ecuaciones-e-inecuaciones-exponenciales

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MARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 2 
 
 
1 . DEFINICIÓN DE ECUACIÓN EXPONENCIAL 
 
Se denomina ecuación exponencial a aquella en la cual la incógnita aparece únicamente en los 
exponentes de potencias, para ciertas bases constantes.1 La incógnita se halla en un exponente de 
uno o unos de los términos. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a 
despejar, normalmente representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las 
propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra. 
 
 
2 . RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES 
 
Las ecuaciones exponenciales que hemos de resolver se dividirán en dos grandes grupos: 
 
A. Las que se encuentren o puedan llevarse a la siguiente forma: 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) donde a > 0 
y a ≠ 1 
 
B. las que constan de varios términos y no pueden reducirse a la forma anterior mediante la 
aplicación de ningún artificio. Tales ecuaciones se resuelven habitualmente por cambio de 
variable, como veremos más adelante. 
 
A 
 Para resolver éste tipo de ecuación haremos uso del siguiente teorema: 
 
Teorema: 
Si a > 0 , a ≠ 1, la ecuación: 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) es equivalente a la ecuación: f(x) = g(x) 
 
Veamos algunos ejemplos: 
 
EJERCICIO 
Resolver en R: 2𝑥
2−2𝑥 = 23𝑥−6 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_exponencial#cite_note-1
https://es.wikipedia.org/wiki/Exponente
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones
MARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 3 
 
Resolución 
Si observas la ecuación anterior verás que ésta cumple con la siguiente forma tipo: 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) 
Donde: a = 2 > 0 
 a = 2 ≠ 1 
De este modo, aplicando el teorema anterior podemos decir que: 
2𝑥
2−2𝑥 = 23𝑥−6 ~ 𝑥2 − 2𝑥 = 3𝑥 − 6 
Reordeno: 
x2 – 2x – 3x + 6 = 0 
x2 – 5x + 6 = 0 { 
𝑎 = 1
𝑏 = −5
𝑐 = 6
 
𝑥 = 
5 ± √25−4.(1).(6)
2.(1)
 
𝑥 = 
5 ± √1
2
 { 
𝑥1 = 3
𝑥2 = 2
 Solución: { } 
 
EJERCICIO 
Resolver en R: 
0.2𝑥−0.5
√5
 = 5. (0.04)𝑥−1 
 
Resolución 
Como la expresión consta de un solo término “sospecho” que quizás pueda, mediante 
transformaciones adecuadas, llevarla a la forma: 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) 
Si observas con atención, todas las potencias de base numérica pueden llevarse a una misma base. 
Tratemos de llevarlas todas a la base 2 
 
(
2
10
)
𝑥−0,5
51/2
 = 5. (
4
100
)
𝑥−1
 
 
(
1
5
)
𝑥−0,5
51/2
 = 5. (
1
25
)
𝑥−1
 
 
 
MARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 4 
 
 
(5−1)
𝑥−0,5
51/2
 = 5. (
1
52
)
𝑥−1
 
 
5−𝑥+0,5
51/2
 = 5. (5−2)𝑥−1 
 
5−𝑥+0,5−0,5 = 5. 5−2𝑥+2 
5−𝑥 = 51−2𝑥+2 
5−𝑥 = 53−2𝑥 
Al conseguir llevar la expresión a la forma tipo: 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) entonces estamos en condiciones de 
aplicar el teorema correspondiente. De este modo la resolución de la ecuación exponencial es 
equivalente a resolver la igualdad entre los exponentes: 
 
-x = 3 – 2x - x + 2x = 3 x = 3 
 
EJERCICIO 
Resolver en R: 3𝑥
2−4 = 52𝑥 
 
Resolución 
Observa que en este caso cumples con la condición de tener un solo término, a cada lado del signo 
de igual, pero no cumples con el requisito de que ambas exponenciales tengan la misma base. 
 
 
Entra una nueva propiedad en juego: 𝑎 = 𝑏log𝑏 𝑎 
𝐴−1 = 
1
𝐴
 
(𝐴𝑚)𝑛 = 𝐴𝑚.𝑛 
𝐴𝑚 ∶ 𝐴𝑛 = 𝐴𝑚−𝑛 
¿Qué podemos hacer 
en este caso? 
MARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 5 
 
(𝐴𝑚)𝑛 = 𝐴𝑚.𝑛 
Esta nueva propiedad te permite cambiar la base de una exponencial por otra. 
Veamos como lo aplico a nuestro caso: 
Debes elegir a cuál de las dos expresiones que tienes le cambias la base. Supongamos que decides 
que sea al segundo miembro de la ecuación. De este modo podrás escribir: 
 5 = 3log3 5 
Llevémoslo a nuestro ejercicio: 
3𝑥
2−4 = [3log3 5]
2𝑥
 
3𝑥
2−4 = 3(log3 5).2𝑥 
Como cumplo entonces con las condiciones del teorema, es decir, tengo base a = 3 > 0 y además 
distinta de 1, puedo decir que la resolución de mi ecuación exponencial es equivalente a resolver la 
igualdad entre los exponentes. 
𝑥2 − 4 = 2𝑥. (log3 5) 
¿Cómo calculo el valor de: log3 5? 
En la calculadora solo dispones de una tecla para calcular logaritmos en base 10 o logaritmos 
neperianos (base e). Deberás aplicar una propiedad de los logaritmos que se conoce con el nombre 
de cambio de base. 
 
log𝑏 𝐴 = 
log𝑐 𝐴
log𝑐 𝑏
 log3 5 = 
log 5
log 3
  1,46 
 
 
 
 
Volviendo al ejercicio: 
𝑥2 − 4 = 2𝑥. ( 1,46) 
𝑥2 − 4 = 2,92. 𝑥 
Reordeno: x2 – 2,92x – 4 = 0 
 
 
𝑥 = 
2,92 ± √(2,92)2−4.1.(−4)
2.1
 = 
2,92 ± √24,53
2
 = { 
𝑥1 = 3,94
𝑥2 = −1,02
 
 
C representa 
la nueva base 
Cuando no aparece indicada la 
base en un logaritmo, recuerda 
que es 10 (logaritmo decimal) 
MARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 6 
 
EJERCICIO 
Resolver en R la siguiente ecuación: 51+2𝑥 + 61+𝑥 = 30 + 150𝑥 
Resolución 
En principio podríamos pensar que, como la expresión anterior tiene tantos términos, no va a poder 
ser llevada a la forma tipo deseada: 
𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) 
 
Sin embargo, veremos que, aplicando una serie de propiedades, conseguiremos al fin llevarla a la 
forma anterior. 
51+2𝑥 + 61+𝑥 = 30 + 150𝑥 
51. 52𝑥 + 61. 6𝑥 = 30 + (5 . 30)𝑥 
5. (52)𝑥 + 6. 6𝑥 − 30 − ( 5. 30 )𝑥 = 0 
5. (25)𝑥 + 6. 6𝑥 − (6 . 5) − (5 . 5 . 6)𝑥 = 0 
5. (25)𝑥 + 6. 6𝑥 − (6. 5) − (25 . 6)𝑥 = 0 
5 . (25)𝑥 + 6. 6𝑥 − (6 . 5) - (25)𝑥. 6𝑥 = 0 
Agrupo: 
[5. (25)𝑥 − (25)𝑥. 6𝑥] + [6 . 6𝑥 − (6 . 5)] = 0 
Saco factor común 
(25)𝑥. [5 − 6𝑥] − 6. [5 − 6𝑥] = 0 
Vuelvo a sacar factor común 
[5 − 6𝑥]. [(25)𝑥 − 6] = 0  { 
5 − 6𝑥 = 0
25𝑥 − 6 = 0
 
 
 
 
 5 − 6𝑥 = 0 5 = 6x log 5 = log 6𝑥 log 5 = 𝑥. log 6 𝑥 = 
log 5
log 6
 
 
 25𝑥 − 6 = 0 25𝑥 = 6 log 25𝑥 = log 6 𝑥. log 25 = log 6 𝑥 = 
log 6
log 25
 
 
 
𝐴𝑚. 𝐴𝑛 = 𝐴𝑚+𝑛 
PROPIEDAD HANKELIANA 
Para despejar un exponente 
debes aplicar logaritmo 
log𝑏 𝐴
𝑛 = 𝑛. log𝑏 𝐴 
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B 
Ahora veremos ecuaciones exponenciales que no pueden resolverse por el teorema anterior. 
 
EJERCICIO 
Resolver en R: 4𝑥 + 2𝑥+1 − 24 = 0 
Resolución 
Estas ecuaciones que no pueden llevarse a la forma tipo, habitualmente se resuelven por cambio de 
variable. El cambio de variable se aplica cuando hay algo que se repite a lo largo del ejercicio. 
Justamente a eso que se repite es a lo que designaremos con una nueva letra (cambio de variable), 
generalmente z. 
Hagamos en la ecuación de partida algunas transformaciones: 
4𝑥 + 2𝑥+1 − 24 = 0 
(22)𝑥 + 2𝑥. 21 − 24 = 0 
(2𝑥)2 + 2. 2𝑥 − 24 = 0 
Llamando: z = 2𝑥 
La ecuación se transforma entonces en: 𝑧2 + 2. 𝑧 − 24 = 0 ecuación bicuadrada 
𝑧 = 
−2 ± √4−4.(1).(−24)
2.(1)
 = 
−2 ± √4+96
2
 = 
−2 ± √100
2
 = 
−2 ±10
2
 = { 
𝑧1 = −6
𝑧2 = 4
 
Una vez hallados los valores de la nueva variable, z, debemos deshacernos del cambio de variable 
 𝑧1 = −6 2
𝑥 = −6 log 2𝑥 = log(− 6) 𝑥. log 2 = log(−6) 
 
 
 
 𝑧2 = 4 2
𝑥 = 22 x = 2 
 
 Solución: { 2 } 
 
 
 
 
 
 
No existe el logaritmo de 
un número negativoMARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 8 
 
3 . RESOLUCIÓN DE INECUACIONES EXPONENCIALES 
 
La resolución de las desigualdades de la forma: 𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥) donde a es un número positivo, 
distinto de 1, se basa en los siguientes dos teoremas: 
 
Teorema 1 
Si a > 1, la desigualdad 𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥) es equivalente a la desigualdad: 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 
 
NOTA: 
Cuando planteamos la desigualdad: 𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥) debes tener presente que el símbolo de 
desigualdad también puede ser: < , ≥ , ≤ 
 
 
Teorema 2 
Si 0 < a < 1 , la desigualdad: 𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥) es equivalente a la desigualdad 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) 
 
Observa que se ha invertido el sentido de la desigualdad entre los exponentes. 
 
3.1 - ANÁLISIS DE ALGUNOS EJEMPLOS 
 
EJERCICIO 
Resolver en R: √2
3𝑥−1
𝑥−1
3
  8 
𝑥−3
3𝑥−7 
Resolución 
En primer lugar, observaremos que como la expresión consta de un solo término a cada lado del 
signo de desigualdad, probablemente podamos llevar la expresión, mediante transformaciones 
adecuadas, a la forma tipo vista. 
Teniendo en cuenta la propiedad de la radicación que establece: √𝐴𝑚
𝑛
 = 𝐴
𝑚
𝑛 
 √2
3𝑥−1
𝑥−1
3
  8 
𝑥−3
3𝑥−7 
2
(
3𝑥−1
𝑥−1
)
3 < (23)
𝑥−3
3𝑥−7 
MARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 9 
 
2
3𝑥−1
3𝑥−3 < 2
3𝑥−9
3𝑥−7 
Ahora que conseguimos llevar la expresión a la forma tipo, observaremos que la base de la función 
exponencial, a ambos lados del signo de desigualdad es 2 > 1, entonces estamos en condiciones de 
aplicar el teorema 1 que establece que, resolver la inecuación dada será equivalente a resolver la 
desigualdad entre los exponentes, conservando el sentido de la desigualdad. De este modo: 
 
3𝑥−1
3𝑥−3
 < 
3𝑥−9
3𝑥−7
 
 
Recuerda cuáles son los pasos a seguir para resolver una inecuación racional. En primer lugar, 
debes dejar un cero a un lado del signo de desigualdad. 
3𝑥−1
3𝑥−3
 − 
3𝑥−9
3𝑥−7
 < 0 
A continuación, se reduce el primer miembro a un solo término, sacando para ello el común 
denominador. 
(3𝑥−1).(3𝑥−7)− (3𝑥−9).(3𝑥−3)
(3𝑥−3).(3𝑥−7)
< 0 
Opero en el numerador 
(9𝑥2−21𝑥−3𝑥+7)− (9𝑥2−9𝑥−27𝑥+27)
(3𝑥−3).(3𝑥−7)
 < 0 
9𝑥2−21𝑥−3𝑥+7−9𝑥2+9𝑥+27𝑥−27
(3𝑥−3).(3𝑥−7)
< 0 
12𝑥−20
(3𝑥−3).(3𝑥−7)
 < 0 
Una vez reducido el primer miembro a un solo término, debes estudiar: ceros y signo del numerador, 
ceros y signo del denominador y finalmente, ceros y signo del cociente, para entonces sobre éste 
tomar la o las zonas que cumplan con el sentido de la desigualdad. 
 
Numerador: 12x – 20 = 0 12x = 20 x = 
20
12
 = 
5
3
 
 
Denominador: ( 3x – 3 ).( 3x – 7 ) = 0 3x – 3 = 0 x = 1 
 3x – 7 = 0 x = 7/3 
 
 
 
No debes olvidar estudiar el dominio de la expresión 
original en algún momento. Observa que la expresión de 
partida tiene problemas de existencia por tener 
denominadores que dependen de la incógnita. 
¿Dónde tiene problemas de existencia la expresión? 
En x = 1 y x = 7/3 
D(f) = R – { 1 , 7/3} 
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Numerador: - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + 
 5/3 
Denominador + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + 
 1 7/3 
Cociente - - - - - -  + + + + 0 - - - - - - -  + + + + + + 
 1 5/3 7/3 
Solución: ( -  , 1 ) U ( 5/3 , 7/3 ) 
 
EJERCICIO 
Resolver en R: 0,5𝑥−1. (
1
2
)
𝑥2+2𝑥−3 
 ≤ 1 
Resolución 
0,5𝑥−1. (
1
2
)
𝑥2+2𝑥−3 
 ≤ 1 
(
1
2
)
𝑥−1
. (
1
2
)
𝑥2+2𝑥−3
 ≤ 1 
(
1
2
)
𝑥−1+ 𝑥2+2𝑥−3
 ≤ 1 
(
1
2
)
𝑥2+3𝑥−4
 ≤ (
1
2
)
0
 
Hemos llevado la expresión original a la forma tipo: 𝑎𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑔(𝑥) donde a = ½. De este modo: 
0 < a < 1, entonces estamos en condiciones de aplicar el teorema 2 
 
(
1
2
)
𝑥2+3𝑥−4
 ≤ (
1
2
)
0
  x2 + 3x – 4 ≥ 0 
𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 { 
𝑥 = − 4
𝑥 = 1
 
 
Signo + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + 
 -4 1 
Solución: ( -  , - 4] U [ 1 , +  ) 
 
𝐴𝑚. 𝐴𝑛 = 𝐴𝑚+𝑛 
𝐴0 = 1 
Se invierte el sentido de la desigualdad 
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EJERCICIO 
Resolver en R: 24𝑥+3 − 5. 22𝑥+1 + 2 < 0 
Resolución 
24𝑥+3 − 5. 22𝑥+1 + 2 < 0 
Cumples con el primer requisito que es tener un cero a un lado del signo de desigualdad 
Ahora deberás tomar la expresión que se encuentra en el primer miembro e igualarla a cero para 
hallarle sus raíces: 
24𝑥+3 − 5. 22𝑥+1 + 2 = 0 
Como se trata de una ecuación exponencial con varios términos, sospecho que quizás pueda 
resolverla usando un cambio de variable. Reordenemos la ecuación para ver si ésta es una 
herramienta posible de usar. 
24𝑥. 23 − 5. 22𝑥. 21 + 2 = 0 
(22𝑥)2. 8 − 10. 22𝑥 + 2 = 0 
Llamando: z = 22𝑥 
8z2 – 10z + 2 = 0 
Aplico Bháskara para resolver la ecuación cuadrática y obtengo: { 
𝑧1 = 1
𝑧2 = 
1
4
 
Ahora debo deshacerme del cambio de variable: 
 𝑧1 = 1 2
2𝑥 = 1 22𝑥 = 20 2x = 0 x = 0 
 
 𝑧2 = 
1
4
 22𝑥 = 
1
4
 22𝑥 = 
1
22
 22𝑥 = 2−2 2x = - 2 
 
 x = - 1 
Signo + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + + + + 
 -1 0 
 
Solución: ( - 1 , 0 ) 
El signo en cada zona 
se determina por 
tanteo