Capitulo 1

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Cap. 01: Principios de dinámica de fluidos
Ing. Jesús David Rhenals
jesusrhenalsj@correo.unicordoba.edu.co
Aerodinámica y diseño de 
alabes
0.1. REPASO DE MECÁNICA DE 
FLUIDOS
INTRODUCCIÓN
Un fluido es una sustancia que se deforma
fácilmente al aplicarle una fuerza
tangencial de cualquier magnitud y
comprende líquidos y gases.
Los fluidos interaccionan con las
superficies al estar en contacto con estas
generándose cambios de presión, de
velocidad y de algunas otras variables de
interés.
VISCOSIDAD
Consideremos inicialmente el comportamiento de un solido al
aplicarle una fuerza tangencial finita.
• Si no se excede el limite elástico
del material la deformación será
proporcional a la tensión de corte.
• Su deformación no será continua,
el solido se deformará hasta llegar
a un estado de equilibrio.
VISCOSIDAD
Repitiendo el experimento pero usando ahora un fluido, se produce
una continua deformación a medida que transcurre el tiempo.
Se observa que la velocidad de
deformación U, es proporcional a la
tensión t aplicada y a la altura h.
� = � ⋅ ℎ ⋅ �
VISCOSIDAD
Es razonable considerar que el perfil de velocidades es
lineal, como se muestra en la figura, por lo tanto es
posible establecer la siguiente relación para un elemento
diferencia de velocidad du ubicado a una altura dy.
De la ecuación antes planteada:
� = ��⋅	 ⇒ � = �	 ⋅ �
��
Haciendo � = �	 : � = � ��d�
d�d� = �ℎ
� = � ⋅ ℎ ⋅ �
VISCOSIDAD
 La constante � se conoce como
viscosidad del fluido y es una
medida de la resistencia del
mismo a deformarse, esta
propiedad de los fluidos varía
con la temperatura.
Entre los diferentes tipos de fuerza que aparecen
en un fluido podemos mencionar, las fuerzas de
inercia y las fuerzas viscosas. Consideremos un
elemento diferencial de volumen con forma de un
cubo de lado L.
 Fuerza de inercia:
�� = � ⋅ �⃗ = �� ��� = �� ��� = ��� ��
� = �����
FUERZAS INTERNAS DE UN FLUIDO
 Fuerza viscosas:
�! = τ ⋅ A = τ ⋅ �� = � �� �� = ���
La relación que existe entre estas dos fuerzas da
origen al numero de Reynolds.
$% = ���! =
�������� = ����
FUERZAS INTERNAS DE UN FLUIDO
Las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluidos son las de Navier 
Stokes, las cuales para un fluido incompresible son:
Donde u, v y w son las velocidades en las direcciones X, Y y Z. 
FLUJO INCOMPRESIBLE
Los operadores de las ecuaciones anteriores indican: 
FLUJO INCOMPRESIBLE
Flujo de 
fluidos
Flujos ideales 
(No viscosos)
Flujos 
irrotacionales
Flujos 
rotacionales
Flujos reales 
(viscosos)
Flujos 
laminares
Flujos 
turbulentos
TIPOS DE FLUJOS
En un flujo fluido real, la velocidad disminuye en proximidad de la
pared debido a la viscosidad que no permite el deslizamiento de las
partículas sobre las fronteras rígidas, es decir, la velocidad del fluido
sobre la pared es cero.
CAPA LIMITE
La capa límite, normalmente es muy delgada, pero cuando el flujo se
mueve sobre un cuerpo, una mayor cantidad de partículas son
retardadas por efecto del esfuerzo de corte y la capa límite aumenta su
espesor progresivamente aguas abajo.
En el caso de superficies lisas, la capa límite es laminar, ya que las
partículas de fluido se mueven en capas lisas. Pero al aumentar el
espesor, ésta se vuelve inestable y se transforma en una capa límite
turbulenta, donde las partículas de fluido se mueven en forma más o
menos caótica alrededor de una velocidad media.
CAPA LIMITE
CAPA LIMITE
La ecuación de la capa limite para un fluido incompresible en régimen
estacionario bidimensional es la siguiente:
&�&' + &)&� = 0
� &�&' + ) &�&� = −1� &-&' + �� &
��&��
Con las siguientes condiciones de contorno:
En y=0; u=0 y v=0; con � → ∞; u = U(x)
CAPA LIMITE
 Caso particular pared plana: al resolver estas ecuaciones para
una geometría simple como una pared plana se obtiene la
resistencia aerodinámica de una cara:
CAPA LIMITE TURBULENTA
Cuando en la placa plana el número de Reynolds oscila entre
0.5X10^6 y 10^6 la capa límite se hace turbulenta. Este valor crítico de
Reynolds depende de varios factores, como:
• La turbulencia inicial del flujo.
• El borde de ataque.
• La rugosidad de la placa.
Además, para números de Reynolds menores que 2500, la teoría de la
capa límite falla, pues el espesor de la capa es grande y esta parte de
la suposición de que el espesor es pequeño y pierde validez si esta
suposición no se cumple.
FLUJO ALREDEDOR DE UNA ESFERA
En la figura se observa el
desarrollo de la capa límite
sobre una esfera desde el
punto de estancamiento y se
muestra cómo va creciendo
su espesor hacia atrás. Llega
al punto de separación y a
partir de allí la vena se
desprende.
FLUJO ALREDEDOR DE UNA ESFERA
Si el flujo es laminar la capa límite tiene poca capacidad para resistir el
gradiente de presión adverso y se desprende a unos 82º desde el punto
de estancamiento. Por otro lado, si el flujo es turbulento, la capa límite
tiene más energía y la separación se produce a Θ = 120º.
FLUJO ALREDEDOR DE UNA ESFERA
FLUJO SOBRE CUERPOS
En la práctica, con frecuencia, ocurre
flujo de fluidos sobre cuerpos sólidos y
éste causa numerosos fenómenos
físicos como la fuerza de arrastre que
actúa sobre automóviles, líneas de
transmisión eléctrica; la sustentación
desarrollada por las alas de aviones; la
corriente de aire ascendente de la y la
potencia originada por las turbinas de
viento.
FLUJO SOBRE CUERPOS
Cuando un flujo bidimensional incide
sobre un cuerpo se generan fuerzas en
este, producto del efecto combinado de
la presión y el esfuerzo cortante, esta
fuerza la podemos descomponer, una
componente intenta elevar el
cuerpo(sustentación) y a otra intenta
empujarlo en la dirección del
flujo(arrastre).
FLUJO SOBRE CUERPOS
Las fuerzas de fluido también
pueden generar momentos y hacer
que el cuerpo rote. El momento
alrededor de la dirección del flujo se
llama momento de balanceo, el
momento alrededor de la dirección
de sustentación se llama momento
de guiñada, y el momento alrededor
de la dirección de fuerza lateral se
llama momento de cabeceo.
FLUJO SOBRE CUERPOS
La presión y las fuerzas de corte que actúan sobre un área diferencial
dA sobre la superficie son PdA y �6dA
donde u es el ángulo que la normal exterior de dA forma con la
dirección de flujo positivo.
FLUJO SOBRE CUERPOS
Las fuerzas totales de arrastre y sustentación que actúan sobre el
cuerpo se determinan cuando se integran las ecuaciones anteriores
sobre toda la superficie del cuerpo:
Éstas son las ecuaciones que se usan para predecir las fuerzas de
arrastre y sustentación netas sobre los cuerpos cuando el flujo se
simula en computadora.
 
 
: cos sen
: sen cos
D D w
A A
L L w
A A
Arrastre F dF P dA
Sustentacion F dF P dA
  
  
   
   
 
 
FLUJO SOBRE CUERPOS
Cuando una placa plana delgada se expone a un flujo paralelo la
fuerzas en esta solo dependerán de la fricción, sin embargo si se gira
la placa 90° esta fuerza solo dependerá de la presión.
FLUJO SOBRE CUERPOS
Las fuerzas de arrastre y sustentación
dependen de la densidad del fluido, la
velocidad corriente y de parámetros
geométricos. Es conveniente trabajar con
parámetros adimensionales adecuados que
representen las características de arrastre y
sustentación del cuerpo.
A es el área que se
proyecta sobre un
plano normal a la
dirección del flujo).
FLUJO SOBRE CUERPOS
Los coeficientes de arrastre y sustentación locales varían a lo largo
de la superficie como resultado de los cambios en la velocidad de la
capa límite en la dirección del flujo. Existe interés en las fuerzas de
arrastre y sustentación para toda la superficie que pueden
determinarse con los coeficientes promedio de arrastre y
sustentación.
Usando Matlab, resolver
siguientes problemas:
• 11.39
• 11.87
• 11.95
• 11.100
• 11.108
• 11.109
TRABAJO
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
El teorema de transporte de Reynolds nos
relaciona las propiedades de un fluido respecto
a su volumen de control y su importancia radica
en que junta los dos enfoquesmatemáticos de
la mecánica de fluidos.
• Lagrangiano: analiza los sistemas desde lo
relativo a las partículas.
• Euleriano: analiza el sistema desde lo
relativo a una referencia fija por ejemplo un
volumen de control.
Consideremos una propiedad extensiva
cualquiera, B; por lo que b=B/m
corresponde a una propiedad intensiva.
En un tiempo t el volumen de control y
coincide con el sistema, entonces:
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
Al transcurrir un tiempo Δt el sistema se ha
desplazado respecto a nuestro volumen de
control.
Restando las ecuaciones anteriores,
dividiendo entre Δt y tomando limite cuando
Δt→0; obtenemos:
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
Para generalizar esta expresión se debe
tener en cuenta que, del flujo de B que
entra y sale del sistema solo se considera
el que es perpendicular al área de la
superficie, lo cual se represente con el
producto punto.
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
Como la cantidad total de una propiedad en un volumen se puede
expresarse en forma integral como:
Así la razón de cambio de B en el volumen de control se puede
expresar como:
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
Por tanto la ecuación del teorema de transporte de Reynolds se
puede escribir como:
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
Cuando el volumen de control no tiene forma fija (se deforma), la
densidad puede verse alterada, por tanto se modifica el primer
término de la expresión:
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
El teorema del transporte de Reynolds es una generalización de los
balances de:
• Masa.
• Cantidad de movimiento.
• Energía.
• Carga.
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para el desarrollo formal de las ecuaciones de la cantidad de
movimiento basta aplicar el teorema del transporte de Reynolds a
esta propiedad.
La segunda ley de newton nos dice:
Las fuerzas externas de la ecuación anterior se deben a la acción de
fuerzas en la superficie y fuerzas del movimiento de las partículas.
7�8�9��� �: �;)9�9:8�; = ��<� ∗ ():>;?9���)
�%@ = d7d�
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para el desarrollo formal de las ecuaciones de la cantidad de
movimiento basta aplicar el teorema del transporte de Reynolds a
esta propiedad.
� A
B = CD dE
� FG! = C�H d�
� %×J = � KLM + � NG! = O D dE+ O �H d�
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
De esta manera obtenemos:
Ahora remplazando en la ecuación de teorema del transporte.
�P�J = O D dE+ O �H d�
d�� C�Q⃗ d� + R�Q⃗� dE = CD dE + C�H d�
R1
R2
Triángulos
de velocidades
U1
W1
U2
W2
V1
W
V2
Ui = W Ri, velocidad de arrastre
Vi = velocidad absoluta
Wi = velocidad relativa (% rotor)
Vi = Ui + Wi
b2 a2
b1 a1
U1
W1 V1
ENTRADA
U2
W2 V2 SALIDA
TRIANGULO DE VELOCIDADES
Ecuación de Euler
R1
R2
Considerando: no hay perdidas, Flujo incompresible, Bernoulli en el sistema
ligado al rotor:
2P2/r + W22 – R22W2 = 2P1/r + W12 - R12W2
W
g Ht = R2W V2 Cos a2 – R1W V1 Cos a1
Ecuación de Euler – Independiente de la forma del alabe
U1
W1
U2
W2
V1
V2
W = V – U, implica W2 – U2 = V2 – 2 V.U
[2P/r + W2 – R2W2]=0  [2P/r + W2 – U2]
Notación abreviada :
[P/r + V2/2] = [U.V]
Teoría unidimensional
Euler da la altura suministrada a UNA línea de corriente
Como deducir la altura comunicada a TODO el flujo?
Para un rotor cualquiera, hará falta integrar sobre todas las líneas.
No es obvio si varias líneas reciben varias altura.
En el presente caso, empezamos por la denominada “Teoría Unidimensional”.
g Ht = R2W V2 Cos a2 – R1W V1 Cos a1
Hipótesis Teoría 1D:
Las cantidades solo varían como su distancia al eje.
Igual, numero infinito de alabes.
TODAS las líneas reciben la misma Ht, que llega a ser la 
altura comunicada al conjunto del fluido:
Solo nos queda introducir el caudal en la parte derecha.
0.2. ANALISIS DIMENSIONAL Y 
ADIMENSIONALIZACIÓN
INTRODUCCIÓN
Dado que la interacción de los fluidos está fuertemente ligada a las
dimensiones del sistema físico de estudio, para construir modelos
generales se hace necesario eliminar esta dependencia, además
para algunas aplicaciones de diseño de alabe donde el sistema real
es muy grande (Turbina eólica) y se requiere evaluaciones
experimentales al adimensionalizar el problema es posible escalarlo
a un tamaño manejable.
Los métodos de análisis
dimensional buscan establecer
relaciones empíricas entre las
variables que influyen en la
solución de un problema, estas
relaciones permiten extrapolar
resultados por medio del
escalamiento.
ANALISIS DIMENSIONAL
ANALISIS DIMESIONAL
En la mayoría de los
experimentos, para ahorrar
tiempo y dinero, las pruebas se
realizan en un modelo a escala
geométrica, en lugar de en un
prototipo de tamaño real.
En tales casos, se debe tener cuidado de escalar
adecuadamente los resultados. Aquí se introduce una
poderosa técnica llamada análisis dimensional.
El análisis dimensional es especialmente útil en el trabajo
experimental, porque indica los parámetros que influyen
significativamente en los fenómenos y la dirección en la
que se debe desarrollar el trabajo experimental.
ANALISIS DIMESIONAL
ANALISIS DIMESIONAL
ANALISIS DIMESIONAL
ANALISIS DIMESIONAL
A
N
A
LI
S
IS
 D
IM
E
N
S
IO
N
A
L
Método Rayleigh
Sirve para identificar las 
variables que influyen en el 
experimento
Método Buckingham
Sirve para formar grupos 
adimensionales con las 
variables
El método de Rayleigh se basa en la conformación de
grupos adimensionales por medio del uso de una función
con invarianza escalar.
MÉTODO DE RAYLEIGH
Una función f(x) presenta invarianza escalar si:S � ⋅ ' = ?S '
Donde � � ? son constantes. 
MÉTODO DE RAYLEIGH
En general para este método la función que se usa es la
función de ley de potencias generalizada la cual cumple el
criterio de invarianza escalar.
Ley de potencia generalizada: en un intervalo especifico
una función cualquiera f se puede aproximar de la
forma: S '�, … , '� = � ⋅ '�VW … '�VX
MÉTODO DE RAYLEIGH
Ejemplo1: Se desea obtener
una relación para expresar la
distancia recorrida por un
cuerpo que cae en caída libre
en el vacío.
MÉTODO DE RAYLEIGH
Ejemplo2: Se desea obtener
una relación para expresar la
fuerza de arrastre que sufre
un cuerpo al moverse en un
fluido.
Se basa en obtener números adimensionales por medio de
la construcción de monomios pi.
Un monomio pi es cualquier monomio que cumple
adimensionalidad e independencia.
MÉTODO DE BUCKINGHAM O PI
Recorderis: un monomio se dice independiente si:Y�Z� + ⋯ YVZV = 0
Si y solo si:Y� = ⋯ YV = 0
MÉTODO DE BUCKINGHAM O PI
TEOREMA DE PI
Toda ley natural se puede reducir a una ecuación que relacione
una serie completa de monomios pi conformado con las
magnitudes que intervienen en el fenómeno.
Así: \ '�, '�, ⋯ '� = 0 ≡ S Z�, … , ZV = 0
Y 8 = i − �
Donde k es la dimensión de la matriz formada con relación a
una base cualquiera.
En particular siempre tomaremos como base el sistema de
medida LTM.
Paso1: Calcular el numero de parámetros adimensionales pi.
Paso2: Construya la matriz dimensional del sistema en términos
de la base de medida.
Paso 3: Elija un numero k de variables simples independientes.
Paso 4: plantear una ecuación por medio de la ley de potencias
para un numero macro pi en términos de estas variables y las
variables fundamentales del sistema.
MÉTODO DE BUCKINGHAM O PI
Paso5: Resolver para los exponentes de las variables
simples en términos de los exponentes de las variables
fundamentales cumpliendo el criterio de adimensionalidad.
Paso6: Se ignoran las variables antes seleccionadas y se
construyen los números adimensionales pi con el resto de
variables resolviendo el sistema general con base en las
dimensiones de la variable elegida.
MÉTODO DE BUCKINGHAM O PI
Ejemplo: Obtenga una expresión para la caída de
presión de un fluido cuando se mueve por una
tubería horizontal de sección circular; cuando se
sabe que esta depende del diámetro interno, la
rugosidad del material de la tubería, la longitud de
la tubería, la velocidad del fluido,su densidad y su
viscosidad.
MÉTODO DE BUCKINGHAM O PI
SIMILITUD Y ESCALAMIENTO
Si se tienen un numero adimensional Z� evaluados en unas
condiciones especificas y se tienen el mismo numero evaluado
en otras condiciones Z_ se puede establecer una relación entre
estos números de la siguiente manera.Z�V = Z_N
Con m/n como parámetro de escalamiento.
Cuando se trabaja con modelos numéricos es
recomendable adimensionalizar por dos razones:
1. Se pueden generalizar las soluciones en términos
de los parámetros adimensionales.
2. Se pueden simplificar los modelos para valores de
grupos dimensionales insignificantes.
ADIMENSIONALIZACIÓN
Para adimensionalizar basta realizar un simple cambio
de variables expresando la variable original como el
producto de un valor característico y por la variable
adimensional, así:
` = `a ⋅ `∗
ADIMENSIONALIZACIÓN
Para algunas variables comunes:
ADIMENSIONALIZACIÓN
Para variables derivadas:
ADIMENSIONALIZACIÓN
Ejemplo1: Adimensionalizar la ecuación de
continuidad.
ADIMENSIONALIZACIÓN
Ejemplo2: En un campo de flujo incompresible, la
fuerza por unidad de masa que actúa sobre una
partícula de fluido se obtiene a partir de la segunda Ley
de Newton en forma intensiva
ADIMENSIONALIZACIÓN