ) + A (3 ,0 ,4 ) / A e R} y L3 = {(1 ,-2 ,3 ) + r (2 ,1 ,2 ) / r € R} 
Sea L la recta pedida que pasa por el punto A (-4 ,2 ,6 ) es decir:
30 Eduardo Espinoza Ramos
L-{ (-4,2,6)+ t(a,b,c) / teR}, como 0= ¿ {Li,L)~ (L2,L)= ¿ (L^,L) entonces:
(íz,6 ,c).(2,2,1) 2c+2A + c
e o s $ = = _ = _ = _ ( 1 )
3 Va2 + ¿2 + c2 3V ? + + c2
(a,ó,c).(3,0,4) 3a + 4c
cosff = —p = = = = = —= = = = = = ... (2)
sV a2 + 6 2 + c2 Sifa^ + 6 + c
(a,6,c).(2,l,2) 2a + b + 2c
COSU = — = = = = = = = ----p = = ^===^r ... (3 )
3 j a 2 + b 2 +c2 3 + 62 + c2
de (1) y (2) se tiene: a + 10b - 7c = 0
de (2) y (3) se tiene: a + 5b - 2c = 0
de (1) y (3) se tiene: b = c
como b = c entonces a - -3c, L = {(-4,2,6) + r (-3c,c,c) / r e R¡
L = {(-4,2,6) + t (-3,1,1) / 1 e R)
© Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el /r-cuy p(7,-2,9) y es
x - 2 jy z + 3 x + 4 y - 2
perpendicular a las rectas L , :— — = — = , y L2 :
z
2 ~ -2 ~ 3 ’ 3 2 ~ 5 ” - 2 '
Solución
Los vectores direcciones de L| y L2 son a ~ (2,-2,3), 6 - (2,5,-2) 
respectivamente.
Sea L la recta que pasa por el punto p(7,-2,9), luego la recta 
pedida L - {(7,-2,9) + te / teR}, pero como L JL L¡ , L2 entonces c .1 a , 
6 entonces:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 31
c = a x b -
* J 
2 -2 
2 5
= (-11,10,14).
Por lo tanto: L = {(7,-2,9) + t (-11,10,14) / 1 e R}
n ) Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las
rectas L! = {(3,3,4) + t (2,2,3) / 1 e R} , L2 - {(1,6,-1) + X (-1,2,0) i X e R}.
Solución
Sean A e h\ => A (3 + 2t, 3 + 2t, 4+3t),
B e L2 => B (1 - A,,6 + 2X,-1)
como A,B son puntos sobre la recta L 
entonces el vector dirección de la recta L es
a =AB=B-A de donde se tiene:
3t) como L J_ Li , L2 entonces:
j a .(2,2,3) = 0 [ - \ l t + 2A = 13 t ~
{ i=> { resolviendo el sistema se tiene t= - 1, / =-2 ,
[-2 / + 5 i = ~8
a.(- 1,2,0) = 0
—> —y
por lo tanto ios puntos son A (1,1,1), B (3,2,-1), a = AB = B - A = (-2,-1,2). 
Luego la ecuación vectorial de la recta pedida es:
L = {(1,1,1) + t (-2 ,-1,2) / 1 e R)
^ 5 ) Determinar una recta L tal que con las rectas Lj ={(2,l,4)+t(l,l,0)/te R}
y 1.2 ~ {(2 •" a, 1 4 a, 3 + a) / a e R) determinan un triángulo de área 5u2.
A ¿ r \
B
j *
_
’ L
a - (-2 - 2t - X, 3 + 2X - 2t, -5 -
Solución
32 Eduardo Espinoza Ramos
de donde:
Sea p € Lj a L2 => p e L x a p e L2 
Si p € L| => p(2 + t, 1 + t, 4) 
p € L2 => p(2 + a , 1 + a , 3 + a) 
como p e Li a L2, entonces:
(2+ t, 1 + 1, 4) = (2 + a , i + a, 3 + a)
2 + í = 2 + £¡f
1 + / = ! + a al resolver el sistema se tiene que: t = a 1 
4 = 3 + a
por lo tanto el punto p es p (3,2,4), ahora tomemos en t cercano a p así como 
t = 2 entonces el punto A de L2 es A (4,3,4),
además B e B(2 + a , 1 + a , 3 + a) entonces se tiene:
a = A B ^ B - A = (a - 2, a - 2, a - 1) por otra parte b = AP=P- A=(“l,-1,0)
| —> —> —y
además el área A = — |] a x b ¡|= 5 de donde || a x b l j -10 entonces
a 2 - 2a - 49 = 0 de donde se tiene: a x = 1 - 5>/2, a 2 = 1 + 5^¡2 por lo tanto
las rectas pedidas son: L = | (4,3,4) + /( - ! + 5^2, - l + 5>/2, 5 ^ 2 ) / t e ñ ]
L = {(4,3,4)+ / ( - ! - 5 ^ 2 , -1 -5 ^ 2 , - S j Í ) l t e R
Sea A (l,l,2) un punto y supongamos que la recta L tiene por ecuaciones 
paramétricas a: x = 4-t, y = 5 + 3t. z = 3 + t, t e R , encontrar un punto B 
en L, tal que el vector A - B y la recta sean perpendicular.
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 33
SeaL = {(4,5,3) + t(-1,3,1)/1 e R}
b = PUA = A - P 0 = (-3,-4,-1)
b a . b
P0B - proy á ~ • a
P0B =
(~ l,3 ,l).(-3 ,-4 ,-l)
11
• (-1,3,1)
P0B =
3 -1 2 -1 10 10 30 10
------------= — (-1,3,1) = (— ,— ,— )
11 11 11 11 11
10 30 10 10 30 10
P0B = B - P0 = (— ,— ,— ) =>B(4 + — ,5 - — ,3— ) 
0 0 11 11 11 11 11 11
54 25 23 
B(— — ,— )
11 11 11
© Determinar los ángulos entre una recta L paralela al vector a =(1,1,1) y los 
ejes coordenadas.
Solución
V
Sea L - {PQ+t a / 1 e R} , donde 
—>
a =(1,1,1) es la dirección de la recta L y 
l |a ü = V 3 , entonces:
eos a = - a = arccos(—F=-) 
V3
34 Eduardo Espinoza Ramos
n 1 0 { 1 Veos p = ■—=— = —= -=> 8 = arecosí-p-)
i .r . i ^3 va
«i i , i .eos f = —— = —= => / = arccos(-p-)
lía II V3 ^
@ Hallar la longitud del menor segmento horizontal (paralelo a! plano XY) que 
une las rectas Lx = ¡(l,2,0) + /( l ,2 ,l) /í e R\ y L2 = {(0,0,0) + í(1,1,1)//!k r}
Solución
= {(l,2,0) + /( l ,2 ,l) // e R)
L2 = í (0,0,0) + 1( 1,1,1)/ á € /?}
B Si AeL, => A(l+1, 2 + 2t, t ) , B e L2 => B(X,A,A)
com o AB / / al plano XY entonces a - t 
L uego A (1 + 1, 2 + 2t, t) y B (t, t, t)
d =|| AB j|~ yjb^i7+ 2)2 f 0 de donde / (/) - J~t2 + 4í + 5 
/ + 2
/ ’(*) = -7=======- = 0 => / = -2 número critico.
\ t 2 +4/ + 5
í /= || ¡ |= n/1 + 0 + Ó = 1 => í/ = 1
© Dadas las rectas Lx = {(l,-2,5) + /(2 ,3 ,-4)/r e /?} y
L2 = {(-2,1,2) + A(0,\y2) / A e /?}. Hallar la ecuación de la perpendicular común.
Solución
Las rectas Lj y L2 no son paralelas, es decir % L2.
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 35
Ahora veremos si 3 peL¡ a L2 => p e L* a p e L¿.
Sí p e Li => p (1 + 2t, ~2 + 3t, 5 - 4 t) , p e. L2 => p (-2, 1 + A, 2 + 2A) 
(1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4t) = (-2, 1 + A, 2 + 2A) de donde
l + 2í = -2 
-2 + 3í = 1 + Á - 
5 - 4 t = 2 + 2A
2
2
15
Á = —
2 
13
2 = — 
2
por lo tanto las rectas Lj y L2 son rectas que se cruzan.
a =
1 J *
2 3 - 4
0 1 2
= 1 0 i - 4 j + 2 k
L = {(1,-2,5) + t (10,-4,2) / 1 e R} ; V - {(-2,1,-2) + X (10,-4,2) / A e R}
18) Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula
desde el punto A ( 2 , 2 , 3 ) , hacia la recta L - { ( 0 , 1 + A, -A) / A g R } para que lo
alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad V = >¡3u i seg.
Solución
Sea B e L => B(0, 1+ A, -A) para algún 
A e R. además e = vt donde e = d(A,B) para 
t = 2 seg. V - J l u , e = 2 V3
d(A,B) = y[4 + ( A - 1 ) 2 + ( - A - 3 ) 2 =2y[3 
de donde A2 + 2 A + 1 = 0 A = -1
36 Eduardo Espinoza Ramos
Luego B(0?0,1) entonces está dado por el vector AB = B ~ A = (-2 ,-2 ,-2 )
/. AB = (-2 ,-2 ,-2 )
19) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta 
bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,0), 
B(0,0,-2), R(3,3,3), S(-l,3,3).
Solución
El punto medio del segmento AB es M(1,2,-1), y 
observando el gráfico este problema tiene dos 
soluciones.
La ecuación de la recta Lj que pasa por R y S es:
L, = {(-1,3,3)+ t (1,0,0)/ t e R}
Sea N el punto de intersección de L con es 
decir:
Si N e L¡ N(-l + 1, 3, 3) pasa algún t e R Definimos
b = MN = N - M = ( / -2,1,4), como 60o- ¿ (L,Li) = ¿ ( a , 6) entonces:
—>
eos 60°= — ^ ' f - - ; donde a =(1,0,0) y ¿> = (t - 2, 1,4)
II a || || b ||
(1 ,0 ,0 ).(/-2,1,4) 1 t - 2eos 60° =
V (/-2 )2 + l + 16 2 y j ( t - 2 f + l 7
a/(í — 2)2 +1 + 16 = 2 ( í-2 ) => (/ - 2)2 +17 = 4(/ - 2)2
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 37
4)3 ( f - 2 r =17 => t = 2 ± J — => b
Luego las soluciones ai problema son:
 ̂ f — r -
L - { ( l , 2 ,~ l ) + A (J ^ - , l ,4 ) /A e R } ; L'={ (1 ,2 ,-1 ) + r ( - ^ , l , 4 ) / r s R I
Dados los vértices de un triángulo A(3,-l,-l), B(l,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar 
las ecuaciones simétricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.
Solución
Tomemos los vectores unitarios n y v en las 
direcciones de BA y B C , respectivamente 
donde BA = (2 -3 ,6 ), BC = (-6,12,4)
^ BA 1 „ , ^ BC 1 , w ^u = — — - - ( 2 , - 3 , 6 ) y v = - — - - - ( - 3 , 6 , 2 )
BA BC |
entonces sea b = n+ v el vector dirección de la bisectriz BD es decir:
b = — (-1,3,8) = - —(1,-3,-8) . Luego los números directores de la bisectriz 
7 7
BD son 1,-3, -8. Si B(l,2,-7) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones 
x -1 y - 2 _ z + 7
simétricas son: L :
1
38 Eduardo Espinoza Ramos
¡B, ELPLANO.-
1.18. DEFINICION.-
Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 . Sí existe un punto 
Po(x0,yo,Zo) de R y dos vectores no paralelos a = (al9a2,a3) y 
h = {h{ ,b2 ,¿>3) de R3 de tal manera que:
P = < P(x9y 9z) € R f P(x9 y 9z) = P0(xQ9y09z0) + t a +A b 9 t9Á € Jf
1.19. ECUACIÓN VECTORIAL DEL PI
Consideremos un plano P que pasa por el 
punto po(xo,yo?Zo) y que es paralelo a los
vectores a = (as, a2, %) y & = (6¡, ^ 3) •
Sea p € P entonces existen t, A. € R tal 
que: p0p ~ t a + A h , de donde
p - p 0 = / a + 2 b entonces:
p = p0 +1 2l +A b , luego P = (pq -f t a 4 - /j/l e /?}
Que es la ecuación vectorial del plano P.
Ejemplo. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M(3,4,-5) y es
—> —►
paralelo a los vectores a = (3,4,-5) y b - (1,-2,l).
Solución
Como la ecuación del plano es P = {/?0 + / a + A bi t, A & R} donde
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 39
Po = M(3,4,-5) y a = (3,1,-1), b = (1,-2,1), por lo tanto a! reemplazar se tiene: 
P = {(3,4,-5) + t(3, l . - l) + A<l,-2>l ) / t , X e R¡
OBSERVACIÓN.-
® De la ecuación vectorial del plano P = {/?0 + / a + A b! t,A e R} se obtiene 
la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano:
N = a xh
n N= a x b
Q ) Si N es una normal al plano P = {P0 +1 a + A a/ ty X e /?} y si p1? p2 e P 
entonces N es ortogonal & P\Pi - P2 ~ P\
Q3) Si N es la normal al plano ¥ = {pQ+ t a +A b/t ,A e R} y si p - p0 es 
—>
ortogonal a V entonces pe P.
“ N
40 Eduardo Espinoza Ramos
( j í ) Si p0 es un punto fijo dél plano P y N es su normal, entonces la ecuación
del plano es: N . ( p - : p Q) = 0
Es la ecuación de! plano que pasa por p0 y cuya normal es N ,
1.20. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO.
Consideremos el plano. r ± { P 0 +t* + X1>/t9Á e R }
Si p € P entonces p - p0 +t a + / l b para t , X g R , reemplazando por sus
respectivas componentes se tiene: (x,y,z) = (x0, yo, Zo)+t(au a2, a3)+ X(b\., h2, b3) 
de donde por igualdad se tiene:
x ~ XQ+a^ + 'b¡A 
+ a2? + b2¿
z = z0 4- a3t 4- b$A
¡Ü2L
Que son las ecuaciones paramétricas del plano P.
ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO.-1
Sea P el plano que pasa por el punto 
Po(x o,yo ,-o) cuy° vector normal es:
—»
;V = (A,B,C). Si p g P entonces:
 > -•> —■——> —>
p 0p ± N v de donde p 0p . N = 0 entonces 
—>
N . ( p ~ p Q) ~ 0 . Ahora reemplazando por 
sus componentes:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 41
(A,B,C).(x - x0, y - y0, z - z0) = 0 entonces A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Ax -r By + Cz + (-Ax0- By0 - Czo) = 0, de donde P: Ax + By + CzH- 
Que es la ecuación general del plano P.
Ejemplo.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,4,-1) con
—►
vector normal N =(2,3,4).
Solución
—►
La ecuación del plano es dado por P : N ,((x,y,z) - (2,4,-1)) = 0,
P: (2,3,4).(x - 2, y - 4, z + 1) = 0, P : 2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0 
P: 2x + 3y + 4z- 12 = 0
1.22. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.-
Consideremos los planos: Pi : Axx + B ]y + Clz + Dx = 0 y
—» —»
P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 , donde N\ = ( A X, B X,CX) y A7 2 = (A2,B 2,C2)
son sus normales, respectivamente, entonces:
—>
i) El plano Pi es paralelo al plano P2 (Pi // P2) si y solo si sus normales A71 
y N 2 son paralelas, es decir:
Pj//P2 Ni / / N2
42 Eduardo Espinoza Ramos
Si N i U N 2 => 3 r € R tal que N¡ = rAf2, lo que quiere decir que los
coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los pianos deben ser 
proporcionales, o sea que debe cumplirse:
_ E l = £ l ~ r 
^2 ^2 ^2
Ejemplo.- Los planos Pj: 3x + 5y - 7z + 2 = 0 y P2 : 6x + iOv - i4z + 5 = 0
3 5 - 7 1
son paralelos porque: — = *— = ------ — = r
6 10 -14 2
Si los planos Pj y P2 son paralelos puede ocurrir que: Pj = P2 ó Pj n P2 = <j>,
es decir:
[ T i H P2 Pi = P , 6 P, r> Pi = »
ii) El plano P| es ortogonal al plano P2 (Pi ± P2) si y solo si sus normales
—> • y
N¡ y N 2 son ortogonales es decir:
P¡ J. F o 1 N 2
Si N¡ 1 N 2 => N \ , N 2 ” 0 A i A 2 + B j 8 -> + C\ C2 0 , por lo
tanto
P
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 43
Ejemplo." El plano Pp 4x - y+2z= 7 es ortogonal al plano P2; x+ 6y + z = 16 
•—> —> —> —► 
porque A'i. AS = 0. En efecto como A’¡- {4,-1,2), A7'?” (1,6,1), se
tiene: N X. N 2 = (4,-1,2).(1,6,1) = 4 -6+2=0.
1.23. INTERSECCIÓN DE PLANOS.-
Consideremos los planos: Pj.* Axx + B^y + Cxz + Dx = 0 y
P2: A2x +B2y + C2z +D2 = 0 . Si el plano Pj no es paralelo al plano P2 
(Pi X P 2) entonces la intersección de Pi y P2 nos da una recta L, es decir:
1.24. ECUACIÓN BIPLANAR DE LA RECTA.-
A la ecuación de una recta que es la intersección de dos planos se denomina 
ecüación biplanar de la recta y se expresa en la forma siguiente:
j A lx ^ B ly ^ C íz + D¡ - 0
\ Á2 x + B2y + C2z -f D2 =s 0
La ecuación biplanar de la recta se expresa en forma vectorial, paramétriea y
—V
simétrica. El vector dirección a de la recta se determina en la forma siguiente
44 Eduardo Espinoza Ramos
a = N \ x N 2 , donde N j y N 2 son las 
normales de los planos Pi y P2
respectivamente:
a = N { x N 2 =
»• j k
A A Ci
a 2 b 2 c 2
*( 0,0,0)
P2: AjX + B2y + CjZ + D2 = 0 P,: A,x + B,y + C,z + D1 = 0
El punto Pq (jc0 , y Q, z 0) por donde pasa la recta se determina resolviendo el 
sistema de ecuaciones de los planos Pj y P2.
Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta L, dado por la intersección 
de los planos Pi : 3x + y - 2z = 5 ; P2 : x + 2y + z + 5 = 0.
Solución
—>
Calculando el vector dirección a de la recta L.
i j k 
3 1 -2
1 2 1
= (5,—5,5) = 5(1,—1.1)
ahora calculamos un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de 
ecuaciones.
¡3x + y - 2 z = 5 Í5x + 5y = -5
i entonces i , , simplificando
[jc + 2>'+z + 5 = 0 U + > ’ = - l
ahora damos un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejemplo para 
x = 0, y = - l , z = -3 entonces p0 (0,-1 ,-3).
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 45
Luego la ecuación de la recta L en forma vectorial es:
L={(0,-l,-3) + t ( l , - l , l ) / t e R }
Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta L es expresar dos de ía 
variables en función de la tercera variable y para esto se elimina una de las 
variables del sistema.
f 3jc + y - 2z =5
i entonces x + y = -1 de donde y = -1 - x
[jt + 2 y + z = -5
ahora se toma cualquiera de las ecuaciones^ 
x + 2y + z = -5 => x - 2 - 2x + z = -5 de donde z = -3 + x
como (x,y,z) e L (x,y,z) = (x, -1 - x, -3 + x)
(x,y,z) = (0,-1,-3) + (x,-x,x) = (0,-1,-3) + x ( l , - l , l ) 
Luego: L = {(0,-1,-3)+ 1 (1,-L1) / 1 e R}
1.25. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.-
Consideremos la ecuación general de un plano: 
P. Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuación 
vectorial de la recta L - {p0 +t a I t e R ) .
Si L y P no son paralelos entonces al 
intersectarse nos da un punto Q, es decir:
L n P = {Q}.
Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones 
de la recta L y el plano P.
46 Eduardo Espinoza Ramos
x-f 2 y z "" 4
Ejemplo»» Hallar el ponto d sección de la recta L: — - — ------
3........ ..-1 2
y el piano P: 2x + 3y - z + 11 = 0.
Solución
Escribiendo la recta L en forma vectorial. L = {(-2,0,4) + t (3,-1,2) i t e R] 
como LX P 3 p tal que p e L n P. Si p e L n P entonces p e L n p eP
como p e L entonces p(-2 + 3t, -t, 4 + 2t) para algún i € R. 
además p e P => 2(-2 + 3t) + 3 (-t) - (4 + 2t) + 11= 0 => t = -3 
Luego: p (-11, 3, -2).
■1.26. ?LANO PARALELO A UNA RECTA Y PLANO 
j _ PERPENDICULAR A UNA RECTA- . 1
Consideremos la ecuación general del plano P: Ax 4-- ü y +■ Cz + D - 0,
donde N ^ (A,B,C) es la normal y la ecuación vectorial de l a recta 
—> —►
L = {p0 + i n/f e R} d o n d e a e s e l vector d i r e c c i ó n .
—̂
La recta L es paralela al plano P si y solo si el vector dirección a es ortogonal
—■> —► —>
ai vector normal N es decir: L // P o a 1 N
N
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 47
Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L está contenida 
en el plano P ó que la intersección es el es decir:
Si I / / P = > I c P ó ¿ n P = $
La recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector dirección a de L es 
—> —> —> 
paralelo al vector normal N de P, es decir: L 1 P <=> a/f N
Ejemplo.- Demostrar que la recta L = {(-2,1,-5) + t (3,-4,4) / t e R} es 
paralelo al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0
Solución
a = (3,-4,4) ►
N=(4,-3,-6)
Para demostrar que la recta L es paralelo al 
plano P debe de cumplirse que el vector 
—►
dirección a de la recta es perpendicular al 
—►
vector normal N del plano, es decir: 
L//P<=> a 1N = > a . ^ = 12 + 12 -24 = 0
Luego como a . N = 0 entonces a l N . Por lo tanto la recta L es paralelo al 
plano P.
48 Eduardo Espinoza Ramos
jl 27. FAMILIA PE PLANOS, 1
En forma similar que en la geometría analítica plana, en donde se consideraba 
una familia de rectas, en este caso se puede considerar una familia de planos, 
por ejemplo, la ecuación 2x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos
—►
paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos importante, 
es d sistema de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuya 
ecuaciones se expresan:
íI?|: Ajx *♦* Bxy -f + Dj — 0
[p*: Aix + B2y + C2t+I>2 =0 .(1)
Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuación (1) están sobre la recta de 
intersección, dichos puntos p(x,y,z) también satisfacen a la ecuación:
K x (yí|jí -f B^y 4* CjZ + K 2 (A2x 4- B2y hh C2z + D2) ~ 0 ... (2)
donde Kj y X2 son números reaies cualesquiera excepto que sean ceros 
simultáneamente,
Si en la ecuación (2) se tiene que K* * 0, entonces a la eu ». \ {2) se puede 
expresar en la forma:
A xx + B xy 4* Cxz 4- D í 4- K( A2x 4- 3 2y + C2z+ D7 ) = 0 ... (3)
A la ecuación (3) se denomina la familia de planos que pasan por la 
intersección de los planos Pi y P2 .
Ejemplos.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de 
los planos 2x - y - z + 8 = 0 , x + 6 y - 2 z ~ 7 = 0 y por el punto 
(1,-2,2).
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 49
Aplicando el concepto de familia de planos se tiene:
F: 2 x - y - z + 8 + k(x + 6y - 2z - 7) - 0
5
como (1,-2,2) € P => 2 + 2 - 2 + 8 + k( 1 - 1 2 - 4 7) - 0 => k = —-
11
5
P: 2x ->>-z + 8 + — (* + 6y- 2 * - 7) = 0 .\ P: 27 x + 1 9 y -2 1 z + 5 3 = 0
Ejemplo.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los 
planos 2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1 y es perpendicular al 
plano 3x - 4y - 2z = 9
Solución
Sea P(1 la familia de planos que pasan por la intersección de los planos
2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1
Pa : 2x - y + 3z - 2 + a(4x + 3y z - 1) = 0
Pa : (4a + 2)x + (3a - l )y + (3 - a)z - 2 - a = 0, donde su normal es:
N a = (4a + 2,3a -1,3 - a) y sea P: 3x - 4y - 2z = 9 cuya normal es:
N = (3,-4,-2) como Pal P => N a i / í => N . N a = 0
(3,-4,-2).(4a+2,3a-l,3-a)=0, de donde 12a+6 -12a + 4 6+2a = 0 => a= - 2
Pa : 6x + 7y - 5z = 0
[ o s ! ECUACIONES INCOMPLETAS~PEL PLANO -
Consideremos el plano P: Ax + By + Cz + D = 0, donde A" + + C2 + 0,
como A, B, C y D son números reales, entonces se presentan los siguientes
casos:
Eduardo Espinoza Ramos
!®r Si B = C - D = O, Á ^ O entonces el plano P: x - 0, que es el piano YZ.
Si A ~ C - D - 09 B * 0 entonces el plano P: y = 0 que es el plano X Z
3r® Si A = B = D = 0, C ^ 0 entonces el plano P: z = 0 que es el plano XY
4to Si B = C = 0, el plano P: Ax + D = 0 es paralelos al piano YZ
5to Si A. = C = 0, el piano P: By + D = 0 es paralelos al plano XZ
6t0 Si A = B = 0, el plano P: Cz + D = 0 es paralelos al plano XY
7mo Si C = D --= 0, el plano P: Ax + By = 0, contiene al eje Z y es ortogonal al 
plano XY
8to Si B - D - 0, el plano P: Ax + Cz = 0, contiene al eje Y y es ortogonal al 
plano XZ
9®° Si A = D = 0, el plano P: By + Cz = 0, contiene al efe X y es ortogonal al 
plano YZ
I ©8"0 Si C - 0, el plano P: Ax + By + D ™ 0, es paralelo al eje Z y además 
es ortogonal al plano coordenado XY.
I l*vo Si B = 0, el plano P: Ax + Cz + D = 0, es paralelo al eje Y y además es 
ortogonal al plano coordenado XZ
12®V0Si A - 0, el plano P: By + Cz + D = 0, es paralelo al eje X y además es 
ortogonal ai plano coordenado YZ
13*vo Si D = 0, el plano P: Ax + By + Cz = 0, pasa por el origen de 
coordenadas.
Ejemplo.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(7,2,-3) y 
B(5,6,-4) y es paralelo al eje X.
Solución
Rectas y Píanos en el Espacio Tridimensional 51
Sea P el plano buscado. P: N .[(.x,>s,z)-(7,2,--3)] = 0
como A ,B e P => AB =(■
nonnaí es:
__k ----k i j k
í! X 11 1 0 0
-2 4 -1
= (0,1,4) => P :(0 ,l ,4 ) .(x -7 ,y -2 ,z + 3) = 0
P: y + 4z + 10 = 0
1.29. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.-
Consideremos la ecuación general de un plano P: Ax + By + Cz + D = 0 
y un punto pj (x\yy u z\) que no pertenece al plano P.
consideremos un vector unitario p N en la dirección del vector normal, es 
»
N 1decir: = -
II N II si A2 + B2 + C
como 0 ± ¿ ( p op {, p N) entonces p 0 p¡ , p N =¡! PnPi Ileos© - (1)
Eduardo Espinoza Ramos
En el triángulo rectángulo se tiene: d ( p l , F) =jj p Qp l ¡¡ eos 0
de (1) y (2) se tiene que:
1
(2)
d (p i,P) = p 0p l.¿iN =- *( A ,B ,C )\ xx- x 0, - >o, 2i~ z 0)
N ~ Í E 7 ¥ ~ + c 2
A(xl - x 0) + B(y x - Jo ) + C(z, - z0) | Ax¡ + By, + Cz, + ( - 4x0 - By0 - Cr0 )|
/T + ¿T + <T
Jxj + + Czj + Z)|
í 2 + £ 2 + C2
Ejemplo.- Calcular la distancia del punto A(l,5,-4) al plano 
dado por P: 3x - y + 2z = 6.
Solución
d (A 9?) =
¡3̂ 0 - ,.v0 + 2z0 - ó) ¡3 — 5 — 8 — 6j 16
V9+1+4
d ( A i1, ) =
j \ 4 V14
16
V¡4
OBSERVACIÓN.- Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos 
Pi: Ax+ By + Cz + D¡ =0 y P2: Ax + By + Cz + D2 = 0, 
la distancia entre dichos planos está dado por la fórmula.
d(Pk,Pa) -
 A ~~ A ___
J a 2 + b 2 + c 2
Ejemplos.- Hallar la distancia entre los planos paralelos P t: x - 3y + 4z = 10 
y P2: x - 3y + 4z = 6.
Solución
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 53
Aplicando la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos. 
P¡: x - 3y + 4z =10 y P2: x - 3y + 4z - 6 = 0
d(V p - Ia ~ D21 _ l - 10~ (~6)l 4 _ _ 2^
” y¡A2 + B2 +C 2 VT+9+1Í6 V26 13
2>/26••• </(P„P2) = - 13
1.30. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.-
Consideremos la ecuación vectorial de una recta L = {p0 + t a / 1 e R} y la 
ecuación general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector normal es
N = ( A,B,C)
a N ncos Q ------------- ? además se tiene a = — - 0 , entonces:
II a || || Jv || 2
sen a = sen(~ - 0 ) = cos 0= por lo tanto:
II a || i| AHI
Que es la expresión para calcular el ángulo a formado por una recta y un plano
Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Hallar el ángulo 0 que forma la recta L = {(l,8,l)+t (1,1,2) / teR}
con el plano Fi 2x - y + z = 7,
Solución
—> —>
Sea 0~jC(L, F) donde a = (1,1,2) vector dirección de la recta y /V = (2,-
1,1) el vector normal del plano P. Ahora aplicamos la relación para calcular el 
ángulo 0.
sen$:
de donde: sen 9 = — entonces 0 = 60°. 
2
1.31. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN 
í PLANO.-
La proyección ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By + Cz + D='
0 con normal A^ÍAJf^C) es el punto p0 del plano P, al cual denotaremos por
— ........
Proyp , ,de tal manera que el vectorp Qp es ortogonal al p< > ' P Para hallar el
punto p0 trazamos por el punto p una recta L ortogonal al plano P es 
—̂
decir: L = {/? + í N / 1 e R} de donde L n P = p0
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 55
Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal del punto A( 1,2,3) sobre 
el plano P: x - y + 3z = 4
I L Solución
—►
como P: x - y + 3z = 4, donde #=(1,-1,3) es 
la normal de P y L la recta que pasa por el 
punto A(l,2,3) y es perpendicular al plano P 
—►
entonces L - {A + t NI t g R} es decir:
L = {(1,2,3) + t( l ,- l,3 ) / 1 e R}
Sea B e L n P => B g L a B g P.
Si B g L => B(1 + 1, 2 - 1, 3 + 3t) para algún t g R
4
como B g P => l + t - 2 + t + 9 + 9t = 4 => t = ——-
11
7 26 21
de donde B (— , — , — ) por lo tanto la proyección ortogonal del punto A
11 1 1 1 1
7 26 21
sobre el plano P es B (— , — , — ).
11 11 11
1.32. PROYECCIÓN ORTOGONAL PE UNA RECTA SOBRE 
UN PLANO.- ____________
La proyección ortogonal de la recta L - {p0 + / a/ / e /?} sobre el 
plano P: Ax + By + Cz + D = es recta ̂ cual denotaremos por Vroyp 
que está contenida en el plano P y que pasa por dos puntos de P que son las 
proyecciones ortogonales de dos puntos de L sobre el plano P
56 Eduardo Espinoza Ramos
P A’ / L'
L'={P0 +t P0B / t e 
cuando L X P
{P'+l( A ' - F ) ! t e . R } 
cuando L // P
Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal de la recta L = {(t, 1 - 1, 2t) / teR} 
sobre el plano P: x + y + z = 1
Solución
como L y P no son paralelos, entonces 
L existe un punto de intersección A e L a P.
Si A e L a P entone A s L a A g P
¡J Si A e L => (t, 1 -1, 2t) para algún t € R
como A e P = > t + l —t + 2 t = l => t = 0
=> A(0,1,0) por otra parte:
L = {(t, 1 -t, 2 t)/teR } - {(0,1,0)+ t (1 ,-1 ,2)/1 e R}, de donde
a\=~AB =(1,-1,2)=> B~A-(1,-1,2), B=A+(1,-1,2M0,1,0)+(1,-1,2) =>B(1,0,2)
ahora calculamos el punto C que es la proyección ortogonal del punto B sobre 
el plano P, para esto trazamos la recta Lj que pasa por B perpendicular al plano 
P es decir: Lj = {(1,0,2) + A. (1,1,1) / XeR}
Sea C g L| a P C e L j a C e P
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 57
Si C € L| => C (1 + X, X, 2 + X) para algún X e R.
2
como C € P => l+A. + X + 2 + X.= l A = ——
3
de donde y AC = C - A = ^ (1 -5 ,4 )
SiL'=Proyj; = { A + t AC 11 e R} de donde.'. V = {(0,1,0) + /(1,-5,4) !t e /?} 
Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal de la recta
como C € Li A P => C € Li A C € P.
Si C 6 Li C(2 + 2t, 1 - 1, t) para algún t 6 R.
1 4 4 1
como C e P = > 4 + 4 t - l + t + t = l ==> t - - ~ por lo tanto C(—
3 3 3 3
ahora calculamos el punto D, para esto trazamos la recta L2 que pasa por el
punto B, es decir:
L2= {(3,-2,-5) + t ( 2 ,- l , l ) / t e R}, como D € L2 a P entonces:
L = {(2 + t,l - 3t, -5t) / t g R}, sobre el plano P: 2x - y + z = 1. 
Solución
A £ Ir
L - {(2,1,0) + 1 (1,-3,-5) / 1 e R}
Donde a =~AB = (1 ,-3 ,-5 )si A(2,l,0)=> B(3,-2,-5)
L' ahora calculamos sus proyecciones ortogonales 
sobre el plano P, C = Pr ayj? y D = Proyp para 
calcular C trazamos la recta Lt que pasa por A es 
decir: L, = {(2,1,0) + t (2,-1,l ) / t e R}
58 Eduardo Espinoza Ramos
D e L2 => D(3 + 2t, -2 - 1, -5 + 1) para algún t € R.
1 7 5 16
como D eP => 6 + 4t + 2 + t-5 + t= 1 => t D(—,— ,---- ) de donde
3 3 3 3
/. L’=Proyf = ) + í(4 ,-17 ,31)// £ /?}
3 3 3
1.33. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA 
QUE NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.- __________
Ejemplo.- Hallar la distancia de la recta L = {(-2,1,5) + t (3,-4,4) / 1 e R} 
al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0 
Solución
Tomemos un punto del plano. z = 0, y = 5, x = 5
entonces Q0 = (5,5,0) y p0 = (-2,1,5) Q0p 0 = Q0 - p 0 = (7,4,-5)
La distancia mínima entre una recta
d(L.P)< ! \
\
L L = {p0 + f a /í e R} y un plano P: 
—►
N . ( p - Q 0) = 0, donde la recta L no está 
contenida en el plano P y además L es 
paralela a P es dado por la fórmula.
QqPq 'N 
11*11
J (¿ .D | ^ ^ 1 ; (7>4' - 5M4’ ~3’ ~6) | - 128-12 + 3Q¡ _ j t6
V16 + 9+36 VóT VóTV16 + 9+36
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 59
1.34, ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.-
Consideremos las ecuaciones generales de dos planos Pj:AiX+Biy+ Cj 
z+D]=0, cuya normal es N = ( Ax, Bx, Cx) y P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,
cuya normal es N 2 = {a 2 ,B 2 ,C2Y
El ángulo 0 formado por los planos Pj y P2
es igual al ángulo entre sus vectores
 > ►
normales N x y N 2 respectivamente y es
dado por la expresión siguiente.
Ejemplo.- Hallar el ángulo formado por los planos Pi.* x - y = 4 y P2: x+z = 6
Solución
Pi: x - y = 4 de donde ~Ñ\ = (1,-1,0), P2: x + z = 6 de donde = (1,0,1)
Si 0 3 ¿ (Pj, P2) - ¿ ( A ̂ , N 2 ) entonces eos# = *
N, II II N,
. (1,-1,0).(1,0,1) 1-0 + 0 1 . 1 , a ,AOcos 0 = — " — = -----------= —, como cos (9 = — entonces 0 = 60
V2>/2 2 2 2
1.35. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
© Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos A(l,0,-1) y B(2,1,3) 
y que además es perpendicular al plano Pj = {(x,y,z) e l ^ / x + y - z + l^ O }
60 Eduardo Espinazo Ramos
N. i __ ^
* N,=
A
P i ^
Solución
como P lP j => N { //P, además se tiene 
que: A,Be P => ~AB // P, ~AB = (1,1,4) 
como TV-L A B , N. entonces:
N =
i j k
1 1 4
1 1 -1
= (-5,5,0) = -5(1,-1,0)
©
de donde tenemos que: N = -5(1,-1,0)
—►
Luego P: N . ((x, y, z) - (x0, y0, zo» = 0 de donde P: x - y = 1
Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto p(l,2,-3) y por 
la intersección del plano x - y + 2z = 4 con el plano XY.
Solución
N
P(1,2,3)
Pq(4,0,0)— * a = (1,1,0))
La intersección del plano x - y + 2z = 4 con el
í x ~ y ‘-2 z - 4 
plano XY es la recta L:\
[ z = 0
Escribiendo la ecuación de la recta L en forma
vectorial para z = 0 = > x - y = 4 ^ x ~ y + 4
Si (x,y,z) e L => (x,y,z) = (y + 4, y, 0) = (4,0,0) + y (1,1,0)
Luego L = {(4,0,0) + 1 (1,1,0) / 1 6 R}
ahora calculamos la normal N = p0p x a , donde p 0p = (-3,2,-3) y 
—►
a =(1,1,0) entonces:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 61
N =
—>
i j k
-3 2 -3
1 1 0
= (3,-3,-5), como el plano P pasa por p(l,2,-3)
P: N . [(x,y,z) - (1,2,-3)] - 0, de donde P: (3,-3,-5).(x - 1, y - 2, z +• 3) = 0
P: 3x - 3y - 5z = 12
( 3) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto p0 (3,1,-2) y hace ángulos 
iguales con las rectas L { = {(1,4,2) + 1 (1,1,1) / 1 e R} L2 : eje OX, L3 : eje OY
Solución
El plano pedido es: P: N . ( p - p 0) = 0, de donde N= (A,B,C) y p0 (3,1,-2) el 
punto por donde pasa el plano.
La condición del problema es: /C (Lj ,P) = ¿C (L2 ,P) = £ (L3 ,P), donde: 
para ¿C (Lj ,P) = ¿ (L2 ,P), se tiene:
—> —> —* —>
^ 0 = ^ L L — =- J L L - , donde a = (1,1,1), ~b = (1,0,0), A=(A,B,C)
II N INI 7 ¡| || ÍV || || b ||
efectuando operaciones se tiene que: (>/3 - X ) A - B - C = 0 ... (1)
para ¿ (L2 ,P) = ¿C (L3 ,P) se tiene:
sen f) = jy .-L = , donde b = (1,0,0), c = (0,1,1), N = (A,B,C)
im n m i i ia i i i ic ||
efectuando operaciones se tiene: A - B , (2)
62 Eduardo Espinoza Ramos
ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: C = (V3 - 2)B
como N = (A,B,C) = (B,B, ( -J1 -2 )B) = B # 0
Por lo tanto P: (1,1, V 3- 2 ) . ( x - 3 , y - l,z + 2) = 0
P: x + y + ( S - 2 ) z + 2 y f í - S = 0
© Sea ju = (a,b,c) y N = (A,B,C) vectores no nulos de R3 tal que 
—► —►
JVJL// si p0 (x0,yo,Zo)es un punto del plano n - Ax+By + Cz + D - Q . 
Demostrar que L = {/?0 + t p¡ t g R} está contenida en n.
Solución
—> —> —> —>
Como N I . ju jV. // = 0 => Aa + Bb + Ce = 0 además
L = {/?0 + / / / / / g J?} ~ {(x0, yo» Zo) + t (a,b,c) / 1 e R} por demostrar que
L e 7t: Ax + By + Cz + D = 0
Sea p e L => p (x0 + t a, y0 + 1 b, z0 + 1 c)
como p0 g 7i => A(x0 + t a) + B(y0 + t b) + C(z0 + t c) + D = 0
= + Byo + Cz0 + Z) + t(A& + Bb + Ce) ~~ 0,
o
= 0 + 1 (Aa, Bb, Ce) = 0 + to = 0, entonces p g k luego L c k .
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(3,4,l) y es ortogonal 
a los planos P j : x -y = 4, P2: x + z = 6.
So|uct6n
Rectas j Planos en el Espacio Tridimensional 63
©
Sea P ] : x -y = 4 de donde N l =(1,-1,0)
P2: x + z = 6 de donde N-, = (1,0,1)
P: N .(p - A) = 0 es el plano pedido como P JL 
Pi , P2 entonces N { , N, ilP de donde la 
normal N de P es:
= (-1,-1,1)
como P: Ar .(p - A)=0, al reemplazar se tiene, P: (-1,-1, l).(x - 3, y - 4,z-l)=0
P: x + y .- z = 6
Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1.2,-3) y sea paralelo al plano 
3x - y + 2z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los planos?
Solución
Sea Pi: 3x - y + 2z = 4, donde Ar, = (3,-1,2) y P el plano pedido, como
P // P! entonces P: 3x - y + 2z + D = 0
pero (1,2,-3) e P => 3 - 2- 6 + D = 0 => D = 5
por lo tanto el plano es P: 3x - y + 2z + 5 = 0. la distancia entre ambos planos
paralelos se tiene:
64 Eduardo Espinoza Ramos
© Encontrar la ecuación del plano que pasa por ios puntos P¡ (1,0,-1) y 
P2 (-1,2,1) y es paralelo a la recta de intersección de los planos 3x + y - 2z = 6. 
4x - y + 3z = 0
Solución
para determinar el vector normal al plano P, primero hallaremos el vector
—>
dirección v de la recta de intersección.
N. X N-y =
J k 
1 - 2 
-1 3
=(1,-17,-7) donde N x =(3,1,-2) y N 2 =(4,-1,3)
ahora trasladamos el vector v paralelamente al plano buscado y con el vector 
Px P2 = (-2,2,2) se obtiene la normal N al plano P, es decir:
N = p xp 2 v v -
i j k 
-2 2 2 
1 -17 -7
= (20,-12,32)
considerando el punto pi(l ,0,-1) en el plano y la normal N =(20,-12,32)se tiene: 
—>
P: N .(p - pi) = 0, reemplazando se tiene. P: (20,-12,32).(x - 1, y, z + 1) = 0 
P: 5x - 3y + 8z + 3 = 0
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 65
Si P es un plano tal que: P n eje x = { (a ,0 ,0 ) /a ^ 0 ,a e R},
P n eje y = {(0,b,0) / b ^ 0, a e R}. Demostrar que P tiene la ecuación.
Solución
Sea a = AB = B - A = (-a,b,0) 
b = ~AC = C - A = (-a,0,c)
N = & x b —
i j k 
- a b O 
-a 0 c
= (be, ac,
La ecuación del plano es: P: N.(p ~ A) = 0, reemplazando se tiene: 
P: (be, ac, ab). (x - a, y, z) = 0 => P: bcx + acy + abz = abe
x y z . P: - + Z. + _ = i 
a b e
® Demostrar que la ecuación del plano, que pasa por la recta 
L: x = x0 +axt, y = y 0 +a2 t, z = z0 +a3t , t e R y es perpendicular al 
plano P: ax + by + cz + d = 0, se puede representar en la forma:
a, bx
a
'¿o
= 0
Solución
66 Eduardo Espinoza Ramos
En la recta L: x - v0 +a¡/, y ~ yQ + <s2/, z = z0 + a2t , teR el vector dirección
es a =(a¡,a2,a3) y en el plano P: ax + by + cz + d = 0, su normal es
► —>
W = (a , ¿>, c ) . Sea P,; A i. (p ~ p0 ) = 0 , el plano buscado donde:
íV i = a x N =
* J
a \ a 2 
a b
= (l a 2 a2> 
j b c
ax a3 a\ a2
a c a b
a2 “3 a\ a2> a\
h c a c a cPi : (
P, : !. v -.v,)
a2 r/3 a\ <h
+ ( z - ’o)
a, a3
b c a c a c
).(jc-jr0, y - y 0’ z - z 0) = o
= o
Pi :
•̂-•v0 y - y 0 z -z0
a \ C12 a 2 
a b c
= 0
Si A,B,C y D son todos no nulos. Demuéstrese que el tetraedro formado por 
los planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volumen
igual a V -
1 D
ABC
Solución
Sean P, Q, R, los puntos de intersección del 
plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los 
ejes coordenados respectivamente, es decir:
P { - ~ 0 ,0), Q(0 , - ^ , 0 ) y í ( 0 , 0 , ~ )
A B C
el volumen V del tetraedro OPQR es:
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 67
I —y
V - i [OP OQ OR] ! de donde se tiene:
6 1
D “ > I) D
OP = ( - — ,0,0), O 0 = (O ,-— ,0), OR -■ (0,0,- —) 
A B C
o- — 0 0
A
1 D r. _ 1 D3 _ 1 D 30 -----0
6 B ~~ 6 ABC ~ 6 ABC
D
0 0 -----
c
V = -
6
D 3
ABC
(T ^ Dados los puntos P j: 2x + 2y - 2z + 2 = 0 y P2: x - 2y - z = 1 y el punto 
A(2,l,4). Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A que es 
paralela a P2 y que haga un ángulo de 30° con P j.
Solución
—y
P ,: 2x + 2y - 2z + 2 = 0, de donde su normal es N ] = (2,2,-2)
—̂
P2: x - 2 y - z - 1, de donde su normal es N 2 = (1-2,-1)
Sea ¿ = {(2,1,4) + f w/f e d o n d e u - (a,b,c) y || w | |= 1
como L / /P2 => w. A2 = 0 => a - 2 b - c = 0
u.N,
(1)
por otra parte se tiene: P j) = 30u,entonces sen 30° = — donde
II a l i l i l í II
vi
2 a + 2 b - 2 c = -^-.2 \¡3 => 2¿? + 2 b - 2 c = 3 ... (2) 
2
como |¡ u ||= 1 a 2 + 6 2 + c 2 = 1 (3 )
68 Eduardo Espinoza Ramos
2 ± v 2
2 ± 4 l
resolviendo el sistema se tiene: ̂ la + Ib - 2c = 3 entonces b ~ —
\ ? i 1 2 i[ a ‘ + b~ ± c - 1
c “
2±yÍ2 l 2 ± j i 1, r - r-\
u = (a,h,c) = (—— — , ) = - 2 ± v 2 , 2, - 2±V2
4 2 4 4
Luego se tiene: i. = {(2,1,4) + t (2 ± , 2, ~~ 2 ± V2) / / e i?}
(l2 ) Hallar la ecuación del piano que pasa por el punto (0,0,1), es ortogonal al 
plano XZ y hace un ángulo 6 - árceos * con el plano x + 2y + 2z - 5.
Solución
P r x + 2y + 2z = 5 gea __ x + 2y + 1 z = 5 de donde
= (1,2,2) y P2 = XZ
P3 ? tal que P3i.P2 y además 
■—̂
Sea í¥ 3 = (<z,0,c) la norma de P3 puesto 
que 2/3 es paralelo al plano XZ y XZ±P3.
Además eos 6 =
II Ni IIII N3 ||
— “-y 
donde N { = (1,2,2) y N 3 =(a,0,c)
eos 0 -
(1,2,2 ).(<z, 0, c) 1 c + 2c
+ c 3 3 / 0 + c“
£ + c“ = a + 2c entonces se tiene: a = — ~c4
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 69
—̂ 3c c
por lo tanto = ( - — ,0,c) = ——(3,0,—4) 
4 4
Luego P3: jV3.(/?-(0,01)) = 0, al reemplazar se tiene:
P3 : (3,0,~4).(x, y, z -1) = 0 P3 : 3x - 4z + 4 = 0
Un plano pasa por el punto A(3,l,-1), es perpendicular al plano 2x - 2y+ z = - 
4, y un intercepto Z es igual a -3, hállese su ecuación.
Solución
—►
Sea Pt : 2 x ~ 2 y + z = -4 , de donde TVj = (2,-2,1) y P el plano por calcular, 
—̂
Luego como Pji_P / /P y como el intercepto Z con P es -3 entonces
—y
B(0,0,-3) es un punto del plano P y además A, B e P => AB/ /P de donde 
—> —> —̂
AB = (-3,-1,-2) como TVj, AB/ /P entonces la normal P es A dado por:
N = N xxA B =
1 j k
-3 -1 -2
2 -2 1
= (-5 -1 ,8 )
P: N . ( x - 3 , y -1 , z + l) = 0, de donde P: (-5,-l,8).(x - 3, y - 1, z+ 1) = 0, por 
lo tanto: P: 5x + y - 8z - 24 = 0
Hallar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del 
origen y tiene una normal que hace ángulos de 60° con los semi ejes positivos 
OX y OY.
Solución
Sea P el plano buscado, cuya normal es N = (cos a , cos p , cos y)
70 Eduardo Espinoza Ramos
7 > ^ ¡ 2 
como a = p = 60° :=> eos" a + eos" ¡3 + eos" y = 1 ==> eos y = ±--~~
- 1 1 V2 1,
N = ( - , - , i ---- ) = —(l,l,±v2)
2 2 2 2
La ecuación del plano es: P: x + y ± - J l z + D - 0
|0+0 + 0 + £>| i ,
como d ( 0 , P) = 2 — -v—.--.- - = 2 de donde ¡ D | = 4 => D = 4 v D = -4
Ví+1+2
Si D ^ 4 entonces Pt : x + y ±\[?.z + 4 = 0;
D =-4 entonces P2: x + y ± J l z - 4 = 0
I 5 j Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga al 
punto (2,2 ,2) y que haga un ángulo de 60° con el plano + 2 y - 3z -f 2 = 0
Solución
La ecuación del plano pedido es de la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es 
perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XV 1 í :ormal del plano P es
N = ( A ,B yO).
Si Pj: S x + 2 y - 3 z + 2 = 0, de donde /V) =(V3,2,-3)
M .N
El ángulo formado por P| y P es 0=60° que es dado por: eos 6 - —— -—
II Ni II II ÍV||
^ 3 A + 2 B 1 + I 2 2 /—
eos60°= — i de donde — = — ¡ - --------=> 2 \ A ‘ +B = ->J3A + 2B
4y/A2 + B 2 2 4J 7 + B 2
4 ( A 2 + B 2) = 3A2 + 4 B 2 + 4 J 3 A B => A = 4^3B ...(1)
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 71
c o m o (2 ,2 ,2 ) e P => 2 A + 2 B+ D = 0 ... ( 2 )
de (1) y (2) se tiene D = - (W í + 2)b ... (3)
reemplazando (1) y 3) en P: Ax + By + D = 0
P: A S B x + B y - (8^3 +2)5 = 0, B * 0 => P: A S x + y - % S - 2 = 0
La recta L| = { ( 5 + 1 , - 1 , 0) / 1 e f?} se refleja en el plano n: 2 x - y + z - 1 = 0 , 
Hallar la ecuación de la recta reflejada.
Solución
Se observa que p 2 ají => p 2 e L { a p2 e /r 
Si p2 e p 2 (5 + /, - / , 0 ) p a r a algún teR
además p2 € /r : 2 (5 + /) + /+ 0 - 1 = 0 => t=-3 
de donde P2 (2 ,3 ,0 ) también P̂ (5 ,0 ,0 ) e Lx
c o m o n: 2 x - y + z - l = 0 , d e d o n d e TV = (2 , - 1 ,1 )
—> —>
e n to n c e s N ± z r => N f / Z 3 d e d o n d e :
Lj = {(5,0,0) + A(2,-l,l) / X e J?}
A e L3 r\7t A e L3 a A e x
S i A e ¿ 3 => A( 5 + 2 / 1 , - A , A ) p a r a a lg ú n X e R , a d e m á s A e i t e n to n c e s
2 (5 + 2 X ) + A, + X - 1 = ; 0 e n to n c e s A = - ^ , d e d o n d e :
4 2 , | , - | ) = > Á ? = ( 3 , - | , | ) ^ B ^ = Pl-B = 2 Á ^ = 2 (3 ,- |, |) = (6,-3,3)
P1P2 ~ P 2 ~ P 1 = ( - 3 , 3 , 0 ) => B p 2 - p 2 - B = (3 ,0 ,3 ) c o m o B p 2 / / L y p 2 e L 
entonces L = {(2,3,0) + r ( 3 ,0 ,3 ) / r e R}
72 Eduardo Espinazo Ramos
x + 4 5 - z
D ado el plano P: x - 2y + 3z - 8 y la recta L: = —~ , y ~ -1 . H allar la
ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2,-1) paralela al plano dado y 
corta la recta L.
Solución
-v -f- 4 5 - 2
A la ecuación de la recta L : -------------- , y = -1, escribiremos en forma
4 -3
vectorial L = {-4,-4,5) + t(4,0,3) i t e- R}.
Sea L, la recta por determinar, es decir: I, = -¡(0,2,~ 1) + r(a,Z>,c)/ r e /?}como 
Lj corta a L => 3 p e 1, ¡ n L p e L j a p e L
Si p f: L¡ -> p(n¿, 2 + rb, - 1 + rc) p e L ■=> p(-4 4- 4t, -1, 5 + 3x)
de donde por igualdad (ra, 2 +- rb, -1 + re) = (-4 + 4t, -1, 5 + 3t) entonces:
-4 + 41 ~ ra 
- \ - 2 + rb 
5 + 3/ = -1 + re
4t — 4
r
6 -3 1
... (1)
como P: x -2y + 3z -■ 8 de donde N - (1,-2,3) como Lj / /P entonces
a _L A' donde a ~(ayb,c) Si a ± N => a . N = 0 => a - 2b + 3c = 0 ... (2)
4/ -4 6 18-9/
reemplazando (1) en (2) se tiene. + — + -------
r r r
■ 0 => t = 4
12 3 6 x 3 /d t
de donde: a = — , b = — , c = como a = { a , b , c ) = — ( 4 - 1 - 2 ) 
r r r r
.-.I, = {(0,2-1) + /t(4 -1,-2)/ a e/?}
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 73
E l in te r c e p to Y d e u n p la n o e s m e n o r e n u n a u n id a d q u e s u in te r c e p to Z y 
m a y o r e n 2 u n id a d e s q u e su in te rc e p to X , s i e l v o lu m e n e n c e r r a d o p o r e l p la n o 
y lo s t r e s p la n o s c o o r d e n a d o s e s 1 5u3, H a l la r la e c u a c ió n d e l p la n o .
Solución
L o s p u n to s p o r d o n d e p a s a e l p la n o n s o n : 
( 0 ,0 ,a ) , ( 0 ,a - 1 ,0 ) , ( a - 3 ,0 ,0 ) y la e c u a c ió n d e l 
p la n o e s :
n\ N.(x,y,z) = d d o n d e A = ( A , B , C )
(0 , 0 , a ) e 7i => ( A ,B ,C ) .( 0 ,0 ,a ) = d a C = d 
( 0 ,a - 1 ,0 ) e ti => ( A ,B ,C ) .( 0 ,a - 1 ,0 ) = d 
B (a -1 ) = d => ( a - 3 ,0 ,0 ) e 71 
( A ,B ,C ) .( a - 3 ,0 ,0 ) = d => A ( a - 3 ) = d . d e d o n d e
A - ^ d _ c = ^ a d e m á s se t ie n e q u e : V = — 
a - 3 a - i a 6 A B C
d o n d e F = 15w3
d d d
= 15 ( a - 3 ) ( a - l ) a = 9 0 => a - 6 d e d o n d e
3 5 6
-► 1 1 1 x y z
c o m o t i : N . ( x , y t z ) = d => n : d ( — , —, — ) . ( x > y , z ) = d n : ~ + — + — = 1
3 5 6 3 5 6
H a l la r la e c u a c ió n d e la r e c ta q u e p a s a p o r e l p u n to ( 1 ,-1 ,1 ) , p e r p e n d ic u la r a la 
r e c ta 3 x = 2 y = z , y p a r a le la a l p la n o x + y - z = 0
S o lu c ió n
Sean L = {(1,-1,1) + (̂a,b,c) / X e R} la r e c ta b u s c a d a L x: 3 x ~ 2 y - z
74 Eduardo Espinoza Ramos
i 1
L±JLX => (a,Z>,c).(—, —, 1) = O 2 a + 3b + 6c = O 
3 2
... (1)
c o m o e l p la n o P : x + y - z = 0 , d e d o n d e N - (1,1, 1) por ser 
FUL => N.(a,b,c) = 0
e n to n c e s a + b - c = 0
Í 2 a + 3b + 6 c = 0
... (2 )
j a - 9 c
=> ]
a + b - c ~ 0 [b = - Se
(1,1,-1).(íi,¿>,c) = 0 
a h o ra r e s o lv e m o s e l s is te m a s ig u ie n te :
( a ,b ,c ) = ( 9 c ,- 8 c , c) = c (9 , -8., 1) p o r lo ta n to L = { ( 1 ,-1 ,1 ) + 7 , ( 9 ,- 8 , l ) / X e
x - 1 y + 1 z - 1
R } lo que e s ig u a l a e x p r e s a r en la fo rm a . L: — — = -------- = --------
9 - 8 1
S e a n n x: 3x + y - z = 1 y zr2: x - y + 3z~\ , dos p la n o s . Hallar las ecuaciones 
p a r a m é tr ic a s d e la r e c ta L q u e p a s a p o r la s p r o y e c c io n e s del punto Q ( 1 ,1 ,1 ) 
s o b re c a d a p la n o .
Solución
D e l g r á f ic o s e o b s e r v a q u e la r e c ta L p a s a p o r lo s p u n to s A y B q u e s o n la s 
p r o y e c c io n e s d e l p u n to Q s o b re c a d a p la n o , p o r lo ta n to c a lc u la r e m o s lo s 
p u n to s A y B .
Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 75
P a r a e l p u n to A t r a z a m o s la r e c ta Lx, e s d e c i r : L x = {(1,1,1) + / ( 3 ,1 , - 1 ) / 1 e R ]
c o m o A e L xr \ 7 l x e n to n c e s A e L x a A e / T , . S i A e L x => A (1 + 3 t, 1 + t, 1 - 1)
2
p a r a a lg ú n t € R , a d e m á s A e 7 t x = > 3 ( l + 3 t ) + l + t + t - l = l = > / = - — , 
5 9 13
d e d o n d e e l p u n to A (— , — , — ) • P a ra e l p u n to B tr a z a m o s la r e c ta L 2 , e s 
d e c i r : L 2 = { (1 ,1 ,1 )+ í ( l , - 1 , 3 ) / í e / ? } c o m o B e ¿ 2 n 712 => B e L2 a B g 7V2
S i B e L y => B (1 + t, 1 - t, 1 + 3 t) p a r a a lg ú n t e R
2
a d e m á s B e ; r 2 = > l + t - l + t + 3 ( l + 3 t ) = l => t - -
9 13 5
d e d o n d e e l p u n to ¿ ? ( y y , — , y y )
S e a a = A B =
11
11
p o r lo ta n to la r e c ta L p e d id a e s :
5 9 13L = {(yy, yy, yy) + A(l,l ~ 2 ) / A <= R] c u y a s e c u a c io n e s p a r a m é tn c a s e s :
L:
x = — + p 
11
13
z = — - 2 P 
11
, P e R
1.36. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
O U n a r e c ta p a s a p o r e l p u n to A(-2,l,3), es p e r p e n d ic u la r e in te r c e p ta a la r e c ta 
L x ~ {(2,2,1) + r(l,0,-l) / 1 e /?}. H a l la r la e c u a c ió n v e c to r ia l de d ic h a re c ta .
R p t a . L = { ( - 2 ,1 ,3 ) +A .( 1 ,1 ,1 )/A, e R } .
76 Eduardo Espinoza Ramos
© Por los puntos A (-ó,6,-5) y B (1 2 .-6 ,l) se ha trazado una recta. H allar los 
puntos de intersección de esta recta con los planos coordenadas.
Rpta. (9,-4,0), (3 ,0 ,-2), (0 ,2,-3)
Dados los vértices de un triángulo A (3.6,-7), B (-5,2,3) y C(4,-7,~2). H allar las 
ecuaciones paramétricas de su mediana, trazada desde el vértice C.
Rpta, x = 4 + 5 t , y = -7 - 111, z = -2
Hallar las ecuaciones de la recta L que pasa por el punto A(-l,0,2), es
r-¡
O
ortogonal a la recta I , = j(2,2,0) + /(5.-2,-3)/í e /?} y que corta con la recta
X - 1 y 2 - 1
 = - = ----- . Rpta. L= {(-1,0,2)+t(32,65,10)/t gR}.
‘ 2 5 1
© H a l la r la s e c u a c io n e s d e la re c ta q u e p a s a p o r e l p u n to M (- 4 , - 5 ,3 ) y s e c o r ta
x + 1 v -f-3 2 - 2 x - 2 v -(-1 z - 1
c o n la s d o s re c ta s . L : --------= 1 ; L 0 : --= 1-= -------
3 - 2 - 1 ' ‘ 2 3 - 5
x +• 4 y + 5 c — 3
R p t a . L :
3 3 - i
H a lla r la s e c u a c io n e s d e la r e c ta q u e p a s a p o r e l p u n to A ( -1 2, 3 ) , e s
p e r p e n d ic u la r a l v e c to r a = ( 6, - 2 , - 3 ) y se c o r ta c o n la r e c ta
x - \ v + 1 2 -3 JT+1 v-2 2 + 3
 = --------= ----------------------------- R p t a . L: — - =- — - - = — -
3 2 - 5 2 o 6
© D a d a s la s r e c ta s I , = { (3 ,l,0 ) + t ( l , 0, l ) / / e R\ y £ , = { (1 ,1,1) +> 1(2 ,1,0) / ^ e /?}.
H a l la r e l p u n to