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INSTITUTO TÉCNICO ARQUIDIOCESANO SAN FRANCISCO DE ASÍS
PAMPLONA – NORTE DE SANTANDER
TALLER. Teorema del Seno y del Coseno
Fecha de entrega: 22 de Septiembre 2020
Hasta el momento, se ha visto cómo resolver triángulos
rectángulos a partir de sus ángulos y catetos, por medio
del teorema de Pitágoras y de las razones
trigonométricas.
Ahora pasamos a ver como se resuelven triángulos no
rectángulos. Para estos casos se utilizan los teoremas
del Seno y del Coseno.
Analicemos cuando se utiliza cada uno, teniendo en
cuenta valores que se encuentren en el triángulo que
haya que solucionar.
Analiza la siguiente imagen:
Para entender los teoremas del seno y del coseno, es
necesario que tengas clara la indicación de la imagen
donde se puede observar que El ángulo A es opuesto al
lado a. El ángulo B es opuesto al lado b, y el ángulo C
es opuesto al lado c
A. TEOREMA DEL SENO:
En todo triángulo se cumple que las longitudes de los
lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
El teorema se expresa mediante la expresión( ) = ( ) = ( )
La ley de los senos se aplica cuando los datos que se
conocen son:
1. Dos ángulos y un lado (A-L-A). y el lado que
dan, es opuesto a uno de los ángulos.
a. Se halla la medida de tercer ángulo aplicando el
teorema de la suma de los ángulos internos, de un
triángulo.
b. Se halla, los lados que faltan aplicando la ley del
seno.
Ejemplo:
Un helicóptero vuela sobre dos edificios, de acuerdo
con la imagen. Halle el ángulo faltante y la distancia
del helicóptero a la terraza de cada edificio.
a. El ángulo faltante α
α = 180° - (110°+42°)
α = 180° - 152
α = 28° el valor del ángulo faltante
b. Para hallar las distancias entre el helicóptero y los
edificios:
• La distancia a entre el helicóptero y el primer
edificio aplicamos teorema del seno, teniendo en
cuenta el lado que dan 25 m que es la distancia
entre las terrazas de los edificios, con su ángulo
opuesto de 110° y el lado a en relación con su
ángulo opuesto de 42°25(110°) = (42)
Se despeja a (110°) = 25 (42°)
= 25 (42°)(110°)
= 16,730,94= 17,8
La distancia entre el helicóptero y el primer edificio es
17,8 m
• La distancia b entre el helicóptero y el segundo
edificio, se aplica el mismo procedimiento, pero
teniendo en cuenta el valor del ángulo de 28°
hallado en el primer paso.25(110°) = (28°)
Se despeja b (110°) = 25 (28°)
= 25 (28°)(110°)
= 11,740,94= 12,5
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La distancia entre el helicóptero y el segundo edificio
es 12,5 m
2. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
(L-L-A), en este caso el ángulo que dan debe ser
opuesto a uno de los dos lados
a. Se utiliza la ley de Senos para encontrar uno de los
dos ángulos que faltan, buscando la relación del
ángulo y lado opuesto, al tener este resultado se
puede hallar el tercer ángulo con el teorema de la
suma de los ángulos internos de un triángulo.
b. Se halla, el lado que falta aplicando la ley del seno
Ejemplo:
Una parcela triangular con vértices R, S y T se delimita por
una cerca, pero se advierte la ausencia de la marca del
lindero en S. Del título de propiedad, se sabe que la
distancia de T a R es 324 m, la distancia de T a S es 506 m y
el ángulo en R del triángulo mide 125.4°
506(125,4°) = 324( )
• Se despeja Sen(S) para hallar el ángulo que es
opuesto al lado con longitud 324 m506(125,4°) = 324( )506 ( ) = 324 (125,4°)
( ) = 324 (125,4°)506
Ahora, Sen pasa al otro lado del igual como función
inversa = 324 (125,4°)506= 264,1506= 0,52= , °
Ahora se halla el ángulo faltante:
T = 180°- (125,4°+31,3°)
T = 180°- 156,7°
T = 23,3°
• Para hallar el lado que falta se utiliza el teorema del
seno, teniendo en cuenta el valor del ángulo T, que
es el opuesto al lado faltante506(125,4°) = (23,3°)506 (23,3°) = (125,4°)
Se despeja x
= 506 (23,3°)(125,4°)
= 506 (23,3°)(125,4°) = 200,140,82= ,
La distancia del punto T hasta S es de 244,1 m
B. TEOREMA DEL COSENO
El teorema del coseno es aplicable a todo tipo de
triángulo. Plantea que la longitud de un lado es igual a
la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las
longitudes de los lados restantes menos el doble del
producto de dichas longitudes multiplicado por el
coseno del ángulo opuesto al lado que se quiere hallar.
a = + − 2 ∗ ( )= a + − 2a ∗ ( )= a + − 2a ∗ ( )
Usando el mismo teorema, pero para hallar un ángulo,
al despejar el ángulo que se requiere, las expresiones
quedarían: = a − +2
= 2 − a +2a
= 2 − a +2ab
Los casos más usuales de la utilización del teorema del
Coseno, son:
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1. Dos lados y un ángulo entre ellos L-A-L
Ejemplo:
Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide
20 metros en su lado mayor, 6 metros en el otro y 60º
en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto
mide el perímetro de la valla y el ángulo del vértice
superior.
• Se halla el lado faltante con el teorema del Coseno
ya que nos dan el ángulo opuesto a él.
a = 20 + 6 − 2(20)(6) ∗ (60°)
a = 400 + 36 − 240 ∗ 0,5
a = √436 − 120
a = √316
a = 17,78 m
Como lo que piden es el perímetro, recordemos que es
la suma de los lados, por lo tanto, el perímetro es:
P= 20+ 6 + 17,78
P= 43,78 m
• Para hallar el ángulo formado en el vértice superior,
se tienen en cuenta los valores de los lados que lo
forman, es decir 6m y 17,78m= 20 − 17,78 + 62(17,78)(6)
= 400 − 316,13 + 36213,36
= 119,87213,36= 0,56
Teclas Shif y Cos de la calculadora= 55,94°
2. Cuando dan tres lados L –L-L
Ejemplo:
Hallar los ángulos del triángulo:
• Hallemos el ángulo que se forma entre los lados de
longitud 10 y 8. (Tenga en cuenta que estos lados
son los que se suman y el otro es el valor al que se
resta)
= 7 − 10 + 82(10)(8)
= 49 − 100 + 64160= 13160= 0,081= 85.35°
• Hallar la medida del ángulo que se forma entre los
lados de longitud 8 y 7
= 10 − 7 + 82(7)(8)
= 100 − 49 + 64112= 115160= 0,72= 43,95°
• Para hallar el ángulo faltante se utiliza el teorema
de la suma de los ángulos internos de un triángulo
β = 180° - (85.35° +43,95°)
β = 180°- 129,95°
β = 50,7°
Taller:
Resolver, aplicando teorema del seno o del coseno,
según sea el caso.
1. . Una rampa está inclinada en un ángulo de 41.3°
con respecto del suelo. Un extremo de una tabla de
20.6 pie de longitud se localiza en el suelo en un
punto P que está a 12.2 pie de la base Q de la
rampa, y el otro extremo reposa sobre la rampa en
un Punto R. Determine la distancia desde el punto
Q hacia arriba de la rampa hasta el punto R.
2. En un momento determinado cuando un avión voló
sobre un camino recto que une a dos ciudades
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pequeñas, los ángulos de depresión de ambas
fueron de 10.2° y 8.7°: Haga el dibujo de la
situación y determine las distancias rectas desde el
avión a cada una de las ciudades en ese momento si
la separación entre ambas es de 8.45 Km.
3. Resuelva el triángulo en la siguiente situación
4. Tres barcos A, B y C, están en alta mar. La
distancia del barco A al barco B es de 2,5 Km. El
Barco B al Barco C está a una distancia de 2 Km y
la distancia del barco A y C es de 3 Km. Haga el
dibujo de la situación y determine el valor de los
tres ángulos.