Senal Discreta

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Preparaduría: Señales Discretas
Javier Freites y Johan Diaz
Jun 2022
1. Repaso Teórico
1.1. Señales Discretas
Son aquellas en las cuales su dominio está especificado para ciertos valores finitos del tiempo.
La discretización de una señal viene dada por:
f = f(t)
∞∑
n=−∞
δ(t− nt) =
∞∑
n=−∞
f(nt)δ(t− nt)
Figura 1: El proceso de discretización de una señal. (Tomado de Caicedo M y Aldana M,2002)
1.2. Aliasing en Frecuencia
Se conoce como Aliasing en Frecuencia al solapamiento que se produce entre las colas de
altas y bajas frecuencia de la Transformada de Fourier de una señal que ocurre por:
1.2.1. Primer Caso
La señal tiene ancho de banda limitado wc y ha sido incorrectamente muestreado (de inter-
valo de muestreo T > TNY QUIST = 2π2wc .
1
1.2.2. Segundo Caso
La señal no tiene ancho de banda limitado.
1.3. Intervalo de muestreo de Nyquist (TNYQUIST )
Se conoce como intervalo de muestreo de Nyquist a la cota máxima de muestreo que puede
usarse para discretizar una señal en tiempo que tiene un ancho de banda límitado wc, sin que
se produzca Aliasing en Frecuencia.
TNY QUIST =
2π
2wc
Figura 2: La transformada de Fourier de una señal discretizada es una función periódica y
continua de la frecuencia, que se construye como una superposición de çopias"de la transformada
de Fourier original. (Tomado de Caicedo M y Aldana M,2002)
Figura 3: El fenómeno de Aliasing visto en frecuencia. (Tomado de Caicedo M y Aldana M,2002)
1.4. Teorema de Muestreo
El teorema de muestreo demuestra que toda la información de una señal contenida en el
intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera, está descrita por la serie total de muestras,
siempre que la señal registrada sea de naturaleza periódica -como lo son las ondas mecánicas del
sonido, o las ondas electromagnéticas-, y no tenga componentes de frecuencia igual o superior
a la mitad de la tasa de muestreo; en cuyo caso no será necesario predecir la evolución de la
señal entre muestras para obtener la representación continua de la señal.
2
Entonces, en este caso, sea f(t) que pertenece a L2 una señal de banda limitada. Entonces,
(t) puede recuperarse a partir de sus muestras:
f(nT ), n = 0, 1, 2, 3, 4, .....
si
T <= TNY QUIST
f(t) = T
∞∑
n=−∞
f(nT )Sin(wc(t− nT ))
π(t− nT )
2. Problemas
2.1. Muestrear la señal
h(t) =
2Sen(2πt)
2πt
Para:
1. T = TNY QUIST
2. T > TNY QUIST
Solución:
Graficamos:
Figura 4: Función Sin.
Verificar que la señal posee un ancho de banda limitado. Se sabe del primer parcial, que
f(t) = A; [T ] ≤ T0
3
Cuya transformada de Fourier viene dada por:
Ff(t)(w) =
2A√
2π
Sen(wt)
w
Donde en frecuencia el ancho de banda corresponde al término que acompaña a la variable
w, en este caso T0, pero en tiempo, el ancho de banda corresponde al término que acompaña
a la variable t, en este caso es 2π. Por lo tanto se concluye que las señales de ancho de banda
limitado, con wc = 2π. Luego, se busca el intervalo de muestreo de NYQUIST:
TNY QUIST =
2π
2wc
=
2π
2 ∗ 2π
=
1
2
Si se quiere muestrear correctamente la señal debemos usar un T tal que T ≤ TNY QUIST = 12
2.1.1. T = TNY QUIST = 12
Sea h(t) una señal de ancho de banda limitado wc = 2π ⇒-2π < w < 2π y continua en nT .
Entonces la señal puede recuperarse a partir de sus muestras, mediante:
h(t) = T
∞∑
n=−∞
h(nT )Sin[wc(t− nT )]
π(t− nT )
Sustituimos T = 1
2
en la expresión anterior.
h(t) =
1
2
∞∑
n=−∞
h(n
2
)Sin(2π(t− n
2
))
π(t− n
2
)
(1)
Buscamos la muestra h(nT ) = h(n
2
)
Para ello, si
h(t) = 2
Sen(2πt)
2πt
⇒ h(nT ) = 2Sen(2πnT )
2πnT
Como T = 1
2
h(
n
2
) =
2Sen(πn)
πn
Sustituimos h(n
2
) en (1)
h(t) =
1
2
∞∑
n=−∞
2Sen(πn)
πn
Sin(2π(t− n
2
))
π(t− n
2
)
4
⇒ Se hace 0 para todo n excepto quizás para n=0 (indeterminación). Aplicamos ĺımn→0 h(t)
ĺım
n→0
1
2
∞∑
n=−∞
2Sen(πn)
πn
Sin(2π(t− n
2
))
π(t− n
2
)
=
Sen[2πt]
πt
ĺım
n→0
Sen(πn)
πn
Multiplicamos convenientemente por 1 = 2
2
Sen[2πt]
πt
2
2
= 2
Sen[2πt]
2πt
= h(t)
2.1.2. T > TNY QUIST
Escogemos un valor arbitrario que cumpla con T > TNY QUIST , en este caso T = 1
Sea h(t) una señal de ancho de banda limitado wc = 2π ⇒-2π < w < 2π y continua en nT .
Entonces la señal puede recuperarse a partir de sus muestras, mediante:
h(t) = T
∞∑
n=−∞
h(nT )Sin[wc(t− nT )]
π(t− nT )
Sustituimos T = 1 en la expresión anterior.
h(t) =
∞∑
n=−∞
h(n)Sin[2π(t− n)]
π(t− n)
(2)
Buscamos la muestra h(nT ) = h(n)
h(t) = 2
Sen(2πt)
2πt
⇒ h(nT ) = 2Sen(2πnT )
2πnT
Como T = 1
h(n) =
2Sen(2πn)
2πn
Sustituimos en (2)
h(t) =
∞∑
n=−∞
2Sen(2πn)
2πn
Sen(2π(t− n))
π(t− n)
⇒ Se hace 0 para todo n excepto quizás para n=0 (indeterminación). Aplicamos ĺımn→0 h(t)
ĺım
n→0
1
2
∞∑
n=−∞
2Sen(2πn)
2πn
Sin(2π(t− n))
π(t− n)
= 2
Sen[2πt]
πt
ĺım
n→0
Sen(2πn)
2πn
5
Como
ĺım
n→0
Sen(2πn)
2πn
= 1
h(t) = 2
Sen[2πt]
πt
6= 2Sen[2πt]
2πt
Por lo que no se recupera la señal a partir de sus muestras
6