CLASE_9_Obligatorios_resueltos-f

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
1 
 
CLASE N°9 - Ejercicios obligatorios 
TRABAJO PRÁCTICO : ESTUDIO DE FUNCIONES 
 
1) Estudiar el crecimiento o decrecimiento de las funciones en los puntos que se indican: 
Ejercicio 1a) 
 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 en 𝒙 = 𝟏 
Resolución: 
Como podemos observar, 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 es un a función del tipo polinómica y el dominio son todos 
los números reales. 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 
1º Calculamos la derivada primera de la función: 
𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 3𝑥 + 1 
𝑓´(𝑥) = 10𝑥 − 3 
Debemos estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función en x = 1, entonces: 
𝑓´(𝑥) = 10𝑥 − 3 
𝑓´(1) = 10 . 1 − 3 = 7 ⇒ 7 > 0 
∴ La función es CRECIENTE en 𝑥 = 1 y la variación 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
7
1
 
 
Podemos también encontrar los intervalos de crecimiento de la función: 
Hallamos los Puntos críticos de la función, igualando la derivada a cero: 
𝑓´(𝑥) = 0 
→ 10𝑥 − 3 = 0 
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2 
 
→ 10𝑥 = 3 
→ 𝑥 =
3
10
 
 Luego aplicamos las condiciones de crecimiento/decrecimiento, para ello resolvemos las siguientes 
inecuaciones/ desigualdades, a saber: 
 
𝑓´(𝑥) > 0 , para hallar los intervalos donde la función es CRECIENTE (i) 
y 𝑓´(𝑥) < 0, para hallar los intervalos donde la función es DECRECIENTE (ii) 
 
i) 𝑓´(𝑥) > 0 
→ 10𝑥 − 3 > 0 
→ 10𝑥 > 3 
→ 𝑥 >
3
10
 
El intervalo de CRECIMIENTO es: 𝐶↗ = (
3
10
; +∞) 
ii) 𝑓′(𝑥) < 0 
→ 10𝑥 − 3 < 0 
→ 10𝑥 < 3 
→ 𝑥 <
3
10
 
• El intervalo de DECRECIMIENTO es: 𝐶↘ = (−∞; 
3
10
) 
Aclaración: El estudio de 𝐶↗ = (
3
10
; +∞) nos garantizó que en 𝑥 = 1 la función es Creciente. 
__________________________________________________________________________________________________ 
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2)Encontrar los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones: 
Ejercicio 2b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 
La función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 es del tipo polinómica y su dominio son todos los números reales. 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 
1º Calculamos la derivada primera de la función: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 
2º Hallamos los Puntos críticos de la función, igualando la derivada a cero: 
𝑓´(𝑥) = 0 
→ 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0 
Donde los valores que anulan la ecuación son: 𝑥 = 1 y 𝑥 = −
1
3
 
 
3º Con esa información podemos armar el siguiente cuadro con las variaciones de la función, dividiendo la 
recta de números reales en intervalos: 
Luego elegimos un “punto de prueba” en cada intervalo para reemplazar en la derivada, (como la función es 
continua en ese intervalo este valor será representativo del mismo). 
 
𝑥 (−∞; −
1
3
) −
1
3
 (−
1
3
; 1) 1 (1; +∞) 
𝑓(𝑥) 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ------- 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ------- 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑓´(𝑥) 
𝑓´(−1) = 4 ⇒ 
𝑓´(𝑥) > 0 
𝑓´ (−
1
3
) = 0 
𝑓´(0) = −1 ⇒ 
𝑓´(𝑥) < 0 
𝑓´(1) = 0 
𝑓´(2) = 7 ⇒ 
𝑓´(𝑥) > 0 
 
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4 
 
Si observamos en que intervalos la derivada primera es positiva, podemos concluir que la función es creciente 
en: 
𝐶↗ = (−∞; −
1
3
) ∪ (1; +∞) 
__________________________________________________________________________________________________ 
 
Ejercicio 2d) 𝒇(𝒙) = 𝒙. 𝒍𝒏(𝒙) 
La función 𝒇(𝒙) = 𝒙. 𝒍𝒏(𝒙) es el producto de dos funciones: 
Una del tipo polinómica: 𝒙, 𝑐𝑜𝑛 𝐷𝑜𝑚 = ℝ 
Y otra del tipo del tipo logarítmica: 𝒍𝒏(𝒙) 
Nos concentraremos en el argumento de esta última para hallar el dominio de 𝒇. 
Sabemos que el argumento debe ser positivo, entonces: 
𝑥 > 0 
Por lo tanto, el dominio de 𝒇(𝒙) es: 𝐷𝑜𝑚 = (0; +∞) 
También se puede indicar: 𝐷𝑜𝑚 = ℝ+ 
1º Calculamos la derivada primera de la función: 
Como es la derivada de un producto de funciones, recordemos la propiedad: 
𝑓(𝑥) = 𝑢. 𝑣 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑢´ . 𝑣 + 𝑢 . 𝑣´ 
Entonces 
𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) 
𝑓´(𝑥) = 1 . 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥 .
1
𝑥
⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) + 1 
2º Hallamos los puntos críticos de la función, igualando la derivada a cero: 
𝑓´(𝑥) = 0 
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5 
 
→ 𝑙𝑛(𝑥) + 1 = 0 
→ 𝑙𝑛(𝑥) = −1 
→ 𝑒−1 = 𝑥 
→ 𝑥 =
1
𝑒
≅ 0,368 
3º Con esa información podemos armar el siguiente cuadro con las variaciones de la función: 
𝑥 (0; 
1
𝑒
) 
1
𝑒
 (
1
𝑒
; +∞) 
𝑓(𝑥) 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ------ 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑓´(𝑥) 
𝑓´ (
1
𝑒2
) = −1 ⇒ 
𝑓´(𝑥) < 0 
𝑓´ (
1
𝑒
) = 0 
𝑓´(𝑒) = 2 ⇒ 
𝑓´(𝑥) > 0 
 
Podemos concluir que el Intervalo de Crecimiento de la función es: 
𝐶↗ = (
1
𝑒
; +∞) 
__________________________________________________________________________________________________ 
 
3) Hallar los máximos y mínimos relativos de: 
Ejercicio 3a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐 
El dominio de esta función es todos los Nº Reales por ser del tipo polinómica: 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 
1º Calcularemos la derivada primera de la función: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 3 
2º Vamos a hallar los puntos críticos de la función, igualando a cero la derivada primera: 
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𝑓´(𝑥) = 0 
→ 3𝑥2 − 3 = 0 
→ 3𝑥2 = 3 
→ 𝑥2 = 3: 3 
→ |𝑥| = 1 
→ 𝑥 = 1 ó 𝑥 = −1 
Entonces el conjunto de los puntos críticos será: PC´= {−1; 1} 
 
3º Para confirmar si son extremos aplicamos el “criterio de la derivada segunda” 
Calculamos la derivada segunda de la función: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 3 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 
Analizamos primero a 𝒙 = −𝟏 
Reemplazamos en la derivada segunda: 
Si 𝑥 = −1 ⇒ 𝑓´´(−1) = 6. (−1) = −6 < 0 , como es negativo el resultado 
podemos decir que existe un MÁXIMO RELATIVO en (−1; 𝑓(−1)) = (−1; 4) 
pues 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟑 − 𝟑(−𝟏) + 𝟐 = 𝟒 
Analizamos ahora 𝒙 = 𝟏 
Reemplazamos en la derivada segunda: 
Si 𝑥 = 1 ⇒ 𝑓´´(1) = 6. (1) = 6 > 0 , como es positivo el resultado 
podemos decir que existe un MÍNIMO RELATIVO en (1; 𝑓(1)) = (1; 0) 
pues 𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟑 − 𝟑(𝟏) + 𝟐 = 𝟎 
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__________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 3c) 
 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟑
(𝒙 − 𝟏)𝟐
 
Esta función es del tipo fraccionaria, y para hallar el dominio tendremos que evaluar si se anula o no el 
denominador para algún valor de 𝑥. 
Entonces: 
(𝑥 − 1)2 = 0 
→ √(𝑥 − 1)2 = √0 
→ |𝑥 − 1| = 0 
→ 𝑥 − 1 = 0 
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→ 𝑥 = 1 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {1} 
1º Calcularemos la derivada primera de la función: 
Como es la derivada de un cociente de funciones, recordemos la propiedad: 
𝑓(𝑥) = 𝑢 ∶ 𝑣 ⇒ 𝑓´(𝑥) =
𝑢´ . 𝑣 − 𝑢 . 𝑣´
𝑣2
 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
𝑥3
(𝑥 − 1)2
 
𝑓´(𝑥) =
3𝑥2. (𝑥 − 1)2 − 𝑥3. 2. (𝑥 − 1). 1
[(𝑥 − 1)2]2
 
𝑓´(𝑥) =
(𝑥 − 1). [3𝑥2. (𝑥 − 1) − 2𝑥3]
(𝑥 − 1)4
 
𝑓´(𝑥) =
3𝑥2. (𝑥 − 1) − 2𝑥3
(𝑥 − 1)3
 
𝑓´(𝑥) =
3𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥3
(𝑥 − 1)3
 
𝑓´(𝑥) =
𝑥3 − 3𝑥2
(𝑥 − 1)3
 
𝑓´(𝑥) =
𝑥2. (𝑥 − 3)
(𝑥 − 1)3
 
2º Vamos a hallar los puntos críticos de la función: 
 
Primero igualando a cero la derivada primera: 
𝑓´(𝑥) = 0 
𝑥2. (𝑥 − 3)
(𝑥 − 1)3
= 0 
 
Donde (𝑥 − 1)3 ≠ 0 ⇒ 𝑥 − 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 1 no pertenece al dominio 
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 Luego: 
𝑥2. (𝑥 − 3) = 0 
Si 𝐴. 𝐵 = 0 ⇒ 𝐴 = 0 ó 𝐵 = 0 
Entonces: 𝑥2 = 0 o 𝑥 − 3 = 0 
Si 𝑥2 = 0 → √𝑥2 = 0 → |𝑥| = 0 → 𝑥 = 0 
Si 𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3 
 
Los puntos críticos son 𝑃𝐶´ = {0; 3} 
3º Analizamos cada uno de los puntos críticos utilizando los distintos criterios: 
Para el punto 𝒙 = 𝟎 utilizamos el criterio “del cambio de signo de la derivada primera”: 
𝑓´(𝑥) =
𝑥3 − 3𝑥2
(𝑥 − 1)3
 
Evaluamos la derivada primera con un valor “cercano” a la izquierda de cero y conun valor “cercano” a la 
derecha de cero. 
Si 𝑥 = −1 entonces 𝑓´(−1) =
(−1)3−3(−1)2
((−1)−1)3
= +
1
2
 > 0 
Si 𝑥 = 0,5 entonces 𝑓´(0,5) =
(0,5)3−3(0,5)2
((0,5)−1)3
= 5 > 0 
Como la derivada primera no cambia de signo, no hay extremo en 𝑥 = 0 
Para el punto 𝒙 = 𝟑 ,utilizamos el “criterio de la derivada segunda”. 
Para eso hallamos la derivada segunda: 
Si 𝑓´(𝑥) =
𝑥3−3𝑥2
(𝑥−1)3
 entonces 
𝑓´´(𝑥) =
(3𝑥2 − 6𝑥). (𝑥 − 1)3 − (𝑥3 − 3𝑥2). (3. (𝑥 − 1)2. 1)
[(𝑥 − 1)3]2
 
→ 𝑓´´(𝑥) =
3𝑥(𝑥 − 2). (𝑥 − 1)3 − 3𝑥2(𝑥 − 3). (𝑥 − 1)2
(𝑥 − 1)6
 
→ 𝑓´´(𝑥) =
3𝑥. (𝑥 − 1)2. [(𝑥 − 2). (𝑥 − 1) − 𝑥(𝑥 − 3)]
(𝑥 − 1)6
 
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→ 𝑓´´(𝑥) =
3𝑥. [(𝑥 − 2). (𝑥 − 1) − 𝑥. (𝑥 − 3)]
(𝑥 − 1)4
 
→ 𝑓´´(𝑥) =
3𝑥. [𝑥2 − 𝑥 − 2𝑥 + 2 − 𝑥2 + 3𝑥]
(𝑥 − 1)4
 
→ 𝑓´´(𝑥) =
3𝑥. 2
(𝑥 − 1)4
 
𝑓´´(𝑥) =
6𝑥
(𝑥 − 1)4
 
Ahora evaluamos 𝒙 = 𝟑 en la derivada segunda: 
Si 𝑥 = 3 ⇒ 𝑓´´(3) =
6𝑥
(𝑥 − 1)4
=
6.3
(3 − 1)4
=
18
24
=
9
8
> 0 
Entonces podemos decir que en 𝑥 = 3 existe un MÍNIMO RELATIVO. 
Los máximos y mínimos tendrán la forma: (𝑥; 𝑓(𝑥)) 
Si 𝑥 = 3 ⇒ 𝑓(𝑥) =
𝑥3
(𝑥 − 1)2
⇒ 𝑓(3) =
(3)3
((3) − 1)
2 =
27
(2)2
=
27
4
 
Por lo tanto la función tiene un MÍNIMO RELATIVO: (3;
27
4
) 
 
__________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 3d) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐 
El dominio de esta función son todos los Nº Reales por ser del tipo polinómica: 
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𝐷𝑜𝑚 = ℝ 
1º Calcularemos la derivada primera de la función: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 2 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 
2º Vamos a hallar los puntos críticos de la función, igualando a cero la derivada primera: 
𝑓´(𝑥) = 0 
→ 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0 
Luego los valores que satisfacen a la ecuación son: 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3 
Entonces 𝑃𝐶´ = {1; 3} 
 
Analizamos ahora ,cada punto critico con el criterio de “ la derivada segunda” de la función: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 
→ 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 12 
Reemplazamos cada punto crítico en la derivada segunda: 
Si 𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝑓´´(1) = 6. (1) − 12 = 6 − 12 = −6 < 0 
Entonces podemos decir que existe un MÁXIMO RELATIVO en (1; 𝑓(1)) = (1; 6) 
Pues 𝑓(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 2 = 6 
 
Si 𝒙 = 𝟑 ⇒ 𝑓´´(3) = 6. (3) − 12 = 18 − 12 = 6 > 0 
Entonces podemos decir que existe un MÍNIMO RELATIVO en (3; 𝑓(3)) = (3; 2) 
 Pues 𝑓(3) = (3)3 − 6. (3)2 + 9. (3) + 2 = 27 − 54 + 27 + 2 = 2 
 
 
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Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión: 
Ejercicio 4a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑 
Comenzaremos calculando la derivada primera y la derivada segunda de la función: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 − 6𝑥 + 3 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 + 8𝑥 − 6 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 + 8 
Concavidad 
• Hallaremos los intervalos donde la función tiene concavidad positiva, es decir, cuando 
𝑓´´(𝑥) > 0 
Entonces: 6𝑥 + 8 > 0 ⇒ 6𝑥 > −8 ⇒ 𝑥 > −
8
6
⇒ 𝑥 > −
4
3
 
La función tiene “concavidad positiva” o es “cóncava hacia arriba” en el intervalo: 
(−
4
3
; +∞) 
• Hallaremos los intervalos donde la función tiene concavidad negativa, es decir, cuando 
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𝑓´´(𝑥) < 0 
Entonces: 6𝑥 + 8 < 0 ⇒ 6𝑥 < −8 ⇒ 𝑥 < −
8
6
⇒ 𝑥 < −
4
3
 
 
La función tiene “concavidad negativa” o es “cóncava hacia abajo” en el intervalo: 
(−∞; −
4
3
) 
 
Punto de Inflexión 
Si queremos hallar los posibles candidatos para luego encontrar los puntos de inflexión de una función, 
tendremos que buscar los Puntos críticos de segunda especie: PC´´ 
i) Buscamos donde se anula la derivada segunda de la misma, es decir: 
𝑓´´(𝑥) = 0 
Si 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 + 8, entonces: 6𝑥 + 8 = 0 ⇒ 6𝑥 = −8 ⇒ 𝑥 = −
8
6
⇒ 𝑥 = −
4
3
 
 
ii) Buscamos donde 𝑓´´(𝑥) NO EXISTE 
Como 𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 + 8 es del tipo polinómica, no me generará candidatos a puntos de inflexión. 
 Luego : 𝑃𝐶´´ = {−
4
3
} 
 
iii) analizamos el comportamiento de 𝑓´´(𝑥) a ambos lados del posible punto de inflexión, en nuestro 
ejemplo: 
𝑥 (−∞; −
4
3
) −
4
3
 (−
4
3
; +∞) 
 
𝑓(𝑥) 
 
 
Punto de 
Inflexión 
 
𝑓´´(𝑥) 
𝑓´´(−2) = 6. (−2) + 8 = −4 ⇒ 
𝑓´´(𝑥) < 0 
𝑓´´ (−
4
3
) = 0 
𝑓´´(−1) = 6. (−1) + 8 = 2 ⇒ 
𝑓´´(𝑥) > 0 
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Por lo tanto, como 𝑓´´(𝑥) cambió de signo a ambos lados de 𝑥 = −
4
3
 podemos asegurar que existe un punto de 
inflexión en dicha abscisa. 
Los puntos de inflexión, como cualquier otro punto de la función, tendrán la forma: (𝑥; 𝑓(𝑥)) 
En este ejercicio tendremos el punto de inflexión: (−
4
3
 ; 𝑓 (−
4
3
 )) 
Si 𝑓 (−
4
3
) = (−
4
3
)
3
+ 4. (−
4
3
)
2
− 6. (−
4
3
) + 3 = −
64
27
+ 4. (
16
9
) + 8 + 3 = −
64
27
+
64
9
+ 11 ⇒ 
𝑓 (−
4
3
) =
425
27
≅ 15,74 
El 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 de la función es: (−
4
3
 ; 
425
27
) ; 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛: (−1,33 ; 15,74) 
 
 
__________________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 4b) 
𝒇(𝒙) =
𝟐
𝒙 − 𝟑
 
El domino de la función, por ser una función del tipo fraccionaria, es: 
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𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {3} 
Pues 𝑥 − 3 ≠ 0 entonces 𝑥 ≠ 3 
En 𝑥 = 3 tenemos una Asíntota Vertical. 
 
Calculamos la derivada primera y la derivada segunda de la función: 
𝑓(𝑥) =
2
𝑥 − 3
 
→ 𝑓(𝑥) = 2. (𝑥 − 3)−1 
→ 𝑓´(𝑥) = 2. (−1). (𝑥 − 3)−2. 1 
→ 𝑓´(𝑥) = −2. (𝑥 − 3)−2 
→ 𝑓´´(𝑥) = −2. (−2). (𝑥 − 3)−3. 1 
→ 𝑓´´(𝑥) = 4. (𝑥 − 3)−3 
Concavidad 
• Hallaremos los intervalos donde la función tiene concavidad positiva, es decir, cuando 
𝑓´´(𝑥) > 0 
 
Entonces: 4. (𝑥 − 3)−3 > 0 →
4
(𝑥−3)3
> 0 →
4
(𝑥−3)3
> 0 
 
Para resolver esta desigualdad, recurrimos a la siguiente propiedad: 
𝑎
𝑏
> 0 ↔ 𝑖) 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 > 0 ó 𝑖𝑖) 𝑎 < 0 𝑦 𝑏 < 0 
(Atención: En ninguno de los casos b puede valer 0) 
 
Si pensamos en la siguiente igualdad 
𝑎
𝑏
=
4
(𝑥 − 3)3
 
Nos queda: 
𝑖) 4 > 0 𝑦 (𝑥 − 3)3 > 0 
4 > 0 es Verdadero, es decir, nuestro numerador siempre será positivo. 
Luego: (𝑥 − 3)3 > 0 → √(𝑥 − 3)3
3
> √0
3
 → 𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 > 3 
 
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Por otro lado, tendríamos que resolver: 
𝑖𝑖) 4 < 0 𝑦 (𝑥 − 3)3 < 0 → Como 4 < 0 es FALSO, no podremos considerar esta opción. 
 
La función tiene “concavidad positiva” o es “cóncava hacia arriba” en el intervalo: 
(3; +∞) 
 
• Hallaremos los intervalos donde la función tiene concavidad negativa, es decir, cuando 
𝑓´´(𝑥) < 0 
 
Entonces: 4. (𝑥 − 3)−3 < 0 →
4
(𝑥−3)3
< 0 →
4
(𝑥−3)3
< 0 
Para resolver esta desigualdad, recurrimos a la siguiente propiedad: 
𝑐
𝑑
< 0 ↔ 𝑖) 𝑐 > 0 𝑦 𝑑 < 0 ó 𝑖𝑖) 𝑐 < 0 𝑦 𝑑 > 0 
(Atención: En ninguno de los casos d puede valer 0) 
Si pensamos en la siguiente igualdad 
𝑐
𝑑
=
4
(𝑥 − 3)3
 
Nos queda: 
𝑖) 4 > 0 𝑦 (𝑥 − 3)3 < 0 → 4 > 0 es Verdadero, es decir, nuestro numerador siempre será positivo. 
Luego: (𝑥 − 3)3 < 0 → √(𝑥 − 3)3
3
< √0
3
 → 𝑥 − 3 < 0 → 𝑥 < 3 
 
Por otro lado, tendríamos que resolver: 
𝑖𝑖) 4 < 0 𝑦 (𝑥 − 3)3 > 0 
Como 4 < 0 es FALSO, no podremos considerar esta opción. 
 
La función tiene “concavidad negativa” o es “cóncava hacia abajo” en el intervalo: 
(−∞; 3) 
 
 
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Punto de Inflexión 
Si queremos hallar los posibles candidatos para luego encontrar los puntos de inflexión de una función, 
tendremos que buscar los puntos críticosde segunda especie: 
 i) Buscamos donde se anula la derivada segunda de la misma, es decir: 
𝑓´´(𝑥) = 0 
Si 𝑓´´(𝑥) = 4. (𝑥 − 3)−3, entonces: 
4. (𝑥 − 3)−3 = 0 
→
4
(𝑥 − 3)3
= 0 
→
4
(𝑥 − 3)3
. (𝑥 − 3)3 = 0. (𝑥 − 3)3 
 4 = 0 𝐴𝐵𝑆𝑈𝑅𝐷𝑂 
Podemos decir que no existe un valor de 𝑥 para 𝑞𝑢𝑒 𝑓´´(𝑥) = 0 
 
ii) Buscamos donde 𝑓´´(𝑥) NO EXISTE. 
Entonces: 𝑓´´(𝑥) =
4
(𝑥−3)3
 
Podemos observar que la derivada segunda de 𝑓(𝑥) también es una función del tipo fraccionaria y su dominio 
será: 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ − {3} 
Pues → (𝑥 − 3)3 ≠ 0 → √(𝑥 − 3)3
3
≠ √0
3
 → 𝑥 − 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3 
Significa que ∄𝑓´´(3) 
Pero no puede ser nuestro candidato a punto de inflexión porque no está en el dominio de 𝑓(𝑥). 
Por lo tanto, no hay puntos de inflexión. 
Igualmente analizamos el comportamiento de 𝑓´´(𝑥) a ambos lados de la asíntota vertical 𝑥 = 3 para estudiar la 
concavidad. 
𝑥 (−∞; 3) 3 (3; +∞) 
 
𝑓(𝑥) 
 
 
∄𝑓(3) 
 
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18 
 
𝑓´´(𝑥) 
𝑓´´(0) =
4
(0 − 3)3
= −
4
27
⇒ 
𝑓´´(𝑥) < 0 
 
∄𝑓´´(3) 
𝑓´´(4) =
4
(4 − 3)3
= 4 ⇒ 
𝑓´´(𝑥) > 0 
 
Representación Gráfica de la función 
__________________________________________________________________________________________________ 
5) Dadas las siguientes funciones realizar el estudio completo y graficarlas: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥4– 2𝑥2 
Para estudiar una función vamos a analizar sus características y elementos, tales como su conjunto dominio, 
cortes con los ejes (raíces y ordenada al origen), asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de 
concavidad, puntos de extremos y puntos de inflexión. Empecemos: 
I. Conjunto Dominio: 𝐷𝑓 = ℝ 
En este caso, el conjunto dominio está compuesto por todos los números reales por tratarse de una función polinómica. 
II. Raíces 
Debemos calcular los valores de 𝑥 cuando la función resulta ser cero, en otras palabras, debemos igualar a cero la 
función. (𝑓(𝑥) = 0) 
𝑥4– 2𝑥2 = 0 
Factoricemos la expresión sacando factor común 𝑥2 
𝑥2(𝑥2– 2) = 0 
Como este producto es cero, alguno de los factores debe ser cero, entonces podemos escribir: 
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2400 - Matemática I 
 
19 
 
𝑥2 = 0 ∨ 𝑥2– 2 = 0 
𝑥2 = 0 ∨ 𝑥2 = 2 
Aplicando raíz miembro a miembro: 
√𝑥2 = √0 ∨ √𝑥2 = √2 
|𝑥| = 0 ∨ |𝑥| = √2 
𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = √2 ∨ 𝑥 = −√2 
Entonces el conjunto de raíces o ceros es 𝐶0 = {−√2; 0; √2} 
III. Ordenada al origen 
Debemos calcular el valor que toma la función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 es igual a cero, en otras palabras, debemos calcular la 
imagen de cero. 
𝑓(0) = 04– 2 ⋅ 02 
𝑓(0) = 0 
Observación: cuando la raíz de una función es cero, su ordenada también lo es. 
IV. Asíntotas 
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. 
V. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, debemos analizar el signo de la función derivada primera. 
Calculemos 𝑓´(𝑥) = 4𝑥3 − 4𝑥 y las raíces de 𝑓´(𝑥), ya que las raíces de 𝑓´(𝑥) nos dirá en que valores puede llegar a 
existir un cambio de signo (teorema de Bolzano). 
4𝑥3 − 4𝑥 = 0 
Sacando 4𝑥 como factor común 
4𝑥(𝑥2 − 1) = 0 
Luego 
4𝑥 = 0 ∨ 𝑥2 − 1 = 0 
𝑥 = 0 ∨ 𝑥2 = 1 
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2400 - Matemática I 
 
20 
 
𝑥 = 0 ∨ √𝑥2 = √1 
𝑥 = 0 ∨ |𝑥| = 1 
Entonces la función primera derivada es cero cuando 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1. Estos valores determinan cuatro 
intervalos del dominio 
(−∞; −1), (−1; 0), (0; 1) 𝑦 (1; +∞) 
Por el teorema de Bolzano, sabemos que la función derivada tiene el mismo signo en cada uno de estos de intervalos. 
Tomaremos entonces una muestra de cada intervalo. 
Por ejemplo, tomemos 𝑥 = −3 como una muestra del intervalo (−∞; −1), y calculemos el valor de la función derivada 
en ese valor 𝑓´(−3) = 4(−3)3 − 4. (−3) = −96 nos dio negativo, por lo tanto 𝑓´(𝑥) es negativa en todo el intervalo 
(−∞; −1). 
Este procedimiento lo podemos hacer con los demás intervalos para luego completar el siguiente cuadro: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −1) (−1; 0) (0; 1) (1; +∞) 
𝑓´(𝑥) − 
Tomo 𝑥 = −0,5 perteneciente a (−1; 0) y sustituyo en la función derivada: 
 𝑓´(−0,5) = 4(−0,5)3 − 4. (−0,5) = 1,5 (positivo) 
Tomo 𝑥 = 0,5 perteneciente a (0; 1) y sustituyo en la función derivada: 
 𝑓´(0,5) = 4(0,5)3 − 4.0,5 = −1,5 (negativo) 
Tomo 𝑥 = 2 perteneciente a (1; +∞)y sustituyo en la función derivada: 
 𝑓´(−0,5) = 4. 23 − 4.2 = 24 (positivo) 
El cuadro completo queda: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −1) (−1; 0) (0; 1) (1; +∞) 
𝑓´(𝑥) − + − + 
La función derivada es positiva en los intervalos (−1; 0) 𝑦 (1; +∞), entonces 𝑓(𝑥) crece en (−1; 0) ∪ (1; +∞). 
La función derivada es negativa en los intervalos (−∞; −1) 𝑦 (0; 1) entonces 𝑓(𝑥) decrece en (−∞; −1) ∪ (0; 1). 
VI. Puntos críticos 
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2400 - Matemática I 
 
21 
 
Los puntos críticos de una función son aquellos que anulan la primera derivada o donde no está definida. Es decir, los 
valores que verifican 𝑓´(𝑥) = 0 ∨ ∄𝑓′(𝑥) 
4𝑥3 − 4𝑥 = 0 
Entonces 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1 son los valores críticos de la función. 
VII. Extremos 
Vamos a utilizar el criterio de la segunda derivada para encontrar extremos. Calculemos 𝑓´´(𝑥) y analicemos el signo 
de la función segunda derivada evaluada en los puntos críticos. 
𝑓´´(𝑥) = 12𝑥2 − 4 
• 𝑓´´(0) = 12 . 02 − 4 = −4 < 0 entonces (0; 𝑓(0)) es un punto máximo de 𝑓(𝑥) 
• 𝑓´´(1) = 12 . 12 − 4 = 8 > 0 entonces (1; 𝑓(1)) es un punto mínimo de 𝑓(𝑥) 
• 𝑓´´(1) = 12 . (−1)2 − 4 = 8 > 0 entonces (−1; 𝑓(−1)) es un punto mínimo de 𝑓(𝑥) 
La función tiene un punto máximo (0; 0) y dos puntos mínimos (1; −1) y (−1; −1). 
VIII. Concavidad 
Para encontrar los intervalos de concavidad positiva hacia arriba y concavidad hacia abajo, debemos analizar el signo 
de la función derivada segunda. 
Comenzaremos igualando a cero la segunda derivada 
12𝑥2 − 4 = 0 
𝑥2 =
4
12
 
√𝑥2 = √
1
3
 
|𝑥| = √
1
3
=
√3
3
 
Entonces 𝑥 = −
√3
3
 y 𝑥 =
√3
3
 son los valores que anulan la segunda derivada y nos determinan los intervalos 
(−∞; −
√3
3
), (−
√3
3
;
√3
3
) y (
√3
3
; +∞) 
Luego tomamos un valor de cada intervalo para completar el siguiente cuadro: 
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2400 - Matemática I 
 
22 
 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −
√3
3
) (−
√3
3
;
√3
3
) (
√3
3
; +∞) 
𝑓´´(𝑥) + − + 
• Tomo 𝑥 = −1 perteneciente a (−∞; −
√3
3
) y evalúo 𝑓´´(−1) = 12(−1)2 − 4 = 8 > 0 
• Tomo 𝑥 = 0 perteneciente a (−
√3
3
;
√3
3
) y evalúo 𝑓´´(0) = 12. 02 − 4 = −4 < 0 
• Tomo 𝑥 = 1 perteneciente a (
√3
3
; +∞) y evalúo 𝑓´´(1) = 12. 12 − 4 = 8 > 0 
Como conclusión podemos decir que 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en (−∞; − √
3
3
) ∪ (√
3
3
; +∞) y cóncava 
negativa en (−
√3
3
;
√3
3
) 
IX. Puntos de inflexión 
Los valores que anulan la función derivada segunda y no anulan la función derivada tercera, nos dará los puntos de 
inflexión. 
Entonces veamos si 𝑥 = −
√3
3
 y 𝑥 =
√3
3
 anulan 𝑓´´´(𝑥) = 24𝑥. 
• Como 𝑓´´´ (
√3
3
) = 24.
√3
3
≠ 0 entonces (
√3
3
; 𝑓 (
√3
3
)) es punto de inflexión. 
• Como 𝑓´´´ (−
√3
3
 ) = 24. (−
√3
3
) ≠ 0 entonces (−
√3
3
; 𝑓 (−
√3
3
)) es punto de inflexión. 
La función tiene dos puntos de inflexión (
√3
3
; −
5
9
) y (−
√3
3
; −
5
9
) 
X. Gráfico 
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23 
 
 
__________________________________________________________________________________________________ 
𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑥3– 3𝑥2– 2 
I. Conjunto Dominio: 𝐷𝑓 = ℝ 
En este caso, el conjunto dominio está compuesto por todos los números reales por tratarse de una función polinómica. 
II. Raíces (𝑓(𝑥) = 0) 
𝑥3– 3𝑥2– 2 = 0 
𝑥 ≅ 3,19Entonces el conjunto de raíces o ceros es 𝐶0 = {3,19} 
III. Ordenada al origen 
𝑓(0) = 03– 3. 02– 2 
𝑓(0) = −2 
IV. Asíntotas 
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. 
V. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, debemos analizar el signo de la función derivada primera. 
Calculemos 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 y sus raíces 
3𝑥2 − 6𝑥 = 0 
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24 
 
Sacando 3𝑥 como factor común 
3𝑥(𝑥 − 2) = 0 
3𝑥 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 
𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2 
Entonces la función derivada primera es cero cuando 𝑥 = 0 y cuando 𝑥 = 2. 
Estos valores determinan tres intervalos (−∞; 0),(0; 2) y (2; +∞). Veamos el signo de 𝑓´(𝑥) en esos intervalos. 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; 0) (0; 2) (2; +∞) 
𝑓´(𝑥) + − + 
• Si 𝑥 = −0,5 ⟹ 𝑓´(−0,5) = 3(−0,5)2 − 6. (−0,5) = 3,75 (positivo) 
• Si 𝑥 = 1 ⟹ 𝑓´(1) = 3. 12 − 6.1 = −3 (negativo) 
• Si 𝑥 = 3 ⟹ 𝑓´(3) = 3. 32 − 6.3 = 9 (positivo) 
Por lo tanto, la función crece en (−∞; 0) ∪ (2; +∞) y decrece en (0; 2). 
VI. Puntos críticos (𝑓´(𝑥) = 0) 
3𝑥2 − 6𝑥 = 0 
Entonces 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2 son los valores críticos de la función. 
VII. Extremos 
Vamos a utilizar el criterio de la segunda derivada para encontrar extremos. 
Calculemos 𝑓´´(𝑥) y analicemos el signo de la función segunda derivada evaluada en los puntos críticos. 
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 − 6 
• 𝑓´´(0) = 6.0 − 6 = −6 < 0 entonces (0; 𝑓(0)) es un punto máximo de 𝑓(𝑥) 
• 𝑓´´(2) = 6.2 − 6 = 6 > 0 entonces (2; 𝑓(2)) es un punto mínimo de 𝑓(𝑥) 
La función tiene un punto máximo en (0; −2) y un punto mínimo en (2; −6) 
VIII. Concavidad 
Para encontrar los intervalos de concavidad positiva hacia arriba y concavidad hacia abajo, debemos analizar el signo 
de la función derivada segunda. 
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2400 - Matemática I 
 
25 
 
Comenzaremos igualando a cero la segunda derivada 
6𝑥 − 6 = 0 
𝑥 = 1 
Entonces 𝑥 = 1 anula la segunda derivada y nos determinan dos intervalos (−∞; 1) y (1; +∞). Luego tomamos un 
valor de cada intervalo para completar el siguiente cuadro: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; 1) (1; +∞) 
𝑓´´(𝑥) − + 
• Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓´´(0) = 6.0 − 6 = −6 (negativo) 
• Si 𝑥 = 3 ⟹ 𝑓´´(3) = 6.3 − 6 = 12 (positivo) 
Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en el intervalo (1; +∞) y cóncava hacia abajo en (−∞; 1). 
IX. Puntos de inflexión 
Veamos si 𝑥 = 1 anula la derivada tercera 𝑓´´´(𝑥) = 6. 
𝑓´´´(1) = 6 ≠ 0 entonces (1; −4) es punto de inflexión. 
X. Gráfico 
 
__________________________________________________________________________________________________ 
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26 
 
𝑓)𝑓(𝑥) =
𝑥 − 1
2𝑥 + 1
 
I. Conjunto Dominio: 𝐷𝑓 = ℝ − {−
1
2
} 
Los valores que puede tomar la variable de la función son todos los números reales excepto −
1
2
 ya que éste anula el 
denominador. 
II. Raíces (𝑓(𝑥) = 0) 
𝑥 − 1
2𝑥 + 1
= 0 
Esta expresión es cero cuando 𝑥 − 1 = 0. Entonces el conjunto de raíces es 𝐶0 = {1} 
III. Ordenada al origen 
𝑓(0) =
0 − 1
2 .0 + 1
=
−1
1
= −1 
IV. Asíntotas 
• Asíntota vertical 
Como en 𝑥 = −
1
2
 no está definida la función, veamos si en ese valor existe una asíntota. 
lim
𝑥→−
1
2
+
𝑥 − 1
2 x + 1
=
−3/2
→ 0+
= −∞ 
lim
𝑥→−
1
2
−
𝑥 − 1
2 x + 1
=
−3/2
→ 0−
= +∞ 
• Asíntota horizontal 
lim
𝑥→∞
𝑥 − 1
2𝑥 + 1
=
1
2
 
V. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
Busquemos 𝑓´(𝑥) para analizar usando la derivada del cociente 
𝑓´(𝑥) =
1. (2𝑥 + 1) − (𝑥 − 1). 2
(2𝑥 + 1)2
=
2𝑥 + 1 − 2𝑥 + 2
(2𝑥 + 1)2
=
3
(2𝑥 + 1)2
 
Entonces 𝑓´(𝑥) =
3
(2𝑥+1)2
 o también 𝑓´(𝑥) = 3(2𝑥 + 1)−2 
Igualando la derivada primero a cero 
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2400 - Matemática I 
 
27 
 
3
(2𝑥 + 1)2
= 0 
Esta expresión no es cero para ningún valor del dominio. Entonces, sólo tenemos el dominio para analizar. 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −
1
2
) (−
1
2
; +∞) 
𝑓´(𝑥) + + 
• Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓´(0) =
3
(2.0+1)2
= 3 (positivo) 
• Si 𝑥 = −2 ⟹ 𝑓´(−2) =
3
(2.(−2)+1)2
= 1/3 (positivo) 
Por lo tanto, la función crece en todo su dominio. 
VI. Puntos críticos (𝑓´(𝑥) = 0) 
3
(2𝑥 + 1)2
= 0 
Como no existe valores del dominio que anulen 𝑓´(𝑥), entonces no hay puntos críticos y tampoco extremos. 
VII. Concavidad 
Debemos analizar el signo de la función derivada segunda, encontremos 𝑓´´(𝑥). 
Si 𝑓´(𝑥) = 3(2𝑥 + 1)−2 entonces 𝑓´´(𝑥) = −6. (2𝑥 + 1)−3 . 2 =
−12
(2𝑥+1)3
 
Vemos que esta ecuación 
−12
(2𝑥−1)3
= 0 no tiene solución, entonces, sólo analizaremos el dominio. 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −
1
2
) (−
1
2
; +∞) 
𝑓´´(𝑥) + − 
• Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓´´(0) =
−12
(2.0+1)3
= −12 (negativo) 
• Si 𝑥 = −1 ⟹ 𝑓´´(−1) =
−12
(2.(−1)+1)3
= +12 (positivo) 
Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en el intervalo (−∞; −
1
2
) y cóncava hacia abajo en (−
1
2
; +∞) 
VIII. Puntos de inflexión 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
28 
 
Como 𝑓′′′(𝑥) no se anula para ningún valor del dominio, entonces 𝑓(𝑥) no tiene puntos de inflexión. 
IX. Gráfico 
 
__________________________________________________________________________________________________ 
ℎ)𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥
 
I. Conjunto Dominio: 𝐷𝑓 = ℝ − {0} 
Los valores que puede tomar la variable de la función son todos los números reales excepto 0 ya que éste anula el 
denominador. 
II. Raíces (𝑓(𝑥) = 0) 
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥
= 0 
Esta expresión es cero cuando 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0. Esta ecuación carece de soluciones reales que anulen a la misma. 
Entonces el conjunto de raíces es 𝐶0 = ∅ 
III. Ordenada al origen 
Como ∄𝑓(0)por no ser parte del dominio, entonces la función no posee ordenada al origen. 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
29 
 
IV. Asíntotas 
• Asíntota vertical 
Como en 𝑥 = 0 no está definida la función, veamos si en ese valor existe una asíntota. 
lim
𝑥→0+
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥
=
2
→ 0+
= +∞ 
lim
𝑥→0−
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥
=
2
→ 0−
= −∞ 
𝐴𝑉: 𝑥 = 0 
• Asíntota horizontal 
lim
𝑥→∞
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥
= ∞ 
Por lo tanto 𝑓(𝑥) no posee Asíntota horizontal. 
• Asíntota Oblicua 
𝑚 = lim
𝑥→∞+
[
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥
.
1
𝑥
] = lim
𝑥→∞+
[
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥2
] = 1 
𝑏 = lim
𝑥→∞+
[
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥
− 𝑚. 𝑥] = lim
𝑥→∞+
[
𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥
− 𝑥] = lim
𝑥→∞+
[
𝑥2 − 𝑥 + 2 − 𝑥2
𝑥
] = lim
𝑥→∞+
[
−𝑥 + 2
𝑥
] = −1 
Luego la A.O. es 𝑦 = 𝑥 − 1 
 
V. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
Busquemos 𝑓´(𝑥) para analizar usando la derivada del cociente 
𝑓´(𝑥) =
(2𝑥 − 1). 𝑥 − (𝑥2 − 𝑥 + 2). 1
(𝑥)2
=
2𝑥2 − 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥2
=
𝑥2 − 2
𝑥2
 
Entonces 𝑓´(𝑥) =
𝑥2 − 2
𝑥2
 
Igualando la derivada primero a cero 
𝑥2 − 2
𝑥2
= 0 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
30 
 
Esta expresión es cero cuando 𝑥2 − 2 = 0 
Luego: 
𝑥2 = 2 
|𝑥| = √2 
Entonces los valores que anulan la derivada primera son 𝑥 = √2 y 𝑥 = −√2 
Estos valores, más el valor que no puede tomar la variable 𝑥, determinan cuatro intervalos: (−∞; −√2),
(−√2; 0), (0; √2) 𝑦 (√2; +∞).Veamos el signo de 𝑓´(𝑥) en esos intervalos. 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −√2) (−√2; 0) (0; √2) (√2; +∞) 
𝑓´(𝑥) + − − + 
• Si 𝑥 = −2 ⟹ 𝑓´(−2) =
(−2)2−2
(−2)2
=
1
2
 (positivo) 
• Si 𝑥 = −1 ⟹ 𝑓´(−1) =
(−1)2−2
(−1)2
= −1 (negativo) 
• Si 𝑥 = 1 ⟹ 𝑓´(1) =
(1)2−2
(1)2
= −1 (negativo) 
• Si 𝑥 = 2 ⟹ 𝑓´(2) =
(2)2−2
(2)2
=
1
2
 (positivo) 
Por lo tanto, la función crece en (−∞; −√2) ∪ (√2; +∞) y decrece en (−√2; 0) ∪ (0; √2). 
VI. Puntos críticos (𝑓´(𝑥) = 0) 
𝑥2 − 2
𝑥2
= 0 
Entonces 𝑥 = −√2 y 𝑥 = √2 son los valores críticos de la función. 
VII. Extremos 
Vamos a utilizar el criterio de la segunda derivada para encontrar extremos. 
Calculemos 𝑓´´(𝑥) y analicemos el signo de la función segunda derivada evaluada en los puntos críticos.𝑓´´(𝑥) =
2𝑥. 𝑥2 − (𝑥2 − 2). 2𝑥
(𝑥2)2
=
2𝑥3 − 2𝑥3 + 4𝑥
𝑥4
=
4𝑥
𝑥4
=
4
𝑥3
 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
31 
 
• 𝑓´´(−√2) =
4
(−√2)
3 = −√2 < 0 entonces (−√2; 𝑓(−√2)) es un punto máximo de 𝑓(𝑥) 
• 𝑓´´(√2) =
4
(√2)
3 = √2 > 0 entonces (√2; 𝑓(√2)) es un punto mínimo de 𝑓(𝑥) 
La función tiene un punto máximo en (−√2; −1 − 2√2) y un punto mínimo en (√2; −1 + 2√2) 
𝑓(−√2) =
(−√2)
2
− (−√2) + 2
−√2
= −1 − 2√2 
𝑓(√2) =
(√2)
2
− (√2) + 2
√2
= −1 + 2√2 
VIII. Concavidad 
Para encontrar los intervalos de concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo, debemos analizar el signo de la 
función derivada segunda. 
Comenzaremos igualando a cero la segunda derivada 
4
𝑥3
= 0 
Vemos que esta ecuación no tiene solución, entonces, sólo analizaremos el dominio: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; 0) (0; +∞) 
𝑓´´(𝑥) − + 
• Si 𝑥 = −1 ⟹ 𝑓´´(−1) =
4
(−1)3
= −4 (negativo) 
• Si 𝑥 = 1 ⟹ 𝑓´´(1) =
4
(1)3
= 4 (positivo) 
Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en el intervalo (0; +∞) y cóncava hacia abajo en (−∞; 0). 
IX. Puntos de inflexión 
Como 𝑓′′(𝑥) no se anula para ningún valor del dominio, entonces 𝑓(𝑥) no tiene puntos de inflexión. 
X. Gráfico 
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2400 - Matemática I 
 
32 
 
 
 
__________________________________________________________________________________________________ 
𝑝) 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)𝑒𝑥 
I. Conjunto Dominio: 𝐷𝑓 = ℝ 
II. Raíces (𝑓(𝑥) = 0) 
(1 − 𝑥). 𝑒𝑥 = 0 
Esta expresión es cero cuando 1 − 𝑥 = 0. Entonces, el conjunto de raíces es 𝐶0 = {1} 
III. Ordenada al origen 
𝑓(0) = (1 − 0). 𝑒0 = 1 
IV. Asíntotas 
• Asíntota vertical 
∄𝑎 ∈ ℝ / lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ 
• Asíntota horizontal 
lim
𝑥→+∞ 
(1 − 𝑥). 𝑒𝑥 = ∞ por acá no hay A.H. 
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2400 - Matemática I 
 
33 
 
lim
𝑥→−∞ 
(1 − 𝑥). 𝑒𝑥 = (→ ∞)(→ 0) indeterminado 
lim
𝑥→−∞ 
(1 − 𝑥). 𝑒𝑥 = lim
𝑥→−∞ 
1 − 𝑥
1
𝑒𝑥
=
∞
∞
 
 Aplicando L’Hôpital 
lim
𝑥→−∞ 
1 − 𝑥
𝑒−𝑥
= lim
𝑥→−∞ 
−1
−1. 𝑒−𝑥
= lim 
𝑥→−∞ 
𝑒𝑥 = 0 
Entonces 𝑦 = 0 es asíntota horizontal cuando 𝑥 → −∞ 
V. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
Busquemos 𝑓´(𝑥) para analizar usando la derivada del producto de funciones 
𝑓´(𝑥) = −1. 𝑒𝑥 + (1 − 𝑥). 𝑒𝑥 
Extrayendo 𝑒𝑥 como factor común 
𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑥 . [−1 + (1 − 𝑥)] 
𝑓´(𝑥) = −𝑥. 𝑒𝑥 
Notamos que 𝑓´(𝑥) es cero cuando 𝑥 = 0, lo que nos determina dos intervalos para analizar 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; 0) (0; +∞) 
𝑓´(𝑥) + − 
• Si 𝑥 = −1 ⟹ 𝑓´(−1) = −(−1). 𝑒−1 = 𝑒−1 =
1
𝑒
 (positivo) 
• Si 𝑥 = 2 ⟹ 𝑓´(2) = −2. 𝑒2 (negativo) 
Por lo tanto, la función crece en (−∞; 0) y decrece en (0; +∞). 
VI. Puntos críticos (𝑓´(𝑥) = 0) 
Como 𝑥 = 0 es el valor crítico ya que, como vimos, es el valor que anula 𝑓´(𝑥). 
VII. Extremos 
Vamos a utilizar el criterio de la segunda derivada para encontrar extremos. Calculemos 𝑓´´(𝑥) y analicemos el signo 
de la función segunda derivada evaluada en los puntos críticos. 
𝑓´´(𝑥) = −1. 𝑒𝑥 + (−𝑥). 𝑒𝑥 
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Extrayendo 𝑒𝑥 como factor común 
𝑓´´(𝑥) = 𝑒𝑥. [−1 + (−𝑥)] 
𝑓´´(𝑥) = (−1 − 𝑥). 𝑒𝑥 
Cuando 𝑥 = 0 , 𝑓´´(0) = (−1 − 0). 𝑒0 = −1 < 0 entonces (0; 1) es punto máximo de la función. 
VIII. Concavidad 
Debemos analizar el signo de la función derivada segunda, encontremos 𝑓´´(𝑥). Igualemos a cero la segunda derivada 
(−1 − 𝑥). 𝑒𝑥 = 0 
Entonces 𝑥 = −1 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −1) (−1; +∞) 
𝑓´´(𝑥) + − 
• Si 𝑥 = −3 ⟹ 𝑓´´(−3) = (−1 − (−3)). 𝑒−3 = 2. 𝑒−3 > 0 
• Si 𝑥 = 2 ⟹ 𝑓´´(2) = (−1 − 2). 𝑒2 = −3. 𝑒2 < 0 
Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en (−∞; −1) y cóncava hacia abajo en (−1; +∞). 
IX. Puntos de inflexión 
Calculemos 𝑓′′′(𝑥) para evaluar si 𝑥 = −1 se anula en ella. 
𝑓′′′(𝑥) = −1. 𝑒𝑥 + (−1 − 𝑥). 𝑒𝑥 = (−2 − 𝑥). 𝑒𝑥 
𝑓′′′(−1) = (−2 − (−1)). 𝑒−1 ≠ 0 entonces (−1; 2. 𝑒−1) es punto de inflexión. 
X. Gráfico 
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__________________________________________________________________________________________________ 
𝑟) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 
I. Conjunto Dominio: 𝐷𝑓 = ℝ 
II. Raíces (𝑓(𝑥) = 0) 
𝑥. 𝑒𝑥 = 0 
Esta expresión es cero cuando 𝑥 = 0. Entonces, el conjunto de raíces es 𝐶0 = {0} 
III. Ordenada al origen 
𝑓(0) = 0. 𝑒0 = 0 
IV. Asíntotas 
• Asíntota vertical 
∄𝑎 ∈ ℝ / lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ 
• Asíntota horizontal 
lim
𝑥→+∞ 
𝑥. 𝑒𝑥 = ∞ por acá no hay A.H. 
lim
𝑥→−∞ 
𝑥. 𝑒𝑥 = (→ ∞)(→ 0) indeterminado 
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lim
𝑥→−∞ 
𝑥. 𝑒𝑥 = lim
𝑥→−∞ 
𝑥
1
𝑒𝑥
=
∞
∞
 
 Aplicando L´hôpital 
lim
𝑥→−∞ 
𝑥
𝑒−𝑥
= lim
𝑥→−∞ 
1
−1. 𝑒−𝑥
= lim 
𝑥→−∞ 
− 𝑒𝑥 = 0 
Entonces 𝑦 = 0 es asíntota horizontal 
V. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
Busquemos 𝑓´(𝑥) para analizar usando la derivada del producto de funciones 
𝑓´(𝑥) = 1. 𝑒𝑥 + 𝑥. 𝑒𝑥 
Extrayendo 𝑒𝑥 como factor común 
𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑥 . (1 + 𝑥) 
Notamos que 𝑓´(𝑥) es cero cuando 𝑥 = −1, lo que nos determina dos intervalos para analizar 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −1) (−1; +∞) 
𝑓´(𝑥) − + 
• Si 𝑥 = −2 ⟹ 𝑓´(−2) = 𝑒−2. (1 + (−2)) < 0 
• Si 𝑥 = 2 ⟹ 𝑓´(2) = 𝑒2. (1 + 2) > 0 
Por lo tanto, la función crece en (−1; +∞) y decrece en (−∞; −1). 
VI. Puntos críticos (𝑓´(𝑥) = 0) 
𝑒𝑥 . (1 + 𝑥) = 0 
𝑥 = −1 
VII. Extremos 
Vamos a utilizar el criterio de la segunda derivada para encontrar extremos. Calculemos 𝑓´´(𝑥) y analicemos el signo 
de la función segunda derivada evaluada en los puntos críticos. 
𝑓´´(𝑥) = 𝑒𝑥 . 1 + 𝑒𝑥 . (𝑥 + 1) 
Extrayendo 𝑒𝑥 como factor común 
𝑓´´(𝑥) = 𝑒𝑥 . [1 + (𝑥 + 1)] 
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𝑓´´(𝑥) = (𝑥 + 2). 𝑒𝑥 
Como 𝑓´´(−1) = (−1 + 2). 𝑒−1 > 0 entonces (−1; −𝑒−1) es punto mínimo de la función. 
VIII. Concavidad 
Debemos analizar el signo de la función derivada segunda, encontremos 𝑓´´(𝑥). Igualemos a cero la segunda derivada 
(𝑥 + 2). 𝑒𝑥 = 0 
Entonces 𝑥 = −2 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 (−∞; −2) (−2; +∞) 
𝑓´´(𝑥) − + 
• Si 𝑥 = −3 ⟹ 𝑓´´(−3) = (−3 + 2). 𝑒−3 < 0 
• Si 𝑥 = 2 ⟹ 𝑓´´(2) = (2 + 2). 𝑒2 > 0 
Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en (−2; +∞) y cóncava hacia abajo en (−∞; −2). 
IX. Puntos de inflexión 
Calculemos 𝑓′′′(𝑥) para evaluar si 𝑥 = −2 se anula en ella. 
𝑓′′′(𝑥) = 1. 𝑒𝑥 + (𝑥 + 2). 𝑒𝑥 = (𝑥 + 3). 𝑒𝑥 
𝑓′′′(−2) = (−2 + 3). 𝑒−2 ≠ 0 entonces (−2; −2. 𝑒−2) es punto de inflexión. 
X.Gráfico 
 
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