homeomorfismos Rn

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Homeomorfismos Analisis Rn
Definición 1. Sean X ⊂ Rm y Y ⊂ Rn. Un homeomorfismo entre X e Y es una biyección continua
f : X → Y , cuya inversa f−1 : Y → X tambien es continua.
Decimos que los conjuntos X e Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo f : X → Y .
Ejemplo 1. Toda aplicación lineal invertible T : Rn → Rn es un homeomorfismo de Rn sobre si mismo, pues su
inversa T−1 : Rn → Rn es lineal, y por tanto, continua.
Observación 1. La aplicación compuesta de dos homeomorfismos es un homeomorfismo, y el inverso de un
homeomorfismo es un homeomorfismo.
Observación 2. Ya sabemos (vea Curso Analisis Real, Vol 1, de E.Lima, pag 237) que si f : I → R es una
función inyectiva definida en un intervalo I, entonces f(I) = J es un intervalo y f−1 : J → R es continua, o sea
f : I → J es un homeomorfismo.
Pero, en general, una biyección f : X ⊂ Rm → Y ⊂ Rn puede ser continua, sin que su inversa lo sea.
Ejemplo 2. Sea f : [0, 2π⟩ → S1 ⊂ R2 una aplicación definida por f(t) = (cos t, sen t). Por el Teorema * , f es
continua. Además, f es una biyección. Pero su inversa, f−1 : S1 → [0, 2π⟩ es discontinua en el punto p = (1, 0).
De hecho, para cada k ∈ N, sean tk = 2π − 1k y zk = f(tk). Entonces ĺımk→∞ f(tk) = ĺımk→∞ zk = p, pero
ĺım
k→∞
f−1(zk) = ĺım
k→∞
tk = 2π ̸= 0 = f−1(p).
Sin embargo, f : ⟨0, 2π⟩ → S1 − {p} es un homeomorfismo.
De hecho, sea (zk) una sucesión de puntos de S
1 −{p} tal que ĺım
k→∞
zk = q ∈ S1 −{p}. Como f es una biyección,
para cada k ∈ N, existe un único tk ∈ ⟨0, 2π⟩ tal que f(tk) = zk.
Afirmación. La sucesión tk es convergente y su ĺımite b pertenece al intervalo ⟨0, 2π⟩.
En efecto, dado que la sucesión (tk) es acotada, ella posee por lo menos un valor de adherencia, y todos sus
valores de adherencia pertenecen al intervalo [0, 2π]. Sea (tk)k∈N′ una subsucesión convergente y sea b = ĺım
k∈N′
tk.
Entonces f(b)= ĺım
k∈N′
f(tk) = ĺım
k∈N′
zk = q ∈ S1 − {p}. Luego b ∈ ⟨0, 2π⟩ y, por inyectividad, b = f−1(q). Por tanto
b = f−1(q) es el único valor de adherencia de la sucesión acotada (tk).
Por el Teorema ** , (tk) es convergente y ĺım
k∈N
tk = f
−1(q), o sea, ĺım
k∈N
f−1(zk) = f
−1(q).
Asi, del Teorema ***, obtenemos que f−1 : S1 − {p} → ⟨0, 2π⟩ es continua y, portanto, f : ⟨0, 2π⟩ → S1 − {p}
es un homeomorfismo.
· De modo análogo, podemos probar que la aplicación f : ⟨a, a+ 2π⟩ → S1 − {p}, donde
q = (cos a, sen a), es un homeomorfismo.
Observación 3. Los homeomorfismos desempeñan en la Topologia un papel análogo a los
movimientos ŕıgidos en la Geometria Euclidiana: dos conjuntos homeomorfos son indistinguibles
desde el punto de vista topológico.
Veamos otros ejemplos de homeomorfismos.
Ejemplo 3. Las traslaciones Ta : Rn → Rn , Ta(x) = a + x, son homeomorfismos, pues Ta y
(Ta)
−1 = T−a son isometrias y, por tanto, son continuas.
Ejemplo 4. Las homotecias Hλ : Rn → Rn, Hλ(x) = λx, con λ ̸= 0, son homeomorfismos,
pues cada Hλ es una transformación lineal invertible con (Hλ)
−1 = Hλ−1 .
Ejemplo 5. Dos bolas abiertas o dos bolas cerradas o dos esferas cualesquiera en el espacio Rn
son homeomorfas.
De hecho, dados a, b ∈ Rn y r > 0, s > 0 números reales, tenemos que la aplicación
φ = Tb ◦Hs/r ◦ T−a : Rn → Rn es un homeomorfismo tal que :
φ(B(a, r)) = B(b, s), φ(B[a, r]) = B[b, s], φ(S[a, r]) = S[b, s],
pues, como φ(x) =
s
r
(x− a) + b, entonces ||φ(x)− b || = s
r
||x− a || y, por lo tanto :
||φ(x)− b || < s ⇐⇒ ||x− a || < r;
||φ(x)− b || ≤ s ⇐⇒ ||x− a || ≤ r;
||φ(x)− b || = s ⇐⇒ ||x− a || = r.
Ejemplo 6. Toda bola abierta en Rn es homeomorfa al espacio euclidiano Rn. Como dos bolas
abiertas en Rn son homeomorfas, basta mostrar que Rn es homeomorfo a la bola abierta B(0, 1)
de centro en el origen y radio 1.
Para eso, consideremos la aplicación f : Rn → B(0, 1) y g : B(0, 1) → Rn definidas por:
f(x) =
x
1 + ||x ||
, por tanto || f(x) || < 1, y g(y) = y
1− || y ||
.
Entonces f y g son continuas,
g ◦ f(x) = g
(
x
1 + ||x ||
)
=
x/(1 + ||x ||)
1− ||x ||/(1 + ||x ||)
= x,
y
f ◦ g(y) = f
(
y
1− || y ||
)
=
y/(1− || y ||)
1 + || y ||/(1− || y ||)
= y, pues 1− || y || > 0
Luego f : Rn → B(0, 1) es una biyección continua, cuya inversa es una aplicación continua
g : B(0, 1) → Rn. Por lo tanto, f y g son homeomorfismos.
Ejemplo 7. Sea f : X ⊂ Rm → Rn una aplicación continua. Su gráfico es el conjunto
G = Graf(f) = {(x, f(x)) |x ∈ X} ⊂ Rm × Rn = Rm+n.
Afirmación . El dominio X y el gráfico G de la aplicación f son homeomorfos.
Considere la aplicación f : X → G definida por, f = (x, f(x)).
Como f y la aplicación identidad Id : Rn → Rn son continuas, tenemos, por el corolario 6.1,
que f es una biyección continua. Su inversa g : G → X, dada por g(x, f(x)) = x, es continua,
pues g = π1|G , donde π1 : Rm × Rn → Rm es la proyección π1(x, y) = x.
· En particular, R− {0} es homeomorfo a la hipérbola
H = {(x, y) ∈ R2 | xy = 1} =
{
(x, 1
x
) | x ∈ R− {0}
}
,
pues H es el gráfico de la función continua f : R− {0} → R dada por f(x) = 1
x
.
· Tambien, usando el resultado anterior, podemos probar que el hemisferio norte
Sm+ = {x ∈ Rm+1 | ||x || = 1 y xm+1 > 0}
de la esfera m-dimensional es homeomorfo a la bola abierta B(0, 1) = {x ∈ Rm | ||x || < 1} ⊂
Rm.
De hecho, Sm+ =
{(
x,
√
1− ||x ||2
)
| x ∈ B(0, 1)
}
y, por tanto, Sm+ es el gráfico de la aplicación
continua f : B(0, 1) ⊂ Rm → R dada por f(x) =
√
1− ||x ||2.
Ejemplo 8. Sea Sm = {x ∈ Rm+1 | < x, x >= 1} la esfera m-dimensional de centro en el origen
y radio 1, p = (0, . . . 0, 1) ∈ Sm su polo norte.
La proyección estereográfica es la aplicación φ : Sm−{p} → Rm, donde φ(x) es el punto
en el que la semi-recta −→px ⊂ Rm+1 corta al hiperplano xm+1 = 0 el cual identificamos con Rm.
Como −→px = {(1− t)p+ tx | t > 0} = {p+ t(x− p) | t > 0} tenemos que un punto y = (1 −
t)p+ tx ∈ −→px pertenece al hiperplano Rm × {0} ⊂ Rm+1 si y solo si
ym+1 = πm+1(p+ t(x− p)) = pm+1 + t(xm+1 − pm+1) = 1 + t(xm+1 − 1) = 0.
Luego y = (1− t)p+ tx ∈ −→px ∩ (Rm × {0}) si y solamnete si, t = 1
1− xm+1
y, por tanto,
φ(x) = φ(x1, . . . , xm, xm+1) =
x′
1− xm+1
, siendo x′ = (x1, . . . , xm).
Asi, φ : Sm − {p} → Rm es una aplicación continua.
Sea ahora la aplicación ξ : Rm → Sm − {p} definido por el proceso inverso, o sea, ξ(x) es la
intersección de Sm − {p} con la semi-recta −→px∗ donde x∗ = (x, 0).
Entonces ξ(x) = p+ t(x∗ − p), donde t > 0 y || p+ t(x∗ − p) || = 1. Asi,
|| (tx1, . . . , txm, (1− t)) ||2 = 1 ⇐⇒ t2(x21 + . . .+ x2m) + 1− 2t+ t2 = 1
⇐⇒ t2(1 + ||x ||2)− 2t+ 1 = 1 ⇐⇒ t((1 + ||x ||2)t− 2) = 0 ⇐⇒ t = 0 ∨ t = 2
1 + ||x ||2
Luego t =
2
1 + ||x ||2
y ξ(x) =
(
2x
1 + ||x ||2
,
||x ||2 − 1
1 + ||x ||2
)
.
Como ξ : Rm → Sm − {p} es continua,
φ ◦ ξ(x) = 2x
1 + ||x ||2
· 1
1− ||x ||
2 − 1
||x ||2 + 1
= x,
y
ξ ◦ φ = ξ
(
x′
1− xm+1
)
=

2x′
1− xm+1
1 +
1 + xm+1
1− xm+1
,
1 + xm+1
1− xm+1
− 1
1 + xm+1
1− xm+1
+ 1
 = (x′, xm+1) = x,
pues, ∣∣∣∣∣∣∣∣ x′1− xm+1
∣∣∣∣∣∣∣∣2 = ||x′ ||2(1− xm+1)2 = 1− x
2
m+1
(1− xm+1)2
=
1 + xm+1
1− xm+1
,
tenemos que ξ es la inversa de φ, y, por lo tanto, φ : Sm − {p} → Rm es un homeomorfismo.