practica adicional cap3

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MATEMÁTICA 1 – Primer Cuatrimestre 2013 
Práctica adicional N°3 – SUCECIONES E INDUCCIÓN 
 
COMISIÓN 4A 
Ejercicio 1: 
a) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = (−1)𝑛𝑛+12𝑛𝑛+3,𝑛𝑛 ≥ 1 
 Escribir los primeros seis términos de las siguientes sucesiones: 
b) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑛𝑛−1,𝑛𝑛 ≥ 1 
c) 𝑎𝑎1 = 1,𝑎𝑎2 = 2, 𝑎𝑎𝑛𝑛 = (−1)𝑎𝑎𝑛𝑛−1 − 2𝑎𝑎𝑛𝑛−2 ,𝑛𝑛 ≥ 3 
d) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = (−1)𝑛𝑛 + 2𝑛𝑛 − (−1)2𝑛𝑛+1,𝑛𝑛 ≥ 1 
e) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
(−1)3𝑛𝑛 − (−1)2𝑛𝑛
7(𝑛𝑛+1)
 ,𝑛𝑛 ≥ 1 
Ejercicio 2: 
a) 0, 1, 4, 9, 16, … 
 Hallar la forma explícita y/o recursiva para las siguientes sucesiones: 
b) 2 3� ,
3
5� ,
4
7� ,
5
9� ,
6
11� , … 
c) 0,−3, 6,−9, 12,−15, … 
d) El quinto término de una sucesión aritmética es 36 y la suma del tercer y décimo término 
es 81. 
e) El cociente entre el décimo y el segundo término de una sucesión geométrica es 16 y el 
séptimo término es 24. 
Ejercicio 3: 
a) √1 + √2 + √4 + √8 + √16 
 Expresar con la notación sigma las siguientes sumas: 
b) 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 
c) 1 − 1 8� +
1
27� −
1
64� +
1
125� 
Ejercicio 4: 
a) ∑ (𝑝𝑝−1)2
𝑝𝑝
𝑝𝑝2
5
𝑝𝑝=1 
 Desarrollar las siguientes sumas: 
b) ∑ (2𝑗𝑗 + 3𝑗𝑗)4𝑗𝑗=0 
c) ∑ 𝑡𝑡𝑡𝑡−15𝑡𝑡=2 
d) ∑ 𝑠𝑠
2−1
𝑠𝑠+2
3
𝑠𝑠=0 
2 
 
Ejercicio 5: 
a) En una agencia de viaje se le da a sus 14 empleados una comisión de 35$ por cada viaje 
que puede vender. El que vende menos vendió un viaje, el que sigue vendió seis, el 
siguiente once y así sucesivamente, ¿cuánta plata le dieron al que más vendió? ¿cuántos 
viajes vendió? 
 Resolver los siguientes problemas: 
b) ¿Cuántos números impares hay entre 7 y 36 (inclusive en ambos)? ¿cuánto suman estos 
números? 
c) Un abuelo se reúne con sus 5 nietos y les obsequia caramelos a todos, duplicando 
siempre lo que le ha dado al anterior. Si el último nieto recibió 64 caramelos, ¿cuántos 
caramelos ha dado el abuelo en total? 
 
Ejercicio 6: 
a) ∑ (𝑎𝑎 + 𝑖𝑖𝑖𝑖) = 𝑛𝑛[2𝑎𝑎+(𝑛𝑛−1)𝑖𝑖]
2
𝑛𝑛−1
𝑖𝑖=0 para 𝑛𝑛 ≥ 1 
 Demostrar por el principio de inducción matemática las siguientes afirmaciones: 
b) 𝑛𝑛3 + 2𝑛𝑛 es divisible por 3 para 𝑛𝑛 ≥ 1 
c) 32𝑛𝑛+2 − 2𝑛𝑛+1 es divisible por 7 para 𝑛𝑛 ≥ 1 
d) ∑ 1
2𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 = 1 −
1
2𝑛𝑛
 para 𝑛𝑛 ≥ 1 
e) ∑ (𝑖𝑖 + 1)2𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 𝑛𝑛2𝑛𝑛+1 para 𝑛𝑛 ≥ 1 
f) (2 + 5)𝑛𝑛 > 2𝑛𝑛 + 5𝑛𝑛 para 𝑛𝑛 ≥ 2 
 
Ejercicio 7: 
a) ∑ 1
2𝑖𝑖
30
𝑖𝑖=13 
 Resolver las siguientes sumas utilizando el ejercicio anterior. 
b) ∑ (𝑎𝑎 + 𝑖𝑖𝑖𝑖)10𝑖𝑖=2 
c) ∑ (𝑖𝑖 + 1)2𝑖𝑖9𝑖𝑖=7