Algebra y geometria

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22/07/2013
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Taller matemáticoTaller matemáticoTaller matemáticoTaller matemático
(Álgebra y Geometría)(Álgebra y Geometría)(Álgebra y Geometría)(Álgebra y Geometría)
CONTENIDO IMPARTIDO POR: 
ª Í E Á E
1
Mª CRUZ RODRÍGUEZ PALÁNQUEX
Facultad de Estudios Estadísticos UCM
22/07/2013
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Parte I:
1:¿Cómo afrontar nuestro primer curso 
del Grado en Estadística Aplicada?
2 A it éti2: Aritmética
3: Polinomios y raíces. Ecuaciones de 
segundo grado
4: Inecuaciones
5: Geometría básica en el plano y en el 
espacio Cónicasespacio. Cónicas
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1. ¿CÓMO AFRONTAR NUESTRO PRIMER CURSO DEL GRADO EN 
ESTADÍSTICA APLICADA?
• Conocimientos básicos bien aprendidos 
(Aritmética, polinomios, funciones con “nombre propio”,
f d t t i ét i j t bi t i )
OBJETIVOS DEL TALLER MATEMÁTICO
fundamentos trigonométricos, conjuntos , combinatoria…)
• Buen uso del lenguaje matemático y del razonamiento 
matemático. Aprendemos a leer, expresarnos y razonar 
en Matemáticasen Matemáticas.
ABORDAMOS, EFICAZMENTE, EL TRABAJO MATEMÁTICO QUE
REQUIEREN LAS ASIGNATURAS DEL PRIMER CURSODEL GRADO
• Aplicamos los conocimientos, previamente desarrollados, adecuadamente y con seguridad.
• Leemos, hablamos y nos expresamos en Matemáticas correctamente.
• Interpretamos, identificamos, visualizamos y estructuramos lo que hemos de desarrollar con precisión, sin 
olvidar
la intuición y el proceso de abstracción.
• A partir de los métodos de demostración propios de la Matemática desarrollamos rigurosamente los pasos que
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• A partir de los métodos de demostración propios de la Matemática, desarrollamos, rigurosamente, los pasos que
constituyen el contenido de la resolución.
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ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA EMPEZAR A TRABAJAR 
“ADECUADAMENTE” EN MATEMÁTICAS 
• Los problemas están pensados para adquirir fundamentalmente técnicas y las principales ideas de los 
temas que vas estudiando. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TE AYUDA A ESCRIBIR, APRENDER, 
COMPRENDER Y PENSAR EN MATEMÁTICAS CON MAYOR CLARIDAD Y PRECISIÓNCOMPRENDER Y PENSAR EN MATEMÁTICAS CON MAYOR CLARIDAD Y PRECISIÓN.
¡ TRABAJA LOS EJERCICIOS DIARIAMENTE! 
• ESFUÉRZATE cada día en comprender lo que los profesores te explican. Asimila en las clases presenciales 
Todo lo que puedas. ¡PREGUNTA!... y procura que tus dudas queden resueltas en un breve espacio de tiempo.
Trabaja siempre que puedas en EQUIPO Te enriquecerá de forma positiva y seguro de dará muy buenos• Trabaja, siempre que puedas, en EQUIPO. Te enriquecerá de forma positiva y seguro de dará muy buenos 
resultados
• Diviértete con las Matemáticas que estás aprendiendo. Plantéate inquietudes y nuevos retos. ¡DESCUBRE TODAS 
TUS POSIBILIDADES EN MATEMÁTICAS!
• Tu trabajo ahora es ESTUDIAR. PLANIFICA BIEN tu tiempo.
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Llamamos conjunto de números naturales a: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} 
2. ARITMÉTICA
(es un conjunto infinito)
Con los números naturales:
- Contamos los elementos de un conjunto (número cardinal)Contamos los elementos de un conjunto (número cardinal)
- Expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal) 
Los números naturales están ordenados
7 > 2; 7 es mayor que 27 > 2; 7 es mayor que 2. 
2 < 7; 2 es menor que 7. ordenado conjuntoun es),( ≤N
Operación: SUMA (operación interna)
Propiedades:
Operación: PRODUCTO (operación interna)
Propiedades:Propiedades:
Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa: a + b = b + a
Elemento neutro: a + 0 = a
Propiedades:
Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa: a · b = b · a
Elemento neutro: a · 1 = a
Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
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El “proceso inverso” a la propiedad distributiva es: sacar factor común
Si varios sumandos tienen un factor común podemos transformar la suma enSi varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en 
producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
NOTA: ¡Cuidado con la resta y la división de números naturales! 
POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES:
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por
varios factores iguales 
433333 =⋅⋅⋅ Base: 3
PROPIEDADES:
Exponente: 4
aa ≠= )0(10
a = 11
6
nmnm aaa +=⋅
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nm
ma
≥ )(nmn nmaa
≥= − )(
( ) nmnm aa = ⋅( )
nnn baba ⋅=⋅ )(
nn aa ⎞⎛
)(
nb
a
b
a
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
7
⎠⎝
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• Un número natural se puede descomponer como suma de potencias de base 10
8105106102658.2 23 +⋅+⋅+⋅=
Un número natural puede descomponerse, de forma única, como suma de
potencias de base 2. Es lo que se conoce como sistema de numeración binario.
En su escritura empleamos, sólo, las cifras 0 y 1.
4 )10001(171217 =+= luego 2)10001(171217 =+= luego
Teorema fundamental de la aritmética
E t t fi t d ú t l l d t d fEste teorema afirma que todo número natural, no nulo, se puede representar de forma 
única como producto de factores primos. Por ejemplo,
23 1732936.6 ⋅⋅=
No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos
24 532200.1 ⋅⋅=
8
No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos.
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Máximo común divisor: Es el mayor de los divisores comunes a varios naturales.
Si el máximo común divisor de dos números es 1 se dice que son primos relativos.
Para el cálculo del máximo común divisor de varios número primero los factorizamosPara el cálculo del máximo común divisor de varios número, primero los factorizamos
y luego tomamos los factores comunes elevados al menor exponente.
Mínimo común múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes de un conjunto de
t l P l ál l d í i ú últi l t l f t i ió d l únaturales. Para el cálculo de mínimo común múltiplo tras la factorización de los número
tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
23 17329366 ⋅⋅=
24 5322001
1732936.6
⋅⋅=
=
3 32)20019366(
532200.1
⋅=
⋅⋅=
mcd
224 17532)20019366(
32)200.1,936.6(
⋅⋅⋅=
⋅=
mcm
mcd
9
17532)200.1,936.6( ⋅⋅⋅=mcm
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Los conjuntos de números son:Los conjuntos de números son:
Veamos, a continuación, las operaciones y propiedades básicas del conjunto de
los números reales.
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Si a, b y c son números reales entonces:
P i d d
Operación Definición Que dice Ejemplo
Propiedad
Conmutativa Suma 
Multiplicación
a+b = b+a
ab = ba 
El orden al sumar o 
multiplicar reales no afecta 
el resultado.
2+8 = 8+2
5(-3) = ( -3)5
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Asociativa Suma 
Multiplicación
a+(b+c)=(a+b)+c
a(bc) = (ab)c
Puedes hacer diferentes 
asociaciones al sumar o 
multiplicar reales y no se 
7+(6+1)=(7+6)+1
-2(4x7)= (-2x4)7p a(bc) = (ab)c p y
afecta el resultado.
2(4x7) ( 2x4)7
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Identidad Suma a + 0 = a Todo real sumado a 0 se queda 
igual; el 0 es la identidad 
-11 + 0 = -11
Multiplicación a x 1= a
igual; el 0 es la identidad 
aditiva.
Todo real multiplicado por 1 se 
queda igual; el 1 es la 
identidad multiplicativa.
17 x 1 = 17
p
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Inversos Suma 
Multiplicación
a + ( -a) = 0 La suma de opuestos es 
cero.
El producto de 
15+ (-15) = 0
11 =⎟⎞⎜⎛⋅a 1
14 =⎟⎞⎜⎛⋅
11
p p
recíprocos es 1.
1=⎟
⎠
⎜
⎝
⋅
a
a 1
4
4 =⎟
⎠
⎜
⎝
⋅
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Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Distributiva Suma respecto a 
M lti li ió
a(b+c) =ab + ac El factor se distribuye a 
d d
2(x+8) =
2( ) 2(8)Multiplicación cada sumando. 2(x) + 2(8)
Otras propiedades
Propiedad de los opuestos
Que dice Ejemplo
Propiedad de los opuestos
-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el 
mismo número.
- ( - 9 ) = 9
(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos 
diferentes es negativo.
( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)
= - 30diferentes es negativo. = - 30
( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos 
iguales es positivo.
( -34) ( - 8) = 34 x 8
-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es 
el opuesto del número real.
-1 ( 7.6 ) = - 7.6
p
Propiedades del cero
Propiedad del cero
Que dice Ejemplo
a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0. 16 x 0 = 0
a x b = 0 entonces
a = 0 ó b = 0
Si un producto es 0 entonces al menos 
uno de sus factores es igual a 0.
(a+b)(a-b) = 0 entonces
a + b = 0 ó a – b = 0
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Recuerda
Definición Que dice Ejemplo
Operación
Q j p
Resta a – b = a + ( - b) La resta es la suma del 
opuesto del sustraendo.
2 – 8 = 2 + (-8) = - 6
División La división es la 
multiplicación por el 
recíproco del divisor.
POTENCIACIÓN:POTENCIACIÓN:
.
•Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base 
pero con exponente positivo.
•Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:
Cualquier número elevado a el exponente 0 el resultado equivale a 1, excepto el caso particular 
de que, en principio, no está definido 
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Potencia de exponente negativo
Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma 
expresión pero con exponente positivo:
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a
la suma de los correspondientes exponentes
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta 
de los exponentes respectivos:de os e po e es espec os
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Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno alLa potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al
exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, 
es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a 
n: 
Potencia de una potenciap
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo 
exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican 
los exponentes):
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
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Propiedades que no cumple la potenciación
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede 
distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:
No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y 
exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:
Tampoco cumple la propiedad asociativa:
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OPERACIONES COMBINADAS
[ ] 521)328(3)243(5
5
62214 =⋅−+−−⋅+⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
Primero operamos con los paréntesis.
5 ⎥⎦
⎢
⎣ ⎠⎝
[ ] )2(3)10(5
5
10414 +−+⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
Operamos con los corchetes y pondremos paréntesis: [ ] 115
5
174
−⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
115
5
174
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
Multiplicamos el paréntesis:
f
( ) 13174 −⋅
17
Y finalmente el resultado es: 521
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INDETERMINACIONES MATEMÁTICAS
Cuando al conjunto de los números reales le añadimos: { }∞−∞,
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3. POLINOMIOS Y RAÍCES. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Polinomio:
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.p p g p
Es una expresión algebraica de la forma:
p(x) = 01
1
1 axaxaxa
n
n
n
n ++++
−
− Κ
Siendo: números llamados los coeficientes. 011 ,,, aaaa nn Κ−
n es un número natural.
x la variable o incógnita.
es el término independientea es el término independiente0a
El grado de un polinomio p(x) es el mayor exponente al que se encuentra
elevada la variable x.
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SUMA DE POLINOMIOS:
p(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 q(x) = 6x3 + 8x +3
PRODUCTO DE POLINOMIOS:
xxxxqxxp 432)(32)( 232 +−=−=
( )( )( )( )
xxxxxx
xxxxxqxp
1296864
43232)()(
23345
232
=−+−+−=
=+−−=⋅
xxxxx
xxxxxx
129264
1296864
2345 −++−=
=++=
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS:
Por tanto,
( )
12
1610852
12
82
2
23
2
35
+
−
++++=
+
−−+
xx
xxxx
xx
xxx
21
1212 +−+− xxxx
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Regla de Ruffini
División de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma (x — a)
23 24 +− xx
3
23
−
+
x
xx
Lo que quiere decir que:
⎞⎛ 5623 24
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
++++=
−
+−
3
561863
3
23 2324
x
xxx
x
xx
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23
325 −x
2
32
−x
x
Luego,
325 −x 16842
2
32 234 ++++=
−
− xxxx
x
x
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IDENTIDADES NOTABLESIDENTIDADES NOTABLES
Bi i l d d ( ) bababa 2 222 +±±Binomio al cuadrado:
Suma por diferencia:
( )
( )( ) bababa
bababa 2
22 −=−+
+±=±
Binomio al cubo:
Trinomio al cuadrado:
( )
( ) bcacabcbacba
babbaaba
222
33
2222
32233
+++++=++
±+±=±
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio p(x), entre un polinomio 
de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el 
valor: x = a.valor: x a.
Calcular por el teorema del resto, el resto de la división:
p(x) : q(x)
p(x)= x4 − 3x2 + 2 q(x) = x − 3 p(x) x 3x + 2 q(x) x 3 
p(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
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Teorema del factor
El polinomio p(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo
si p( a) = 0si p( a) = 0.
NOTA: Al valor x = a se le llama raíz o cero de p(x).
Calcular las raíces del polinomio:Calcular las raíces del polinomio:
65)( 2 +−= xxxp
x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: p(x) 
0)3()2( == ppcomo
Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
1. Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente 
del polinomio.
2. A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a). p p p ( )
3. Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos
los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.
)3)(2(652 −−=+− xxxx
25
)3)(2(65 + xxxx
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4. La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5. Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, 
ó l l i d it f tó lo que es lo mismo, admite como factor x.
6. Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en 
f t
( )12 +=+ xxxx
factores.
1)( 2 ++= xxxp
Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:
Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.
6)( 2 −−= xxxq
q(1) ≠ 0, q(−1) ≠ 0 , q(2) ≠ 0, q(−2) = 0, q(3)= 0 
Entonces las raíces son: -2y 3, por tanto:
)3)(2(6)( 2 −+=−−= xxxxxq ))(()(q
NOTA:
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Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos
4. INECUACIONES
g g q
miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
< menor que 2x − 1 < 7 <
≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
Inecuaciones equivalentesInecuaciones equivalentes
-Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número,
la inecuación resultante es equivalente a la dada.
-Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo 
número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
-Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo
27
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo 
número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
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Resolución de INECUACIONES de primer grado
1º Quitar paréntesis1 Quitar paréntesis. 
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en3 Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en 
el otro
.
4º Efectuar las operaciones
5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el 
sentido de la desigualdad.
6º Despejamos la incógnita.6 Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:
De forma gráfica,como un intervalo
Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la 
intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones
28
intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.
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29
Resuelve la siguiente inecuación: 
Solución:
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 
Solución:Solución:
La solución común es la intersección de los conjuntos solución de ambas 
inecuaciones.inecuaciones.
Solución:
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30
E ió t i l d l t
5. GEOMETRÍA BÁSICA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. CÓNICAS
Ecuación vectorial de la recta 
Ecuación paramétrica de la p
recta en el plano
Ecuación continua de la recta:
Ecuación general o implicita de la recta:
Ecuación punto-pendienteEcuación punto pendiente
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•Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por y tiene como vector de 
dirección 
•Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P=(-2,3) y Q=(1,4)
Para determinar la ecuación vectorial necesitamos un punto y un vector de dirección, el punto 
l t t d di ió d d t i ti d d t d l tlo tenemos y un vector de dirección se puede determinar apartir de dos puntos de la recta:
l l ió t i lluego la ecuación vectorial es: 
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Determinación de un plano en el espacio
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CÓNICAS
Expresión algebraica.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica
mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:( ,y)
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbolah² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia .
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38
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos 
llamados focos es constante.
La elipse con centro (0 0) tiene la siguiente expresión algebraica:La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: 
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito)Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). 
Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras
La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es: 
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, 
y de una recta llamada directriz.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: 
Ecuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distancia entre el centro (a, b)
y uno cualquiera de los puntos (x , y) de la circunferencia es constante e igual al radio ry uno cualquiera de los puntos (x , y) de la circunferencia es constante e igual al radio r 
tendremos que :
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