Prepas Trans de fourier Discreta

Vista previa del material en texto

Preparaduría: Transformada de Fourier de Señales
Discretas
Javier Freites y Johan Diaz
Julio 2022
1. Transformada de Fourier de Señales Discretas
F(w = wr) =
1√
2π
N−1∑
n=0
h(nT )e−iwrnT
Con
wr = r
2π
T0
;N =
T0
T
Donde,
N :número de términos
T :espacio entre cada término
T0 :Intervalo de repetición de la señal
Módulo:
|wr| =
√
R2 + I2
2. Transformada de Fourier Inversa
h(nT ) =
√
2π
N
N−1∑
n=0
F(w = wr)ei2π
nr
N
OJO REVISAR
1
3. Problema
Considere la función:
X(k) =
{
0 k=0,3
1 k=1,2
1. Graficar la función
2. Calcule la transformada discreta
3. Grafique el módulo de la transformada
Figura 1: Gráfico de X(k)
T0 = 4
T = 1
N =
4
1
= 4
wr =
2πr
4
=
π
2
r
Procedemos a calcular la TF para cada muestra
F(wr = w0) =
1√
2π
3∑
n=0
X(nT )e−i0nT
,
w0 = 0
π
2
= 0
2
F(wr = w0) =
1√
2π
3∑
n=0
X(nT ) =
1√
2π
[X(0) +X(1) +X(2) +X(3)]
F(wr = w0) =
1√
2π
[0 + 1 + 1 + 0]
F(wr = w0) =
2√
2π
Calculamos además su modulo:
|w0| =
√
(
2√
2π
)2 =
2√
2π
Para w1
w1 = 1.
π
2
=
π
2
F(wr = w1) =
1√
2π
3∑
n=0
X(nT )e−i
π
2
nT =
1√
2π
[X(0)e−i
π
2
0T+X(1)e−i
π
2
1T+X(2)e−i
π
2
2T+X(3)e−i
π
2
3T ]
Recordando que
e−ix = cos(x)− isen(x)
F(w1) =
1√
2π
[0 + 1[Cos(
π
2
)− isen(π
2
)] + 1[cos(π)− isen(π)] + 0[e
−iπ
2
3]]
F(w1) =
1√
2π
[−i− 1] = −1√
2π
[i+ 1]
Calculamos además su modulo:
|w1| =
√
(− 1√
2π
)2[12 + 12] =
√
(
1
2π
)[2] =
1√
π
Para los siguientes wr, calcularemos más directamente...
Para w2
w2 = 2.
π
2
= π
F(wr = w2) =
1√
2π
3∑
n=0
X(nT )e−iπnT =
1√
2π
[0e−iπ0 + 1e−iπT + 1e−iπ2T + 0e−iπ3T ]
3
F(wr = w2) =
1√
2π
[[cos(π)− isen(π)] + [cos(2π)− isen(2π)]] = 1√
2π
[−1 + 1] = 0
|w2| = 0
Para w3
w3 = 3.
π
2
=
3π
2
F(wr = w3) =
1√
2π
3∑
n=0
X(nT )e−i
3π
2
nT =
1√
2π
[0e0 + 1e−i
3π
2
T + 1e−i
3π
2
2T + 0e−i
3π
2
3T ]
F(w3) =
1√
2π
[[cos(
3π
2
)− isen(3π
2
)] + [cos(3π)]− isen(3π)]
sen(
3π
2
) = −1
cos(3π) = −1
F(w3) =
1√
2π
[i− 1]
|w3| =
√
(
1√
2π
)2[(−1)2 + 12] =
√
(
1
2π
)[2] =
1√
π
Graficamos el módulo de la transformada
4
Figura 2: Módulo de la transformada de Fourier de X(k)
5