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Osc. Ondas y Termodinámica
OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA
MÓDULO 2: ONDAS
Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen 
al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté
http://www.elaula.es/
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
 Ondas en una cuerda.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
 Definiciones.
5.2 Función de onda. 
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Velocidad de propagación.
5.5 Energía de la onda.
5.6 Ondas en medios absorbentes.
 Atenuación.
5.7 Reflexión y transmisión de ondas.
5.8 Superposición de ondas en una cuerda
 Ondas estacionarias.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
 Densidad de energía.
 6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
Lección 7. Óptica Física
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
 Ondas en una cuerda.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
 Definiciones.
5.2 Función de onda. 
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Velocidad de propagación.
5.5 Energía de la onda.
5.6 Ondas en medios absorbentes.
 Atenuación.
5.7 Reflexión y transmisión de ondas.
5.8 Superposición de ondas en una cuerda
 Ondas estacionarias.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
 Densidad de energía.
 6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
Lección 7. Óptica Física
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Qué es una onda? 
• Propagación de una perturbación con velocidad finita a través del espacio.
• Se produce un transporte de energia y cantidad de movimiento.
• No se produce un transporte de masa.
v
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Tipos de ondas: según la naturalesa de la perturbación
• Ondas mecánicas: perturbación de la posición del medio material. El medio en el que se propagan 
tiene que ser elástico.
- ondas en una cuerda, en un muelle, vibraciones en una barra, ondas superficiales en flúidos, 
etc.
- ondas de presión en fluidos (ondas acústicas).
• Ondas electromagnéticas: perturbación del campo electromagnético. Se pueden propagar en el
vacio o en un medio material.
- ondas radio y de TV;
- microondas;
- radiación infrarroja, visible o ultravioleta;
- rayos X y gamma.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
• Si la perturbación se produce una sola vez se produce un pulso de onda.
• Si el extremo de la cuera realiza un MAS durante un intervalo de tiempo ∆ t y después se para se 
produce un tren de pulsos. 
• Si el extremo de la cuera realiza un MAS produce una onda armónica. 
Pulsos, trenes de pulsos y ondas armónicas
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Tipos de ondas: según la dirección de la perturbación
• Ondas transversales: la perturbación se produce en dirección perpendicular a la dirección de 
propagación (ondas en cuerdas, en barras, en mueles, ondas electromagnéticas.....)
v
v
 Ondas longitudinales: la perturbación se produce en dirección perpendicular a la dirección de 
propagación (ondas en barras, en mueles, ondas sonoras, etc...)
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Tipos de ondas: según la dirección de la perturbación
• Ondas en la superficie de los líquidos
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
ONDAS PLANAS (1D) 
ONDAS CIRCULARES (2D) 
ONDAS ESFÉRICAS (3D) 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1 Introducción al movimiento ondulatorio.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Expresión general de la Función de onda.
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Expresión general de la Función de onda.
c
Definimos
O '
y '
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Expresión general de la Función de onda.
c
x
x '
Definimos
O '
y '
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
y = f x ,t 
Expresión general de la Función de onda.
Definimos
c
x
x '
O '
y '
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Respecto de O' la perturbación sólo 
depende de la posición y ' = f x ' 
y = f x ,t 
Expresión general de la Función de onda.
Definimos
c
x
x '
O '
y '
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Respecto de O' la perturbación sólo 
depende de la posición
Relacionando x con x' e y con y':
y ' = f x ' 
y = f x ,t 
Expresión general de la Función de onda.
Definimos
c
x
x '
O '
y '
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Respecto de O' la perturbación sólo 
depende de la posición
Relacionando x con x' e y con y':
y ' = f x ' 
y = f x ,t 
Expresión general de la Función de onda.
Definimos
c
x
x '
O '
y '
y = y '
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Respecto de O' la perturbación sólo 
depende de la posición y ' = f x ' 
y = f x ,t 
Expresión general de la Función de onda.
Definimos
c
x
x '
c t
O '
y 'Relacionando x con x' e y con y':
y = y '
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Respecto de O' la perturbación sólo 
depende de la posición
y = y '
y ' = f x ' 
y = f x ,t 
Expresión general de la Función de onda.
Definimos
c t c
x
x '
O '
y 'Relacionando x con x' e y con y':
x = x '  c t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Respecto de O' la perturbación sólo 
depende de la posición
y = y '
y ' = f x ' 
y = f x ,t 
y ' = f x ' 
Expresión general de la Función de onda.
Definimos
c t c
x
x '
O '
y 'Relacionando x con x' e y con y':
x = x '  c t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
función de onda de una perturbación
que viaja hacia x positivas
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Respecto de O' la perturbación sólo 
depende de la posición
y = y '
y ' = f x ' 
y = f x ,t 
y ' = f x ' 
Expresión general de la Función de onda.
y = f  x−c t
Definimos
c t c
x
x '
O '
y 'Relacionando x con x' e y con y':
x = x '  c t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Función de onda viajera
función de onda de una perturbación
que viaja hacia x positivas
Es una función matemática que describe adecuadamente una 
perturbación que se propaga por un medio a velocidad constante.
Respecto de O la perturbación es una 
función de la posición y del tiempo
O sistema fijo.              
O' se mueve con el pulso
Respecto de O' la perturbación sólo 
depende de la posición
y = y '
y ' = f x ' 
y = f x ,t 
y ' = f x ' 
y = f xc t 
Expresión general de la Función de onda.
perturbación que viaja
 hacia x negativas
y = f  x−c t
Definimos
c t c
x
x '
O '
y 'Relacionando x con x' e y con y':
x = x '  c t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.2 Función de onda.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
k : número de
onda ([k]=m-1)
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )
k : número de
onda ([k]=m-1)
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )
k : número de
onda ([k]=m-1)
c : velocidad
de la onda 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
k : número de
onda ([k]=m-1)
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )Periodicidad espacial
c : velocidad
de la onda 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
k : número de
onda ([k]=m-1)
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )Periodicidad espacial
c : velocidad
de la onda 
'foto' de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
k : número de
onda ([k]=m-1)
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )Periodicidad espacial
c : velocidad
de la onda 
'foto' de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
k : número de
onda ([k]=m-1)
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )Periodicidad espacial
c : velocidad
de la onda 
λ : longitud
de onda 
'foto' de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
k : número de
onda ([k]=m-1)
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )Periodicidad espacial
Periodicidad temporal
c : velocidad
de la onda 
λ : longitud
de onda 
'foto' de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
k : número de
onda ([k]=m-1)
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )Periodicidad espacial
Periodicidad temporal
c : velocidad
de la onda 
Cada punto
de la cuerda 
realiza un 
MAS de fre-
cuencia ω
λ : longitud
de onda 
'foto' de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ondas armónicas
Es cuando la función de onda
f(x-ct) es del tipo seno o coseno
y = f x−c t 
y = y0 cos k x−c t 
y = y0 cos kx− t 
k : número de
onda ([k]=m-1)
=kc ω : 
frec. angular 
de la onda 
( [ω]=s-1 )Periodicidad espacial
Periodicidad temporal
c : velocidad
de la onda 
Cada punto
de la cuerda 
realiza un 
MAS de fre-
cuencia ω
λ : longitud
de onda 
t
Para x fijo
'foto' de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c • Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
c
• Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
c
• Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
• En un tiempo t el primer frente
 de onda avanza hasta c·t
 
 
c t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
c
• Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
• En un tiempo t el primer frente
 de onda avanza hasta c·t
 
 
• Se generan N oscilaciones en
 el tiempo t
 c t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
 =
c t
N

c t
c
• Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
• En un tiempo t el primer frente
 de onda avanza hasta c·t
 
 
• Se generan N oscilaciones en
 el tiempo t
 
• La longitudde onda será:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
 =
c t
N
=
c t
f t

c t
c
• Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
• En un tiempo t el primer frente
 de onda avanza hasta c·t
 
 
• Se generan N oscilaciones en
 el tiempo t
 
• La longitud de onda será:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
 =
c t
N
=
c t
f t
 =
c
f

c t
c
• Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
• En un tiempo t el primer frente
 de onda avanza hasta c·t
 
 
• Se generan N oscilaciones en
 el tiempo t
 
• La longitud de onda será:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
Relación entre estos parámetros  =
c t
N
=
c t
f t
 =
c
f

c t
c
• Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
• En un tiempo t el primer frente
 de onda avanza hasta c·t
 
 
• Se generan N oscilaciones en
 el tiempo t
 
• La longitud de onda será:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Relación entre λ,  f= /2ω π y c
Relación entre estos parámetros
=
c
f
T=
1
f
=
2

f=

2
=k c
=T c
k=
c
=
2 f
 f
=
2

 =
c t
N
=
c t
f t
 =
c
f
y
0
: amplitud de la onda 
 
 
k: número de onda 
 
 
:λ longitud de onda
 
 
c: velocidad de la onda
 
 
:ω frecuencia angular
 
 
f: frecuencia
 
 
T: periodo
de la onda
y del MAS 
de cada punto

c t
c
y = y0 cos k x− t 
• Suponer que generamos
 una onda en una cuerda
 
 
• En un tiempo t el primer frente
 de onda avanza hasta c·t
 
 
• Se generan N oscilaciones en
 el tiempo t
 
• La longitud de onda será:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ejercicios:
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe
correctamente el desplazamiento de una onda 
armónica en función de x y t? 
a) y=Asin(k(x-vt))
b) y=Asin(kx-ft)
c) y= Α sin(kt−ω t))
d) y=Asin(2π (kx-ω t))
e) y=Asin(2π (x/λ −ω t))
2. La función de onda de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda es:
a)¿En qué dirección se propaga la onda y cuál es su velocidad?
b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el período de esta onda;
c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda?
d) ¿Cuál es el la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?
y  x , t  = 0.03 sin 2.2 x − 3.5 t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ejercicios:
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe
correctamente el desplazamiento de una onda 
armónica en función de x y t? 
a) y=Asin(k(x-vt))
b) y=Asin(kx-ft)
c) y= Α sin(kt−ω t))
d) y=Asin(2π (kx-ω t))
e) y=Asin(2π (x/λ −ω t))
2. La función de onda de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda es:
a)¿En qué dirección se propaga la onda y cuál es su velocidad?
b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el período de esta onda;
c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda?
d) ¿Cuál es el la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?
y  x , t  = 0.03 sin 2.2 x − 3.5 t 
=
c
f
T=
1
f
=
2

f=

2
=k c
=T c
k=
c
=
2 f
 f
=
2

y = y0 cos k x− t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Ejercicio: Una cuerda se mantiene en tensión y de hace vibrar 
transversalmente uno de sus extremos, de manera que se genera una 
onda armónica transversal que se propaga a lo largo de la cuerda a una 
velocidad v=240m/s. El desplazamiento transversal máximo de cualquier 
punto de la cuerda es de 1 cm y la distancia entre máximos consecutivos 
de 3 m. ¿Cuál es la velocidad transversal máxima que tendrá una mosca 
que está fuertemente cogida a la cuerda?
=
c
f
T=
1
f
=
2

f=

2
=k c
=T c
k=
c
=
2 f
 f
=
2

y = y0 cos k x− t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Re
y re

y = y0 e
j
Im
y0
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Efectivamente son expresiones equivalentes:
Re
y re

y = y0 e
j
Im
y0
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
jt− xc 
Re
y re

y = y0 e
j
Im
y0
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
jt− xc 
Re
y re
Im
y = y0 cos [t− xc ]  j sin [ t− xc ]
y0

y = y0 e
j
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
jt− xc 
Re
y re
ImParte real
y = y0 cos [t− xc ]  j sin [ t− xc ]
y0

y = y0 e
j
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
jt− xc 
y re = y0 cos[t− xc ]
Re
y re
ImParte real
y = y0 cos [t− xc ]  j sin [ t− xc ]
y0

y = y0 e
j
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
jt− xc 
y re = y0 cos[t− xc ]
y re = y0 cos[ t− xc ]
Re
y re
ImParte real
y = y0 cos [t− xc ]  j sin [ t− xc ]
y0

y = y0 e
j
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
jt− xc 
y re = y0 cos[t− xc ]
y re = y0 cos[ t− xc ]
como ω=k c y el coseno 
es una función par
Re
y re
ImParte real
y = y0 cos [t− xc ]  j sin [ t− xc ]
y0

y = y0 e
j
Osc. Ondas y Termodinámica
5.3 Ondas armónicas.
Notación compleja:
Consiste en representar la función de onda armónica como la
 parte real del número complejo:   y = y0 e
j t− xc 
Efectivamente son expresiones equivalentes:
y = y0 e
jt− xc 
y re = y0 cos[t− xc ]
y re = y0 cos[ t− xc ] y = y0 cosk x −  t 
como ω=k c y el coseno 
es una función par
Re
y re
ImParte real
y = y0 cos [t− xc ]  j sin [ t− xc ]
y0

y = y0 e
j
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
 Ondas en una cuerda.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
 Definiciones.
5.2 Función de onda. 
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Ecuación de onda.
5.5 Velocidad de propagación.
5.6 Energía de la onda.
5.7 Ondas en medios absorbentes.
 Atenuación.
5.8 Reflexión y transmisión de ondas.
5.9 Superposición de ondas en una cuerda
 Ondas estacionarias.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
 Densidad de energía.
 6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
Lección 7. Óptica Física
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
7.2 Principio deHuygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
Ecuación 
de onda
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
Ecuación 
de onda
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
gradiente
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
Ecuación 
de onda
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
gradiente
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
Ecuación 
de onda
Principio de superposición:
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
gradiente
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
Ecuación 
de onda
Principio de superposición:
Si              son dos soluciones de la 
ecuación de onda (i/e, dos ondas),  
y
1
+y
2
 también es solución de la 
ecuación de onda.
y1 , y2
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
gradiente
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
Ecuación 
de onda
Principio de superposición:
Si              son dos soluciones de la 
ecuación de onda (i/e, dos ondas),  
y
1
+y
2
 también es solución de la 
ecuación de onda.
y1 , y2
∂
2
 y1 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2
 y1 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
?
gradiente
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
∂
2 y1
∂ x²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
Ecuación 
de onda
Principio de superposición:
Si              son dos soluciones de la 
ecuación de onda (i/e, dos ondas),  
y
1
+y
2
 también es solución de la 
ecuación de onda.
y1 , y2
∂
2
 y1 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2
 y1 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
?
gradiente
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
∂
2 y1
∂ x²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
Ecuación 
de onda
Principio de superposición:
Si              son dos soluciones de la 
ecuación de onda (i/e, dos ondas),  
y
1
+y
2
 también es solución de la 
ecuación de onda.
y1 , y2
∂
2
 y1 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2
 y1 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y1
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
?
gradiente
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
∂
2 y1
∂ x²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
Ecuación 
de onda
Principio de superposición:
Si              son dos soluciones de la 
ecuación de onda (i/e, dos ondas),  
y
1
+y
2
 también es solución de la 
ecuación de onda.
y1 , y2
∂
2
 y1 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2
 y1 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y1
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
?
gradiente
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
∂
2 y1
∂ x²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
Ecuación 
de onda
Principio de superposición:
Si              son dos soluciones de la 
ecuación de onda (i/e, dos ondas),  
y
1
+y
2
 también es solución de la 
ecuación de onda.
Si por un medio se propagan dos o más 
ondas, la onda resultante es la suma 
(punto a punto) de cada una de las 
ondas que se propagan.
y1 , y2
∂
2
 y1 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2
 y1 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y1
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
?
gradiente
Velocidad
de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.4 Ecuación de onda.
Ecuación de onda:
Se puede demostrar que la función 
de onda, del tipo y=y(x­ct), cumple 
la ecuación diferencial:
∂
2 y1
∂ x²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
Ecuación 
de onda
Principio de superposición:
Si              son dos soluciones de la 
ecuación de onda (i/e, dos ondas),  
y
1
+y
2
 también es solución de la 
ecuación de onda.
y1 , y2
∂
2
 y1 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2
 y1 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y1
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y1
∂ t²

∂
2 y2
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y2
∂ t²
= 0
∂
2 y
∂ x²
−
1
c²
∂
2 y
∂ t²
= 0
?
gradiente
Velocidad
de la onda
Si por un medio se propagan dos o más 
ondas, la onda resultante es la suma 
(punto a punto) de cada una de las 
ondas que se propagan.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
O' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
O' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
O' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda sO' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda
∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN
sO' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda
∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN
sin /2≈/2
 sO' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda
∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN
m=  s
sin /2≈/2
 sO' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda
∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN
m=  s
sin /2≈/2
aN=c² /R
 sO' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda
∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN
2 F 
2
=   s
c²
R
m=  s
sin /2≈/2
aN=c² /R
 sO' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda
∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN
2 F 
2
=   s
c²
R
m=  s
sin /2≈/2
aN=c² /R
 s=R 
 sO' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda
∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN
2 F 
2
=   s
c²
R
m=  s
sin /2≈/2
aN=c² /R
 s=R 
F  =  R
c²
R
 sO' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
• Suponer un pulso de onda que se propaga a velocidad c por una 
 cuerda de densidad lineal μ sometida a una tensión F 
 
 
• Suponer ahora un sistema de ref. O' que se mueve con el pulso 
• Respecto de este sistema, la cuerda 'pasa' con velocidad c hacia la 
 izquierda haciendo un MCU
2da ley de Newton para un de la cuerda
∑ F y = 2⋅F sin /2 = m aN
2 F 
2
=   s
c²
R
m=  s
sin /2≈/2
aN=c² /R
 s=R 
F  =  R
c²
R
c =  F
 s
Velocidad
de las ondas
en una
cuerda tensa
O' c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
c = Y
Sólidos
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
c = Y
Sólidos
Módulo 
de Young
Densidad
LL = −1Y F 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
c = Y
Sólidos
c =  B
Líquidos
Módulo 
de Young
Densidad
LL = −1Y F 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
c = Y
Sólidos
c =  B
Líquidos
Módulo 
de Young
Densidad
Módulo de 
compresibilidad
Densidad
VV = −1B P
L
L
=
−1
Y
F 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
c = Y
c =  P
Sólidos
Gases
c =  B
Líquidos
Módulo 
de Young
Densidad
Módulo de 
compresibilidad
Densidad
VV = −1B P
L
L
=
−1
Y
F 
c =  R TM
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
c = Y
c =  P c =  R TM
Sólidos
Gases
c =  B
Líquidos
Módulo 
de Young
Densidad
Módulo de 
compresibilidad
Densidad
Presión
Peso 
molecular
Cte. adiabática del gas
Temperatura
(en K)
VV = −1B P
L
L
=
−1
Y
F 
=1.666 monoat.
=1.4 diat.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.5 Velocidad de propagación.
Velocidad de propagación de las ondas mecánicas
c =  F
En una cuerda: Relacionado con propiedades elásticas
del medio
Relacionado con propiedades inerciales
En otros medios materiales surgen ecuaciones similares:
c = Y
c =  P c =  R TM
Sólidos
Gases
c =  B
Líquidos
Módulo 
de Young
Densidad
Módulo de 
compresibilidad
Densidad
Presión
Peso 
molecular
Cte. adiabática del gas
Temperatura
(en K)
VV = −1B P
L
L
=
−1
Y
F 
Ejercicio:
 buscar en tablas el valor de estas
 magnitudes y calcular c para 
 el acero, el agua y el aire a 0ºC.
Solución: 
 c
acero
=5060 m/s c
agua
=1450 m/s c
aire
=330 m/s
=1.666 monoat.
=1.4 diat.
Osc. Ondas y TermodinámicaEjercicios
Ejercicio (prob. 33): Atamos un diapasón a un alambre y 
generamos ondas transversales de frecuencia 440Hz y 0.5mm de 
amplitud. El alambre tiene una densidad lineal de 0.01kg/m y está 
sometido a una tensión de 1000N. Determinar:
 
 
a) periodo y frecuencia de las ondas en el alambre
b) Velocidad de las ondas
c) Escribir la función de onda en el alambre
d) Velocidad y aceleración máxima de un punto del alambre
d) ¿Qué potencia debe suministrar el diapasón para que la amplitud 
sea constante? 
Solución:
T=2.27·10-3 s
v=316.2 m/s
v
max
=1.38 m/s a
max
=3822 m/s2
P=3.02 W
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
P1
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
P1
P2
c
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada 
 al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda: 
P1
P2
c
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
E =
1
2
m vmax
2
P1
P2
c
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada 
 al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda: 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
E =
1
2
m vmax
2
P1
P2
c
m=  l
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada 
 al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda: 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
E =
1
2
m vmax
2 vmax= y0
P1
P2
c
m=  l
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada 
 al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda: 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
E =
1
2
m vmax
2 vmax= y0
E =
1
2
  l 2 y0
2 Energía de un
trozo de cuerda l
P1
P2
c
m=  l
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada 
 al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda: 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
E =
1
2
m vmax
2 vmax= y0
E =
1
2
  l 2 y0
2
 =
E
 l
=
1
2
 2 y0
2
Energía de un
trozo de cuerda
Densidad
de energía
 l
P1
P2
c
m=  l
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada 
 al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda: 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.6 Energía de la onda.
Energía de las ondas mecánicas en una dimensión
E =
1
2
m vmax
2 vmax= y0
m=  l
E =
1
2
  l 2 y0
2
 =
E
 l
=
1
2
 2 y0
2
P =
E
 t
=
1
2
 2 y0
2 c
c=
 l
 t
Energía de un
trozo de cuerda
Densidad
de energía
Potencia 
transmitida
 l
P1
P2
c
• Suponer un tren de ondas que avanza por una cuerda 
• En un instante t1 ha llegado hasta P1
• Un Δt posterior habrá llegado hasta P2= c Δt
• El ΔE de la onda debido a este avance será la energía asociada 
 al MAS que realiza este nuevo trozo de cuerda: 
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
 Ondas en una cuerda.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
 Definiciones.
5.2 Función de onda. 
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Ecuación de onda.
5.5 Velocidad de propagación.
5.6 Energía de la onda.
5.7 Ondas en medios absorbentes.
 Atenuación.
5.8 Reflexión y transmisión de ondas.
5.9 Superposición de ondas en una cuerda
 Ondas estacionarias.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
 Densidad de energía.
 6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
Lección 7. Óptica Física
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
 −d
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
 −d
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
Coeficiente de atenuación
 depende del medio y de la 
 frecuencia de la onda
 −d
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
Coeficiente de atenuación
 depende del medio y de la 
 frecuencia de la onda
Sonido 10kHz en aire a 20ºC
 20% humedad → β = 0.063 m-1
 70% humedad → β = 0.022 m-1
 −d
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
d

=− dx
Coeficiente de atenuación
 depende del medio y de la 
 frecuencia de la onda
Sonido 10kHz en aire a 20ºC
 20% humedad → β = 0.063 m-1
 70% humedad → β = 0.022 m-1
 −d
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
d

=− dx ∫0
 d

=−∫0
x
dx
Coeficiente de atenuación
 depende del medio y de la 
 frecuencia de la onda
Sonido 10kHz en aire a 20ºC
 20% humedad → β = 0.063 m-1
 70% humedad → β = 0.022 m-1
 −d
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
d

=− dx ∫0
 d

=−∫0
x
dx
ln  0 =− xCoeficiente de atenuación depende del medio y de lafrecuencia de la onda
Sonido 10kHz en aire a 20ºC
 20% humedad → β = 0.063 m-1
 70% humedad → β = 0.022 m-1
 −d
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
d

=− dx ∫0
 d

=−∫0
x
dx
ln  0 =− x
 = 0 e
− x
Coeficiente de atenuación
 depende del medio y de la 
 frecuencia de la onda
Sonido 10kHz en aire a 20ºC
 20% humedad → β = 0.063 m-1
 70% humedad → β = 0.022 m-1
 −d
Atenuación 
de la energía
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
d

=− dx ∫0
 d

=−∫0
x
dx
ln  0 =− x
 = 0 e
− x
Coeficiente de atenuación
 depende del medio y de la 
 frecuencia de la onda
Sonido 10kHz en aire a 20ºC
 20% humedad → β = 0.063 m-1
 70% humedad → β = 0.022 m-1
 −d • Como
y = y0 e
− x
2
E≈A²
Atenuación 
de la energía
Atenuación
de la 
amplitud
x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.7 Ondas en medios absorbentes.
Atenuación de la energía de la onda
d =−   dx
• Al atravesar un medio, la onda pierde energía progresivamente 
• Se observa experimentalmente: 
d

=− dx ∫0
 d

=−∫0
x
dx
ln  0 =− x
 = 0 e
− x
Coeficiente de atenuación
 depende del medio y de la 
 frecuencia de la onda
• Algunas veces puede interesar
 un coef. de atenuación grande
 (para aislamientos acústicos)
Sonido 10kHz en aire a 20ºC
 20% humedad → β = 0.063 m-1
 70% humedad → β = 0.022 m-1
 −d • Como
y = y0 e
− x
2
E≈A²
Atenuación 
de la energía
Atenuación
de la 
amplitud
x
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios.
Ejercicio: La función de onda de una onda armónica que se 
propaga por una cuerda es (un unidades del SI):
Determinar la potencia media de la onda.
Si ahora consideramos la atenuación de la onda, con un coeficiente 
de atenuación β=0.5 m-1, ¿al cabo de cuantos metros la amplitud 
habrá disminuido hasta la mitad del valor inicial?
Solución:
 P = 0.8 W
 d = 2.77m
y x , t  = 0.04 cos 20 x100 t 
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios.
Ejercicio: La función de onda de una onda armónica que se 
propaga por una cuerda es (un unidades del SI):
Determinar la potencia media de la onda.
Si ahora consideramos la atenuación de la onda, con un coeficiente 
de atenuación β=0.5 m-1, ¿al cabo de cuantos metros la amplitud 
habrá disminuido hasta la mitad del valor inicial?
Solución:
 P = 0.8 W
 d = 2.77m
y x , t  = 0.04 cos 20 x100 t 
 = 0 e
− x
y = y0 e
− x
2
P =
E
 t
=
1
2
 2 y0
2 c
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
 Ondas en una cuerda.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
 Definiciones.
5.2 Función de onda. 
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Ecuación de onda.
5.5 Velocidad de propagación.
5.6 Energía de la onda.
5.7 Ondas en medios absorbentes.
 Atenuación.
5.8 Reflexión y transmisión de ondas.
5.9 Superposición de ondas en una cuerda
 Ondas estacionarias.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
 Densidad de energía.
 6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
Lección 7. Óptica Física
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
• Si el medio 1 es más denso, la reflexión no se invierte 
• Si el medio 1 es menos denso, la reflexión se invierte 
• La onda transmitida nunca se invierte
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
• Si el medio 1 es más denso, la reflexión no se invierte 
• Si el medio 1 es menos denso, la reflexión se invierte 
• La onda transmitida nunca se invierte
 Vamos a
demostrarlo
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
Obtención de la onda transmitida y reflejada
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y
O x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y
O x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y t
y i  yr
y
O x
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y t
y i  yr
y
O x
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
cos t  = cos − t 
y t
y i  yr
y
O x
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
y t
y i  yr
y
O x
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
y t
y i  yr
y
Ox
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0
y t
y i  yr
y
O x
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
y t
y i  yr
y
O x
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t 
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t 
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t  Combinando las
 dos ecuaciones:
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r
k2 y0 i  k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t  Combinando las
 dos ecuaciones:
y0 r =
k 1−k2
k 1k2
y 0 i
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r
k2 y0 i  k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t  Combinando las
 dos ecuaciones:
y0 r =
k 1−k2
k 1k2
y 0 i
=k c
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r
k2 y0 i  k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t  Combinando las
 dos ecuaciones:
y0 r =
k 1−k2
k 1k2
y 0 i =
c2−c1
c1c2
y 0 i
=k c
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r
k2 y0 i  k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t  Combinando las
 dos ecuaciones:
y0 r =
k 1−k2
k 1k2
y 0 i =
c2−c1
c1c2
y 0 i
=k c c= F
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r
k2 y0 i  k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t  Combinando las
 dos ecuaciones:
y0 r =
k1−k2
k1k2
y0 i =
c2−c1
c1c2
y0 i =
1−2
12
y0 i
=k c c= F
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r
k2 y0 i  k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t  Combinando las
 dos ecuaciones:
y0 r =
k1−k2k1k2
y0 i =
c2−c1
c1c2
y0 i =
1−2
12
y0 i
Coeficiente
de reflexión
=k c c= F
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r
k2 y0 i  k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Analizamos la interfase entre dos medios: μ1 , c1 , k1 y μ2 , c2 , k2 
Obtención de la onda transmitida y reflejada
y i = y0 i cos k 1 x− t 
yr = y0 r cos k1 x t 
y t = y0 t cos k2 x− t 
 ω es la misma en 1 y 2
y t = y i  y r
• En x=0 se debe cumplir:
y0 t = y0 i  y0 r
cos t  = cos − t 
• La tensión es la misma en 1 y 2 (misma pendiente)
 dy tdx x=0= 
dy i
dx x=0 
dyr
dx x=0 −sin − t k2 y0 t = k1 y0 i − k1 y0 r Combinando las
 dos ecuaciones:
k2 y0 i  k2 y0 r = k1 y0 i − k1 y0 r
y0 r =
k1−k2
k1k2
y0 i =
c2−c1
c1c2
y0 i =
1−2
12
y0 i
y0 t =
2 k1
k1k2
y0 i =
2 c2
c1c2
y0 i =
2 1
12
y0 i
Coeficiente
de reflexión
Coeficiente
de transmisión
=k c c= F
Ejercicio: demostrar,
y t
y i  yr
y
O x
−k 2 y 0 t sin − t  =−k1 y 0 i sin − t  − k1 y0 r sin  t 
y0 t cos− t  = y0 i cos − t   y 0 r cos  t 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.8 Reflexión y transmisión de ondas en cuerdas.
• Al cambiar de medio, parte de la onda se refleja y parte se transmite
• Si el medio 1 es más denso, la reflexión no se invierte 
• Si el medio 1 es menos denso, la reflexión se invierte 
• La onda transmitida nunca se invierte
R =
1−2
12
T =
2 1
12
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 2: Ondas
Lección 5. Movimiento ondulatorio.
 Ondas en una cuerda.
5.1 Introducción al mov. ondulatorio
 Definiciones.
5.2 Función de onda. 
5.3 Ondas armónicas.
5.4 Ecuación de onda.
5.5 Velocidad de propagación.
5.6 Energía de la onda.
5.7 Ondas en medios absorbentes.
 Atenuación.
5.8 Reflexión y transmisión de ondas.
5.9 Superposición de ondas en una cuerda
 Ondas estacionarias.
Lección 6. Ondas sonoras. Acústica.
6.1 Ondas elásticas en sólidos y fluidos
6.2 Potencia e intensidad de la onda.
 Densidad de energía.
 6.3 Percepción del sonido. Decibelios.
6.4 Transmisión y reflexión de odas sonoras
6.5 Superposición de ondas sonoras.
6.6 Efecto Doppler
6.7 Cualidades del sonido.
Lección 7. Óptica Física
7.1 Ondas electromagnéticas. Espectro.
7.2 Principio de Huygens-Fresnel.
7.3 Reflexión y refracción.
7.4 Dispersión. Velocidad de grupo.
7.5 Polarización.
7.6 Interferencias.
7.7 Difracción.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y1  y2 = y0 cosk x− t   y0 cosk x− t
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y1  y2 = y0 cosk x− t   y0 cosk x− t
y = y0 [cos k x− t   cos k x− t ]
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y1  y2 = y0 cosk x− t   y0 cosk x− t
cos Acos B=2 cos AB2  cos A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x− t ]
A B
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y1  y2 = y0 cosk x− t   y0 cosk x− t
y = 2 y0 cos 2  cosk x− t

2 
cos Acos B=2 cos AB2  cos A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x− t ]
A B
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y1  y2 = y0 cosk x− t   y0 cosk x− t
y = 2 y0 cos 2  cosk x− t

2 
cos Acos B=2 cos AB2  cos A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x− t ]
El mov. resultante es una onda armónica
A B
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y1  y2 = y0 cosk x− t   y0 cosk x− t
y = 2 y0 cos 2  cosk x− t

2 
cos Acos B=2 cos AB2  cos A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x− t ]
El mov. resultante es una onda armónica
 
 
La amplitud depende de δ
A B
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y1  y2 = y0 cosk x− t   y0 cosk x− t
y = 2 y0 cos 2  cosk x− t

2 
cos Acos B=2 cos AB2  cos A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x− t ]
El mov. resultante es una onda armónica
 
 
La amplitud depende de δ
A B
=0  A=2 y0
Int. constructiva
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en la misma dirección:
y1 = y0 cosk x− t 
• Misma dirección
• Misma amplitud
• Igual frecuencia
• Diferente fase inicial 
y2 = y0 cos k x− t
La interferencia de ambas ondas será:
y = y1  y2 = y0 cosk x− t   y0 cosk x− t
y = 2 y0 cos 2  cosk x− t

2 
cos Acos B=2 cos AB2  cos A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x− t ]
El mov. resultante es una onda armónica
 
 
La amplitud depende de δ
A B
=0  A=2 y0
=  A=0
Int. constructiva
Int. destructiva
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia deambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia de ambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
y = y0 [cos k x− t   cos k x t ]
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia de ambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
cos Acos B=2cos  AB2  cos  A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x t ]
A B
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia de ambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
y = 2 y0 cos k x2  cos t−

2 
cos Acos B=2cos  AB2  cos  A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x t ]
A B
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia de ambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
y = 2 y0 cos k x2  cos t−

2 
cos Acos B=2cos  AB2  cos  A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x t ]
A B
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
cos A2 =−sin A
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia de ambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
y = 2 y0 cos k x2  cos t−

2 
cos Acos B=2cos  AB2  cos  A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x t ]
A B
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
cos A2 =−sin A
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia de ambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
y = 2 y0 cos k x2  cos t−

2 
cos Acos B=2cos  AB2  cos  A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x t ]
A B
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
La amplitud depende
de la posición x
cos A2 =−sin A
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia de ambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
y = 2 y0 cos k x2  cos t−

2 
cos Acos B=2cos  AB2  cos  A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x t ]
A B
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
Aparecen nodos y vientres
La amplitud depende
de la posición x
cos A2 =−sin A
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Supondremos dos ondas en direcciones opuestas:
y D = y0 cosk x− t 
y I = y0 cosk x t
La interferencia de ambas ondas será:
y = yD  y I = y0 cos k x− t   y0 cos k x t
y = 2 y0 cos k x2  cos t−

2 
cos Acos B=2cos  AB2  cos  A−B2 
y = y0 [cos k x− t   cos k x t ]
A B
• Se generan cuando la onda es reflejada en un extremo de la cuerda
• En la reflexión se produce un desfase de π rad.
• La onda resultante es la suma de yD e yI
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
Aparecen nodos y vientres
Puntos que
no oscilan
 Puntos con 
amplitud máxima
sin k x=0 sin k x=1
La amplitud depende
de la posición x
cos A2 =−sin A
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
x=0  sin k 0 =0
Se cumple siempre
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
x=0  sin k 0 =0
x=L  sin k L = 0
Se cumple siempre
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
x=0  sin k 0 =0
x=L  sin k L = 0
Se cumple siempre
Se cumple si:
k L = n
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
x=0  sin k 0 =0
x=L  sin k L = 0
L = n

k
Se cumple siempre
Se cumple si:
k L = n
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
x=0  sin k 0 =0
x=L  sin k L = 0
L = n

k
= n

2
Se cumple siempre
Se cumple si:
k L = n
k=
2

Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
x=0  sin k 0 =0
x=L  sin k L = 0
L = n

k
= n

2
k=
2

• Para diferentes valores de n obtenemos la 
 Serie armónica
L = n

2
n=1,2,...
Se cumple siempre
Se cumple si:
k L = n
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en x=0 y x=L
y =−2 y0 sin k x cos t−2 
x=0  sin k 0 =0
x=L  sin k L = 0
L = n

k
= n

2
k=
2

• Para diferentes valores de n obtenemos la 
 Serie armónica
Se cumple siempre
Se cumple si:
k L = n
L = n

2
n=1,2,...
Osc. Ondas y Termodinámica
5.9 Superposición de ondas en una cuerda.
Superposición de ondas en direcciones opuestas: 
Cuerda sujeta por los dos extremos.
• Tendremos un nodo en