Unidad 3-Integración compleja

Vista previa del material en texto

Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
1 
 
MATEMÁTICA D 
Módulo I: Análisis de Variable Compleja 
 
 
Unidad 3 
 
 
Integración Compleja 
 
 
Mag. María Inés Baragatti 
 
♦ Integral de una función de variable real a valores complejos 
 
♦ Sea z(t) = u(t) + i v(t) una función de variable real t a valores complejos, con u(t) y v(t) 
integrables en [a,b] , se define la integral de z(t) en [a,b] como: 
 
∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++====
b
a
b
a
b
a
dt )t(vidt )t(udt )t(z 
 
� Ejemplos 
1- (((( )))) 9i6tit2dt 3tidt4t dt i3t4t 2
1
32
1
22
1
22
1
2
1
2 ++++====++++====++++====++++
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 
2- (((( ))))
n
1)1(
i0
n
)ntcos(
i
n
)nt(sen
dt (nt)] sen i (nt) [cosdt t isencost
n
00
00
n −−−−−−−−−−−−====−−−−====++++====++++
ππππππππ
ππππππππ
∫∫∫∫∫∫∫∫ 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 1: 
 
 a) Si z1(t) = u1(t) + i v1(t) y z2(t) = u2(t) + i v2(t) son integrables en [a,b] y αααα y ββββ son 
constantes complejas demostrar que : 
 
[[[[ ]]]] ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ββββ++++αααα====ββββ++++αααα
b
a 2
b
a 1
b
a 21
 dt (t)z dt )t(z dt (t)z )t(z (propiedad de linealidad) 
 
b) Si z(t) = u(t) + i v(t) es integrable en [a,b] , demostrar las siguientes propiedades: 
 
b1) [[[[ ]]]]∫∫∫∫∫∫∫∫ ====


 b
a
b
a
dt )t(zRedt )t(zRe b2) [[[[ ]]]]∫∫∫∫∫∫∫∫ ====


 b
a
b
a
dt )t(zImdt )t(zIm 
b3) ∫∫∫∫∫∫∫∫ ====
b
a
b
a
dt z(t) dt )t(z 
 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
2 
 
∆∆∆∆ Actividad 2: 
 
Si z(t) es integrable en [a,b] entonces vale la siguiente desigualdad dt )t(zdt )t(z
b
a
b
a ∫∫∫∫∫∫∫∫ ≤≤≤≤ 
 
A continuación se bosqueja la demostración de esta propiedad y se deja a cargo del alumno justificar 
algunos de los pasos. 
 
Supongamos que el resultado de la integral ∫∫∫∫
b
a
dt )t(z es un complejo de módulo r0 y argumento 
θθθθ0, , es decir ∫∫∫∫
θθθθ====
b
a
i
0
0erdt )t(z ⇒ ∫∫∫∫
b
a
dt )t(z = r0 (#) y ∫∫∫∫
θθθθ−−−−b
a
i dt )t(ze 0 = r0 (##) 
 
Teniendo en cuenta (#) y (##) y otras propiedades ya mencionadas, justificar todas las igualdades 
y desigualdades que se indican a continuación: 
 
∫∫∫∫
b
a
dt )t(z
)1(
==== ∫∫∫∫
θθθθ−−−−b
a
i dt )t(ze 0
)2(
====



∫∫∫∫
θθθθ−−−−b
a
i dt )t(zeRe 0
)3(
==== [[[[ ]]]]∫∫∫∫ θθθθ−−−−
b
a
i dt )t(ze Re 0
)4(
≤≤≤≤ ∫∫∫∫
θθθθ−−−−b
a
i dt )t(ze 0
)5(
==== ∫∫∫∫
b
a
dt )t(z 
 
(1):por (#) y (##) 
(2):………………………………………………………………………………………………… 
(3):………………………………………………………………………………………………… 
(4):………………………………………………………………………………………………… 
(5):………………………………………………………………………………………………… 
 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 3: 
 
Si z(t) es continua en [a,b] y si Z(t) es una primitiva de z(t), es decir Z’(t) = z(t) , entonces 
)a(Z)b(Z dt )t(z
b
a
−−−−====∫∫∫∫ 
 
Usar en todos los casos la definición de integral dada más arriba. 
Esta propiedad , como en el caso de funciones reales, se denomina Regla de Barrow. 
 
 
 
� Ejemplo 
 
Conociendo la regla de Barrow para funciones de variable real a valores complejos, podemos 
hallar la integral propuesta en el ejemplo 2 del siguiente modo: 
 
(((( )))) (((( ))))


====−−−−−−−−================++++
ππππ
ππππππππππππ
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ impar es n si2i/n
par es n si0
in
11
in
e
dt e)(edt t isencost
n
0
int
0
intn
0
it
0
n 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
3 
 
∆∆∆∆ Actividad 4: 
 
a) Si γγγγ es un arco de curva suave de ecuación z(t) = x(t) + i y(t) con a ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ b, calcular |z' (t)| y 
demostrar que ∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ ====
b
a
dt )t('z|dz| = longitud del arco γγγγ 
b) Si M es una constante positiva y |z(t)| ≤≤≤≤ M para a ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ b, demostrar que 
∫∫∫∫
b
a
dt )t(z ≤≤≤≤ M (b – a) 
 
 
♦ Integral de una función de variable compleja sobre una curva 
 
 
♦ Sea γγγγ un arco de curva suave de ecuación paramétrica z(t) = x(t) + i y(t) con a ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ b y 
f(z) una función continua sobre γγγγ, se define la integral de f sobre el arco γγγγ como: 
 
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ========γγγγ
b
a
b
a
dt (t)z' ))t(z(fd[z(t)] ))t(z(fdz f(z) 
 
 
� Ejemplo 
 
Para calcular la integral [[[[ ]]]]dz i-Re(z)- z ∫∫∫∫γγγγ , siendo γγγγ el segmento de ecuación paramétrica 
z(t) = 2t + i (4t – 1) con -1 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2 usamos la definición de integral para transformarla en una 
integral de una función de variable real a valores complejos como se muestra a continuación: 
 
[[[[ ]]]]dz i-Re(z)-z ∫∫∫∫γγγγ = [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]∫∫∫∫ ∫∫∫∫−−−− ++++−−−−−−−−−−−−−−−−====
2
1
2
1-
dt 4) i (2 it2)1t4(it2 dt (t)z' i-Re(z(t))- (t)z =
====−−−−====++++==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−− dt )it8t16( dt )i42( ti4-
2
1
2
1-
2
1
22
1
2 t4it8
−−−−−−−−
−−−−==== = 24 -12 i 
 
 
♦ Propiedades 
 
1- Propiedad de linealidad: Si f(z) y g(z) son dos funciones integrables sobre la curva γγγγ y 
αααα y ββββ son dos constantes complejas entonces 
 
zd g(z) dz f(z) dz g(z)]f(z) [ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγγγγγ ββββ++++αααα====ββββ++++αααα 
 
2- Módulo de una integral : el módulo de una integral satisface la siguiente desigualdad: 
 
dz f(z) dz f(z) ∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγ ≤≤≤≤ 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
4 
 
∆∆∆∆ Actividad 5: 
 
Justificar las propiedades 1- y 2- anteriores usando la definición y las propiedades de las 
integrales de funciones de variable real a valores complejos. 
 
 
 
� Ejemplos 
 
Demostrar que 0dz 
2z2z
dz e
 lím
C 2
iz2
R
====
++++−−−−∫∫∫∫∞∞∞∞→→→→
 siendo C la semicircunferencia z = R eit , 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ ππππ 
 
Para poder demostrar lo solicitado tratamos de acotar el módulo de la integral usando la 
propiedad 2 y recordando que el módulo de un cociente es igual al cociente de los módulos: 
 
dz 
2z2z
dz e
C 2
iz2
∫∫∫∫ ++++−−−−
 ≤ dz 
2z2z
e
C 2
iz2
∫∫∫∫ ++++−−−−
 = dz 
2z2z
e
2
iz2
C ++++−−−−∫∫∫∫
 = (#) 
 
A continuación acotamos el numerador y el denominador 
 
|e2iz| = |e2ix e-2y| = |e2ix| |e-2y| = 1 . e-2y = e-2y ≤≤≤≤ 1 pues y ≥≥≥≥0 
 
2R2R2z2z 2z2z 2z2z 2
222 −−−−−−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−≥≥≥≥++++−−−− , 
por lo tanto 
2R2R
1
 
2z2z
e
22
iz2
−−−−−−−−
≤≤≤≤
++++−−−−
 y usando esta acotación del integrando podemos 
continuar con la integral como se muestra a continuación: 
 
(#) =
2R2R
R
dz 
2R2R
1
dz 
2R2R
1
2
C de longitud
C22C −−−−−−−−
ππππ====
−−−−−−−−
====
−−−−−−−− ∫∫∫∫∫∫∫∫ 321
 
 
Hemos podido demostrar que 0 ≤≤≤≤
2R2R
R
dz 
2z2z
dz e
2C 2
iz2
−−−−−−−−
ππππ≤≤≤≤
++++−−−−∫∫∫∫
 
 
Como en esta última fracción el grado del denominador es mayor que el grado del numerador , 
tomando límite para R→→→→∞∞∞∞ en esta última desigualdad y usando el teorema del sandwich , 
podemos afirmar que se cumple lo pedido. 
 
 
 
 
C 
R 
Recordar que: 
|a ±±±± b | ≥≥≥≥ | |a | - | b| | 
 Matemática DMódulo I - Unidad 3 
5 
⊕⊕⊕⊕ Relación entre la integral de una función de variable compleja y la integral 
de línea de funciones reales 
 
Considerando z = x + i y , f(z) = u(x,y) + i v(x,y) y dz = dx + i dy , la integral de f(z) sobre 
la curva γγγγ puede expresarse como un complejo cuya parte real e imaginaria son integrales de línea 
de funciones de dos variables reales como se muestra a continuación: 
 
====++++++++==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγ dy) i (dx y)]v(x, i y)[u(x, dz f(z) [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]∫∫∫∫γγγγ ++++++++ dy y)u(x, dx )y,x(v idy y)v(x,-dx y)u(x, =
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]∫∫∫∫ ∫∫∫∫γγγγ γγγγ ++++++++==== dy y)u(x, dx)y,x(v idy y)v(x,-dx y)u(x, 
 
 
♦ Propiedades (continuación) 
 
3- Cambio de orientación de la curva: Si γγγγ y -γγγγ representan la misma curva pero recorrida 
en sentidos contrarios entonces 
 
dz f(z) dz f(z) ∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγ−−−−γγγγ −−−−==== 
 
4- Propiedad aditiva de las curvas: Si γγγγ1 y γγγγ2 representan dos 
 curvas orientadas que tienen a lo sumo un número finito de puntos 
 en común entonces: 
 dz f(z) dz f(z) dz f(z) 
2121
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγγγγγ∪∪∪∪γγγγ ++++==== 
 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 6: 
 
Justificar las propiedades 3- y 4- anteriores teniendo en cuenta que las mismas propiedades son 
válidas en el campo real. 
 
 
 
 
� Ejemplos 
 
 
1- Calcular dz Im(z) ∫∫∫∫γγγγ , siendo γγγγ : x = y
2 -1 desde i hasta -i 
 
Si parametrizamos la curva tomando y = t , entonces el trozo de parábola que nos interesa tiene 
ecuación paramétrica z(t) = (t2 -1) + i t con -1 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 1 pero ha quedado mal orientada, por ello 
la denominamos -γγγγ y operamos como se muestra a continuación : 
-i 
i 
x 
y 
γγγγ1 γγγγ2 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
6 
(((( )))) 3/4dt i2tt dt )t('z))t(zIm(dz Im(z) dz Im(z) 1
1
1
1
−−−−====++++−−−−====−−−−====−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−−−−−γγγγ−−−−γγγγ 
 
2- Calcular dz 
z
1
 ∫∫∫∫γγγγ , siendo γγγγ : | z | = 2 recorrida en sentido antihorario 
 
Parametrizamos la curva, en este caso es una circunferencia de radio 2 : z(t) = 2 eit , 0 ≤ t ≤ 2ππππ 
 
0
i2
e
idtiedt2ie 
e2
1
dt 2ie 
e2
1
dt )t('z
)t(z
1
dz 
z
1
 
2
0
it2
2it2
0
it2
0 it
2
0
it
it
2
0
====


====================
ππππ
ππππππππ
−−−−
ππππππππ
γγγγ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 
 
 
5- Independencia del camino 
 
 
El concepto de independencia del camino ya fue estudiado con las integrales de línea de variable 
real, no obstante recordemos que: 
 
♦ Se dice que un conjunto abierto D es un dominio si para todo par de puntos de D existe una 
curva contenida en D que los une. 
 
♦ Un dominio D es simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en D encierra sólo 
puntos de D. 
 
Por ejemplo observando los siguientes gráficos, se puede decir que: 
D1 es un dominio simplemente conexo, 
D2 es un dominio pero no es simplemente conexo y 
D = D3 ∪∪∪∪ D4 no es un dominio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
♦ La integral ∫∫∫∫γγγγ dz)z(f es independiente del camino en un dominio D si para todo par de 
puntos z1 y z2 del dominio D la integral toma siempre el mismo valor sobre cualquier curva 
contenida en D que une z1 y z2 
 
 
Luego de esta última definición, la pregunta natural es: ¿cómo saber si la integral de una 
función de variable compleja es independiente del camino en un dominio D? 
Para poder responder esta pregunta tenemos varias posibilidades que describimos a continuación. 
D3 
D1 
D2 
D4 
D = D3 ∪∪∪∪ D4 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
7 
ΞΞΞΞ Teorema 1 : Condición necesaria y suficiente para que la integral sea 
independiente del camino 
 
Sea f(z) continua en un dominio D. Una integral de línea de f(z) es independiente del camino en 
D ⇔⇔⇔⇔ la integral de f(z) sobre cualquier curva cerrada contenida en D vale cero. 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 7: 
 
Demostrar el teorema 1. (la demostración es idéntica al teorema similar visto en variable real). 
 
 
 
ΞΞΞΞTeorema 2 : Condición suficiente para que la integral sea independiente del 
camino - Regla de Barrow. 
 
 
Si f(z) es continua en un dominio D y existe F(z) en D tal que F’(z) = f(z) (como en la variable 
real, decimos que F(z) es una primitiva de f(z)) y γγγγ es una curva contenida en D que une z0 con 
z1 entonces )z(F)F(z dz )z(fdz)z(f 0
z 
z 
1
1
0
−−−−======== ∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ . 
 
Como el resultado de la integral depende sólo del punto inicial y del punto final de la curva, 
podemos asegurar que: si f(z) es continua en D y existe una primitiva en D entonces la integral 
es independiente del camino en D. 
 
 
∆ Actividad 8: 
 
Demostrar el teorema anterior teniendo en cuenta : 
 
Si la curva γγγγ tiene ecuación γγγγ: z(t) = x(t) + i y(t) , con a ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ b , tal que z(a) = z0 , z(b) = z1 
entonces proponemos justificar todas las igualdades que se indican a continuación : 
 
)z(F)z(F))a(z(F)F(z(b)dt ]'))t(z(F[ dt (t)z' ))t(z('Fdt (t)z' ))t(z(fdz)z(f 01)5(
b 
a 
b 
a 
b 
a )4()3()2()1(
−−−−====−−−−================ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ 
 
(1): ………………………………….………………………… 
 
(2):……………………………………………………………… 
 
(3): por regla de la cadena se sabe que [F(z(t))]’= F’(z(t)) z’(t) 
 
(4): como F’(z(t)) es una función de variable real a valores complejos y F(z(t)) es una primitiva, puede 
aplicarse la regla de Barrow 
 
(5):……………………………………………………………… 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
8 
� Ejemplos 
 
1- Calcular dz 3z 2∫∫∫∫γγγγ , siendo γγγγ el trozo de parábola y = 1 - x
2 desde (-1,0) a (0,1) 
 
Como f(z) = 3 z2 es continua en C y tiene primitiva F(z) = z3 , podemos aplicar el T. de 
Barrow siendo z0 = (-1, 0) = -1 y z1 = (0,1) = i , por lo tanto: 
 
dz 3z 2∫∫∫∫γγγγ = F(i) – F(-1) = i
3 – (-1)3 = -i + 1 
 
2- Calcular dz 
z
1
 
2∫∫∫∫γγγγ , siendo γγγγ : | z | = 1 
 
La función f(z) = 1/z2 es continua sobre la curva γγγγ , pues es continua en C – {0} , y F(z) = -
1/z es una primitiva, por lo tanto puede aplicarse el T. de Barrow y como la curva es cerrada 
la integral vale 0 (cero), pues el punto inicial coincide con el punto final. 
 
 
3- Calcular dz 
z
1
 ∫∫∫∫γγγγ , siendo γγγγ : | z | = 1 
 
La función f(z) = 1/z es continua sobre la curva γγγγ , pues es continua en el dominio D = C – 
{0}, pero en este dominio no es posible encontrar una función F(z) tal que F’(z) = 1/z 
(recordar que (Ln z)’= 1/z salvo en los puntos del eje real negativo), por lo tanto no puede 
aplicarse el T. de Barrow. Esta integral debe calcularse parametrizando la curva γγγγ : z(θθθθ) = ei θθθθ 
con 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2ππππ , calculando z’(θθθθ) = i ei θθθθ y usando la definición:
 
 
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
ππππ
θθθθ
ππππ
θθθθγγγγ
ππππ====θθθθ====θθθθ====
2
0
i
2
0
i
 i2d id e i 
e
1
 dz 
z
1
 
 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema 3 : Existencia de primitiva 
 
 
Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es continua en un dominio D y la integral de f(z) es independiente del 
camino en D entonces existe F(z) en D tal que F’(z) = f(z) (como en la integral real, se dice que 
F(z) es una primitiva de f(z)) . Además si z0 es un punto cualquiera de D se verifica que)z(f *zd *) (z f 
dz
d z
z0
====



∫∫∫∫ 
 
 
Demostración 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
9 
Como la integral ∫∫∫∫γγγγ dz)z(f es independiente del camino en D y sabemos que 
 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγ γγγγγγγγ ++++++++==== dy y)u(x, dx)y,x(v idy y)v(x,-dx y)u(x, dz)z(f 
 
entonces las integrales reales 
 
[[[[ ]]]]∫∫∫∫γγγγ dy y)v(x,-dx y)u(x, y [[[[ ]]]]∫∫∫∫γγγγ ++++ dy y)u(x,dx y)v(x, son independientes del camino en D 
 
(cuestionar esta afirmación, ¿es posible que estas integrales reales no sean independientes del 
camino?) 
 
Como las integrales reales son independientes del camino, se sabe que las expresiones 
u(x,y) dx - v(x,y) dy y v(x,y) dx + u(x,y) dy son diferenciales exactas, es decir existen en 
D dos funciones U(x,y) y V(x,y) , denominadas funciones potenciales, tal que: 
 
dy )y,x(vdx )y,x(udy
y
U
dx
x
U
)y,x(dU −−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂==== , 
dy )y,x(udx )y,x(vdy 
y
V
dx 
x
V
)y,x(dV ++++====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂==== 
 
de donde se desprenden las siguientes igualdades de (CR): 
 
)y,x(u
y
V
x
U ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
∂∂∂∂
∂∂∂∂ , )y,x(v
x
V
y
U ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−− 
 
Si consideramos F(z) = U(x,y) + i V(x,y) , vemos que: 
 
� F(z) es derivable en D, pues U(x,y) y V(x,y) , como ya vimos, cumplen las condiciones de 
(CR) y tienen derivadas parciales continuas por coincidir dichas derivadas con la parte real 
u(x,y) o imaginaria v(x,y) de la función continua f(z) 
 
� Por ser F(z) derivable, sabemos que : F’(z) = )z(f)y,x(iv)y,x(u
x
V
i
x
U ====++++====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂ , 
por lo tanto podemos afirmar que existe en D una función derivable F(z) tal que F’(z) = f(z) 
 
Además ∫∫∫∫
z
z0
 *zd *) (z f = [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]*dy y*)u(x*,*dx y*)v(x*,i*dy y*)-v(x*,*dx y*)u(x*,)y,x(
)y,x( 00
++++++++∫∫∫∫ = 
 = *)y*,x(dV i*)y*,x(dU
)y,x(
)y,x( 00
++++∫∫∫∫ =U(x,y) - U(x0 , y0) + i [V(x,y) - V(x0 , y0)] = 
 = U(x , y) + iV(x, y) - [U(x0 , y0) + i V(x0 , y0)] = F(z) - F(z0) 
 
Por lo tanto ∫∫∫∫
z
z0
 *zd *) (z f = F(z) - F(z0) , de donde )z(f)z('F *zd *) (z f 
dz
d z
z0
========



∫∫∫∫ 
 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
10 
•••• Ejercicios 
 
1- Calcular las siguientes integrales: dz Re(z) ∫∫∫∫γγγγ ; dz Im(z) ∫∫∫∫γγγγ ; dz z ∫∫∫∫γγγγ en los siguientes 
casos: 
 
a) γγγγ: z(t) = 1 + it , 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 1 
b) γγγγ: | z | = 1 , recorrida en sentido antihorario 
c) γγγγ: | z – a | = R , recorrida en sentido antihorario 
 
Convención: Cuando una curva es cerrada y no se indica la orientación, debe recorrerse en 
sentido antihorario. 
 
2- Calcular dz Im(z) 
k
∫∫∫∫γγγγ para k = 1, 2 y 3 donde 
a) γγγγ1 es el segmento orientado que une 1 con i 
b) γγγγ2 : | z | = 1 , desde 1 hasta i , en sentido antihorario 
c) γγγγ3 es la poligonal que une 1 con 0 y 0 con i 
d) Teniendo en cuenta que γγγγ1 , γγγγ2 y γγγγ3 son tres curvas distintas que tienen el mismo punto inicial 
y final, ¿puede afirmar que la integral es independiente del camino?, ¿contradice el teorema 
fundamental? 
 
3- a) Calcular dze |z| 
C
 | z | i2
∫∫∫∫ siendo C: |z| = 2 desde 2 a –2 en sentido antihorario 
b) Deducir a partir de a) el resultado de la siguiente integral de línea real 
∫∫∫∫ ++++++++++++++++++++C
22222222 dy yxcos)yx(dx yxsen)yx( 
 
4- Si γγγγ: | z - a| = R , con R ≠≠≠≠ 0, demostrar que (((( )))) i2dzaz 1 ππππ====−−−− −−−−
γγγγ∫∫∫∫ , (((( )))) 0dzaz
n
====−−−−∫∫∫∫γγγγ para n ≠≠≠≠-1 
 
5- Calcular dz z Ln
k
∫∫∫∫γγγγ para k = 1 , 2 , 3 siendo 
 γγγγ1: | z | = R desde R hasta – Ri en sentido antihorario, 
 γγγγ2: | z | = R desde R hasta – Ri en sentido horario, 
 γγγγ3: | z | = R , 
 
6- Calcular: 
 
a) dz 2i)-(z ∫∫∫∫γγγγ siendo γγγγ el segmento que une 2 + i con 3 – 2i 
b) dze
C
z2
∫∫∫∫
−−−− siendo C : y = 2x2 desde (-1, 2) a (2, 8) 
c) (((( ))))dzz2seni2
i1∫∫∫∫ −−−− d) dz z
1
 
i2
i3∫∫∫∫ −−−− sobre una curva contenida en y > -x 
 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
11 
7- Justificar que: 
 
a) 
7
4
dz 
1z
dz
2|z| 3
ππππ≤≤≤≤
++++∫∫∫∫ ====
 
b) (((( )))) R 2Ln 
2R
dz 
z
z Ln
RC 2
ππππ++++ππππ≤≤≤≤∫∫∫∫ , CR : z(t) = R e
it , | t | ≤≤≤≤ ππππ/2 y demostrar que 
0dz 
z
z Ln
lím
RC 2R
====∫∫∫∫∞∞∞∞→→→→ 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema de Cauchy 
 
Sea γγγγ una curva cerrada, simple y suave por tramos y sea f(z) una función analítica sobre γγγγ y su 
interior cuya derivada f ’(z) es continua sobre γγγγ y su interior entonces dz f(z)∫∫∫∫γγγγ = 0 
 
Demostración 
 
Para demostrar este teorema usamos el teorema de Green que relaciona una integral de línea con 
una integral doble: 
 
Teorema de Green: Sea C una curva cerrada, simple y regular a trozos (suave) contenida en un dominio 
D del plano y sea R la región limitada por C , sean M(x,y) y N(x,y) dos funciones con derivadas 
parciales continuas en D entonces 
 
 dy dx 
y
M
x
N
 NdyMdx
RC ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 




∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂
∂∂∂∂====++++ 
 
donde C debe recorrerse de modo de dejar a R a su izquierda 
 
 
Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) entonces sabemos que: 
 
dz f(z) ∫∫∫∫γγγγ [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]∫∫∫∫ ∫∫∫∫γγγγ γγγγ ++++++++==== dy y)u(x, dx)y,x(v idy y)v(x,-dx y)u(x, =
00i0dy dx 
y
v
x
u
idy dx 
y
u
x
v
)2(RR)1(
====++++====





∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++





∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 
 
(1) Aplicando el teorema de Green a cada integral real 
(2) Como f(z) es analítica, sus partes real e imaginaria verifican las condiciones de (C-R) y por lo 
tanto cada integrando vale cero. 
 
 
 
R 
C 
x 
y 
D 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
12 
⊕⊕⊕⊕ Observación 
 
Goursat fue el primero que pudo demostrar que la hipótesis " f ’(z) continua sobre γγγγ y su 
interior " podía omitirse , nosotros aceptamos sin demostración las siguientes variantes del 
teorema de Cauchy 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema de Cauchy Goursat (versión 1) 
 
 
Si γγγγ es una curva cerrada, simple y suave por tramos y f(z) es analítica sobre γγγγ y su interior 
entonces dz f(z)∫∫∫∫γγγγ = 0 
 
ΞΞΞΞ Teorema de Cauchy Goursat (versión 2) 
 
 
Si γγγγ es una curva cerrada, simple y suave por tramos y f(z) es analítica sobre γγγγ y su interior , 
salvo a lo sumo en un número finito de puntos excepcionales donde es continua entonces 
dz f(z)∫∫∫∫γγγγ = 0 
 
 
� Ejemplos 
 
a) La integral dz 
2i-z
e
 
1|z|
3z
∫∫∫∫ ==== es igual a 0 pues verifica las hipótesis del T. de Cauchy Goursat : 
la curva es cerrada y suave y f(z) = 
i2z
e z3
−−−−
 es analítica sobre la curva |z| = 1 y su interior 
pues no es analítica en 2i , pero este complejo es exterior a la curvacerrada sobre la que se 
integra. 
 
b) La aplicación del teorema de Cauchy Goursat no es tan inmediata para el cálculo de la 
integral dz 
z
z sen
 
a|z|∫∫∫∫ ==== , pues la función f(z) = z
zsen
es analítica sobre la curva cerrada y su 
interior salvo en z0 = 0 , que es interior a cualquier circunferencia de radio a > 0. 
 
 Sin embargo si calculamos el limite de la función en dicha singularidad obtenemos 
1
z
zsen
lím
0z
====
→→→→
 y si consideramos la función 




====
≠≠≠≠====
0 z si1
0 z si
z
z sen
)z(g podemos afirmar que: 
g(z) es continua en z = 0 y si z ≠≠≠≠ 0 sabemos que g(z) es analítica por ser cociente de 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
13 
analíticas y el denominador no se anula, por lo tanto por el T. de Cauchy Goursat podemos 
afirmar que 0dz g(z) 
a|z|
====∫∫∫∫ ==== . 
Observemos que sobre los puntos de la curva |z| = a , la función g(z) coincide la función cuya 
integral queremos calcular, es decir g(z) = 
z
zsen
 para los z que verifican |z| = a , entonces la 
integral de g(z) sobre dicha curva debe coincidir con la integral de 
z
zsen
 . por lo tanto 
dz 
z
z sen
 
a|z|∫∫∫∫ ==== = 0dz g(z) a|z| ====∫∫∫∫ ==== 
 
 
 
♦ Consecuencias del Teorema de Cauchy 
 
 
1- Sean γγγγ1 y γγγγ2 dos curvas cerradas suaves por tramos y todos los 
puntos de γγγγ1 son interiores a γγγγ2 y sea f(z) una función analítica 
sobre las curvas y en el dominio R limitado por ellas entonces: 
 
dz f(z)
1
∫∫∫∫γγγγ = dz f(z)2∫∫∫∫γγγγ 
 
Las curvas se recorren en el mismo sentido (ambas en sentido antihorario o ambas en sentido 
horario) 
 
 
Demostración 
 
Supongamos que γγγγ1 y γγγγ2 las recorremos en sentido antihorario. 
Si efectuamos dos cortes rectos uniendo puntos de γγγγ1 y γγγγ2 , el dominio R queda dividido en dos 
regiones, que denominamos R1 y R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las fronteras de R1 y R2 son curvas cerradas y las indicamos 1R∂∂∂∂ y 2R∂∂∂∂ respectivamente. 
Como f(z) es analítica sobre dichas curvas y su interior, podemos aplicar el T. de Cauchy 
Goursat a ambas y obtener que : 
 
 
γγγγ2 
γγγγ1 R 
R1 
R2 
A B C D 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
14 
0dz f(z)
1R
====∫∫∫∫∂∂∂∂ y 0dz f(z)2R ====∫∫∫∫∂∂∂∂ 
 
donde las curvas 1R∂∂∂∂ y 2R∂∂∂∂ las orientamos de modo de dejar las regiones R1 y R2 a la 
izquierda. 
 
Sumando estos resultados obtenemos: ++++∫∫∫∫∂∂∂∂ dz f(z)1R 0dz f(z)2R ====∫∫∫∫∂∂∂∂ , y guiándonos por el gráfico 
podemos escribir la última igualdad del siguiente modo: 
 
 
0dz)z(fdz)z(fdz)z(fdz)z(f dz)z(fdz)z(fdz)z(fdz)z(f
21 R de frontera la sobre
A
D
D
C
C
B
B
A
R de frontera la sobre
B
C
C
D
D
A
A
B
====++++++++++++++++++++++++++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
4444444 34444444 2144444444 344444444 21
(*) 
 
Como las integrales de línea sobre los segmentos se cancelan pues se recorren en sentidos 
contrarios cuando se consideran en la frontera de R1 o en la frontera de R2 y teniendo en cuenta 
que (mirar el gráfico): 
 
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγ−−−−====++++ 1
21
dz )z(fdz )z(f dz )z(f
R de frontera la sobre
C
B
R de frontera la sobre
B
C 4342143421
 
 
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγ====++++ 2
21
dz )z(fdz )z(fdz )z(f
R de frontera la sobre
A
D
R de frontera la sobre
D
A 4342143421
 
 
donde en la primera integral se ha colocado un signo menos pues se observa que γγγγ1 debe 
recorrerse en sentido contrario al que anunciamos al comenzar, vemos que la expresión (*) toma 
la forma: 0dz f(z)dz f(z)
21
====++++−−−− ∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγ , y por lo tanto: 
 
dz f(z)dz f(z)
22
∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγ ==== 
 
2- Sean γγγγ1 , γγγγ2 y γγγγ3 tres curvas cerradas suaves por tramos como 
 se muestran en el gráfico y sea f(z) una función analítica sobre 
 las curvas y en la región R limitada por ellas entonces: 
 
dz f(z)
1
∫∫∫∫γγγγ = dz f(z)dz f(z) 32 ∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγ ++++ 
 
donde las curvas se recorren de modo de dejar la región R a la izquierda. 
 
 
∆ Actividad 8: 
 
Justificar la igualdad presentada en la consecuencia 2- 
 
 
γγγγ2 
γγγγ3 R 
γγγγ1 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
15 
3- Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D entonces la integral de f(z) es 
independiente del camino en D. 
 
∆ Actividad 9: 
 
Justificar la afirmación presentada en la consecuencia 3. 
Ayuda: tomar una curva cerrada cualquiera γγγγ contenida en D y justificar que 0dz f(z) ====∫∫∫∫γγγγ , ¿con 
este resultado puede afirmar que hay independencia del camino? 
 
 
� Ejemplos 
 
1- Si f(z) una función analítica en todo el plano y se sabe que ππππ====∫∫∫∫ ==== dz z
f(z)
 
1|z|
 , ¿puede 
conocerse el valor de la integral dz 
z
f(z)
 ∫∫∫∫γγγγ , siendo γγγγ una curva suave por tramos, cerrada, que 
encierra a z = 0 ? 
 
Es importante observar que el integrando es analítico en todo el plano complejo salvo en z = 0 
 
Si γγγγ no corta a | z | = 1 ( es exterior o interior) , como el integrando es 
analítico en la región comprendida entre la circunferencia | z | = 1 y la 
curva γγγγ , aplicando la consecuencia 1 podemos afirmar que dz 
z
f(z)
 ∫∫∫∫γγγγ = ππππ 
 
 
Si γγγγ corta a la circunferencia | z | = 1, se considera otra curva cerrada, a la 
que llamamos γγγγ* , como el integrando es analítico en la región limitada 
por | z | = 1 y γγγγ* , por la consecuencia 1 , podemos afirmar que la integral 
sobre γγγγ* vale ππππ , como además el integrando es analítico en la región limitada 
por γγγγ y γγγγ* , por la consecuencia 1 , la integral sobre γγγγ vale lo mismo que la 
integral sobre γγγγ*, es decir la integral sobre γγγγ vale ππππ 
Por lo tanto dz 
z
f(z)
 ∫∫∫∫γγγγ = ππππ , siendo γγγγ cualquier curva suave por tramos, cerrada, que encierra a 0 
 
2- Justificar , usando la consecuencia 2 y teniendo en cuenta 
 el gráfico de la derecha, que si 3 dz 
i)-2)(z-(z
f(z)
 
1
====∫∫∫∫γγγγ y 
 7 dz 
i)-2)(z-(z
f(z)
 
2
====∫∫∫∫γγγγ entonces 4- dz i)-2)(z-(z
f(z)
 
3
====∫∫∫∫γγγγ , 
 
Suponer que f(z) es analítica ∀∀∀∀z y que las curvas se recorren en sentido positivo. 
 
 
γγγγ 
1 
γγγγ 
1 
γγγγ* 
γγγγ1 
γγγγ2 
γγγγ3 
2 
i 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
16 
ΞΞΞΞ Fórmula de la integral de Cauchy 
 
 
Si γγγγ es una curva cerrada, simple y suave por tramos y f(z) es 
analítica sobre γγγγ y su interior , y z0 es interior a γγγγ entonces 
 
 )f(z i2dz 
z-z
f(z)
 0
0
ππππ====∫∫∫∫γγγγ 
 
 
Demostración 
 
Consideremos una circunferencia C centrada en z0 interior a γγγγ 
C: |z – z0 | = R y calculamos la integral propuesta como se 
muestra a continuación donde cada paso está justificado más abajo 
 
 
43421444 3444 21
B
C 0
0
A
C 0
0
)3(C 0
00
)2(C 0
)1(
0
dz 
z-z
1
 )f(z dz 
z-z
)f(z-f(z)
 dz 
z-z
)z(f)f(z-f(z)
 dz 
z-z
f(z)
 dz 
z-z
f(z)
 ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫++++====
++++========
γγγγ
 
 
(1): son iguales por la primera consecuencia del teorema de Cauchy pues el cociente 
f(z) / (z – z0) es analítico sobre las curvas γγγγ y C y en la región limitada por ambas 
(2): sumando y restando f(z0) en el numerador 
(3): la integral de una suma es suma de integrales y f(z0) es constante 
 
Demostraremos a continuación que la integral A vale cero y la integral B vale 2ππππi y entonces el 
teorema estará demostrado. 
 
a) Para justificar que la integral A vale cero, consideramos la función 
 




====
≠≠≠≠
−−−−
−−−−
====
00
0
0
0
z z si)z('f
z z si
zz
)z(f)z(f
)z(g 
 
Analicemos esta función g(z): 
 
� si z ≠≠≠≠ z0 , g(z) es analítica por ser cociente de analíticas y el denominador no se anula 
� g(z) es continua en z0 pues )z(g)z('f
zz
)z(f)z(f
lím)z(glím 00
0
0
zzzz 00
========
−−−−
−−−−====
→→→→→→→→
 
 
Por lo tanto g(z) es analítica sobre la curva cerrada C y su interior , salvo a lo sumo en el punto z0 
donde sabemos que es continua , por ello podemos aplicar el teorema de Cauchy Goursat (versión 
2) y afirmar que 0dz g(z) 
C
====∫∫∫∫ . 
z0 
γγγγ 
C 
z0 
γγγγ 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
17 
Observemos que sobre los puntos de la curva C, la función g(z) es igual al cociente incremental, 
por lo tanto ====
−−−−
−−−−
∫∫∫∫ dz zz
)z(f)z(f
C
0
0 ====∫∫∫∫ dz g(z) C 0 , y queda demostrado que la integral A vale 
cero. 
 
b) Para calcular la integral B, parametrizamos la circunferencia C : z(t) = R eit , con 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2 ππππ, 
calculamos z'(t) = Ri eit y obtenemos : i2dt idt Rie 
Re
1
dz 
z-z
1
 
2
0
it2
0 itC
0
ππππ============ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
ππππππππ
 
 
� Ejemplos 
 
a) Calcular dz 
z
zcos
 ∫∫∫∫γγγγ ππππ−−−−
 , siendo γγγγ la frontera del triángulo de vértices 0 , 4 ±±±± 2i 
 
Como el integrando tiene la forma 
0z-z
f(z)
, con f(z) = cos z , analítica en todo el plano, y 
z0 = ππππ está en el interior de la curva cerrada γγγγ , podemos aplicar el T. de la fórmula de Cauchy 
pues se verifican todas las hipótesis , así tenemos: 
i2)(cos i2 )f( i2 dz 
z
zcos
 ππππ−−−−====ππππππππ====ππππππππ====
ππππ−−−−∫∫∫∫γγγγ
 
 
b) Calcular dz 
1z
3z
 
2|i2z| 2
3
∫∫∫∫ ====−−−− ++++
++++
 
En este ejercicio el integrando no tiene la forma 
0z-z
f(z)
, pero si factoreamos el denominador 
vemos que: 
 
)iz)(iz(
3z
1z
3z 3
2
3
−−−−++++
++++====
++++
++++
 
 
Como el factor (z - i ) se anula en i, que es interior a la curva cerrada dada, y el factor (z + i) 
no se anula sobre la curva ni en su interior, podemos escribir la integral de la siguiente 
manera: 
 
dz 
iz
iz
3z
 dz 
1z
3z
 
2|i2z1
3
2|i2z1 2
3
∫∫∫∫∫∫∫∫ ====−−−−====−−−− −−−−






++++
++++
====
++++
++++
 
 
Como (z3 +3) / (z + i) es analítica sobre la curva cerrada y su interior , podemos usar la 
fórmula de Cauchy. Tomando f(z) = (z3 +3) / (z + i) el valor de la integral resulta: 
 
ππππ−−−−ππππ====
++++ππππ====





++++
++++ππππ====ππππ====
++++
++++
====
====−−−−∫∫∫∫ i32i
3i-
 i2 
iz
3z
 i2 f(i) i2 dz 
1z
3z
 
iz
3
2|i2z1 2
3
 
 
4 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
18 
c) Calcular la integral dada en b) sobre la curva C: | z | = 2 
 
En este caso los complejos i y -i, que anulan el denominador, son interiores a la curva cerrada. 
Veamos que a pesar de esto puede calcularse la integral mediante la fórmula de Cauchy, para 
ello consideremos dos curvas cerradas C1 y C2 interiores a C y disjuntas, C1 que sólo 
encierre a i y C2 que sólo encierre a - i . 
 
Por una de las consecuencias del teorema de Cauchy Goursat, 
sabemos que 
 
 dz 
1z
3z
 dz 
1z
3z
 dz 
1z
3z
 
21 C 2
4
C 2
4
C 2
4
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++
++++++++
++++
++++====
++++
++++
 
 
como en el interior de las curvas cerradas C1 y C2 el integrando puede expresarse como 
cociente entre f1(z) / (z - i) y f2(z) / (z + i) respectivamente , estas integrales se calcular en 
forma similar al ejemplo anterior. 
Se deja como ejercicio verificar que dz 
1z
3z
 
C 2
4
∫∫∫∫ ++++
++++
= (3ππππ - iππππ) + (-3ππππ - iππππ) = -2iππππ 
 
∆ Actividad 10: 
 
Si f(z) es analítica en el anillo limitado por dos circunferencias concéntricas C1 
y C2 y z0 es un punto interior a dicho anillo, demostrar que: 
 
dz 
zz
)z(f
 
i2
1
 - dz 
zz
)z(f
 
i2
1
)z(f
21 C
0
C
0
0 ∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−ππππ−−−−ππππ
==== 
 
donde las curvas se recorren en sentido directo. (Hacer un corte en la región 
sombreada y aplicar algún teorema que facilite el cálculo de cada integral) 
 
 
 
 
 
 
 
♦ Generalización de la fórmula de Cauchy 
 
 
La fórmula de la integral de Cauchy permite determinar el valor de una función analítica en un 
punto si conocemos los valores que toma dicha función sobre un contorno cerrado, simple y 
suave por tramos que incluya a dicho punto. La fórmula de Cauchy puede generalizarse y obtener 
una fórmula que permite calcular el valor de todas las derivadas de una función analítica en un 
punto si conocemos los valores que toma dicha función sobre un contorno cerrado, simple y 
suave por tramos que incluya a dicho punto. 
 
La fórmula generalizada puede obtenerse mediante las siguientes operaciones, que NO 
constituyen una demostración. 
 
Si f(z) es analítica sobre la curva cerrada y suave por tramos γγγγ y su interior , y z0 es interior a γγγγ , 
sabemos que 
i 
 -i 
C1 
C2 
C1 
C2 
z0 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
19 
dz 
z-z
f(z)
 )z(f i2
0
0 ∫∫∫∫γγγγ====ππππ . 
 
Si consideramos a z0 como una variable y derivamos la expresión anterior respecto de z0 y 
suponemos que podemos introducir la derivada en el símbolo integral obtenemos: 
 






====ππππ ∫∫∫∫γγγγ dz z-z
f(z)
 
dz
d
)z('f i2
00
0 = dz z-z
f(z)
dz
d
 
00
∫∫∫∫γγγγ 




= 
(((( ))))
dz 
z-z
f(z)
 
2
0
∫∫∫∫γγγγ ⇒ 
 
====ππππ )z('f i2 0 (((( ))))
dz 
z-z
f(z)
 
2
0
∫∫∫∫γγγγ 
 
Si derivamos nuevamente respecto de z0 , obtenemos: 
 
(((( )))) 





====ππππ ∫∫∫∫γγγγ dz z-z
f(z)
 
dz
d
)z(''f i2
2
00
0 = (((( ))))
dz 
z-z
f(z)
dz
d
 
2
00
∫∫∫∫γγγγ 







=
(((( ))))
dz 
z-z
f(z)
 2
3
0
∫∫∫∫γγγγ ⇒ 
 
====ππππ )z(''f i2 0 (((( ))))
dz 
z-z
f(z)
 2
3
0
∫∫∫∫γγγγ 
Si derivamos otra vez nos queda: 
 
(((( )))) 





====ππππ ∫∫∫∫γγγγ dz z-z
f(z)
 
dz
d
2)z('''f i2
3
00
0 = (((( ))))
dz 
z-z
f(z)
dz
d
 2
3
00
∫∫∫∫γγγγ 







=
(((( ))))
dz 
z-z
f(z)
 6
4
0
∫∫∫∫γγγγ = (((( ))))
dz 
z-z
f(z)
 !3
4
0
∫∫∫∫γγγγ 
 
Derivando n veces se obtiene: ====ππππ )z(f i2 0
)n(
(((( ))))
dz 
z-z
f(z)
 !n
1n
0
∫∫∫∫γγγγ ++++ 
 
De donde puede obtenerse 
(((( )))) !n
)z(f i2
dz 
z-z
f(z)
 0
(n)
1n
0
ππππ====∫∫∫∫γγγγ ++++ 
 
 
El siguiente teorema resume estos resultados 
 
ΞΞΞΞ Derivada de la fórmula de la integral de Cauchy 
 
 
Si f(z) es analítica sobre la curva cerrada,simple y suave por tramos γγγγ y su interior , y z0 es 
interior a γγγγ entonces (((( )))) !n
)(zf i2
dz 
z-z
f(z)
 0
(n)
1n
0
ππππ====∫∫∫∫γγγγ ++++ 
 
 
⊕⊕⊕⊕ Observación: 
Si en la última expresión se reemplaza n = 0 se obtiene la fórmula de la integral de Cauchy pues 
interpretamos f(0) (z0) como f(z0) y teniendo en cuenta que 0! = 1. 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
20 
� Ejemplo 
 
Calcular 
(((( ))))
 dz 
)iz(z
e
 
32
iz2
∫∫∫∫γγγγ ++++ππππ−−−−
 , siendo γγγγ la frontera del triángulo de vértices 0 , 4 ±±±± 2i 
 
Si examinamos el denominador vemos que el factor (z + i) no se anula sobre la curva γγγγ ni en su 
interior. Sin embargo (z - ππππ)2 se anula en z = ππππ , que es interior de γγγγ, por lo tanto podemos 
escribir: 
(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγ ππππ−−−−






++++
====
++++ππππ−−−−
dz 
z
)iz(
e
 dz 
)iz(z
e
 
2
3
iz2
32
iz2
 
 
Dado que el integrando cumple todas las hipótesis del teorema de la derivada de la fórmula de 
Cauchy , lo aplicamos teniendo en cuenta que n + 1 = 2, de donde n = 1 , y f(z) = e2iz / ( z + i)3. 
 
Así, 
(((( )))) 4z6
2iz232iz
2
3
iz2
i)(
3-i)2i(
 i2 
)iz(
)iz(3e)iz(2ie
 i2)(' f i2dz 
z
)iz(
e
 
++++ππππ
++++ππππππππ====





++++
++++−−−−++++ππππ====ππππππππ====
ππππ−−−−






++++
ππππ====
γγγγ∫∫∫∫ 
 
 
♦ Derivadas de analíticas 
 
Si f(z) es analítica en un punto z0 , sabemos que es analítica en todo un entorno 
de z0 , y si tomamos una curva cerrada, simple y suave por tramos γγγγ contenida 
en dicho entorno, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo: 
 
 
(((( )))) !n
)(zf i2
dz 
z-z
f(z)
 0
(n)
1n
0
ππππ====∫∫∫∫γγγγ ++++ 
 
Además también vale la igualdad 
(((( )))) !n
)(z*f i2
dz 
*z-z
f(z)
 
(n)
1n
ππππ====∫∫∫∫γγγγ ++++ 
 siendo z* cualquier punto del interior de la curva γγγγ 
 
Si tomamos n = 2 en la última expresión obtenemos 
(((( )))) !n
)(z*f i2
dz 
*z-z
f(z)
 
(2)
3
ππππ====∫∫∫∫γγγγ y esto nos 
indica que existe la derivada segunda de f en todo punto interior a la curva γγγγ y por lo tanto la 
derivada primera f ' es analítica 
Aplicando un razonamiento similar a la función analítica f' podemos concluir que f'' es analítica, 
y repitiendo el argumento anterior llegamos al siguiente resultado fundamental. 
 
ΞΞΞΞ Teorema : Derivada de funciones analíticas 
 
Si f(z) es analítica en un punto, sus derivadas de todos los órdenes son también funciones 
analíticas en ese punto. 
z0 
γγγγ 
z0 
γγγγ 
z* 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
21 
•••• Ejercicios 
 
8- Si f(z) es analítica en un anillo y C1 y C2 son dos curvas cerradas 
 contenidas en el anillo como muestra la figura, justificar que 
 ====∫∫∫∫ dz f(z)
1C
dz f(z)
2C∫∫∫∫ 
 
 
9- Si f(z) es analítica en C – {1, -2, 3i} y 2dz f(z)
1|-1z|
====∫∫∫∫ ==== , 2dz f(z)1|2z| −−−−====∫∫∫∫ ====++++ , 
0dz f(z)
1|3i-z|
====∫∫∫∫ ==== 
a) Averiguar el valor de la integral dz f(z)
C∫∫∫∫ en los siguientes casos justificando la 
respuesta : 
a1) C es una curva cerrada cualquiera que encierra a 1 y no encierra ni a -2 ni a 
3i 
a2) C es una curva cerrada cualquiera que encierra a 3i y no encierra ni a -2 ni a 
1 
a3) C es una curva cerrada cualquiera que encierra a 1 y -2 y no encierra a 3i 
a4) C es una curva cerrada cualquiera que encierra a 1, -2 y 3i 
b) Indicar claramente los posibles dominios donde la integral es independiente 
del camino. 
 
10- Calcular las siguientes integrales enunciando previamente el teorema o propiedad que utiliza. 
 
a) 12-z :C, dz 
z
e
C
z2
====∫∫∫∫ b) 1i2-z :C, dz )z(sen
)4z(
C 2
2
====++++−−−−∫∫∫∫ 
c) 4z :C, dz 
3z
e
C
iz2
====
−−−−∫∫∫∫
−−−−
 d) 3z :C, dz 
4z
z
C 2
4
====
++++∫∫∫∫
 
d) , dz 
zz2
e
kC 32
z
∫∫∫∫ −−−−
−−−−
para k = 1 , 2 , C1: |z – 2| = 1 ; C2: |z | = 3 
 
11- Si f(z) = (z – 2i)4 h(z) donde h(z) es analítica y no se anula sobre la curva C y su interior , 
justificar que i8dz
)z(f
)z('f
C
ππππ====∫∫∫∫ , C : |z – 2i| = 1 
 
12-Calcular para n = 0, n = 1, n = 2 , la integral 
(((( ))))∫∫∫∫ −−−−C n
dz 
iz
 cos2z
, C: |z| = 2 enunciar previamente el 
teorema o propiedad que utiliza. 
 
y 
x 
C1 
C2 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
22 
13- Si F(z) = i z2 cos z es una primitiva de f(z) , calcular el valor exacto de dz f(z) 
1C∫∫∫∫ donde C1 
es una curva que une ππππ eiππππ con 2ππππ . 
 
14- Dada I = dz 
)zsen1( 1)-(z
)-(2z
C
2∫ −
π
 
 
a) Calcular I usando la fórmula de la integral de Cauchy , sabiendo que C es lo frontera del 
conjunto A = {z / 1/2 ≤≤≤≤| z | ≤≤≤≤ 3/2 , |Arg(z)| ≤≤≤≤ ππππ/4} 
b) ¿Puede aplicarse la fórmula de la integral de Cauchy para calcular I si la curva es 
C : | z – 2| = 4/3 ? Justificar la respuesta. 
 
15- Si f(z) es analítica y 
z
i2z
)z(g
−−−−==== , calcular dz 
)z(g
)z('g)z(f
3|i2z|∫∫∫∫ ====−−−− sabiendo que f(2i) = f(0) 
 
Otras propiedades importantes: 
 
ΞΞΞΞ Teorema de Morera 
 
Si f(z) es continua en un dominio simplemente conexo D y para toda curva cerrada γγγγ contenida 
en D se sabe que 0dz )z(f ====∫∫∫∫γγγγ entonces f(z) es analítica en D. 
 
Demostración 
 
Como la integral de f(z) vale cero sobre cualquier curva cerrada contenida en D entonces por 
Teorema 1 sabemos que la integral de f es independiente del camino en D y si es independiente 
del camino en D, por Teorema 3 sabemos que existe una función F(z) analítica en D tal que 
F'(z) = f(z) . 
 
Como hemos visto que la derivada de una función analítica es también analítica y sabemos que f 
es la derivada de la función analítica F, se desprende que f es analítica en D 
 
Aceptamos sin demostración la siguiente propiedad, conocida como principio del módulo 
máximo 
ΞΞΞΞ Principio del módulo máximo 
 
Si una función f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica y no constante en un dominio abierto A 
entonces la función |f(z)| = (((( )))) (((( ))))22 y,x(v)y,x(u ++++ no posee máximo en A, es decir , no existe en 
A un punto z0 tal que |f(z)| ≤≤≤≤ |f(z0)| 
 
⊗⊗⊗⊗ Observaciones 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
23 
1- Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) entonces |f(z)| = (((( )))) (((( ))))22 y,x(v)y,x(u ++++ es una función de dos 
variables reales a la que denominamos g(x,y) 
 
Es importante observar que si existen en A puntos de coordenadas (x1, y1) donde las funciones 
u(x,y) y v(x,y) se anulan simultáneamente, es decir u(x1,y1) = 0 y v(x1,y1) = 0 entonces en 
dichos puntos (((( )))) (((( ))))21121111 y,x(v)y,x(u)y,x(g ++++==== = 0 . 
 
Como la función g(x,y) , por tratarse de un módulo, verifica g(x,y) ≥≥≥≥ 0 para todo par (x,y) de 
A , y como g(x1,y1) = 0 entonces podemos afirmar que: g(x,y) ≥≥≥≥ g(x1,y1) , para todo par (x,y)de A y esta última desigualdad nos dice que la función g(x,y) alcanza un mínimo en los 
puntos (x1, y1) en los cuales las funciones u(x,y) y v(x,y) se anulan simultáneamente. 
 
2- Si una función f es analítica en el interior de un conjunto cerrado y acotado A y es continua 
sobre la frontera de A , entonces la función |f(z)| = g(x,y) es continua en dicho conjunto 
cerrado y acotado y se sabe de la variable real que seguro alcanza un máximo y un mínimo 
absoluto en A . 
 
Estas observaciones nos permiten enunciar el siguiente teorema. 
 
ΞΞΞΞ Teorema 
 
Si f es una función continua en una región acotada cerrada A, y analítica y no constante en el 
interior de A, entonces: 
a) la función |f(z)| alcanza siempre un máximo y ocurre en algún punto de la frontera de A, 
nunca en su interior, es decir existe al menos un punto z0 en la frontera de A tal que 
|f(z)| ≤≤≤≤ |f(z0)| 
b) si además f(z) ≠≠≠≠ 0 en todos los puntos de A , la función |f(z)| alcanza siempre un mínimo y 
ocurre en algún punto de la frontera de A, nunca en su interior. 
Si se elimina la condición f(z) ≠≠≠≠ 0, la función |f(z)| puede alcanzar un mínimo en un punto 
del interior de A cuando dicho valor mínimo es 0. 
 
� Ejemplo 
 
Si queremos saber dónde la función f(z) = |z2 - z| alcanza un máximo o un mínimo en el recinto 
cerrado y acotado definido por | z | ≤≤≤≤ 1 , comenzamos expresándola en función de x e y : 
 
f(z) = (x + i y)2 - (x + i y) = (x2 - y2 - x ) + i (2xy -y) y calculando su módulo 
 
|f(z)| = g(x,y) = 2222 )yxy2()xyx( −−−−++++−−−−−−−− 
 
como se sabe que maximizar una raíz es equivalente a maximizar su radicando , tomaremos la 
función g elevada al cuadrado, y como sabemos que el máximo lo tomará en algún punto de 
frontera, podemos parametrizar la circunferencia | z |= 1 poniendo x = cos t , y = sen t , con 
0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 2ππππ , y buscar los máximos de la función 
 
Recordar: 
 
cos2t - sen2 t = cos (2t) 
2 sen t cos t = sen (2t) 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
24 
G(t) = [g(cos t , sen t)] 2 = 
 = )tsentsen tcos2()tcostsent(cos 222 −−−−++++−−−−−−−− = 
 = 22 )tsent2sen ()tcost2(cos −−−−++++−−−− 
 
Se deja como ejercicio verificar que los puntos críticos de esta función son t0 = 0 , t1 = ππππ 
y por lo tanto los posibles puntos donde el módulo toma el máximo valor son: 
 z0 = (x0,y0) = (cos 0, sen 0) = (1,0) y z1 = (x1,y1) = (cosππππ, senππππ) = ( -1, 0) 
 
Como | f(z0) |= g(1,0) = 0 y | f(z1) | = g(-1,0) = 2 , podemos afirmar que |f(z)| toma el 
máximo valor en el punto z1 = -1 + i 0 = -1 , y para todos los complejos de |z| ≤≤≤≤ 1, se verifica 
| f(z)| ≤≤≤≤ 2 
 
Es interesante hacer notar que |f(z)| toma el mínimo valor en el punto z0 = 1 + i 0 = 1 , pues en 
dicho punto la función vale cero y sabemos que por tratarse de un módulo se verifica 0 ≤≤≤≤ | f(z)| 
y por lo tanto | f(z0)| ≤≤≤≤ | f(z)| para todo z de |z| ≤≤≤≤ 1 
 
Es importante hacer notar que en este ejemplo encontramos un mínimo sobre la frontera, pero 
según hicimos notar en la observación anterior la función toma un mínimo en los puntos del 
recinto donde las funciones u y v se anulen simultáneamente , es decir puntos donde f(z) = 0, en 
este caso se observa que z2 - z = 0 ⇒⇒⇒⇒ z = 0 ó z = 1 , por lo tanto la función posee un mínimo 
también en un punto del interior de la región. 
 
 
ΞΞΞΞ Propiedad : Máximo de funciones armónicas 
 
Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es una función continua en una región acotada cerrada A y analítica y 
no constante en el interior de A, entonces las funciones u(x,y) y v(x,y) alcanzan su máximo en la 
frontera de A y nunca en su interior. 
 
Demostración 
 
Si consideramos la función g(z) = ef(z) , composición de f con la exponencial, podemos afirmar 
que g es continua en A y analítica y no constante en el interior de A, por el T. del módulo 
máximo sabemos que |g(z)| = eu(x,y) alcanza su máximo en un punto de la frontera de A. Como la 
función exponencial es creciente, se sigue que el máximo valor de u(x,y) se alcanza en un punto 
de la frontera de A. 
Si en cambio consideramos la función h(z) = e-if(z) cuyo módulo es | h(z) | = ev(x,y) puede 
demostrarse en forma similar que el máximo valor de v(x,y) se alcanza en un punto de la frontera 
de A. 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema de Liouville 
 
Si f(z) es analítica y acotada en todo el plano complejo entonces f(z) es una función constante. 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 3 
25 
Demostración 
 
Sea γγγγ una circunferencia centrada en un punto cualquiera z0 y de radio arbitrario R, es decir 
γγγγ : | z - z0 | = R . 
Como sabemos que f es analítica en todo el plano podemos aplicar la fórmula de la derivada de 
Cauchy para n = 1 : 
(((( ))))
)(z' f i 2dz 
z-z
f(z)
 02
0
ππππ====∫∫∫∫γγγγ 
 
Como sabemos que f está acotada en todo el plano , sabemos que existe una constante positiva M 
tal que |f(z)| ≤≤≤≤ M , esto nos permite acotar la integral anterior como se muestra a continuación y 
se deja a cargo del alumno la justificación de cada paso: 
 
(((( )))) R
M
R2
R2
M
dz 
R
M
2
1
dz 
zz
)z(f
2
1
dz 
z-z
f(z)
 
i2
1
)z('f
222
0
2
0
0 ====ππππππππ
====
ππππ
≤≤≤≤
−−−−ππππ
≤≤≤≤
ππππ
==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ γγγγγγγγγγγγ 
 
por lo tanto podemos afirmar que para todo complejo z0 y para todo R vale : 0 ≤≤≤≤ |f '(z0)| ≤≤≤≤ M/R 
 
Como M es una constante fija y R puede tomarse tan grande como se quiera, el cociente M/R es 
tan cercano a cero como se quiera, por lo tanto la única posibilidad es que f '(z0)= 0 , como z0 es 
cualquiera significa que f'(z) = 0 para todo z del plano complejo y por lo tanto la función f(z) 
debe ser una constante. 
 
•••• Ejercicios 
 
16- La función de variable real f(x) = sen x es derivable para todo x y está acotada pues 
| sen x | ≤≤≤≤ 1, ¿esto contradice el T. de Liouville? Explicar 
 
17- Hallar el máximo y el mínimo de |f(z)| en los recintos indicados 
a) f (z) = z2 - 3 z + 2 en | z | ≤≤≤≤ 1 y en | z - 1 | ≤≤≤≤ 2 
b) f(z) = cos z en A = {(x,y) / 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 3ππππ/4 , -1 ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ 2 } 
 
18- Calcular 
a) |e|Max
2
R
z
B
−−−− siendo BR = { z / |z| ≤ R , 0 ≤ Arg(z) ≤ ππππ/4} 
 
b) 
1z
1
Max
2D ++++
 siendo D = { z / |z| ≤ 1 , 0 ≤ Arg(z) ≤ ππππ/4} 
 
19 - Justificar que 0dz 
z
1
 
n
====∫∫∫∫γγγγ , siendo γγγγ cualquier curva cerrada que no pasa por el origen y n 
es un natural fijo mayor o igual a 2, sin embargo la función f(z) = 1 / zn no es analítica en 0, 
¿contradice este hecho el T. de Morera?