INICIA-4ESO-MATACALP-unit

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3 Polinomios y fracciones algebraicas
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Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
POLINOMIOS 
Y FRACCIONES 
ALGEBRAICAS3
En esta unidad se revisan todos los contenidos ya trabajados en el curso anterior sobre monomios, polinomios y sus operaciones. Se tratarán con más profundidad las identidades notables incluyendo cualquier potencia de un binomio.Después se revisará de manera especial la división de polinomios y la regla de Ruffini para cocientes entre binomios de grado uno. Esto 
junto con los teoremas del resto y del factor y las identidades notables, se utilizarán para encontrar las raíces de un polinomio y factorizarlo. 
Por último los alumnos trabajarán por primera vez con fracciones algebraicas: tanto su simplificación como las operaciones básicas.
Todos los contenidos se trabajan con ejercicios que permitan practicar las operaciones y la factorización de polinomios. Esta unidad es clave 
para adquirir los procedimientos necesarios para poder enfrentarse a las unidades siguientes de ecuaciones y sistemas. Más adelante retoma-
remos estos contenidos en las unidades relativas a las funciones.
La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y del resto de competencias clave. Por 
esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.
Comunicación lingüística (CL)
Es la protagonista del bloque Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relacionados 
con el uso de determinadas expresiones algebraicas en situaciones no exclusivamente matemáticas.
Además en la sección Matemáticas vivas se trabaja la comprensión de un enunciado y un cuadro informativo y la expresión del método de 
modelización del problema utilizando el lenguaje algebraico y verbalizando la relación entre las variables que intervienen.
Competencia digital (CD)
Integrada a lo largo de la unidad muestra a los alumnos las ventajas de recurrir a los medios informáticos en general, las hojas de cálculo y la 
expresión gráfica de un conjunto de valores para descubrir la relación entre las variables implicadas en un problema.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
Se desarrolla en todos los epígrafes. También se trabaja en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo del contexto de elaboración del 
presupuesto de un ventanal se trabaja el proceso de modelización y tratamiento de información a través del lenguaje algebraico.
Competencia aprender a aprender (CAA)
A través de los distintos epígrafes y secciones de esta unidad se trabaja esta competencia, en Desafíos en los que se inicia el proceso de con-
jetura y demostración a través del lenguaje algebraico, en los problemas con contexto que se centran en la modelización de situaciones y en 
otros ejercicios que se sugieren investigaciones de propiedades de las operaciones con polinomios.
La regla de Ruffini y el teorema del resto muestran el proceso de simplificación al que conduce la observación de propiedades y procesos 
mecánicos como la división.
Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)
En esta unidad aparecen nombres de matemáticos relevantes como Blaise Pascal (triángulo de Pascal), Isaac Newton (binomio de Newton) 
y Euclides de Alejandría (algoritmo de Euclides para la división de polinomios) que permiten mostrar al alumno las matemáticas como una 
construcción fruto del trabajo de la Humanidad, completada con aportaciones de muchos personajes de muy distintas culturas a lo largo de 
toda la Historia. Poner en contexto estas aportaciones y mostrar cómo su forma actual es el resultado de modificaciones realizadas a lo largo 
del tiempo y gracias a distintos pensadores, ayudará a considerar las matemáticas como legado cultural y no solo como herramienta científica.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
La unidad contiene un gran número de problemas y su resolución contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal que se utilizan en 
el proceso de planificación de estrategias, a la asunción de retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre. Se desarrolla especialmente en 
varias de las últimas actividades Investiga y Desafío. Además, en la sección Matemáticas vivas se trabaja un proceso en el que se muestra cómo 
considerar y valorar todas las variables y datos implicados en un problema para tomar la mejor decisión.
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay 
que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos. 
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3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Manipular expresiones algebraicas y reconocer sus elementos, así como calcular el valor numérico.
❚❚ Expresar situaciones problemáticas a través del lenguaje algebraico.
❚❚ Operar y simplificar monomios, polinomios y fracciones algebraicas.
❚❚ Aplicar las propiedades de las operaciones con monomios, polinomios y fracciones algebraicas. Sacar factor común.
❚❚ Manejar con soltura las identidades notables.
❚❚ Utilizar la regla de Ruffini para simplificar determinados cocientes.
❚❚ Identificar las raíces de un polinomio y factorizarlo en factores irreducibles.
❚❚ Conocer y comprender los enunciados del teorema del resto y del teorema del factor. 
❚❚ Aplicar los teoremas a la determinación de raíces y factorización de polinomios.
❚❚ Generalizar, demostrar y resolver problemas utilizando monomios, polinomios y fracciones algebraicas.
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación 
que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de 
problemas relacionados con el estudio de los polinomios y las fracciones algebraicas.
Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre polinomios 
y fracciones algebraicas y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con el lenguaje algebraico, los polinomios y las fraccio-
nes algebraicas pueden acceder a la web www.mismates.es.
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de 
actividades del libro 
del alumno
Competencias 
clave
Monomios y 
polinomios. Valor 
numérico
1. Identificar monomios, polinomios y sus 
elementos.
2. Operar con monomios.
3. Determinar el valor numérico de un 
monomio o polinomio.
4. Traducir enunciados verbales y situaciones 
problemáticas empleando monomios y 
polinomios y trabajar con ellos.
1.1. Distingue entre monomio y polinomio y 
reconoce sus elementos.
1.2. Determina el grado de un monomio y de un 
polinomio.
2.1. Realiza operaciones con monomios.
3.1. Calcula el valor numérico de un monomio o 
polinomio.
4.1. Expresa correctamente distintas situaciones 
utilizando monomios y polinomios.
1, 2, 7
93
2, 7
93
3-6
89-92
8, 94
9
CMCT
CL
CAA
CSIEE
Suma y 
multiplicación de 
polinomios
5. Calcular la suma y el producto de 
polinomios.
6. Aplicar las propiedades de las operaciones 
con polinomios. Sacar factor común.
5.1. Suma y multiplica polinomios escribiendo el 
resultado de forma simplificada y ordenada.
6.1. Utiliza correctamente las propiedades 
de la suma y la resta de polinomios para 
simplificar operaciones.
6.2. Saca factor común en un polinomio.
10-14, 18
95, 98
Matemáticasvivas 
1, 2
CM1, CM2
15, 16, 19
96
17
97
CMCT
CL
CAA
CSIEE
3 Polinomios y fracciones algebraicas
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Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de 
actividades del libro 
del alumno
Competencias 
clave
Potencias de 
polinomios. 
Identidades 
notables
7. Utilizar las identidades notables.
8. Calcular potencias de polinomios.
7.1. Identifica las identidades notables y 
las emplea con soltura en cálculo y 
factorización.
8.1. Calcula la potencia de un polinomio 
cualquiera.
8.2. Aplica el binomio de Newton para 
determinar una potencia de un binomio.
20-24, 30
99-101, 103
25, 26
27-29
102
CMCT
CL
CAA
CCEC
CSIEE
División de 
polinomios
9. Realizar la división de polinomios.
10. Conocer y utilizar la relación entre los 
términos de una división.
9.1. Resuelve divisiones de polinomios e 
identifica sus elementos.
10.1. Aplica la relación entre los términos de una 
división para comprobarla o determinar el 
que falta.
31, 32, 36
38, 40, 41
104
33-35, 37, 39
105-107
CMCT
CD
CL
CAA
CSIEE
Regla de Ruffini 11. Aplicar la regla de Ruffini para dividir 
polinomios de la forma x − a.
11.1. Aplica la regla de Ruffini correctamente en 
los casos adecuados.
11.2. Utiliza la regla de Ruffini para resolver 
cuestiones con polinomios.
42-47
108-110
48-51
111-113
CMCT
CL
CAA
CCEC
CSIEE
Teorema del resto. 
Teorema del factor. 
Raíces de un 
polinomio
12. Identificar las raíces de un polinomio.
13. Conocer y comprender el enunciado del 
teorema del resto.
14. Conocer y comprender el teorema del 
factor.
12.1. Sabe si un número es o no raíz de un 
polinomio.
13.1. Determina el resto de la división de un 
polinomio por un binomio de la forma 
x − a como el valor numérico para x = a.
14.1. Reconoce si un polinomio de la forma 
x − a divide a un polinomio.
52, 55, 57
61, 62, 63
116, 117
53, 54, 59, 60
115
56, 58
114, 118
CMCT
CL
CAA
CSIEE
Factorización de 
polinomios
15. Descomponer un polinomio como 
producto de factores irreducibles.
15.1. Factoriza al máximo y correctamente un 
polinomio.
15.2. Aplica la factorización de polinomios para 
la resolución de cuestiones.
64-67
119-122
68-72
CMCT
CL
CAA
CSIEE
Fracciones 
algebraicas. 
Simplificación
16. Identificar fracciones algebraicas 
y reconocer fracciones algebraicas 
equivalentes.
17. Simplificar fracciones algebraicas.
16.1. Comprueba si dos fracciones algebraicas 
dadas son equivalentes.
16.2. Calcula fracciones equivalentes.
17.1. Halla la expresión irreducible de una 
fracción algebraica.
73, 79
123
74, 75, 78
125
76, 77, 80
124
CMCT
CD
CL
CAA
CCEC
CSIEE
Operaciones 
con fracciones 
algebraicas
Suma y resta
Multiplicación 
y división
18. Operar con fracciones algebraicas. 18.1. Suma y resta fracciones algebraicas.
18.2. Multiplica y divide fracciones algebraicas.
18.3. Realiza operaciones combinadas con 
fracciones algebraicas.
81-83
126
Matemáticas vivas 3
Trabajo cooperativo
84, 85
127
86-88
128
CMCT
CD
CL
CAA
CSIEE
3Polinomios y fracciones algebraicas
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
¿Qué tienes que saber?
 • Polinomios. Operaciones
 • Regla de Ruffini. Teorema del resto
 • Factorización de polinomios
 • Fracciones algebraicas. Operaciones
Avanza
Expresiones algebraicas con dos 
variables
Cálculo mental
Estrategia para multiplicar dos 
binomios
PARA EL PROFESOR
MATERIAL COMPLEMENTARIO
PARA EL ALUMNO
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Presentación de la unidad 
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Niccolo Fontana 
Tartaglia
1. Monomios y polinomios. Valor 
numérico
2. Suma y multiplicación de 
polinomios
3. Potencias de polinomios. 
Identidades notables
Vídeo. División de polinomios y prueba4. División de polinomios
5. Regla de Ruffini
Vídeo. Fracciones algebraicas8. Fracciones algebraicas. Simplificación
9. Operaciones con fracciones 
algebraicas
 • Suma y resta
 • Multiplicación y división
7. Factorización de polinomios
6. Teorema del resto. Teorema del 
factor. Raíces de un polinomio
Actividades finales Actividades interactivas
MisMates.es
Comprende y resuelve 
problemas
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Matemáticas vivas
El precio de una ventana
 • Modelización de un problema: el 
álgebra de una ventana
Trabajo cooperativo 
Tarea cuya estrategia cooperativa es 
Cooperación guiada o estructurada, de 
O’Donnell y Dansereau
Practica+
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
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3 Polinomios y fracciones algebraicas
84
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
Sugerencias didácticas
El lenguaje algebraico es una herramienta muy útil para mo-
delizar y resolver problemas. Está presente en todos los cam-
pos de la ciencia y sin embargo es difícil de comprender para 
nuestros alumnos.
En la entrada se enumeran muchos usos del lenguaje algebrai-
co que ellos ya conocen. Se les podría preguntar por situacio-
nes en las que hayan visto expresiones algebraicas: geometría, 
física, economía... y anotarlas en la pizarra. Que recuerden qué 
son monomios y polinomios para clasificar las expresiones que 
vayan apuntando entre todos. 
También se habla de otras aplicaciones como el diseño gráfico 
por ordenador que no les es tan cercano. Si el tiempo lo permi-
te se les podría hablar de estas otras aplicaciones.
Contenido WEB. NICCOLO FONTANA TARTAGLIA 
Recurso TIC para complementar la página de inicio con infor-
mación relativa a la unidad. En este caso se trata de una breve 
biografía del matemático italiano Niccolo Fontana, más conoci-
do como Tartaglia. Puede utilizarse para motivar a los alumnos 
antes de comenzar a trabajar la unidad, relacionando conceptos 
de distintas áreas, o como ampliación para aquellos alumnos que 
muestren un interés especial.
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1. Aplica la propiedad distributiva o saca factor común, y opera. a) −4 ⋅ (5 + 7) b) 24 ⋅52 − 23 ⋅53 + 22 ⋅54
a) −4 ⋅5− 4 ⋅7 = −48 b) 24 ⋅52 − 23 ⋅53 + 22 ⋅54 = 22 ⋅52 ⋅ 22 − 2 ⋅5 + 52( ) = 100 ⋅ (19) = 1900
2. Expresa la superficie y el volumen de un brik de zumo dependiendo de su longitud, l; anchura, a, y 
altura, h. Ayúdate de un dibujo.
Superficie: S = 2 ⋅Área de la base + Perímetro de la base ⋅altura = 2 ⋅ (a ⋅ l ) + 2 ⋅ (a + l ) ⋅h
Volumen: V = Área de la base ⋅altura = a ⋅ l ⋅h
3. Justifica cuál de estas expresiones es un monomio. Indica cuáles son el coeficiente, las variables y el grado.
a) 3 xy4 b) 
7 x3 yz2
5
 c) 
3xz3
y2
 d) 3x2 −
1
2
y2
a) No es un monomio.
b) Es un monomio. Coeficiente: 
7
5
, variables: x, y, z; grado: 6.
c) No es un monomio. 
d) No es un monomio.
4. Realiza estas operaciones con monomios. a) 3x2 y −5 yx2 b) 6 x3 y2 ⋅
2
3
xy2t c) −30a5 : 6a2
a) −2x2 y b) 6 x3 y2 ⋅
2
3
xy2t = 4 x4 y 4t c) −30a5 : 6a2 = −5a3
5. Aplica el método más adecuado para resolver estas ecuaciones. a) 2x2 + 5 x − 3 = 0 b) 3x2 + 5 x = 0 c) 9 x2 − 4 = 0
a) 2x2 + 5 x − 3 = 0 → x =
−5 ± 52 − 4 ⋅2 ⋅ (−3)
2 ⋅2
=
−5 ± 7
4
→ x1 =
1
2
, x2 = −3
b) 3x2 + 5 x = 0 → x ⋅ (3x + 5) = 0 → x = 0, 3x + 5 = 0 → x = −
5
3
c) 9 x2 − 4 = 0 → 9 x2 = 4  → x2 =
4
9
→ x = ±
2
3
a al l
h h
REPASA LO QUE SABES
1. Aplica la propiedad distributiva o saca factor común, y opera.
a) −4 ⋅ (5 + 7) b) 24 ⋅52 − 23 ⋅53 + 22 ⋅54
2. Expresa la superficie y el volumen de un brik de zumo dependiendo 
de su longitud, l; anchura, a, y altura, h. Ayúdate de un dibujo.
3. Justifica cuál de estas expresiones es un monomio. Indica cuáles 
son el coeficiente, las variables y el grado.
a) 3 xy4 b) 
7x3 yz2
5
 c) 
3xz3
y2
 d) 3x2 −
1
2
y2
4. Realiza estas operaciones con monomios.
a) 3x2 y −5yx2 b) 6 x3 y2 ⋅
2
3
xy2t c) −30a5 : 6a2
5. Aplica el método más adecuado para resolver estas ecuaciones.a) 2x2 + 5x − 3 = 0 b) 3x2 + 5x = 0 c) 9x2 − 4 = 0
3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
El lenguaje algebraico facilita la comprensión del mundo físico, 
económico, tecnológico… Ayuda a expresar relaciones entre 
magnitudes, a simplificar la investigación de propiedades, 
a construir demostraciones… Las fórmulas que escribimos 
utilizando letras para representar cantidades variables, 
indeterminadas o desconocidas, como la fórmula del interés 
simple o compuesto, son expresiones algebraicas.
De entre todas ellas, los polinomios y las fracciones algebraicas 
son las más sencillas y fascinantes. Con ellas se generan 
gráficos por ordenador utilizados en el diseño de la carrocería 
aerodinámica de un deportivo o de las montañas del paisaje, 
los gestos de un personaje o la melena de una princesa en una 
película de animación. 
El lenguaje algebraico facilita la comprensión del mundo físico, 
económico, tecnológico… Ayuda a expresar relaciones entre 
magnitudes, a simplificar la investigación de propiedades, 
a construir demostraciones… Las fórmulas que escribimos 
utilizando letras para representar cantidades variables, 
indeterminadas o desconocidas, como la fórmula del interés 
simple o compuesto, son expresiones algebraicas.
De entre todas ellas, los polinomios y las fracciones algebraicas 
son las más sencillas y fascinantes. Con ellas se generan 
gráficos por ordenador utilizados en el diseño de la carrocería 
aerodinámica de un deportivo o de las montañas del paisaje, 
los gestos de un personaje o la melena de una princesa en una 
película de animación. 
IDEAS PREVIAS
 ❚ Traducción al le
nguaje 
algebraico de enu
nciados.
 ❚ Operaciones y p
ropiedades 
de los números re
ales.
 ❚ Monomios. Ope
raciones.
 ❚ Resolución de e
cuaciones 
de primer y segun
do 
grado.
mac4e8
47
Niccolo Fontana (1499-1557), apodado Tartaglia por su 
tartamudez  debida a una herida que sufrió cuando era 
niño,  fue un matemático italiano que descubrió un método 
para resolver ecuaciones.
Matemáticas en el día a día ][
85
3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
1. Monomios y polinomios. Valor numérico
Sugerencias didácticas
En el primer epígrafe de la unidad se repasan contenidos bási-
cos de polinomios que serán imprescindibles para el desarrollo 
de los contenidos siguientes. Se parte de una situación prác-
tica en la que pueden ver cómo los monomios y polinomios 
sirven para modelizar una situación. Así se puede dar sentido 
a aquello con lo que van a trabajar en los siguientes epígrafes.
Es importante que sepan determinar los coeficientes para el 
estudio de las operaciones y calcular el valor numérico para el 
teorema del resto. En la actividad que se propone en el Desafío 
de este epígrafe se les propone un reto en el que se trabaja la 
generalización con ayuda del lenguaje algebraico.
49
3Actividades3 Polinomios y fracciones algebraicas
48
Aprenderás a…
 ● Identificar monomios y 
polinomios y sus elementos.
 ● Calcular el grado de un 
monomio y un polinomio.
Si escribimos un polinomio 
de la forma:
P ( x ) = an x
n + ... + a1x + a0
Los números an , …, a1 , a0 
son los coeficientes del 
polinomio.
 ❚ an es el coeficiente 
principal.
 ❚ a0 es el término de grado 0 
o término independiente.
Si todos los ai son distintos 
de 0 en el polinomio, 
decimos que este es 
completo.
Lenguaje matemático
1. MONOMIOS Y POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO
Pablo se dedica a elaborar cajas de cartón. Uno 
de los formatos es el ortoedro. Las dimensiones 
dependen de la altura, x, que se elija. Todas 
las juntas van reforzadas con una protección 
plástica y las cajas se elaboran sin tapa.
Para saber cuánto material se necesita para 
elaborar la caja, es necesario conocer la longitud 
del perímetro que va a proteger y su área.
 ❚ Perímetro: 2 ◊ (2x ) + 6 ◊ x = 4 x + 6 x = 10 x
 ❚ Área:
3 rectángulos: 3 ⋅ (2x ) ⋅ x = 3 ⋅2 ⋅ x ⋅ x = 6 x2 2 cuadrados: 2 ⋅ x ⋅ x = 2x2
Total: 6 x2 + 2x2 = (6 + 2) ⋅ x2 = 8 x2
Estas dos expresiones son monomios.
Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un 
número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o 
cero, que forman la parte literal.
El grado es la suma de los exponentes de las variables de la parte literal.
Para determinar el precio de la caja, sumamos el coste del cartón más la protección 
plástica y 1 € fijo por la elaboración.
Cartón: 1,50 €/m2 → 1,5 ⋅8 x2 = 12x2 Plástico: 0,50 €/m2 → 0,5 ⋅10 x = 5 x
El coste total es la suma de estos monomios. Es un polinomio de grado 2.
P ( x ) = 12x2 + 5 x + 1
Un polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado. Estos 
monomios se llaman términos.
El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.
Conociendo este polinomio, es fácil determinar el precio de la caja a partir de sus 
dimensiones. Si mide medio metro de ancho, x = 0,5, el precio sería:
P (0,5) = 12 ⋅0,52 + 5 ⋅0,5 + 1 = 3 + 2,5 + 1 = 6,5 La caja costaría 6,50 €.
El número que se obtiene al sustituir la variable, x, por un valor, a, en un polinomio, 
P(x), se llama valor numérico y se escribe P(a).
Términos
 } Simplifica esta operación con monomios 2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5x2 y2 + 9xy. Indica el grado del polinomio 
resultante y calcula su valor numérico para x = 3, y = −1.
Solución
Calculamos la suma de los términos semejantes sumando los coeficientes y manteniendo la parte literal. 
2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy
P (3,-1) = -5 ◊ 32 ◊ (-1)2 - 2 ◊ 32 ◊ (-1) + 6 ◊ 3 ◊ (-1) = -5 ◊ 9- 2 ◊ (-9) + 6 ◊ (-3) = -45 + 18-18 = -45
EJERCICIO RESUELTO
Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado del polinomio P(x, y): 4
Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son 
monomios o polinomios y cuáles ni lo uno ni lo otro.
a) −5 xy3 c) 
7 xy2
z3
 e) 7x5
b) a4 b23 d) 12− a5 f) −3xy + 2 y
Copia y completa la tabla.
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
3a4 b2c3 O O O
−x3 yz2 O O O
5 xy2
2
O O O
Recuerda y escribe las definiciones de monomio 
semejante y de opuesto de un monomio. Indica 
cuáles de los siguientes monomios son semejantes a 
3a2 b5c. ¿Cuál es el opuesto?
a) a2 b5 c) −13ab5c2 e) 3b5 a2c
b) −3a2 b5c d) 
a2 b5c
2
 f) 18abc
Resuelve estas operaciones con monomios. ¿Se 
obtiene siempre un monomio?
a) −6 x3 + 17 x3 −5 x3 d) 6ab ⋅
5
4
a2c ⋅ −
2
15
b2c2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
b) −6 x3 + 17 x2 −5 x3 e) 3x3 y − 4 x2 ⋅2xy
c) 5 xy3 ⋅ −2x2 y3( ) f) − a
5 b3c
4
−
5
6
a3 bc ⋅3a2 b2
Calcula e indica las propiedades que aplicas.
a) −2x5( )
3
 b) 6a2 b( )
5
 c) −3x4 y3( )
4
Realiza estos cocientes de monomios, si es posible. Si 
no, indica el cociente en forma de fracción.
a) 36 x5 : −9 x3( ) c) −7 y3 :
1
2
y3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
b) 12a3 : 5a( ) d) 24 x4 : 6 x7( )
1
2
3
4
5
6
Enumera los términos y coeficientes de estos 
polinomios. Indica su grado, su coeficiente principal, 
el término independiente y si es o no completo.
a) P ( x ) = 7 x3 -5 x
b) Q ( x ) = 4 x4 - 2 +
7
2
x3
c) R ( x ) = 7 x −5 x9 + 3x5
Calcula el valor numérico en cada caso.
a) M (a, b ) = -4 ab2, para a = 2, b = 3
b) N (x, y ) =
3
5
x2 y3, para x = 5, y = −2
c) P ( y ) = 9 y3 − 8 y2 + 3 y −1, para y = −2
d) Q ( x ) = −12x5 −7 x3 + 2x + 6, para x = −
1
2
7
8
 } Enumera los términos de este polinomio e indica 
el grado, el coeficiente principal y el término 
independiente. ¿Es un polinomio completo?
P ( x ) = 11x3 - 3x4 - 21+ 5x2
Solución
Ordenamos el polinomio según sus grados de mayor a 
menor: P ( x ) = -3x4 + 11x3 + 5 x2 - 21
Por orden, sus términos y coeficientes son:
Grado Término Coeficiente
4 −3x4 −3
3 11x3 11
2 5x2 5
1 No tiene. 0
0 −21 −21
 ❚ El grado de P(x) es 4, el mayor de los grados.
 ❚ Su coeficiente principal es −3.
 ❚ El término independiente es −21.Es un polinomio incompleto (no tiene término de grado 1).
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Observa este mosaico hexagonal de dos unidades de lado. ¿Cuántas teselas se han 
utilizado en su elaboración?
a) Calcula cuántas teselas serían precisas para realizar un mosaico como este con tres 
teselas en cada lado.
b) ¿Y para uno de 10 teselas de lado?
c) Encuentra un monomio que exprese el número de teselas necesarias para elaborar 
un mosaico de lado n.
9
Soluciones de las actividades
1 Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios o polinomios y cuáles ni lo uno ni lo otro.
a) −5 xy3 b) a4 b23 c) 
7 xy2
z3
 d) 12− a5 e) 7x5 f) −3xy + 2 y
Monomios: a) y e) Ni monomio, ni polinomio: b) y c) Polinomios: d) y f) 
2 Copia y completa la tabla.
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
3a4 b2c3 3 a4 b2c3 9
−x3 yz2 −1 x3 yz2 6
5 xy2
2
5
2
xy2 3
3 Polinomios y fracciones algebraicas
86
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
3 Recuerda y escribe las definiciones de monomio semejante y de opuesto de un monomio. Indica cuáles de los siguientes mono-
mios son semejantes a 3a2 b5c. ¿Cuál es el opuesto?
a) a2 b5 b) −3a2 b5c c) −13ab5c2 d) 
a2 b5c
2
 e) 3b5 a2c f) 18abc
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal y son opuestos si sus coeficientes son opuestos.
No son semejantes: a), c) y f) Semejantes: b), d) y e) Opuesto: b)
4 Resuelve estas operaciones con monomios. ¿Se obtiene siempre un monomio?
a) −6 x3 + 17 x3 −5 x3 c) 5 xy3 ⋅ −2x2 y3( ) e) 3x3 y − 4 x2 ⋅2xy
b) −6 x3 + 17 x2 −5 x3 d) 6ab ⋅
5
4
a2c ⋅ −
2
15
b2c2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ f) −
a5 b3c
4
−
5
6
a3 bc ⋅3a2 b2
a) 6 x3 b) −11 x 3 + 17 x 2 c) −10 x 3 y 6 d) −a 3 b 3 c 3 e) −5x 3 y f) −
11
4
a5 b3c
El producto de monomios es siempre un monomio, pero la suma y resta de monomios solo si son semejantes.
5 Calcula e indica las propiedades que aplicas.
a) −2x5( )
3
 b) 6a2 b( )
5
 c) −3x4 y3( )
4
a) −2( )
3
⋅ x5( )
3
= −8 x15 b) 65 ⋅ a2( )
5
⋅ b5 = 7776a10 b5 c) −3( )
4
⋅ x4( )
4
⋅ y3( )
4
= 81x16 y12
Se aplica que la potencia de un producto se puede calcular hallando el producto de las potencias. Y que la potencia de una 
potencia es otra potencia de igual base y exponente el producto de los exponentes.
6 Realiza estos cocientes de monomios, si es posible. Si no, indica el cociente en forma de fracción.
a) 36 x5 : −9 x3( ) b) 12a3 : 5a( ) c) −7 y3 :
1
2
y3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ d) 24 x
4 : 6 x7( )
a) 36 x5 : −9 x3( ) = −4 x2 b) 12a3 : (5a ) =
12
5
a2 c) −7 y3 :
1
2
y3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = −14 d) 24 x
4 : 6 x7( ) =
4
x3
7 Enumera los términos y coeficientes de estos polinomios. Indica su grado, su coeficiente principal, el término independiente y si 
es o no completo.
a) P ( x ) = 7 x3 -5 x b) Q ( x ) = 4 x4 - 2 +
7
2
x3 c) R ( x ) = 7 x −5 x9 + 3x5
Términos Coeficientes Grado Coeficiente principal Término independiente Completo
P(x) 7 x3 ; −5 x 7; −5 3 7 0 No
Q(x) 4 x4 ; − 2; (7 / 2) x3 4; −2; 7/ 2 4 4 −2 No
R(x) 7 x ; −5 x9 ; 3x5 7; −5; 3 9 −5 0 No
8 Calcula el valor numérico en cada caso.
a) M (a, b ) = -4 ab2, para a = 2, b = 3 c) P ( y ) = 9 y3 − 8 y2 + 3 y −1, para y = −2
b) N (x, y ) =
3
5
x2 y3, para x = 5, y = −2 d) Q ( x ) = −12x5 −7 x3 + 2x + 6, para x = −
1
2
a) −72 b) −120 c) −111 d) 
25
4
Desafío
9 Observa este mosaico hexagonal de dos unidades de lado. ¿Cuántas teselas se han utilizado en su 
elaboración?
a) Calcula cuántas teselas serían precisas para realizar un mosaico como este con tres teselas en cada 
lado.
b) ¿Y para uno de 10 teselas de lado?
c) Encuentra un monomio que exprese el número de teselas necesarias para elaborar un mosaico de 
lado n.
a) Se necesitarían: 6 ⋅32 = 54 b) Se necesitarían: 6 ⋅102 = 600 c) En general: 6 ⋅ n2 teselas
87
3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
2. Suma y multiplicación de polinomios
Sugerencias didácticas
Este epígrafe es un repaso de las operaciones con polinomios 
que ya se estudiaron en el curso pasado. En los ejemplos re-
sueltos se recuerda el procedimiento y en el margen las pro-
piedades de las operaciones semejantes a las propiedades de 
operaciones con números reales. Resaltar que son las mismas 
propiedades que ya utilizan con los números reales.
Destacar la propiedad distributiva y cómo sacar factor común 
que se utilizará repetidamente en la factorización de polino-
mios y simplificación de fracciones algebraicas. En el Desafío 
se propone un problema que muestra cómo el lenguaje al-
gebraico y los polinomios sirven para modelizar y demostrar 
conjeturas de propiedades de números reales.
51
3Actividades3 Polinomios y fracciones algebraicas
50
Sean los polinomios:
P ( x ) = 3x4 -5 x + 2
Q ( x ) = x3 -7 x2 - 4 x + 10
R ( x ) = -2x4 + 5 x2 + 6 x
Calcula:
a) P ( x ) + Q ( x ) d) P ( x )-Q ( x ) + R ( x )
b) Q ( x )- R ( x ) e) P ( x )- Q ( x ) + R ( x )[ ]
c) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x ) f) P ( x )- Q ( x )- R ( x )[ ]
Estudia el grado y el coeficiente principal de la suma 
de estos polinomios para los distintos valores de 
a y n.
P ( x ) = ax3 -5 x2 + 7 x + 8
Q ( x ) = -4 xn + 6 x2 -11x
Justifica qué grado puede tener la suma de dos 
polinomios, P(x) y Q(x), según sean los grados y los 
coeficientes principales de los sumandos.
Considera los siguientes polinomios y calcula:
a) -4P ( x ) + R ( x ) + 2Q ( x )
b) Q ( x )- 3x2 ◊ R ( x )
c) 5 x3 ◊ R ( x )- 2x ◊ P ( x ) 
Calcula el producto de estos polinomios.
P ( x ) = 3x3 + 4 x2 + 10 x + 5
Q ( x ) = -2x2 + 5 x - 3
¿Qué grado tiene el resultado?
Explica por qué el grado del producto de dos 
polinomios es la suma de los grados de los factores. 
Comprueba el resultado con tres ejemplos.
10
11
12
❚ P (x ) =5x5 +x
4 +2x-3
❚ Q (x ) =9x5 -x
4 -2x3 -5x
2 +x
❚ R (x ) =3x3 -x-2
13
14
Fíjate en estos polinomios.
P ( x ) = -3x2 + 5 x -1
Q ( x ) = 3x - 6 R ( x ) = -5 x + 1
Resuelve, a continuación, las operaciones indicadas.
a) R ( x )- 2x ◊ P ( x )
b) 6 x2 ◊Q ( x )- 3x ◊ R ( x )
c) 6R ( x )-Q ( x ) ◊Q ( x )
d) 5P ( x )-Q ( x ) ◊ R ( x )
Simplifica estas expresiones algebraicas.
a) 
5
3
⋅ 6 x2 − 9 x + 2( )− 4 x ⋅ 2x + 1( )
b) 6 x2 + 2x −7( ) ⋅ −2x + 5( )
c) −5 ⋅ 2x − 3( ) ⋅ x + 2( ) ⋅ 3x −1( )
d) 5 x − x ⋅ 2x2 −5( ) + 1− x( ) ⋅ −3x2 + 2( )
e) 12x − 3x ⋅ x2 − 2x + 3( ) + 2x −1( ) ⋅ x + 3( )
Saca factor común en estos polinomios.
a) P ( x ) = 5 x5 - 2x4 + 6 x3
b) Q ( x ) = 35 x4 - 21x2 + 14 x
c) R (x, y ) = 6 x2 y2 - 3xy2 + 9 x2 y
Pilar elabora pulseras que vende a 3 € en la tienda 
de otra artesana. El cuero necesario para elaborar 
10 pulseras le cuesta 7 € y cada cierre son 0,30 €. 
Además, a la artesana le paga 120 € mensuales por 
la distribución (Considera 1 mes = 30 días).
a) Calcula el coste de material de cada pulsera.
b) Halla el coste diario por distribución.
c) Determina dos polinomios: uno que exprese 
el coste diario de x pulseras fabricadas, C ( x ), y 
otro para los ingresos obtenidos por x pulseras 
vendidas, l ( x ).
d) Establece el polinomio que permite calcular los 
beneficios diarios obtenidos por la venta de x 
pulseras, B ( x ).
e) ¿Cuántas pulseras debería vender Pilar al día para 
no tener pérdidas?
15
16
17
18
2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Las operaciones con polinomios se realizan respetando la jerarquía y las propiedades 
de las operaciones con números reales, así como las propiedades de las potencias.
Aprenderás a…
 ● Calcular la suma y el 
producto de polinomios.
 ● Sacar factor común en un 
polinomio.
Presta atención
Se conservan las propiedades de 
las operaciones con números.
Suma
 ❚ Conmutativa
P ( x ) + Q( x ) = Q( x ) + P ( x )
 ❚ Asociativa
P ( x ) + Q( x ) + R( x )[ ] =
= P ( x ) + Q( x )[ ] + R( x )
 ❚ Elemento neutro: O( x ) = 0
P ( x ) + O( x ) = P ( x )
 ❚ Elemento opuesto: -P ( x )
P ( x ) + -P ( x )[ ] = O( x )
Multiplicación
 ❚ Conmutativa
P ( x ) ◊Q( x )= Q( x ) ◊ P ( x )
 ❚ Asociativa
P ( x ) ◊ Q( x ) ◊ R( x )[ ] =
= P ( x ) ◊Q( x )[ ] ◊ R( x )
 ❚ Elemento unidad: I ( x ) = 1
P ( x ) ◊ I ( x ) = P ( x )
 ❚ Elemento inverso: P-1 ( x )
P ( x ) ◊ P-1 ( x ) = 1
Propiedad distributiva
P ( x ) ◊ Q( x )+ R( x )[ ] =
= P ( x ) ◊Q( x ) + P ( x ) ◊ R( x )
La propiedad distributiva del producto con respecto a la suma permite multiplicar un 
monomio por un polinomio, pero también sacar factor común.
Así, si queremos sacar factor común en un polinomio, buscamos qué factor se repite 
en todos los términos.
Por ejemplo, en el polinomio P ( x ) = 10 x4 -15 x3 -5 x2 + 5 x observamos que:
❚ Todos los coeficientes son múltiplos de 5.
❚ Las partes literales tienen al menos una x.
P ( x ) = 5 ◊ 2 ◊ x3 ◊ x -5 ◊ 3 ◊ x2 ◊ x -5 ◊1◊ x ◊ x + 5 ◊1◊ x
 De este modo, podemos extraer los factores 5 y x.
P ( x ) = 5x ◊ 2x3 - 3x2 - x + 1( )
 } Considera los polinomios:
❚ P ( x ) = x5 -5x3 + 7x2 + 1
❚ Q( x ) = x3 - 3x2 + 2
❚ R( x ) = 2x2 + 5x - 3
Calcula el polinomio resultante de:
2 ◊ P ( x )-Q( x ) ◊ R( x )
Solución
Para operar con polinomios, respetamos la jerarquía y sumamos o multiplicamos 
los términos, monomios, de cada polinomio, aplicando las propiedades de los 
números reales.
1 Resolvemos las multiplicaciones.
Para multiplicar un número por un polinomio, multiplicamos ese número 
por cada uno de los términos del polinomio, aplicando la propiedad 
distributiva.
2 ◊ P ( x ) = 2 ◊ x5 -5 x3 + 7 x2 +1( ) = 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2
Para multiplicar polinomios, recurrimos también a la propiedad distributiva 
y multiplicamos cada término del primer factor por todos los términos del 
segundo factor.
Q ( x ) ◊ R ( x ) = x3 - 3x2 + 2( ) ◊ 2x2 + 5 x - 3( ) =
= 2x5 + 5 x4 - 3x3 - 6 x4 -15 x3 + 9 x2 + 4 x2 + 10 x - 6 =
= 2x5 - x4 -18 x3 + 13x2 + 10 x - 6
2 Resolvemos sumas y restas teniendo en cuenta que la resta es la suma del 
opuesto del sustraendo.
Para ello, vamos agrupando términos semejantes.
2 ◊ P ( x )-Q ( x ) ◊ R ( x ) =
= 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2( )- 2x5 - x4 -18 x3 + 13x2 + 10 x - 6( ) =
= 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2- 2x5 + x4 + 18 x3 -13x2 -10 x + 6 =
= x4 + 8 x3 + x2 -10 x + 8
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Sigue estas instrucciones y prueba con ternas diferentes:
 ❚ Escribe tres números consecutivos.
 ❚ Multiplica los dos de los extremos.
 ❚ Eleva al cuadrado el del medio.
a) Escribe los resultados en una tabla. Puedes ayudarte de una hoja de 
cálculo para organizar la información y hacer las cuentas.
b) Fíjate bien en los resultados de la tabla y escribe tus observaciones.
c) Expresa la relación que hayas constatado utilizando el lenguaje algebraico.
d) Demuestra algebraicamente que la relación es cierta.
19
Soluciones de las actividades
10 Sean los polinomios: P ( x ) = 3x4 -5 x + 2 Q ( x ) = x3 -7 x2 - 4 x + 10 R ( x ) = -2x4 + 5 x2 + 6 x
Calcula:
a) P ( x ) + Q ( x ) c) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x ) e) P ( x )- Q ( x ) + R ( x )[ ]
b) Q ( x )- R ( x ) d) P ( x )-Q ( x ) + R ( x ) f) P ( x )- Q ( x )- R ( x )[ ]
a) P ( x ) + Q ( x ) = 3x4 + x3 −7 x2 − 9 x + 12 d) P ( x )−Q ( x ) + R ( x ) = x4 − x3 + 12x2 + 5 x − 8
b) Q ( x )− R ( x ) = 2x4 + x3 −12x2 −10 x + 10 e) P ( x )− Q ( x ) + R ( x )[ ] = 5 x4 − x3 + 2x2 −7 x − 8
c) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x ) = x4 + x3 − 2x2 − 3x + 12 f) P ( x )− Q ( x )− R ( x )[ ] = x4 − x3 + 12x2 + 5 x − 8
11 Estudia el grado y el coeficiente principal de la suma de estos polinomios para los distintos valores de a y n.
P ( x ) = ax3 -5 x2 + 7 x + 8 Q ( x ) = -4 x
n + 6 x2 -11x
Justifica qué grado puede tener la suma de dos polinomios, P(x) y Q(x), según sean los grados y los coeficientes principales de 
los sumandos.
Para los polinomios P(x) y Q(x) reducidos y ordenados:
Si n > 3 el grado de la suma será n y el coeficiente principal −4, no importa el valor de a.
3 Polinomios y fracciones algebraicas
88
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
Si n = 3 y a ≠ 4 el grado de la suma será 3 y el coeficiente principal será a − 4.
Si n = 3 y a = 4 el grado de la suma será 2 y el coeficiente principal será 1.
12 Considera los siguientes polinomios y calcula:
a) -4P ( x ) + R ( x ) + 2Q ( x ) b) Q ( x )- 3x2 ◊ R ( x ) c) 5 x3 ◊ R ( x )- 2x ◊ P ( x )
a) −4 ⋅ 5 x5 + x4 + 2x − 3( ) + 3x3 − x − 2( ) + 2 ⋅ 9 x5 − x4 − 2x3 −5 x2 + x( ) = −2x5 − 6 x4 − x3 −10 x2 −7 x + 10
b) 9 x5 − x4 − 2x3 −5 x2 + x( )− 3x2 ⋅ 3x3 − x − 2( ) = −x4 + x3 + x2 + x
c) 5 x3 ⋅ 3x3 − x − 2( )− 2x ⋅ 5 x5 + x4 + 2x − 3( ) = 5 x6 − 2x5 −5 x4 −10 x3 − 4 x2 + 6 x
13 Calcula el producto de estos polinomios. P ( x ) = 3x3 + 4 x2 + 10 x + 5 Q ( x ) = -2x2 + 5 x - 3
 ¿Qué grado tiene el resultado?
P ( x ) ⋅Q ( x ) = 3x3 + 4 x2 + 10 x + 5( ) ⋅ −2x2 + 5 x − 3( ) = −6 x5 + 7 x4 − 9 x3 + 28 x2 −5 x −15
El resultado tiene grado 5.
14 Explica por qué el grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados de los factores. Comprueba el resultado con 
tres ejemplos.
El grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados, pues es este el grado que tendrá el término de mayor grado, 
el que se obtiene al multiplicar los dos términos principales.
Para la comprobación valen cualquier pareja de polinomios:
P ( x ) ⋅Q ( x ) = an x
n + an−1x
n−1 + ...( ) ⋅ bm xm + am−1xm−1 + ...( ) = an ⋅ bm( ) ⋅ xn+m + ...
15 Fíjate en estos polinomios: P ( x ) = -3x2 + 5 x -1 Q ( x ) = 3x - 6 R ( x ) = -5 x + 1
Resuelve, a continuación, las operaciones indicadas.
a) R ( x )- 2x ◊ P ( x ) b) 6 x2 ◊Q ( x )- 3x ◊ R ( x ) c) 6R ( x )-Q ( x ) ◊Q ( x ) d) 5P ( x )-Q ( x ) ◊ R ( x )
a) (−5 x + 1)− 2x ⋅ −3x2 + 5 x −1( ) = 6 x3 −10 x2 − 3x + 1 c) 6 ⋅ (−5 x + 1)− (3x − 6) ⋅ (3x − 6) = −9 x2 + 6 x − 30
b) 6 x2 ⋅ (3x − 6)− 3x ⋅ (−5 x + 1) = 18 x3 − 21x2 − 3x d) 5 ⋅ −3x2 + 5 x −1( )− (3x − 6) ⋅ (−5 x + 1) = −8 x + 1
16 Simplifica estas expresiones algebraicas.
a) 
5
3
⋅ 6 x2 − 9 x + 2( )− 4 x ⋅ 2x + 1( ) d) 5 x − x ⋅ 2x2 −5( ) + 1− x( ) ⋅ −3x2 + 2( )
b) 6 x2 + 2x −7( ) ⋅ −2x + 5( ) e) 12x − 3x ⋅ x2 − 2x + 3( ) + 2x −1( ) ⋅ x + 3( )
c) −5 ⋅ 2x − 3( ) ⋅ x + 2( ) ⋅ 3x −1( )
a) 2x2 −19 x +
10
3
 d) x3 − 3x2 + 8 x + 2
b) −12x3 + 26 x2 + 24 x − 35 e) −3x3 + 8 x2 + 8 x − 3
c) −30 x3 −5 x2 + 95 x − 30
17 Saca factor común en estos polinomios.
a) P ( x ) = 5 x5 - 2x4 + 6 x3 b) Q ( x ) = 35 x4 - 21x2 + 14 x c) R (x, y ) = 6 x2 y2 - 3xy2 + 9 x2 y
a) P ( x ) = 5 x5 − 2x4 + 6 x3 = x3 ⋅ (5 x2 − 2x + 6)
b) Q ( x ) = 35 x4 − 21x2 + 14 x = 7 x ⋅ 5 x3 − 3x + 2( )
c) R ( x , y ) = 6 x2 y2 − 3xy2 + 9 x2 y = 3xy ⋅ (2xy − y + 3x )
❚ P (x ) =5x5 +x
4 +2x-3
❚ Q (x ) =9x5 -x
4 -2x3 -5x
2 +x
❚ R (x ) =3x3 -x-2
89
3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
18 Pilar elabora pulseras que vende a 3 € en la tienda de otra artesana. El cuero necesario para elaborar 10 pulseras le cuesta 7 € 
y cada cierre son 0,30 €. Además, a la artesana le paga 120 € mensuales por la distribución. (Considera 1 mes = 30 días).
a) Calcula el coste de material de cada pulsera.
b) Halla el coste diario por distribución.
c) Determina dos polinomios: uno que exprese el coste diario de x pulseras fabricadas, C(x), y otro para los ingresos obtenidos 
por x pulseras vendidas, I(x).
d) Establece el polinomio que permite calcular los beneficios diarios obtenidos por la venta de x pulseras, B(x).
e) ¿Cuántas pulseras debería vender Pilar al día para no tener pérdidas?
a) Coste de material de una pulsera: 
7
10
 € (cuero) + 0,30 € (cierre) = 1 €
b) Coste diario por distribución: 
120
30
= 4 €
c) Coste diario por x pulseras fabricadas: C ( x ) = 4 + x
Ingresos por x pulseras vendidas: I ( x ) = 3x
d) Calculamos los beneficios restando los costes a los ingresos:
B ( x ) = I ( x )−C ( x ) = 3x − (4 + x ) = 2x − 4
e) Para no tener pérdidas debería conseguir que el polinomio de beneficios no tenga valor numérico negativo. Si vende dos 
pulseras el beneficio sería de 0 €, sin pérdidas: B (2) = 2 ⋅2− 4 = 0
Debería vender,al menos, dos pulseras al día.
Desafío
19 Sigue estas instrucciones y prueba con ternas diferentes:
❚❚ Escribe tres números consecutivos.
❚❚ Multiplica los dos de los extremos.
❚❚ Eleva al cuadrado el del medio.
a) Escribe los resultados en una tabla. Puedes ayudarte de una hoja de cálculo para organizar la información y hacer las cuentas.
b) Fíjate bien en los resultados de la tabla y escribe tus observaciones.
c) Expresa la relación que hayas constatado utilizando el lenguaje algebraico.
d) Demuestra algebraicamente que la relación es cierta.
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
Tres números consecutivos Producto de los extremos Medio al cuadrado
2, 3, 4 2 ⋅ 4 = 8 32 = 9
10, 11, 12 10 ⋅ 12 = 120 112 = 121
... ... ...
b) El producto del primer y tercer número es siempre una unidad menor que el cuadrado del segundo número.
c) y d) Representando algebraicamente los tres números y operando:
Tres números consecutivos Producto de los extremos Medio al cuadrado
x , x + 1, x + 2 x ⋅ ( x + 2) = x2 + 2x ( x + 1)2 = x2 + 2x + 1
3 Polinomios y fracciones algebraicas
90
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
3. Potencias de polinomios. Identidades notables
Sugerencias didácticas
Se les puede pedir a los alumnos que recuerden las identidades 
notables y que vayan viendo la generalización de las potencias 
de un binomio calculando ellos mismos las primeras potencias. 
De este modo se puede conseguir que razonen y no memori-
cen el método.
En la sección Desafío se propone otro problema de conjetura, 
modelización y demostración utilizando el lenguaje algebrai-
co y potencias de binomios. Con esta actividad se conseguirá 
que valoren el lenguaje algebraico también como método de 
generalización.
53
3Actividades3 Polinomios y fracciones algebraicas
52
Desarrolla aplicando las identidades notables.
a) 
2
3
x + x2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
 c) 2x3 −
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅ 2x
3 +
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
b) 
3
4
x2 − 6 y
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
 d) −5 x − 8( ) ⋅ −5 x + 8( )
Resuelve y simplifica.
a) 2x + 1( )
2
− 2x −1( )
2
b) x2 + 5 x( )
2
− x ⋅ x −5( )
2
c) 3x − 2( ) ⋅ x −1( )
2
+ 2x ⋅ x + 3( ) ⋅ x − 3( )
d) x2 + 1( )
2
⋅ x2 −1( )
2
+ 2x2 ⋅ x2 + 1( )
Copia y completa estas igualdades.
a) § + 3x( )2 = 36 x4 + § + 9 x2
b) §− 2 y2( )
2
= 3x2 −§+§
c) § +
x
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
= 9− 2x + §
d) x + §( ) ⋅ x −§( ) = §− 2
20
21
22
Justifica si estos polinomios corresponden al desarrollo 
de alguna identidad notable. Indica cuál.
a) x2 + 2x + 1 c) 4 x2 + 12x + 9
b) 4 x2 − 4 x + 1 d) x2 −5
23
Expresa estos polinomios como el cuadrado de un 
binomio más o menos un monomio.
a) x2 + 5 x + 25
b) 4 x2 −12x
c) x6 + x3 + 4
d) 25 x4 −10 x2
Calcula estas potencias de polinomios desarrollando 
los productos.
Halla la expresión desarrollada del cuadrado de un 
trinomio cualquiera: a + b + c
Completa el triángulo de Tartaglia hasta la décima 
fila. ¿Cuál es el exponente de la potencia (a + b )n 
que tiene esos coeficientes en su desarrollo?
Calcula estas potencias de binomios.
a) x + 3( )
5
 c) 2x + 1( )
4
 e) x +
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
b) y −7( )
3
 d) −2x + y( )
5
 f) x3 −5 x( )
3
Rebeca asegura que, si añade un metro a la arista 
de un cubo, el volumen aumentará un metro 
cúbico. ¿Tiene razón? ¿Por qué? Haz un dibujo de 
la situación.
24
25
a) (3x2 − 5x + 1)
2 c) (3 − x)
3
b) (x2 + x + 1)3 d) (2x + y)
4
26
27
28
29
3. POTENCIAS DE POLINOMIOS. 
IDENTIDADES NOTABLES
Para algunos productos particulares, conocemos fórmulas que permiten simplificar 
el cálculo; se trata de las identidades notables.
❚ Cuadrado de una suma: (a + b )2 = a2 + 2ab + b2
❚ Cuadrado de una diferencia: (a- b )2 = a2 - 2ab + b2
❚ Suma por diferencia: (a + b ) ◊ (a- b ) = a2 - b2
Las dos primeras son potencias de polinomios. La potencia de un polinomio, igual 
que la de un número, es la forma abreviada de escribir el producto de un polinomio 
por sí mismo.
P ( x ) ◊ ...
n veces
◊ P ( x ) = [P ( x )]n
Son interesantes las potencias de un binomio de la forma a + b. Podemos calcular 
algunas potencias y buscar regularidades que nos permitan simplificar los cálculos.
Las potencias (a + b)0 y (a + b)1 son evidentes, y (a + b)2 ya la conocemos. Calculamos 
(a + b)3 fijándonos bien en los pasos.
(a + b )3 = (a + b )2 ⋅ (a + b ) =
= a2 + 2ab + b2( ) ⋅ (a + b ) = a2 ⋅ (a + b ) + 2ab ⋅ (a + b ) + b2 ⋅ (a + b ) =
= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 =
= a3 + (1+ 2 ) ⋅ a2b + (2 + 1) ⋅ ab2 + b3 =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Calculamos potencias sucesivas y buscamos patrones en los coeficientes y partes 
literales de cada término.
(a + b )0 = 1
(a + b )1 = 1◊ a + 1◊ b
(a + b )2 = 1◊ a2 + 2 ◊ ab + 1◊ b2
(a + b )3 = 1◊ a3 + 3 ◊ a2 b + 3 ◊ ab2 + 1◊ b3
(a + b )4 = 1◊ a4 + 4 ◊ a3 b + 6 ◊ a2 b2 + 4 ◊ ab3 + 1◊ b4
Todos los términos tienen el mismo grado, el exponente de la potencia, y los 
exponentes de las variables varían de uno en uno desde an b0 hasta a0 bn.
Los coeficientes que se obtienen al sumar los términos semejantes coinciden con los 
coeficientes contiguos de la fila anterior. La estructura que forman los coeficientes 
se conoce como triángulo de Tartaglia o triángulo de Pascal.
Aprenderás a…
 ● Calcular potencias de 
polinomios.
 ● Utilizar las identidades 
notables.
 } Desarrolla estas potencias de binomios utilizando el triángulo de 
Tartaglia.
a) x2 + 3( )
4
 b) 2x −5( )
3
Solución
a) x2 + 3( )
4
= 1⋅ x2( )
4
+ 4 ⋅ x2( )
3
⋅31 + 6 ⋅ x2( )
2
⋅32 + 4 ⋅ x2( )
1
⋅33 + 1⋅34 =
= x8 + 12x6 + 54 x4 + 108 x2 + 81
b) 2x -5( )
3
= 2x + -5( )[ ]
3
=
= 1◊ 2x( )
3
+ 3 ◊ 2x( )
2
◊ -5( ) + 3 ◊ 2x( )
1
◊ -5( )
2
+ 1◊ -5( )
3
=
= 8 x3 - 60 x2 + 150 x -125
EJERCICIO RESUELTO
 } Justifica si este polinomio corresponde al 
desarrollo de alguna identidad notable. ¿Cuál?
9y 4 − 6 y2 x + x2
Solución
1 Pensamos qué identidad notable podría ser.
 El polinomio 9 y 4 − 6 y2 x + x2 podría ser el 
desarrollo del cuadrado de una diferencia, pues 
tiene tres términos y solo uno es negativo.
2 Identificamos sus términos.
❚ En este caso, sus términos cuadrados son:
9 y 4 = 3 y2( )
2
 x
2 = x( )
2
❚ Comprobamos que: 2 ⋅3 y2 ⋅ x = 6 y2 x
El polinomio es el desarrollo de: 3 y2 − x( )
2
9 y 4 - 6 y2 x + x2 = 3 y2 - x( )
2
EJERCICIO RESUELTO
 } Expresa el polinomio x2 + x + 4 como el cuadrado 
de un binomio más o menos un monomio.
Solución
Determinamos la identidad notable. El polinomio x2 + x + 4 
podría ser el cuadrado de una suma:
x2 = ( x )2 4 = 22
Sin embargo:
( x + 2)2 = x2 + 4 x + 4
Por consiguiente, ajustando lo que sobra:
x2 + x + 4 = ( x + 2)2 - 3x
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Calcula: 52 − 42 82 − 72 102 − 92 142 − 132
a) Continúa hasta que puedas predecir el resultado para cualquier par de números que se diferencien en una 
unidad. Establece una conjetura.
b) Traduce al lenguaje algebraico tu conjetura y demuéstrala.
c) Comprueba qué ocurre si los números se diferencian en dos unidades, en tres… Generaliza.
30
Soluciones de las actividades
20 Desarrolla aplicando las identidades notables.
a) 
2
3
x + x2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
 b) 
3
4
x2 − 6 y
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
 c) 2x3 −
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅ 2x
3 +
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ d) −5 x − 8
( ) ⋅ −5 x + 8( )
a) 
2
3
x + x2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
=
4
9
x2 +
4
3
x3 + x4 c) 2x3 −
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅ 2x
3 +
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = 4 x
6 −
9
25
b) 
3
4
x2 − 6 y
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
=
9
16
x4 − 9 x2 y + 36 y2 d) −5 x − 8( ) ⋅ −5 x + 8( ) = 25 x2 − 8
21 Resuelve y simplifica.
a) 2x + 1( )
2
− 2x −1( )
2
 c) 3x − 2( ) ⋅ x −1( )
2
+ 2x ⋅ x + 3( ) ⋅ x − 3( )
b) x2 + 5 x( )
2
− x ⋅ x −5( )
2
 d) x2 + 1( )
2
⋅ x2 −1( )
2
+ 2x2 ⋅ x2 + 1( )
a) 2x + 1( )
2
− 2x −1( )
2
= 4 x2 + 4 x + 1( )− 4 x2 − 4 x + 1( ) = 8 x
b) x2 + 5 x( )
2
− x ⋅ x −5( )
2
= x4 + 10 x3 + 25 x2( )− x ⋅ x2 −10 x + 25( ) = x4 + 9 x3 + 35 x2 − 25 x
c) (3x − 2) ⋅ x −1( )
2
+ 2x ⋅( x + 3) ⋅ ( x − 3) = (3x − 2) ⋅ x2 − 2x + 1( ) + 2x ⋅ x2 − 9( ) = 5 x3 − 8 x2 −11x − 2
91
3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
d) x2 + 1( )
2
⋅ x2 −1( )
2
+ 2x2 ⋅ x2 + 1( ) = x4 + 2x2 + 1( ) ⋅ x4 − 2x2 + 1( ) + 2x4 + 2x2( ) = x8 + 2x2 + 1
22 Copia y completa estas igualdades.
a) § + 3x( )2 = 36 x4 + § + 9 x2 c) § + x
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
= 9− 2x + §
b) §− 2 y2( )
2
= 3x2 −§+§ d) x + §( ) ⋅ x −§( ) = §− 2
a) 6 x2 + 3x( )
2
= 36 x4 + 36 x3 + 9 x2 c) −3 +
x
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
= 9− 2x +
x2
9
b) 3x − 2 y2( )
2
= 3x2 − 4 3xy2 + 4 y 4 d) x + 2( ) ⋅ x − 2( ) = x2 − 2
23 Justifica si estos polinomios corresponden al desarrollo de alguna identidad notable. Indica cuál.
a) x2 + 2x + 1 b) 4 x2 − 4 x + 1 c) 4 x2 + 12x + 9 d) x2 −5
a) Cuadrado de una suma: x2 + 2x + 1 = x + 1( )
2
b) Cuadrado de una diferencia: 4 x2 − 4 x + 1 = 2x −1( )
2
c) Cuadrado de una suma: 4 x2 + 12x + 9 = 2x + 3( )
2
d) Suma por diferencia: x2 −5 = x + 5( ) ⋅ x − 5( )
24 Expresa estos polinomios como el cuadrado de un binomio más o menos un monomio.
a) x2 + 5 x + 25 b) 4 x2 −12x c) x6 + x3 + 4 d) 25 x4 −10 x2
a) x2 + 5 x + 25 = x2 + 10 x −5 x + 25 = x + 5( )
2
−5 x
b) 4 x2 −12x = 4 x2 −12x + 9− 9 = 2x − 3( )
2
− 9
c) x6 + x3 + 4 = x6 + 4 x3 − 3x3 + 4 = x3 + 2( )
2
− 3x3
d) 25 x4 −10 x2 = 25 x4 −10 x2 + 1−1 = 5 x2 −1( )−1
25 Calcula estas potencias de polinomios desarrollando los productos.
a) 9 x4 − 30 x3 + 31x2 −10 x + 1 c) −x3 + 9 x2 − 27 x + 27
b) x6 + 3x5 + 6 x4 + 7 x3 + 6 x2 + 3x + 1 d) 16 x4 + 32x3 y + 24 x2 y2 + 8 xy3 + y 4
26 Halla la expresión desarrollada del cuadrado de un trinomio cualquiera: a + b + c
a + b + c( )
2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
27 Completa el triángulo de Tartaglia hasta la décima fila. ¿Cuál es el exponente de la potencia (a + b )n que tiene esos coeficientes 
en su desarrollo?
Serían los coeficientes de (a + b)9.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
a) (3x2 − 5x + 1)
2 c) (3 − x)
3
b) (x2 + x + 1)3 d) (2x + y)
4
3 Polinomios y fracciones algebraicas
92
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
28 Calcula estas potencias de binomios.
a) x + 3( )
5
 c) 2x + 1( )
4
 e) x +
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
b) y −7( )
3
 d) −2x + y( )
5
 f) x3 −5 x( )
3
a) x + 3( )
5
= x5 + 15 x4 + 90 x3 + 270 x2 + 405 x + 243
b) y −7( )
3
= y3 − 21y2 + 147 y − 343
c) 2x + 1( )
4
= 16 x4 + 32x3 + 24 x2 + 8 x + 1
d) −2x + y( )
5
= −32x5 + 80 x4 y − 80 x3 y2 + 40 x2 y3 −10 xy 4 + y5
e) x +
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
= x4 +
8
3
x3 +
8
3
x2 +
32
27
x +
16
81
f) x3 −5 x( )
3
= x9 −15 x7 + 75 x5 −125 x3
29 Rebeca asegura que, si añade un metro a la arista de un cubo, el volumen aumentará un metro cúbico. ¿Tiene razón? ¿Por qué? 
Haz un dibujo de la situación.
No es cierto. 
Ahora el volumen sería:
x + 1( )
3
= x3 + 3x2 + 3x + 1
Que es mayor que x 3 + 1.
Podemos comprobar el resultado con ayuda de un dibujo.
Desafío
30 Calcula: 52 − 42 82 − 72 102 − 92 142 − 132
a) Continúa hasta que puedas predecir el resultado para cualquier par de números que se diferencien en una unidad. Establece 
una conjetura.
b) Traduce al lenguaje algebraico tu conjetura y demuéstrala.
c) Comprueba qué ocurre si los números se diferencian en dos unidades, en tres… Generaliza.
a) Se observa que la diferencia coincide con la suma de las bases.
52 − 42 = 9 8
2 −72 = 15 10
2 − 92 = 19 14
2 −132 = 27
b) Expresada en lenguaje algebraico, tomando x y x + 1 números consecutivos, sería:
x + 1( )
2
− x2 = x2 + 2x + 1− x2 = 2x + 1 = x + ( x + 1)
c) En otros casos se comprueba que:
x + 2( )
2
− x2 = x2 + 4 x + 4− x2 = 4 x + 4 = 2 ⋅ ( x + 2) + x[ ] → El doble de la suma.
x + 3( )
2
− x2 = x2 + 6 x + 9− x2 = 6 x + 9 = 3 ⋅ ( x + 3) + x[ ] → El triple de la suma.
En general:
x + n( )
2
− x2 = x2 + 2nx + n2 − x2 = 2nx + n2 = n ⋅ ( x + n ) + x[ ] → La suma de ambos multiplicada por n.
x + 1
x + 1
1
1
1
x
x
x
x + 1
93
3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
4. División de polinomios
Sugerencias didácticas
Se relaciona en este epígrafe el algoritmo de la división entera 
de números naturales con la división de polinomios. Conviene 
que los alumnos vean que el procedimiento es el mismo y así 
lo practiquen. Se recuerda también la prueba de la división que 
servirá para probar el teorema del resto. Y se ven las caracte-
rísticas del resto.
Trabajar la propiedad fundamental de la división con números 
naturales podría ayudar a que vieran que a pesar de que el 
cociente es el mismo el resto se modifica. Esta propiedad será 
útil en cocientes con coeficientes fraccionarios.
Vídeo. DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y PRUEBA
En el ejercicio resuelto aparece un vídeo en el que puede verse, 
paso a paso, la división de dos polinomios, indicando qué mo-
nomios marcan los términos del cociente. También se incluye la 
prueba correspondiente a esta división. 
Puede reproducirse en clase para completar la explicación de esta 
página o como recurso para que los alumnos repasen este pro-
cedimiento.
55
3Actividades3 Polinomios y fracciones algebraicas
54
4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para hallar el cociente de dos polinomios, procedemos igual que en el caso de la 
división de números naturales.
1 Al dividir números naturales, hallamos el cociente entre las cifras de mayor valor. 
En los polinomios, una vez ordenados dividendo y divisor, calculamos el cociente 
entre los monomios de mayor grado de cada uno de ellos.
8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1 
2 4x
2 Multiplicamos el cociente por el divisor y restamos el producto al dividendo.
8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1 
− 6 2 2 − 8x2 + 4x 4x
2 2 0 3x − 2
3 Repetimos el proceso con el nuevo dividiendo hasta que el resto sea menor que el 
divisor. En el caso de los polinomios, repetimos hasta que el grado del polinomio 
resto sea menor que el grado del polinomio divisor.
8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1 
− 6 2 27 − 8x2 + 4x 4x + 3/2 = C(x)
2 2 0 3x − 2
− 2 1 7 − 3x + 3/2
3 − 1/2 = R(x)
Tanto en la división de números naturales como en la de polinomios se cumple que 
D = d ⋅ C + R. Vamos a comprobarlo.
 840 = 31 ⋅ 27 + 3 8 x2 − x − 2 = (2x −1) ⋅ (4 x + 3/2)−1/2
 840 = 837 + 3 8 x2 - x - 2 = 8 x2 - x - 3/2-1/2
Para cada par de polinomios, P ( x ) y Q ( x ) , con Q ( x ) distinto del polinomio nulo, 
existen dos polinomios, C ( x ) y R ( x ), tales que:
P ( x ) = Q( x ) ◊C ( x ) + R( x )
El grado del polinomio cociente, C ( x ), es igual a la diferencia entre el grado del 
polinomio dividendo, P ( x ) , y el polinomio divisor, Q ( x ) .
El grado del polinomio resto, R ( x ), es menor que el grado del polinomio divisor.
Si R ( x ) = 0, la división es exacta, es decir, Q ( x ) es divisor de P ( x ) .
Grado 1
Aprenderás a…
 ● Realizar la división de 
polinomios.
 ● Conocer y utilizar la relación 
entre los términos de la 
división.
Presta atención
La igualdad:
P ( x ) = Q( x ) ◊C ( x ) + R( x )
es una identidad. Se cumple para 
cualquier x = a:
P (a) = Q(a) ◊C (a) + R(a)
 } Resuelve P ( x ) : Q( x ) dados los polinomios 
P ( x ) = 6 x4 + x2 + 10 x + 2 y Q( x ) = 2x2 - 2x + 3. 
Comprueba el resultado.
Solución 
Para dividir polinomios procedemos 
como en la división de números 
naturales.
Al finalizar la división comprobamos que 
se cumple la propiedad de la división.
EJERCICIO RESUELTO
mac4e9
Observa estos cocientes entre polinomios y monomios 
e indica de forma razonada, sin resolver la división, 
cuáles son exactos.
a) 
x6 − 3x4 −5 x3
5 x
 c) 
6 x17 + 4 x9 − 8 x6
−2x4
b) 
6 x4 − 9 x2 − 3x
3x2
 d) 
−23x5 −17 x4 + x3
−5 x3
Compruébalo y, si la división es exacta, expresa el 
cociente como:
C ( x ) =
P ( x )
Q ( x )
Calcula el cociente y el resto de estas divisionesy 
expresa la división de la siguiente forma:
P ( x )
Q ( x )
= C ( x ) +
R ( x )
Q ( x )
a) 15 x2 − 3x( ) : 3x −1( )
b) 12x2 −5( ) : 6 x + 3( )
c) −14 x3 + 19 x2 −7( ) : −2x2 + 3x + 1( )
d) x4 + x3 − 2x2 −5 x + 3( ) : x2 + x + 1( )
e) 18 x4 - 9 x3 + x2 + 3x + 1( ) : 3x -1/2( )
f) −2x5 + 7 x4 −5 x3 + 1( ) : x3 − 2x2 + 3( )
Sin realizar la división, comprueba que 
C ( x ) = 5 x2 - 2x + 1 y R ( x ) = -5 x + 7 son, 
respectivamente, el cociente y el resto de la división:
10 x4 + 21x3 − 23x2 + 6 x + 4
2x2 + 5 x − 3
Determina el dividendo de una división con:
❚ Divisor: Q ( x ) = 5 x2 + 3x - 2
❚ Cociente: C ( x ) = 4 x -1
❚ Resto: R ( x ) = 5 x -7
Calcula el divisor de una división en la que:
❚ El dividendo es P ( x ) = 2x5 - 2x4 - x2 -1.
❚ El cociente es C ( x ) = 2x2 -1.
❚ Y el resto, R ( x ) = ( x/2)− 2.
Indica de forma razonada los posibles grados de los 
polinomios cociente y resto obtenidos al dividir un 
polinomio de grado 7 entre un polinomio de grado 2.
Divide y comprueba el resultado.
a) 
−x4 + 2x2 −1
x2 + 2
 b) 
x4 −1
x2 − x + 1
31
32
33
34
35
36
37
Un polinomio, P ( x ), es divisor de otro, Q ( x ), si la 
división es exacta. Decide si P ( x ) = -2x2 + 3x -1 es 
o no divisor de los siguientes polinomios.
a) Q ( x ) = -6 x3 + 5 x2 + 3x - 2
b) Q ( x ) = -4 x4 + 8 x3 + x2 - 2x
c) Q ( x ) = -2x4 + 3x3 + x2 + 3x + 1
d) Q ( x ) = -4 x5 + 6 x4 + 2x3 - 4 x2 + 1
e) Q ( x ) = −2x4 + x3 + 6 x2 −7 x + 2
Escribe en cada caso un polinomio que cumpla las 
condiciones que se dan.
a) Polinomio de primer grado y divisible entre 7x − 3.
b) Polinomio de primer grado, divisible entre 7x − 3 
y con 63 como coeficiente principal.
c) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 
y entre 2x + 1.
d) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 
y entre 2x + 1 y con 28 como coeficiente principal.
Reflexiona: ¿cuántos polinomios de segundo grado 
hay divisibles entre 7x − 3 y 2x + 1?
38
39
Aplica la propiedad fundamental de la división para 
simplificar estas operaciones.
a) 2x3 +
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
3
+
1
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ b) 3x
4 −
1
27
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : 2x −
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
40
 } Aplica la propiedad fundamental de la división 
para simplificar esta operación.
3
2
x2 −
13
5
x +
2
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
2
−
1
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Solución
Para que los coeficientes sean enteros, multiplicamos el 
dividendo y el divisor por el m.c.m. (2, 5) = 10.
15 x2 − 26 x + 4( ) : 5 x − 2( )
Al multiplicar los dos términos, el cociente no varía y el 
resto queda multiplicado por 10.
15x2 − 26x + 4 5x − 2
− 15x2 + 6x 3x − 4 = C(x)
− 20x + 4
20x − 8
− 4 → R(x) = 
−4
10
=
−2
5
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Calcula qué valores deberían tener a y b para que el polinomio P ( x ) = 6 x4 -5 x3 + x2 + ax + b sea divisible 
por Q ( x ) = 3x2 + 2x -1.
41
Grado 0
Soluciones de las actividades
31 Observa estos cocientes entre polinomios y monomios e indica de forma razonada, sin resolver la división, cuáles son exactos.
a) 
x6 − 3x4 −5 x3
5 x
 b) 
6 x4 − 9 x2 − 3x
3x2
 c) 
6 x17 + 4 x9 − 8 x6
−2x4
 d) 
−23x5 −17 x4 + x3
−5 x3
Compruébalo y, si la división es exacta, expresa el cociente como:
C ( x ) =
P ( x )
Q ( x )
a) Exacto → x
6 − 3x4 −5 x3
5 x
=
1
5
x5 −
3
5
x3 − x2 c) Exacto → 
6 x17 + 4 x9 − 8 x6
−2x4
= −3x13 − 2x5 + 4 x2
b) No exacto d) Exacto → 
−23x5 −17 x4 + x3
−5 x3
=
23
5
x2 +
17
5
x −
1
5
3 Polinomios y fracciones algebraicas
94
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
32 Calcula el cociente y el resto de estas divisiones y expresa la división de la siguiente forma:
P ( x )
Q ( x )
= C ( x ) +
R ( x )
Q ( x )
a) 15 x2 − 3x( ) : 3x −1( ) d) x4 + x3 − 2x2 −5 x + 3( ) : x2 + x + 1( )
b) 12x2 −5( ) : 6 x + 3( ) e) 18 x4 - 9 x3 + x2 + 3x + 1( ) : 3x -1/2( )
c) −14 x3 + 19 x2 −7( ) : −2x2 + 3x + 1( ) f) −2x5 + 7 x4 −5 x3 + 1( ) : x3 − 2x2 + 3( )
a) 
15 x2 − 3x
3x −1
= 5 x +
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ +
2
3
3x −1
 d) 
x4 + x3 − 2x2 −5 x + 3
x2 + x + 1
= x2 − 3( ) +
−2x + 6
x2 + x + 1
b) 
12x2 −5
6 x + 3
= (2x −1) +
−2
6 x + 3
 e) 
18 x4 − 9 x3 + x2 + 3x + 1
3x −1 2
= 6 x3 − 2x2 + 1( ) +
3
2
3x −1 2
c) 
−14 x3 + 19 x2 −7
−2x2 + 3x + 1
= (7 x + 1) +
−10 x − 8
−2x2 + 3x + 1
 f) 
−2x5 + 7 x4 −5 x3 + 1
x3 − 2x2 + 3
= −2x2 + 3x + 1( ) +
8 x2 − 9 x − 2
x3 − 2x2 + 3
33 Sin realizar la división, comprueba que C ( x ) = 5 x2 - 2x + 1 y R ( x ) = -5 x + 7 son, respectivamente, el cociente y el resto de 
la división:
10 x4 + 21x3 − 23x2 + 6 x + 4
2x2 + 5 x − 3
Comprobamos aplicando la prueba de la división:
Q ( x ) ⋅C ( x ) + R ( x ) = 2x2 + 5 x − 3( ) ⋅ 5 x2 − 2x + 1( ) + −5 x + 7( ) =
= 10 x4 + 21x3 − 23x2 + 11x − 3 + −5 x + 7( ) = 10 x4 + 21x3 − 23x2 + 6 x + 4 = P ( x )
34 Determina el dividendo de una división con:
❚❚ Divisor: Q ( x ) = 5 x2 + 3x - 2
❚❚ Cociente: C ( x ) = 4 x -1
❚❚ Resto: R ( x ) = 5 x -7
Q ( x ) ⋅C ( x ) + R ( x ) = 5 x2 + 3x − 2( ) ⋅ (4 x −1) + (5 x −7) = 20 x3 + 7 x2 − 6 x −5 = P ( x )
35 Calcula el divisor de una división en la que:
❚❚ El dividendo es P ( x ) = 2x5 - 2x4 - x2 -1.
❚❚ El cociente es C ( x ) = 2x2 -1.
❚❚ Y el resto, R ( x ) = ( x/2)− 2.
P ( x )− R ( x )
C ( x )
= 2x5 − 2x4 − x2 −1( )−
x
2
− 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ : 2x
2 −1( ) =
= 2x5 − 2x4 − x2 −
1
2
x + 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : 2x
2 −1( ) = x3 − x2 +
1
2
x −1
36 Indica de forma razonada los posibles grados de los polinomios cociente y resto obtenidos al dividir un polinomio de grado 7 
entre un polinomio de grado 2.
Si dividimos un polinomio de grado 7 entre un polinomio de grado 2, el grado del cociente será la diferencia de los grados, 
grado 5.
El resto tendrá grado inferior al divisor, es decir, será de grado 1 o 0.
37 Divide y comprueba el resultado.
a) 
−x4 + 2x2 −1
x2 + 2
 b) 
x4 −1
x2 − x + 1
a) 
−x4 + 2x2 −1
x2 + 2
= −x2 + 4( ) +
−9
x2 + 2
 b) 
x4 −1
x2 − x + 1
= x2 + x( ) +
−x −1
x2 − x + 1
95
3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
38 Un polinomio, P(x), es divisor de otro polinomio, Q(x), si la división es exacta. Decide si P ( x ) = -2x2 + 3x -1 es o no divisor de 
los siguientes polinomios.
a) Q ( x ) = -6 x3 + 5 x2 + 3x - 2 d) Q ( x ) = -4 x5 + 6 x4 + 2x3 - 4 x2 + 1
b) Q ( x ) = -4 x4 + 8 x3 + x2 - 2x e) Q ( x ) = −2x4 + x3 + 6 x2 −7 x + 2
c) Q ( x ) = -2x4 + 3x3 + x2 + 3x + 1
a) Sí → 
Q ( x )
P ( x )
= 3x + 2 d) No → 
Q ( x )
P ( x )
= 2x3 − 2x −1( ) +
x
−2x2 + 3x −1
b) No → 
Q ( x )
P ( x )
= 2x2 − x − 3( ) +
6 x − 3
−2x2 + 3x −1
 e) Sí → 
Q ( x )
P ( x )
= x2 + x − 2
c) No → 
Q ( x )
P ( x )
= x2 −1( ) +
6 x
−2x2 + 3x −1
39 Escribe en cada caso un polinomio que cumpla las condiciones que se dan.
a) Polinomio de primer grado y divisible entre 7x − 3.
b) Polinomio de primer grado, divisible entre 7x − 3 y con 63 como coeficiente principal.
c) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 y entre 2x + 1.
d) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 y entre 2x + 1 y con 28 como coeficiente principal.
Reflexiona: ¿cuántos polinomios de segundo grado hay divisibles entre 7x − 3 y 2x + 1?
a) Respuesta abierta: A( x ) = k ⋅ (7 x − 3)
b) B ( x ) = 9 ⋅ (7 x − 3) = 63x − 27
c) C ( x ) = k ⋅ (7 x − 3) ⋅ (2x + 1) = k ⋅ 14 x2 + x − 3( )
d) D ( x ) = 2 ⋅ (7 x − 3) ⋅ (2x + 1) = 2 ⋅ 14 x2 + x − 3( ) = 28 x2 + 2x − 6
Hay infinitos polinomios divisibles entre 7 x − 3 y 2x + 1. Todos los múltiplos de 14 x2 + x − 3 .
40 Aplica la propiedad fundamental de la división para simplificar estas operaciones.
a) 2x3 +
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
3
+
1
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ b) 3x
4 −
1
27
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : 2x −
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
a) Multiplicamos ambos términos por 6: 2x3 +
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
3
+
1
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ =
12x3 + 9
2x + 1
El cociente es C ( x ) = 6 x2 − 3x +
3
2
 y el resto ha quedadomultiplicado por 6, dividiendo: R ( x ) =
15
2
: 6 =
5
4
b) Multiplicamos ambos términos por 3: 3x4 −
1
27
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : 2x −
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟= 9 x
4 −
1
9
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : (6 x − 2) =
3
2
x3 +
1
2
x2 +
1
6
x +
1
18
Desafío
41 Calcula qué valores deberían tener a y b para que el polinomio P ( x ) = 6 x4 -5 x3 + x2 + ax + b sea divisible por 
Q ( x ) = 3x2 + 2x -1.
Será divisible si el resto es cero. Si realizamos la división:
 6 x
4 −5 x3 + x2 + ax + b 3x
2 + 2x −1
 −6 x
4 − 4 x3 + 2x2 2x
2 − 3x + 3
 −9 x
3 + 3x2 + ax + b
 9 x
3 + 6 x2 − 3x
 9 x
2 + (a− 3) x + b
 −9 x
2 − 6 x + 3
 (a− 9) x + (b + 3)
Para eso se tendría que cumplir: a− 9 = 0 → a = 9 b + 3 = 0 → b = −3
3 Polinomios y fracciones algebraicas
96
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
5. Regla de Ruffini
Sugerencias didácticas
La regla de Ruffini simplifica mucho las divisiones con divisor 
de la forma ( x − a). Conseguir que los alumnos relacionen la 
división con la simplificación de Ruffini es importante para que 
no vean esta regla como una operación diferente y para que 
no cometan los errores habituales. Procurar con el ejemplo re-
suelto y con otros que se puedan proponer en clase que vean 
la necesidad de escribir todos los coeficientes, hasta los que 
son cero, y que se fijen también en por qué el procedimiento 
solo sirve para binomios de primer grado y con coeficiente 
principal 1.
57
3Actividades3 Polinomios y fracciones algebraicas
56
5. REGLA DE RUFFINI
Cuando dividimos un polinomio cualquiera entre un binomio de la forma x − a, 
podemos utilizar un algoritmo que simplifica la realización de dicha división. Se trata 
de la regla de Ruffini.
Vamos a dividir el polinomio 3x3 + 4x2 − 2 por el binomio x + 2 aplicando la regla de 
Ruffini y comparándolo con la división de polinomios:
1 Colocamos los coeficientes del dividendo ordenados según su grado, prescindiendo 
de las partes literales y escribimos un cero allí donde falte un término.
❚ Podemos identificar cada término por su posición, empezando por el término 
independiente.
❚ Escribimos el valor de a junto a la línea vertical y bajo la línea inferior situamos el 
coeficiente principal.
3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1
3x2 −2
3
2 En la división, multiplicamos el cociente por el divisor y el resultado lo restamos 
al dividendo. Así, el término de mayor grado se anula, y lo que importa para 
continuar es que sumamos al término siguiente el cociente multiplicado por a, en 
este caso −2.
Por eso, en la regla de Ruffini colocamos el resultado debajo del coeficiente del 
término siguiente.
3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1
−3x3 − 6x2 3x2 −2 −6
− 2x2 − 1 3 −2
3 Repetimos el proceso hasta completar la división.
3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1
−3x3 − 6x2 3x2 − 2x −2 −6 4
− 2x2 − 1 3 −2 4
2x2 + 4x
4x − 1
Observamos que el último número es el resto de la división, y los demás números 
son los coeficientes del cociente ordenados según el grado de los términos.
3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1
−3x3 − 6x2 3x2 − 2x + 4 −2 −6 4 −8
− 2x2 − 1 3 −2 4 −9
2x2 + 4x
+ 4x − 1
− 4x − 8
− 9
La regla de Ruffini es un algoritmo que permite dividir polinomios cuando el 
divisor es un binomio de la forma x − a.
Dividendo
Cociente
El coeficiente principal del cociente 
es el mismo que el del dividendo, 
pues el divisor tiene siempre 1 como 
coeficiente principal.
Cociente
Resto de grado 0
Aprenderás a…
 ● Aplicar la regla de Ruffini 
para dividir un polinomio 
entre el binomio x − a.
Presta atención
Al dividir entre x − a un polinomio 
de grado n y coeficiente principal 
1, el cociente será siempre un 
grado menor que el del dividendo 
y con el mismo coeficiente 
principal que este. Además, el 
resto siempre será una constante, 
grado 0.
Escribe cuáles son el dividendo y el divisor de estas 
divisiones representadas con la regla de Ruffini. 
Calcula el cociente y el resto.
a) 2 −3 −5
3 O O
O O O O
b) −3 5 0 −3
−1 O O O
O O O O O
c) 1 0 −3 0 −6
2 O O O O
O O O O O O
Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de 
Ruffini.
a) 
2x2 − 3x −12
x − 4
 d) 
x4 + 5 x3 + 25
x + 3
b) 
−2x5 + 5 x3 + x2 + 16
x − 2
 e) 
x4 − 625
x −5
c) 
7 x4 −14 x2 + 49
x + 2
 f) 
x5 + x3 + x
x + 1
Resuelve y comprueba.
a) 3x3 − x + 2( ) : x −
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
b) 6 x4 −7 x3 + 4 x2 −1( ) : x −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
c) 3x3 + 8 x2 + 2x −1( ) : x +
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
d) 10 x3 + 7 x2 −1( ) : x +
1
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Transforma estas divisiones en otras equivalentes con 
coeficientes enteros. Calcula después el cociente y el 
resto con la regla de Ruffini.
a) 
x2
2
−
2x
3
−
5
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
6
−
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
b) 
x3
3
− x +
2
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
15
+
2
15
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
c) x4 +
5 x3
2
−
3x
4
+
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
4
+
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
42
43
44
45
Aplica la propiedad fundamental de la división para 
hallar el cociente y el resto con la regla de Ruffini.
a) 27 x3 − 45 x2 + 21x − 3( ) : 3x −1( )
b) 4 x4 − 6 x3 −12x2 −10( ) : 2x −5( )
c) 18 x3 − 2x + 10( ) : 3x + 4( )
d) 10 x3 − x2 + 3( ) : 5 x + 2( )
Resuelve esta división aplicando la regla de Ruffini. 
Explica cómo lo haces.
3x4 + 5 x3 + 3x −7( ) : −x − 2( )
Calcula m para que las divisiones sean exactas.
a) 
2x5 −5 x4 + m
x − 3
 c) 
−x5 + mx + 1
x + 1
b) 
3x3 + mx − 8
x − 2
 d) 
mx2 + 8 x −10
x + 5
Halla el valor de m para que el resto de la división 
2x5 + mx3 + 3( ) : x + 2( ) sea 15.
Averigua el valor de a para que el polinomio 
P ( x ) = 3x2 -12 sea divisible por x − a.
46
47
48
49
50
 } Aplica la propiedad fundamental de la división y 
resuelve con la regla de Ruffini.
(4x3 − 5x + 1) : (2x + 3)
Solución
Dividimos ambos términos por 2 para conseguir que el 
divisor sea de la forma x − a.
2x3 −
5
2
x +
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : x +
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
De este modo, podemos aplicar la regla de Ruffini.
2 0 5/2 1/2
−3/2 −3 9/2 −3
2 −3 2 −5/2
Los cocientes de ambas divisiones son iguales. 
C ( x ) = 2x2 - 3x + 2
El resto de la división original es: 
R ( x ) = 2 ◊ (-5/2) = -5
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Calcula: x2 −1( ) : x −1( ) x3 −1( ) : x −1( ) x4 −1( ) : x −1( ) x5 −1( ) : x −1( )
Prueba con otros ejemplos similares y observa los resultados. Indica cómo es el cociente xn −1( ) : x −1( ) .
Divide ahora los cocientes anteriores por x + 1. ¿En qué casos la división es exacta? ¿Cuál es el cociente en 
esos casos? Escribe lo que observas.
51
Soluciones de las actividades
42 Escribe cuáles son el dividendo y el divisor de estas divisiones representadas con la regla de Ruffini. Calcula el cociente y el resto.
a) 2 −3 −5
3 O O
O O O O
b) −3 5 0 −3
−1 O O O
O O O O O
c) 1 0 −3 0 −6
2 O O O O
O O O O O O
a) Dividendo: P ( x ) = 2x2 − 3x −5 , divisor: Q ( x ) = x − 3 , cociente: C ( x ) = 2x + 3 y resto: R ( x ) = 4
b) Dividendo: P ( x ) = −3x3 + 5 x2 − 3 , divisor: Q ( x ) = x + 1, cociente: C ( x ) = −3x2 + 8 x − 8 y resto: R ( x ) = 5
c) Dividendo: P ( x ) = x4 − 3x2 − 6 , divisor: Q ( x ) = x − 2 , cociente: C ( x ) = x3 + 2x2 + x + 2 y resto: R ( x ) = −2
97
3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
43 Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) 
2x2 − 3x −12
x − 4
 c) 
7 x4 −14 x2 + 49
x + 2
 e) 
x4 − 625
x −5
b) 
−2x5 + 5 x3 + x2 + 16
x − 2
 d) 
x4 + 5 x3 + 25
x + 3
 f) 
x5 + x3 + x
x + 1
a) C ( x ) = 2x + 5, R ( x ) = 8 d) C ( x ) = x3 + 2x2 − 6 x + 18, R ( x ) = −29
b) C ( x ) = −2x4 − 4 x3 − 3x2 −5 x −10, R ( x ) = −4 e) C ( x ) = x3 + 5 x2 + 25 x + 125, R ( x ) = 0
c) C ( x ) = 7 x3 −14 x2 + 14 x − 28, R ( x ) = 105 f) C ( x ) = x4 − x3 + 2x2 − 2x + 3,R ( x ) = −3
44 Resuelve y comprueba.
a) 3x3 − x + 2( ) : x −
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ c) 3x
3 +8 x2 + 2x −1( ) : x +
2
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
b) 6 x4 −7 x3 + 4 x2 −1( ) : x −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ d) 10 x
3 + 7 x2 −1( ) : x +
1
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
a) C ( x ) = 3x2 + x −
2
3
,R ( x ) =
16
9
 c) C ( x ) = 3x2 + 6 x − 2,R ( x ) =
1
3
 
b) C ( x ) = 6 x3 − 4 x2 + 2x + 1, R ( x ) = −
1
2
 d) C ( x ) = 10 x2 + 5 x −1, R ( x ) = −
4
5
 
45 Transforma estas divisiones en otras equivalentes con coeficientes enteros. Calcula después el cociente y el resto con la regla de 
Ruffini.
a) 
x2
2
−
2x
3
−
5
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
6
−
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ b) 
x3
3
− x +
2
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
15
+
2
15
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ c) x
4 +
5 x3
2
−
3x
4
+
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ :
x
4
+
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
a) Multiplicando por 6: 3x2 − 4 x −5( ) : ( x − 2) → C ( x ) = 13x + 2, R ( x ) =
−1
6
b) Multiplicando por 15: 5 x3 −15 x + 6( ) : ( x + 2) → C ( x ) = 5 x2 −10 x + 5, R ( x ) =
−4
15
c) Multiplicando por 4: 4 x4 + 10 x3 − 3x + 6( ) : ( x + 2) → C ( x ) = 4 x3 + 2x2 − 4 x + 5, R ( x ) =
4
4
= 1
46 Aplica la propiedad fundamental de la división para hallar el cociente y el resto con la regla de Ruffini.
a) 27 x3 − 45 x2 + 21x − 3( ) : 3x −1( ) c) 18 x3 − 2x + 10( ) : 3x + 4( )
b) 4 x4 − 6 x3 −12x2 −10( ) : 2x −5( ) d) 10 x3 − x2 + 3( ) : 5 x + 2( )
a) Dividiendo por 3: 9 x3 −15 x2 + 7 x −1( ) : x −
1
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 9 x
2 −12x + 3, R ( x ) = 0
b) Dividiendo por 2: 2x4 − 3x3 − 6 x2 −5( ) : x −
5
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 2x
3 + 2x2 − x −
5
2
, R ( x ) = −
45
4
⋅2 = −
45
2
c) Dividiendo por 3: 6 x3 −
2
3
x +
10
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : x +
4
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 6 x
2 − 8 x + 10, R ( x ) = −10 ⋅3 = −30
d) Dividiendo por 5: 2x3 −
1
5
x2 +
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ : x +
2
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟→ C ( x ) = 2x
2 − x +
2
5
, R ( x ) =
11
25
⋅5 =
11
5
47 Resuelve esta división aplicando la regla de Ruffini. Explica cómo lo haces. 3x4 + 5 x3 + 3x −7( ) : −x − 2( )
Aplicamos la propiedad fundamental de la división multiplicando ambos términos por −1: 
−3x4 −5 x3 − 3x + 7( ) : ( x + 2) → C ( x ) = −3x3 + x2 − 2x + 1, R ( x ) = 5 ⋅ −1( ) = −5
48 Calcula m para que las siguientes divisiones sean exactas.
a) 
2x5 −5 x4 + m
x − 3
 b) 
3x3 + mx − 8
x − 2
 c) 
−x5 + mx + 1
x + 1
 d) 
mx2 + 8 x −10
x + 5
Para que las divisiones sean exactas el resto debería ser cero. Dividimos aplicando la regla de Ruffini y buscamos m para que el 
resto sea cero.
3 Polinomios y fracciones algebraicas
98
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
a) Para que la división sea exacta: c) Para que la división sea exacta:
2 −5 0 0 0 m −1 0 0 0 m 1
3 6 3 9 27 81 −1 1 −1 1 −1 −m + 1
2 1 3 9 27 0 −1 1 −1 1 m−1 −m + 2
Luego, m + 81 = 0 y m = −81. Luego, −m + 2 = 0 y m = 2.
b) Para que la división sea exacta: d) Para que la división sea exacta:
3 0 m −8 m 8 −10
2 6 12 24 + 2m −5 −5m 25m − 40
3 6 12 + m 16 + 2m m 8 − 5m 25m − 50
Luego, 16 + 2m = 0 y m = −8. Luego, 25m − 50 = 0 y m = 2.
49 Halla el valor de m para que el resto de la división 2x5 + mx3 + 3( ) : x + 2( ) sea 15.
Aplicamos la regla de Ruffini obligando al resto a valer 15:
2 0 m 0 0 3
−2 −4 8 −2m −16 4m + 32 −8m − 64
2 −4 m + 8 −2m −16 4m + 32 15
Luego, −8m −64 + 3 = 15 y m = −
19
2
.
50 Averigua el valor de a para que el polinomio P ( x ) = 3x2 -12 sea divisible por x − a.
Aplicamos la regla de Ruffini igualando el resto a cero:
3 0 −12
a 3a 3a2
3 3a 0
Luego, 3a2 − 12 = 0 y a = ±2.
Desafío 
51 Calcula: x2 −1( ) : x −1( ) x3 −1( ) : x −1( ) x4 −1( ) : x −1( ) x5 −1( ) : x −1( )
Prueba con otros ejemplos similares y observa los resultados. Indica cómo es el cociente xn −1( ) : x −1( ) .
Divide ahora los cocientes anteriores por x + 1. ¿En qué casos la división es exacta? ¿Cuál es el cociente en esos casos? Escribe 
lo que observas.
Se observa que: x2 −1( ) : x −1( ) = x + 1
 x
3 −1( ) : ( x −1) = x2 + x + 1
 x
4 −1( ) : ( x −1) = x3 + x2 + x + 1
 x
5 −1( ) : ( x −1) = x4 + x3 + x2 + x + 1
En general: xn −1( ) : ( x −1) = xn−1 + xn−2 + ... + 1
 ( x + 1) : ( x + 1) = 1, exacta
 x2 + x + 1( ) : ( x + 1) , no exacta
 x3 + x2 + x + 1( ) : ( x +1) = x2 + 1, exacta
 x4 + x3 + x2 + x + 1( ) : ( x + 1) , no exacta
 x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1( ) : ( x + 1) = x4 + x2 + 1, exacta
La segunda división es exacta si el grado es impar, 2n + 1, y el cociente es de la forma: x2 n + x2 n−2 + ... + 1
99
3Polinomios y fracciones algebraicas
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
Soluciones de las actividades
52 Decide cuáles de los siguientes números son raíces del polinomio: P ( x ) = 2x4 + 7 x3 -11x2 - 22x + 24
a) x = 1 b) x = −1 c) x = 3 d) x = −2 e) x = −
1
2
 f) x =
3
2
Hallamos el valor numérico de cada uno, si es cero son raíces:
a) P (1) = 2 ⋅14 + 7 ⋅13 −11⋅12 − 22 ⋅1+ 24 = 0 → Es raíz.
b) P (−1) = 2 ⋅ (−1)4 + 7 ⋅ (−1)3 −11⋅ (−1)2 − 22 ⋅ (−1) + 24 = 30 → No es raíz.
c) P (3) = 2 ⋅34 + 7 ⋅33 −11⋅32 − 22 ⋅3 + 24 = 210 → No es raíz.
d) P (−2) = 2 ⋅ (−2)4 + 7 ⋅ (−2)3 −11⋅ (−2)2 − 22 ⋅ (−2) + 24 = 0 → Es raíz.
e) P −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = 2 ⋅ −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
+ 7 ⋅ −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
−11⋅ −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
− 22 ⋅ −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ + 24 =
63
2
 → No es raíz.
6. Teorema del resto. Teorema del factor. Raíces de un polinomio
Sugerencias didácticas
El concepto de raíz y los teoremas del resto y del factor son 
básicos para la factorización de polinomios. En este epígrafe se 
muestra la relación entre el resto de una división P ( x ) : ( x − a ) 
y el valor numérico P ( a ).
Para que el alumno vea la relación entre división exacta, divisor 
y factor sería recomendable comparar un ejemplo numérico 
sencillo con alguno de los ejercicios propuestos con polinomios.
Ese mismo ejemplo podría valer como recurso para facilitar la 
comprensión de la demostración del teorema del resto y del 
factor. En este nivel es recomendable que los alumnos empie-
cen a enfrentarse a sencillas demostraciones en matemáticas.
Se debería analizar con los alumnos la relación entre raíz y di-
visión exacta, raíz y factor de un polinomio. Ver a través de los 
ejercicios cómo encontrar las raíces enteras, cómo encontrar 
raíces en polinomios factorizados o en polinomios de grado 
dos, servirá para preparar la factorización de polinomios.
En el Desafío se trabaja también la demostración en Álgebra. 
La demostración del criterio que cumplen las raíces enteras 
de un polinomio con coeficientes enteros. En ella se emplea 
también la relación factor/divisor.
59
3Actividades3 Polinomios y fracciones algebraicas
58
Decide cuáles de los siguientes números son raíces 
del polinomio:
P ( x ) = 2x4 + 7 x3 -11x2 - 22x + 24
a) x = 1 c) x = 3 e) x = −
1
2
b) x = −1 d) x = −2 f) x =
3
2
Calcula el valor del resto de estas divisiones sin 
realizarlas.
a) −5 x3 + 2x − 6( ) : x + 2( )
b) 2x3 −10 x + 7( ) : x − 3( )
c) −4 x6 + 9 x3 − 2( ) : x −1( )
d) 6 x4 − 3x3 + 2x − 4( ) : x −
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Calcula mediante la regla de Ruffini el valor numérico 
de los siguientes polinomios para:
❚ a = 1
❚ a = 0
❚ a = −2
❚ a = −
2
3
a) P ( x ) = -3x3 + 4 x2 -7 x
b) Q ( x ) = 9 x4 + 6 x3 −5 x2 + 7
¿Qué característica posee un polinomio que tiene 
como raíz x = 0?
Decide de forma razonada si x − 3 es divisor de estos 
polinomios.
a) P ( x ) = 2x4 + 3x3 -17 x2 - 27 x - 9
b) Q ( x ) = x3 + x2 -5 x + 3
c) R ( x ) = 5 x3 -15 x2 + 2x - 6
Si las raíces enteras de un polinomio con coeficientes 
enteros dividen al término independiente, demuestra 
que el polinomio P ( x ) = 6 x4 + 11x2 -10 no tiene 
raíces enteras.
Encuentra todos los divisores de la forma x − a del 
polinomio P ( x ) = x4 + x3 -7 x2 - x + 6, donde a es 
un número entero.
52
53
54
55
56
57
58
Halla el valor de m para que